教學(xué)設(shè)計

課程基本信息

2020QJ

課例編號11SXR學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期上學(xué)期

A062

課題數(shù)學(xué)歸納法（2）

書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)A版選擇性必修2

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師楊若晨北京市廣渠門中學(xué)

指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

1.明確數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍，會正確地使用數(shù)學(xué)歸納法.

2.通過3類典型的數(shù)學(xué)問題的證明，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般過程，鞏固對

數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)識.

3.體會數(shù)學(xué)歸納法的特殊性，認(rèn)識到數(shù)學(xué)歸納法通過有限歸納無限，實現(xiàn)了從量變到

質(zhì)變的飛躍，感受數(shù)學(xué)歸納法的力量與魅力.

教學(xué)重點：數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.

教學(xué)難點：正確地使用數(shù)學(xué)歸納法解決問題.

教學(xué)過程

時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動

問題1什么時候需要應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生要學(xué)會具體問題具體分析.例如，要證明對

任意的正整數(shù)n，等式(n1)(n2)n2n2恒成立，可以直接

復(fù)習(xí)導(dǎo)入利用多項式的乘法法則，左邊展開，合并同類項，就能得到右邊.

1

這時，我們就不必應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法了.再如，證明(1)n(nN)

n

的單調(diào)性，用數(shù)學(xué)歸納法就難以實現(xiàn).

1

例1證明：1222n2n(n1)(2n1)(nN).

6

師生活動：教師幫助學(xué)生分析這是一個涉及正整數(shù)的命題，要證明

n取所有正整數(shù)，這個式子均成立.而數(shù)學(xué)歸納法能夠通過有限個步

驟的推理，解決無限地問題，證明n取所有正整數(shù)時命題都成立.

所以我們可以嘗試著用數(shù)學(xué)歸納法來證明一下.教師呈現(xiàn)一個錯誤

解法，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個解法的錯誤：這里只有第二步，而缺少了第一步，沒

有證明n=1的情況.教師提醒學(xué)生注意：第一步是后面遞推的出發(fā)點，

沒有它，遞推就成為無源之水.所以，我們應(yīng)該先考慮當(dāng)n=1時該式

是否成立.當(dāng)n=1時，該式的左邊就12，也就1.而右邊呢，就

1123

1(11)(211)，也就1.左邊等于右邊，所

66

以n=1時該式成立.教師接著讓學(xué)生思考是不是加上第一步以后這個

證明就沒問題了.學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個解法當(dāng)n=k+1時，有

1

1222k2(k1)2(k1)(k1)12(k1)1，直接

6

把k給換成k+1.然后就說當(dāng)n=k+1時也成立.而把k換成k+1的前提

1

是1222n2n(n1)(2n1)當(dāng)n=k+1時成立，而這正是

6

我們要證明的結(jié)論，不能把它當(dāng)作已經(jīng)條件.教師提醒學(xué)生明確目

標(biāo)：我們是假設(shè)n=k時該式成立，并以此為條件證明n=k+1時該式

也成立，從而證明命題的成立具有遞推性.所以，

1

1222k2(k1)2(k1)(k1)12(k1)1這個

6

式子是需要我們證明的，是我們的目標(biāo).那該怎么來去證明呢？我們

一定要用上假設(shè).既然假設(shè)當(dāng)n=k時該式成立，那么

1

1222k2k(k1)(2k1)這個式子就成了已知條件.然

6

后教師讓學(xué)生比較一下已知條件和要證明的式子，等號左邊多了一

個(k1)2這一項，那不妨在式子兩邊同時加上(k1)2，就有

1

1222k2(k1)2k(k1)(2k1)(k1)2.再進(jìn)行化

6

簡，我們的目標(biāo)就達(dá)成了.說明n=k時該式成立能推出n=k+1時該式

也成立，加之k的任意性，我們由這兩個步驟就可知：該式對任何

(nN)都成立.

問題2怎樣正確地使用數(shù)學(xué)歸納法？

師生活動：教師提醒學(xué)生注意：首先，一定不要忘了驗證第一步，

我們稱這一步為歸納奠基，它為后續(xù)的證明奠定了基礎(chǔ)，是必不可

方法歸納少的.其次，我們的第二步是在第一步基礎(chǔ)上證明命題的成立具有遞

推性，這實際上是以邏輯的推理代替了無限的驗證過程。假設(shè)P（k）

為真，要用上假設(shè)，以此為已知條件，證明P（k+1）也為真，要明

確“用上假設(shè)，遞推才真”.

例已知數(shù)列滿足，（），試

2ana102an1anan11nN

猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明

an.

師生活動：學(xué)生在教師的指導(dǎo)下分析問題：這個數(shù)列，已知首項，

又已知反映相鄰兩項關(guān)系的遞推公式.我們可以對這個式子稍加變

1

形，把提出來，化為（），這樣我們就能

an1an1nN

2an

典例剖析

清晰地看出后一項與前一項之間的關(guān)系然后我們由，可得

.a10

111213

a.同理可得a，a，

23142

2022324

23

14

a.歸納一下：每一項的分母就是該項的序號，分子比

53

25

4

n1

分母小1.故猜想第n項就等于n分之n-1.a(nN).我們

nn

把這個式子記作②式.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明一下這個猜想.第一

11

步，當(dāng)n=1時，該式左邊a0，右邊0，猜想成立.再

11

k1

來看第二步，假設(shè)n=k（kN）時，該式成立，即a，

kk

這個式子就可以作為已知條件了，要利用它.而我們此時要證明

(k1)1

n=k+1時也成立，即證明a，這是我們的目標(biāo).教師讓

k1k1

學(xué)生思考與之間有什么關(guān)系？學(xué)生根據(jù)遞推公式

akak1

1k11

a，把a代入，得出，分子分母同時

k12akkk1

k2

k

k(k1)1

乘上k，就得出，也就是.這樣就證明了n=k+1時也

k1k1

成立.由這兩個步驟可知，猜想對任何nN都成立.教師歸納：我

們通過“觀察——歸納——猜想——證明”的過程解決了這一問題.

追問：把例中的“換成“，其他條件不變，試

2a10”a1a”

猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明

an.

師生活動：教師讓感興趣的同學(xué)課后思考一下這個問題，并體會初

始值的改變對其通項公式繁簡程度的影響.

例3設(shè)x為正實數(shù)，n為大于1的正整數(shù)，若數(shù)列1，1+x，(1x)2，…，

n1，…的前項和為，試比較與的大小，并用數(shù)學(xué)

(1x)nSnSnn

歸納法證明你的結(jié)論.

師生活動：教師幫助學(xué)生分析思路：一種思路是不求和，而直接通

過取特殊值比較與的大小關(guān)系，并作出猜想；另一種思路是

nSnn

先由等比數(shù)列的求和公式求出，再通過取特殊值比較與

SnnSnn

的大小關(guān)系，然后做出猜想.學(xué)生根據(jù)這兩種思路，分