高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省廊坊市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月夯基考試數(shù)學(xué)試卷（A）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則（）A.2 B. C.10 D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選：D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C.3.已知平面向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】向量，，由，得，所以.故選：A.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，所以.故選：B.5.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，由，得，由正弦定理得，所以.故選：A.6.如圖，為了測量M，N兩點(diǎn)之間的距離，某數(shù)學(xué)興趣小組的甲、乙、丙三位同學(xué)分別在N點(diǎn)、距離M點(diǎn)600米處的P點(diǎn)、距離P點(diǎn)200米處的G點(diǎn)進(jìn)行觀測．甲同學(xué)在N點(diǎn)測得，乙同學(xué)在P點(diǎn)測得，丙同學(xué)在G點(diǎn)測得，則M，N兩點(diǎn)間的距離為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】C【解析】由，得，而，，由余弦定理得（米）.故選：C.7.如圖，某八角樓空窗的邊框呈正八邊形．已知正八邊形的邊長為4，O是線段的中點(diǎn)，P為正八邊形內(nèi)的一點(diǎn)（含邊界），則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖過點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)，因，又，則，而即在直線上投影的數(shù)量，要使取最大值，則需使在直線上投影的數(shù)量最大，由圖知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)投影向量的數(shù)量最大.因，由對(duì)稱性知，，在中，，因，解得，則，故的最大值為.故選：B.8.已知，，且，，則（）A.1 B.3 C. D.【答案】D【解析】令，則在定義域上單調(diào)遞增.則，，所以，則有，故.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，則【答案】BD【解析】向量為矢量，既有大小又有方向，不等比較大小，故A錯(cuò)誤；相等向量的方向與大小都相同，所以也共線，也具有傳遞性，故BD正確；當(dāng)時(shí)，向量不一定共線，故C錯(cuò)誤.故選：BD.10.已知，均為復(fù)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則是實(shí)數(shù)C.若，則是純虛數(shù) D.若，則【答案】ABC【解析】因?yàn)?，又，所以，A正確；設(shè)，則，所以為實(shí)數(shù)，B正確；設(shè)，則，又，所以，，所以是純虛數(shù)，C正確；若，，則滿足，而，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（）A.若，則是等腰三角形B.若，則是銳角三角形C.若，，則面積的最大值為D.若，則【答案】BC【解析】對(duì)于A，由及正弦定理得，即，則或，即或，是等腰或直角三角形，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，則是的最大內(nèi)角，又，則，為銳角，是銳角三角形，B正確；對(duì)于C，由，及余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，C正確；對(duì)于D，取，滿足，而，則，即，D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量與的夾角為，且，，則在上的投影向量為________．【答案】【解析】由題意可得在上的投影向量為.13.已知，則的值為________．【答案】【解析】，.14.在中，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足，與交于點(diǎn)O，則的值為________；若，則的值是________．【答案】【解析】在中，由，得，則，令，又D是的中點(diǎn)，則，而共線，因此，解得，所以；，于是，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，復(fù)數(shù)．（1）若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求的取值范圍；（2）若z滿足，，求的值．解：（1）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，得，解得，所以的取值范圍是.（2）依題意，又，則，解得，，所以.16.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求的值；（2）若，的面積為，求邊上的高．解：（1）由和余弦定理，可得，化簡得，則得，故.（2）由可得，由（1）已得，解得，由余弦定理，，解得，設(shè)邊上高邊上的高為，則由，解得，故邊上的高為.17.已知二次函數(shù)滿足，函數(shù)滿足，且不等式的解集為．（1）求的解析式；（2）若關(guān)于x的不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）由，得，則，由二次函數(shù)滿足，設(shè)，不等式，即，依題意，是方程的二實(shí)根，且，于是，解得，所以的解析式為.（2）由（1）知，，不等式，依題意，不等式對(duì)任意的恒成立，而，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因此，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.18.如圖，在梯形中，，，，E、F分別為、的中點(diǎn)，且，P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）若，求的值；（2）求的長；（3）求取值范圍．解：（1）由分別為的中點(diǎn)，則，，由圖可得，則，所以.（2）由（1）可知，，由，則，，可得，解得.（3）由圖可得，，，由，則.19.定義：若非零向量，函數(shù)的解析式滿足，則稱為的伴隨函數(shù)，為的伴隨向量．（1）若向量為函數(shù)的伴隨向量，求；（2）若函數(shù)為向量的伴隨函數(shù)，在中，，，且，求的值；（3）若函數(shù)為向量的伴隨函數(shù)，關(guān)于x的方程在上有且僅有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）因，則，故.（2）依題意，，由可得，因，則，故，解得，因，則，又，代入解得①，由正弦定理，，可得，