高級中學名校試題PAGEPAGE1河南省鄭州市金水區(qū)2024-2025學年高一下學期2月第一次月考數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.向量，，則（）A. B.0 C. D.1【答案】D【解析】由題可知，∴.故選：D.2.若復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，所以.故選：A.3.在中，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴由余弦定理，則得，∴解得：，或（舍去），∴由正弦定理可得：．故選：B.4.在中，點，分別為，邊上的中點，點滿足，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，而，所以.故選：D.5.若（為虛數(shù)單位）是關于方程一個根，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】因為是關于方程的一個根，所以，整理得，所以，解得.故選：D.6.在中，若，則的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】因為，所以，所以，所以由正弦定理得，因為，所以，所以由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形.故選：D.7.如圖，在坡度一定山坡處測得山頂上一建筑物的頂端對于山坡的斜度為，向山頂前進到達處，在處測得對于山坡的斜度為.若，山坡與地平面的夾角為，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，在中，由正弦定理得，又，解得，在中，由正弦定理得，解得，即，所以.故選：.8.瑞士數(shù)學家歐拉是數(shù)學史上最多產的數(shù)學家，被譽為“數(shù)學之王”，歐拉在1765年發(fā)表了令人贊美的歐拉線定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條直線被稱為歐拉線．已知，為所在平面上的點，滿足，，則歐拉線一定過（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，即為的外心；，則為的重心；，即有，即，同理，即為垂心；由解析題中向量式中有兩共起點的向量，于是，，令，則是以為起點，向量與所在線段為鄰邊菱形對角線對應的向量，即在的平分線上，共線，所以點的軌跡一定通過的內心，由歐拉線定理知，歐拉線一定過.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知是兩個不共線的單位向量，則下列各組向量中，一定能推出的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，因為，，故，即，故A正確；對于B，因為，，則，故B正確；對于C，，，由于不共線，故，所以向量不平行，故C錯誤．對于D，，故，此時，故D正確.故選：ABD．10.已知非零復數(shù)，其共軛復數(shù)分別為，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】設復數(shù)，且，，A正確；，B正確；，，所以與不一定相等，C錯誤；令，則，D錯誤．故選：AB.11.在中，是的內切圓圓心，內切圓的半徑為，則（）A.B.C.的外接圓半徑為D.【答案】BCD【解析】因為內心是三角形內角平分線的交點，所以在中，，故A錯誤；由余弦定理可得，因為的面積，所以，故B正確；設的外接圓半徑為，則，故，故C正確；對于D：方法一：因為在的平分線上，所以可設，則，同理可設，則，得，又、不共線，根據(jù)平面向量基本定理得，解得，即，故D正確；方法二：利用內心的性質結論，有，即，所以，即，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，，，，則__________.【答案】【解析】由正弦定理有，即，解得，而，所以，所以，所以.13.已知.若的夾角為鈍角，則的范圍為__________.【答案】且【解析】若，的夾角為鈍角，則，且與不平行，即，且，求得且.14.復平面上兩個點，分別對應兩個復數(shù)，，它們滿足下列兩個條件：①；②兩點，連線的中點對應的復數(shù)為，若為坐標原點，則的面積為______．【答案】8【解析】令，，且，由，則，即，故①，由兩點，連線的中點對應的復數(shù)為，則，即②，聯(lián)立①②，可得，且，即，，由，即，故為直角三角形，又，，故的面積為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點求：（1）的模；（2）；（3）在上的投影向量.解：（1）已知點，所以，因此的模為.（2）由已知可得，所以.（3）根據(jù)投影向量的定義可得，在上的投影向量為.16.已知復數(shù)，且為純虛數(shù)（是的共軛復數(shù)）.（1）設復數(shù)，求；（2）復數(shù)在復平面內對應的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，則，所以為純虛數(shù)，所以，解得.所以，因此.（2）因為，則，因為復數(shù)在復平面內對應的點位于第一象限，則，解得.因此實數(shù)的取值范圍是.17.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）證明：；（2）若，，求的周長.解：（1）因為，所以，所以.因為，所以，則（或，舍去），即.（2）因為，，所以，..由，可得，.故的周長為.18.如圖，我們把由平面內夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構成的坐標系，稱為“完美坐標系”.設，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實數(shù)對叫做向量的“完美坐標”.（1）若向量的“完美坐標”為，求；（2）已知，分別為向量，的“完美坐標”，證明：；（3）若向量，的“完美坐標”分別為，，設函數(shù)，，求的值域.解：（1）因為的“完美坐標”為，則，又因為，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，且夾角為，所以，，所以.（2）由（1）知，所以，即.（3）因為向量，的“完美坐標”分別為，，由（2）得.令，則，因為，所以，即，令，因為的圖象是對稱軸為，開口向上的拋物線的一部分，所以當時，取得最小值，當時，取得最大值，所以的值域為.19.古希臘數(shù)學家托勒密對凸四邊形（凸四邊形是指沒有角度大于180°的四邊形）進行研究，終于有重大發(fā)現(xiàn)：任意一凸四邊形，兩組對邊的乘積之和不小于兩條對角線的乘積，當且僅當四點共圓時等號成立.且若給定凸四邊形的四條邊長，四點共圓時四邊形的面積最大.根據(jù)上述材料，解決以下問題，如圖，在凸四邊形中，（1）若，，，（圖1），求線段長度的最大值；（2）若，，（圖2），求四邊形面積取得最大值時角的大小，并求出四邊形面積的最大值；（3）在滿足（2）條件下，若點是外接圓上異于的點，求的最大值.解：（1）由，，，，可得，由題意可得，即，即，當且僅當四點共圓時等號成立，