—2025學年度第二學期九年級第一次質量檢測數學試題注意事項：1．你拿到的試卷滿分150分，考試時間為120分鐘．2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分．“試題卷”共4頁，“答題卷”共6頁．3．請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．4．考試結束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的．1.的倒數是（）A. B. C. D.2.人民日報評論，河南許昌商超胖東來堅持關注顧客需求、尊重員工價值，把事做到極致，春節(jié)假期僅營業(yè)4天，市區(qū)各店客流量便達224萬人次，真正贏得消費者信賴和市場認可．將數據224萬用科學記數法表示為（）A. B. C. D.3.下面計算正確的是（）A. B.C. D.4.中國四大白瓷系列之一的德州瑩白瓷以瓷質細膩，釉面柔和，透亮晈潔，似象牙白又似羊脂玉而名聞遐邇，被譽為瓷中珍品．下圖是忂州瑩白瓷的直口杯，它的主視圖是（）A. B.C. D.5.下列因式分解正確的是（）A. B.C. D.6.如圖，在中，弦，相交于點P，，，那么度數為（）A. B. C. D.7.如圖，在平行四邊形中，的平分線和的平分線交于上一點，若，，則的長為（）A. B. C.5 D.68.北京時間12月4日，我國申報的“春節(jié)——中國人慶祝傳統(tǒng)新年的社會實踐”通過評審，列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作名錄．現(xiàn)將四張大小相同的正方形卡片拼成如圖所示的正方形靶盤（其中兩張卡片上是“春”字，另外兩張上是“福”字）．現(xiàn)向該靶盤隨機擲兩次飛鏢，則兩次射中的卡片上的字不相同的概率為（）A. B. C. D.9.如圖，直線交反比例函數（）圖象于點和點，交軸于點，，過點作軸于點，連接并延長，交軸于點，連接．若的面積為，則的值為（）A. B. C. D.10.如圖，在四邊形中，，連接，，，點是邊上的點，連接，，，那么下列結論中：①；②；③；④，正確的個數是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分11.若在實數范圍內有意義，則的取值范圍是____________.12.過邊形的一個頂點可以畫出5條對角線，則的值是______．13.如圖①，在一張長方形紙中，點在上，并且，分別以，為折痕進行折疊并壓平，如圖②，若圖②中，則的度數為________．14已知拋物線（）．（1）若拋物線經過點，則該拋物線的對稱軸為_________；（2）若拋物線的對稱軸為直線，點，在拋物線上，則的最大值為_________．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.計算：．16.小華從家里到學校的路是一段平路和一段下坡路，假設他始終保持平路每分鐘走60m，下坡路每分鐘走80m，上坡路每分鐘走40m，則他從家里到學校需10min，從學校到家里需15min．問：從小華家到學校的平路和下坡路各有多遠？四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，．（1）在圖中作出關于y軸對稱的圖形；（2）在y軸上找出一個點P，使得的周長最小，在圖中標出點P的位置，并直接寫出點P的坐標．18.某數學興趣小組為測量一座古塔的高度（假定該塔與地面垂直），他們在與塔底B在同一水平線上的C處測得塔頂A的仰角為，然后沿斜坡前行到達最佳測量點D處，在點D處測得塔頂A的仰角為，已知斜坡的斜面坡度，，且點A，B，C，D，E在同一平面內．（1）求點D到直線的距離；（2）求古塔的高度．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.為了減輕學生的作業(yè)負擔，要求七年級學生每晚的作業(yè)總量不超過1.5小時，一個月后，（1）班學習委員亮亮對本班每位同學晚上完成作業(yè)的時間進行了一次統(tǒng)計，并根據收集的數據繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據圖中提供的信息，解答下列問題：（1）該班共有學生_____人；（2）將圖1的條形圖補充完整；（3）說明完成作業(yè)時間中位數在哪個時間段內？20.如圖，是半圓的直徑，是上一點，點是的中點，連接．（1）求證：；（2）若，求的長．六、（本題滿分12分）21.將一張等邊三角形紙片剪成四個大小、形狀一樣的小等邊三角形（如圖所示），記為第一次操作，然后將其中右下角的等邊三角形又按同樣的方法剪成四小片，記為第二次操作，若每次都把右下角的等邊三角形按此方法剪成四小片，如此循環(huán)進行下去．（1）如果剪n次共能得到______個等邊三角形．（2）若原等邊三角形的邊長為1，設表示第n次所剪出的小等邊三角形的邊長，如．①試用含式子表示______；②計算______；（3）運用（2）的結論，計算的值．七、（本題滿分12分）22.綜合實踐：投籃研究活動背景：學校組織班級間籃球比賽，九年級（2）班小玫發(fā)現(xiàn)自己投籃命中率較低，特請本班數學興趣小組同學拍攝自己投籃圖片（圖1），并測量相應的數據進行研究．模型建立：如圖2所示，以點O為坐標原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸建立平面直角坐標系，籃球運動軌跡可以看作是拋物線的一部分．信息整理：素材1：籃球（P）出手時離地面的高度為米，籃筐中心離地面的高度米，籃球出手位置與籃筐中心的水平距離米，籃球距地面的最大高度米，此時離籃球出手位置的水平距離米．素材2：當籃球（P）恰好經過籃筐中心點A時，我們稱此次進球為“空心球”；由于籃球的直徑大約是籃筐直徑的一半，因此當籃球到達籃筐中心的水平位置時，籃球的高度（n米）滿足時，籃球即可命中籃筐；籃球運動軌跡由投籃方向和出手速度決定，小玫在投籃過程中始終保持投籃方向和出手速度不變．解決問題：在初次投籃時，小玫在點O處起跳，數學興趣小組同學測得相關數據為：米，米，米，米．（1）計算說明小玫初次投籃時能否命中籃筐；（2）該班數學興趣小組同學對小玫的初次投籃數據進行研究后，讓小玫同學在原來位置向前走了t米后再次投籃，發(fā)現(xiàn)此次正好投進一個“空心球”，求t的值（保留根號）．八、（本題滿分14分）23.如圖1，在中，，分別為，的中點，連接，，且．（1）求證：四邊形菱形；（2）如圖2，連接交于點，交于點，且，連接，．①求證：；②若，求的長．

2024—2025學年度第二學期九年級第一次質量檢測數學試題注意事項：1．你拿到的試卷滿分150分，考試時間為120分鐘．2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分．“試題卷”共4頁，“答題卷”共6頁．3．請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．4．考試結束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的．1.的倒數是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了倒數，根據倒數的定義，可得答案，解題的關鍵是正確理解乘積為的兩個數互為倒數．【詳解】解：倒數是，故選：．2.人民日報評論，河南許昌商超胖東來堅持關注顧客需求、尊重員工價值，把事做到極致，春節(jié)假期僅營業(yè)4天，市區(qū)各店客流量便達224萬人次，真正贏得消費者信賴和市場認可．將數據224萬用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查科學記數法表示較大的數，熟練掌握其定義是解題的關鍵．將一個數表示成的形式，其中，為整數，這種記數方法叫做科學記數法，據此即可求得答案．【詳解】解：萬故選：D．3.下面計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考出了同底數冪的乘法、積的乘方、合并同類項，靈活運用相關運算法則成為解題的關鍵．根據同底數冪的乘法、積的乘方、合并同類項，逐項判斷即可．【詳解】解：A、和不是同類項，不能進行加法運算，故不符合題意；B、和不是同類項，不能進行加法運算，故不符合題意；C、，故符合題意；D、，故不符合題意；故選：C．4.中國四大白瓷系列之一的德州瑩白瓷以瓷質細膩，釉面柔和，透亮晈潔，似象牙白又似羊脂玉而名聞遐邇，被譽為瓷中珍品．下圖是忂州瑩白瓷的直口杯，它的主視圖是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查簡單幾何體三視圖．根據視圖的意義，從正面看所得到的圖形即可．【詳解】解：該直口杯主視圖為，故選：A．5.下列因式分解正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了因式分解，整式的乘法，熟練掌握公式法和提公因式法進行因式分解是解題的關鍵．利用提公因式法、公式法以及整式的乘法逐個分解得結論．【詳解】解：A、，故不符合題意；B、，故不符合題意；C、，故符合題意；D、，故不符合題意；故選：C．6.如圖，在中，弦，相交于點P，，，那么度數為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查圓周角定理，熟練掌握并靈活運用圓周角定理是解題的關鍵．根據圓周角定理求出的度數，再由三角形外角的性質求出的度數即可．【詳解】解：，，，．故選：D．7.如圖，在平行四邊形中，的平分線和的平分線交于上一點，若，，則的長為（）A. B. C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質，平行線的性質，等角對等邊，勾股定理，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．根據角平分線可知，，，結合四邊形是平行四邊形，，，從而得到，，，最后在中利用勾股定理即可求解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，的平分線和的平分線交于上一點，，，，故選：B．8.北京時間12月4日，我國申報的“春節(jié)——中國人慶祝傳統(tǒng)新年的社會實踐”通過評審，列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作名錄．現(xiàn)將四張大小相同的正方形卡片拼成如圖所示的正方形靶盤（其中兩張卡片上是“春”字，另外兩張上是“?！弊郑F(xiàn)向該靶盤隨機擲兩次飛鏢，則兩次射中的卡片上的字不相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了列表法或畫樹狀圖求隨機事件的概率，清晰地列出所有可能的情況，并準確找出滿足條件的情況，是解題的關鍵；首先明確靶盤的布局，然后找出所有可能的投擲結果，并確定其中兩次射中卡片上的字不相同的結果數，最后計算概率．【詳解】解：設正方形靶盤被分為四個相等的正方形區(qū)域，分別標記為“春1”，“春2”，“福1”，“福2”．

春1春2福1福2春1春1春1春2春1福1春1福2春1春2春1春2春2春2福1春2福2春2福1春1福1春2福1福1福1福2福1福2春1福2春2福2福1福2福2福2兩次射中卡片的總情況有16種，即每張卡片都有可能被射中兩次，形成種組合．射中“春”和“?！钡慕M合有8種，即（春1，福1），（春1，福2），（春2，福1），（春2，福2），以及反向的（福1，春1），（福1，春2），（福2，春1），（福2，春2）．這8種情況滿足條件．因此，兩次射中的卡片上的字不相同的概率為，故選：A．9.如圖，直線交反比例函數（）的圖象于點和點，交軸于點，，過點作軸于點，連接并延長，交軸于點，連接．若的面積為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了反比例函數系數的幾何意義，熟練掌握反比例函數系數的幾何意義是解題的關鍵．根據題意得到，，繼而得到，求出，得到，即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，，∵，∴，，∴，∴，∴，軸于點，，點在反比例函數，，∴．故選D．10.如圖，在四邊形中，，連接，，，點是邊上的點，連接，，，那么下列結論中：①；②；③；④，正確的個數是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，圓的相關性質，平行線的性質，解決本題的關鍵是證明．根據相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、圓的相關性質、平行線的性質進行逐一判斷即可．【詳解】，，點是邊上的點，，故②錯誤；，，，，，，，，，，，，，，，在以為直徑的圓上，，，故④正確；，，故①正確；，，，故③正確．故選C．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分11.若在實數范圍內有意義，則的取值范圍是____________.【答案】且.【解析】【詳解】分析：根據分式有意義和二次根式有意義的條件解題.詳解：因為在實數范圍內有意義，所以x≥0且x－1≠0，則x≥0且x≠1.故答案為x≥0且x≠1.點睛：本題考查了分式和二次根式有意義的條件，分式有意義的條件是分母不等于0；二次根式有意義的條件是被開方數是非負數，代數式既有分式又有二次根式時，分式與二次根式都要有意義.12.過邊形的一個頂點可以畫出5條對角線，則的值是______．【答案】8【解析】【分析】本題主要考查了過多邊形的一個頂點作對角線的條數，過n邊形的一個頂點可以作條對角線，可得，求出答案即可．【詳解】解：根據題意，得，解得．故答案為：8．13.如圖①，在一張長方形紙中，點在上，并且，分別以，為折痕進行折疊并壓平，如圖②，若圖②中，則的度數為________．【答案】38°【解析】【分析】由折疊可得BE平分∠AEA′，CE平分∠DED′，再利用角的和差得到∠DED′=180°-120°+16°=76°，進而可得答案．【詳解】由折疊可得BE平分∠AEA′，CE平分∠DED′，∵∠AEB=60°，∴∠AEA′=2∠AEB=120°，∵∠A′ED′=16°，∴∠DED′=180°-120°+16°=76°，∴∠CED=×76°=38°．故答案為：38°．【點睛】本題考查角的計算，根據折疊的性質得到BE平分∠AEA′，CE平分∠DED′是解題關鍵．14.已知拋物線（）．（1）若拋物線經過點，則該拋物線的對稱軸為_________；（2）若拋物線的對稱軸為直線，點，在拋物線上，則的最大值為_________．【答案】①.直線②.18【解析】【分析】本題考查二次函數的圖象和性質．（1），將代入，得到a與b的關系，根據對稱軸為即可求解；（2）根據對稱軸為直線得到，得到．將和分別代入，得到，，利用二次函數的性質即可求解．【詳解】（1）由題知，將代入得：，則，所以拋物線的對稱軸為直線；（2）因為拋物線的對稱軸為直線，所以，則，所以拋物線的表達式可表示為．將和分別代入拋物線的表達式得：，，所以，因為，所以，即，所以的最大值為18．故答案為：直線，18．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了實數的混合運算，化簡二次根式，掌握各知識點的運算法則是解題的關鍵．先計算負整數指數冪，化簡二次根式和化簡絕對值，再進行加減計算．【詳解】解：．16.小華從家里到學校的路是一段平路和一段下坡路，假設他始終保持平路每分鐘走60m，下坡路每分鐘走80m，上坡路每分鐘走40m，則他從家里到學校需10min，從學校到家里需15min．問：從小華家到學校的平路和下坡路各有多遠？【答案】平路為300m，下坡路為400m．【解析】【分析】設平路有，下坡路有，根據相等關系“從家里到學校走平路和下坡路一共用10分鐘，從學校到家里走上坡路和平路一共用15分鐘”，列出方程組解答即可．【詳解】解：設平路有，下坡路有，根據題意得：，解得：．答：小華家到學校的平路為300m，下坡路為400m．【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，此題主要利用時間、速度、路程三者之間的關系解答，注意來回坡路的變化是解題的關鍵．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，．（1）在圖中作出關于y軸對稱的圖形；（2）在y軸上找出一個點P，使得的周長最小，在圖中標出點P的位置，并直接寫出點P的坐標．【答案】（1）見解析（2）見解析；【解析】【分析】本題考查了畫軸對稱圖形，根據軸對稱的性質求線段和的最值問題，坐標與圖象，求一次函數解析式，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．（1）根據軸對稱的性質畫出；（2）根據軸對稱的性質，連接，交y軸于點P，點P即為所求，求出直線的解析式，然后再求出點P的坐標即可．小問1詳解】如圖所示，即為所求．【小問2詳解】解：如圖，點P即為所作．連接，根據軸對稱可知，，∴，∵兩點之間線段最短，∴此時最小，即最小，設直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線解析式為，把代入得，∴點P的坐標為．18.某數學興趣小組為測量一座古塔的高度（假定該塔與地面垂直），他們在與塔底B在同一水平線上的C處測得塔頂A的仰角為，然后沿斜坡前行到達最佳測量點D處，在點D處測得塔頂A的仰角為，已知斜坡的斜面坡度，，且點A，B，C，D，E在同一平面內．（1）求點D到直線的距離；（2）求古塔的高度．【答案】（1）點D到直線的距離為（2）古塔的高度是【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．（1）過點D作于點M，解直角三角形求出即可；（2）證明，在中，解直角三角形求出，再在中求出即可．【小問1詳解】解：過點D作于點M，∵斜坡的斜面坡度，∴，∴，∴．即點D到直線的距離為；【小問2詳解】解：由（1）知，，∴，∵，∴，在中，，∴，在中，，∴，答：古塔的高度是．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.為了減輕學生的作業(yè)負擔，要求七年級學生每晚的作業(yè)總量不超過1.5小時，一個月后，（1）班學習委員亮亮對本班每位同學晚上完成作業(yè)的時間進行了一次統(tǒng)計，并根據收集的數據繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據圖中提供的信息，解答下列問題：（1）該班共有學生_____人；（2）將圖1的條形圖補充完整；（3）說明完成作業(yè)時間的中位數在哪個時間段內？【答案】（1）40（2）見解析（3）完成作業(yè)時間的中位數在1~1.5小時的時間段內【解析】【分析】本題考查了統(tǒng)計圖的意義，扇形統(tǒng)計圖的計算，中位數的計算，熟練掌握條形統(tǒng)計圖的意義，圓心角的計算公式，中位數的計算辦法是解題的關鍵．（1）根據樣本容量=頻數÷頻率計算即可．（2）根據樣本容量=頻數÷頻率變形計算出頻數，后完善統(tǒng)計圖即可．（3）根據中位數的定義計算判斷即可．【小問1詳解】解：人，故答案為：40；【小問2詳解】解：∵樣本容量=頻數+頻率，∴的頻數（人），條形圖如圖所示：【小問3詳解】解：根據題意，得完成時間為的人數為（人），一共有40人，故中位數應是第20、第21個兩個數據的平均數，∵有12人，有18人，且，，∴完成作業(yè)時間的中位數在1~1.5小時的時間段內．20.如圖，是半圓的直徑，是上一點，點是的中點，連接．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理及平行線的判定，熟知垂徑定理、圓周角定理及平行線的判定是解題的關鍵．（1）先根據點D是的中點，結合圓周角定理得出，進一步得出即可解決問題．（2）連接，交于點M，先根據勾股定理求出，進而得出的長，再利用勾股定理求出的長，進而得出的長，再連接，求出的長，最后在中利用勾股定理即可解決問題．【小問1詳解】證明：點是的中點，．．在中，，．．．【小問2詳解】解：連接交于點，連接．為的直徑，．在中，，由勾股定理得，．點是的中點，．為的半徑，根據圓的對稱性可知，．即．在中，，由勾股定理得，．．在中，，由勾股定理得，．為的直徑，．在中，，由勾股定理得，．六、（本題滿分12分）21.將一張等邊三角形紙片剪成四個大小、形狀一樣的小等邊三角形（如圖所示），記為第一次操作，然后將其中右下角的等邊三角形又按同樣的方法剪成四小片，記為第二次操作，若每次都把右下角的等邊三角形按此方法剪成四小片，如此循環(huán)進行下去．（1）如果剪n次共能得到______個等邊三角形．（2）若原等邊三角形的邊長為1，設表示第n次所剪出的小等邊三角形的邊長，如．①試用含的式子表示______；②計算______；（3）運用（2）的結論，計算的值．【答案】（1）（2）①；②（3）【解析】【分析】本題z主要考查圖形變化的規(guī)律、數字變化規(guī)律等知識點，能根據所給圖形發(fā)現(xiàn)三角形的個數及邊長的變化規(guī)律是解題的關鍵．（1）觀察發(fā)現(xiàn)：每剪一次，等邊三角形的個數增加3，據此寫出代數式即可；（2）①依次求出等邊三角形的邊長，根據發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解答；②運用①中的結論進行解答即可；（3）先提取，然后運用（2）的結論進行計算即可．【小問1詳解】解：由題意可知：剪1次共得到的等邊三角形個數為：；剪2次共得到的等邊三角形個數為：；剪3次共得到的等邊三角形個數為：；…，所以剪n次共得到的等邊三角形個數為個．故答案為：．【小問2詳解】解：①因為原等邊三角形的邊長為1，所以第1次所剪出的小等邊三角形的邊長為：；第2次所剪出的小等邊三角形的邊長為：；第3次所剪出的小等邊三角形的邊長為：；…，所以第n次所剪出的小等邊三角形的邊長為：，即，故答案為：；②由①題可知：；令①，則②，②-①得：，即．故答案為：．【小問3詳解】解：．七、（本題滿分12分）22.綜合實踐：投籃研究活動背景：學校組織班級間籃球比賽，九年級（2）班小玫發(fā)現(xiàn)自己投籃命中率較低，特請本班數學興趣小組同學拍攝自己投籃圖片（圖1），并測量相應的數據進行研究．模型建立：如圖2所示，以點O為坐標原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸建立平面直角坐標系，籃球運動軌跡可以看作是拋物線的一部分．信息整理：素材1：籃球（P）出手時離地面的高度為米，籃筐中心離地面的高度米，籃球出手位置與籃筐中心的水平距離米，籃球距地面的最大高度米，此時離籃球出手位置的水平距離米．素材2：當籃球（P）恰好經過籃筐