四川省綿陽(yáng)市三臺(tái)中學(xué)2025屆高三下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）A． B． C． D．2．生活中有這樣一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：如果一杯糖水不夠甜，可以選擇加糖的方式，使得糖水變得更甜．若，則下列數(shù)學(xué)模型中最能刻畫(huà)“糖水變得更甜”的是（）A． B．C． D．3．若向量，則“”是“向量的夾角為銳角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知，，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．5．近年來(lái)，家用冰箱使用的氟化物的釋放等破壞了臭氧層，已知臭氧含量與時(shí)間（單位：年）的關(guān)系為，其中是臭氧的初始含量，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．按照此關(guān)系推算，當(dāng)臭氧含量為初始含量的時(shí)，的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A．305 B．483 C．717 D．8796．已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)在時(shí)滿(mǎn)足恒成立，且在區(qū)間內(nèi)，僅存在三個(gè)數(shù)，，，使得，則（）A． B． C． D．8．用平面截圓柱面，圓柱的軸與平面所成的角記為，當(dāng)為銳角時(shí)，圓柱面的截線是一個(gè)橢圓，數(shù)學(xué)家Dandelin創(chuàng)立的雙球模型證明了上述結(jié)論．如圖所示，將兩個(gè)大小相同的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切，切點(diǎn)分別為．下列關(guān)于截口曲線的橢圓的結(jié)論中不正確的有（

）

A．橢圓的短軸長(zhǎng)與嵌入圓柱的球的直徑相等B．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與嵌入圓柱的兩球的球心距相等C．所得橢圓的離心率D．其中為橢圓長(zhǎng)軸，為球的半徑，有二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，在正方體中，M，N分別為棱的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論中，正確的有（

）A．直線與是相交直線 B．直線與是異面直線C．與平行 D．直線與共面10．已知隨機(jī)事件、滿(mǎn)足：，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．若，則與相互獨(dú)立 B．若與相互獨(dú)立，則C．若與互斥，則 D．若，則11．如圖所示，中，，，，在邊上，在邊上，且為的角平分線，，則（

）A．B．的面積為C．D．若點(diǎn)在的外接圓上，則的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．由樣本數(shù)據(jù)，求得回歸直線方程為，且，若去除偏離點(diǎn)后，得到新的回歸直線方程為，則去除偏離點(diǎn)后，相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘差值為.13．已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，若直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為．14．已知，則的大小關(guān)系為.四、解答題（本大題共5小題）15．在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)證明；(2)求的范圍．16．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)求函數(shù)在的最大值和最小值；(3)若方程恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求的取值范圍．17．如圖1，在平行四邊形ABCD中，，將沿BD折起到位置，使得平面平面，如圖2.(1)證明：平面BCD；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.18．已知拋物線.(1)傾斜角為的直線過(guò)的焦點(diǎn)，且與交于、兩點(diǎn)，求；(2)設(shè)是上一點(diǎn)，、是的準(zhǔn)線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且圓是的內(nèi)切圓.①若，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②求面積的最小值.19．甲、乙兩名同學(xué)玩擲骰子積分游戲，規(guī)則如下：每人的初始積分均為0分，擲1枚骰子1次為一輪，在每輪游戲中，從甲、乙兩人中隨機(jī)選一人擲骰子，且兩人被選中的概率均為當(dāng)骰子朝上的點(diǎn)數(shù)小于3時(shí)，擲骰子的人積2分，否則此人積1分，未擲骰子的人本輪積0分，然后進(jìn)行下一輪游戲．已知每輪擲骰子的結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求經(jīng)過(guò)4輪游戲，甲的累計(jì)積分為4分的概率；(2)經(jīng)商議，甲、乙決定修改游戲規(guī)則，具體如下：甲、乙輪流擲骰子，誰(shuí)擲誰(shuí)積分，當(dāng)骰子朝上的點(diǎn)數(shù)不小于3時(shí)，積2分，否則積1分，規(guī)定第一次由甲擲．記兩人累計(jì)積分之和為的概率為（i）證明：為等比數(shù)列；（ⅱ）求的通項(xiàng)公式.

參考答案1．【答案】A【詳解】由圖可知，陰影部分為，故選A.2．【答案】B【詳解】由題意，若，設(shè)糖的量為，糖水的量設(shè)為，添加糖的量為，選項(xiàng)A，C不能說(shuō)明糖水變得更甜，糖水甜可用濃度體現(xiàn)，而，能體現(xiàn)糖水變甜；選項(xiàng)D等價(jià)于，不成立，故選B．3．【答案】B【詳解】向量的夾角為銳角，則，且向量不共線，當(dāng)向量共線時(shí)，，則，若，則成立，反之不成立，故“”是“向量的夾角為銳角”的必要不充分條件，故選B.4．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，，則，，所以點(diǎn)到直線的距離為：.故選D.5．【答案】C【詳解】因?yàn)槌粞鹾颗c時(shí)間（單位：年）的關(guān)系為，所以當(dāng)臭氧含量為初始含量的時(shí)，得，計(jì)算得，化簡(jiǎn)得，所以.故選C.6．【答案】C【詳解】由，數(shù)列是遞增數(shù)列，得，解得，所以a的取值范圍是.故選C.7．【答案】C【詳解】時(shí)，，令，則當(dāng)時(shí)，，故要想在時(shí)滿(mǎn)足恒成立，需滿(mǎn)足，不妨取，，，畫(huà)出在上的圖象，如下：由圖象可知，，，則，故，兩式相加得，所以.故選C.8．【答案】D【詳解】設(shè)P為截口曲線的橢圓的一點(diǎn)，如圖，過(guò)點(diǎn)作線段分別與球切于點(diǎn)，故有，由橢圓定義可知，該橢圓以，為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，故B正確．

設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，半焦距為，設(shè)O為的中點(diǎn)，與球切于點(diǎn)，，，故，有，則即橢圓的短軸長(zhǎng)與嵌入圓柱的球的直徑相等，故A正確．由題意可得，則，故C正確．由題意知（這是因?yàn)椋?，則，故，即，故D錯(cuò)誤．故選D．9．【答案】BD【詳解】對(duì)于A，三點(diǎn)在平面內(nèi)，M點(diǎn)不在直線上，A點(diǎn)不在平面內(nèi)，可得直線與是異面直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，三點(diǎn)在平面內(nèi)，不在直線上，M點(diǎn)不在平面內(nèi)，可得直線與是異面直線，故B正確；對(duì)于C，取的中點(diǎn)E，連接，又N為的中點(diǎn)，則有，，所以四邊形是平行四邊形，所以，，則與不平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接，因?yàn)镸，N分別為棱的中點(diǎn)，所以，由正方體的性質(zhì)可知：，所以，則有四點(diǎn)共面，所以直線與共面，故D正確.故選BD.10．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，，故與相互獨(dú)立，即A正確；對(duì)于B，若與相互獨(dú)立，則與也相互獨(dú)立，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若與互斥，則，，故C正確；對(duì)于D，由全概率公式可得，所以，故D正確；故選ACD.11．【答案】BCD【詳解】在三角形中，由余弦定理，，故，故正確；在中，，故錯(cuò)誤；由余弦定理可知：，，平分，，，在三角形中，由正弦定理可得：，故，故正確；，，為的外接圓的直徑，故的外接圓的半徑為1，顯然當(dāng)取得最大值時(shí)，在弧上，故，設(shè)，則，，，，，，其中，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故正確．故選BCD．12．【答案】【詳解】由于回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，去除偏離點(diǎn)后，剩余數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)為，則，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程，可得，解得，所以，新的回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，，所以，去除偏離點(diǎn)后，相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘差值為.13．【答案】【詳解】由對(duì)稱(chēng)性可知經(jīng)過(guò)，故，解得，且與垂直，其中的斜率為，故，所以，，所以，則.14．【答案】【詳解】由，即，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則有，即，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，則有，即，故.15．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ碛?，則．因?yàn)?，，所以，所以，即．?）因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，解得，則，又，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)減，所以，即．16．【答案】(1)(2)最大值為最小值為(3)【詳解】（1）,因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為所以有所以解得（2）由(1)可得當(dāng)或

單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在和上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，又因?yàn)橛?jì)算可得，所以在的最大值為，最小值為（3）由（2）可知，的極大值為，極小值為當(dāng)所以當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根.17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，【詳解】（1）證明：在中，因?yàn)?，由余弦定理，得，所以，所以，所以．如下圖1所示：在中，作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又平面BCD，所以平面BCD.（2）方法一：如下圖2所示：存在點(diǎn)，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，二面角的大小為.證明如下：由（1）知平面BDC，所以且，所以，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，同理可得：，取BD的中點(diǎn)為O，DC的中點(diǎn)為，連接MO，EM，OE，因?yàn)?，所以是二面角的平面角，又因?yàn)?，所以．此時(shí)．方法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如下圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則.假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)，則，設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量為，則，取，可得，又平面CBD的一個(gè)法向量為，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，則，解得，所以點(diǎn)存在，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，即.18．【答案】(1)；(2)①3；②.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為.設(shè)點(diǎn)、的橫坐標(biāo)為、.由，消得于是，故.（2）①設(shè)，于是有，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)、，過(guò)的直線的方程可設(shè)為，由題意，兩直線均與圓相切，故，整理得，設(shè)直線、的斜率為、，于是，將代入上式，化簡(jiǎn)得，解得或（舍），故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.②由①，，點(diǎn)到的距離，故的面積，不妨令，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積取到最小值，最小值為.19．【答案】(1)；(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）.【詳解】（1）甲每輪游戲的積分可能為0分、1分、2分，記其每輪積分為0分、1分、2分的概率分別為，則經(jīng)過(guò)4輪