高中PAGE1試題2023-2024學年北京市第二外國語學院附中高一（下）期中數學試卷一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（5分）已知向量a→=（1，﹣2），b→=（x，4），且a→A．53 B．35 C．252．（5分）i是虛數單位，若復數（1﹣2i）（a+i）是純虛數，則實數a的值為（）A．2 B．﹣2 C．12 D．3．（5分）已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的側面積之比為（）A．12 B．22 C．334．（5分）已知向量a→=(2，4)，b→=(3，?1)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知a＝2bcosC，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形6．（5分）如圖，P是正方體ABCD﹣A1B1C1D1邊A1C1上的動點，下列哪條邊與邊BP始終異面（）A．DD1 B．AC C．AD1 D．B1C7．（5分）已知兩條直線m，n和平面α，那么下列命題中的真命題是（）A．若m⊥n，n?α，則m⊥α B．若m⊥n，n⊥α，則m∥α C．若m⊥α，n?α，則m⊥n D．若m∥α，n∥α，則m∥n8．（5分）一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60°，行駛4h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東15°，這時船與燈塔的距離為（）km．A．15 B．306 C．156 9．（5分）已知正方形ABCD的邊長為1，點P是對角線BD上任意一點，則AP→A．[?12，12] B．10．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別為棱AD、BC的中點，則平面C1D1EF與底面ABCD所成的二面角的余弦值為（）A．22 B．55 C．25二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11．（5分）已知向量a→，b→滿足|a→|=2，|12．（5分）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC=3，則a＝13．（5分）在△ABC中，點D滿足BD→=4DC→，若AD→=xAB14．（5分）已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：．15．（5分）如圖，若正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，則異面直線AC與A1B所成的角的大小是；直線A1B和底面ABCD所成的角的大小是．16．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，線段B1D1上有兩個動點E，F，且EF＝1，給出下列三個結論：①三棱錐A﹣BCE與F﹣ABC的體積相等；②三棱錐A﹣BEF的體積為定值；③三棱錐B﹣AEF的高為63（三棱錐B﹣AEF的高長即點B到平面AEF所有正確結論的序號有．三、解答題共5小題，共70分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17．（14分）如圖，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AB＝6，AC＝23，BC＝26，點D在邊BC上，且∠ADC＝60°．（1）求cosB與△ABC的面積；（2）求線段AD的長．18．（14分）如圖，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C與AC1交于點O，D為BC邊上一點，D為B1C1中點，且A1B∥平面ADC1．求證：（1）A1B∥OD；（2）平面A1BD1∥平面ADC1．19．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分別是CD和PC的中點，求證：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．20．（14分）在△ABC中，3asinC=ccosA，c=2（Ⅰ）求A；（Ⅱ）再從條件（1）、條件（2）、條件（3）這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求BC邊上高線的長．條件（1）：sinC=2條件（2）：b=1+3條件（3）：a=221．（13分）設k是正整數，集合A至少有兩個元素，且A?N*．如果對于A中的任意兩個不同的元素x，y，都有|x﹣y|≠k，則稱A具有性質P（k）．（1）試判斷集合B＝{1，2，3，4}和C＝{1，4，7，10}是否具有性質P（2）？并說明理由；（2）若集合A＝{a1，a2，?，a12}?{1，2，?，20}，求證：A不可能具有性質P（3）；（3）若集合A?{1，2，?，2023}，且同時具有性質P（4）和P（7），求集合A中元素個數的最大值．

2023-2024學年北京市第二外國語學院附中高一（下）期中數學試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案BBCAABCDCB一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（5分）已知向量a→=（1，﹣2），b→=（x，4），且a→A．53 B．35 C．25【分析】利用向量向量共線定理可得x，再利用向量模的計算公式即可得出．【解答】解：∵a→∥b→，∴﹣2x﹣4＝0，解得∴a→∴|a→?b故選：B．【點評】本題考查平面向量的基本運算，屬于基礎題．2．（5分）i是虛數單位，若復數（1﹣2i）（a+i）是純虛數，則實數a的值為（）A．2 B．﹣2 C．12 D．【分析】利用復數的乘法運算化簡，再利用純虛數的定義求解作答．【解答】解：（1﹣2i）（a+i）＝（a+2）+（1﹣2a）i，而a∈R，且復數（1﹣2i）（a+i）是純虛數，所以a+2=01?2a≠0，解得a故選：B．【點評】本題主要考查純虛數的定義，屬于基礎題．3．（5分）已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的側面積之比為（）A．12 B．22 C．33【分析】根據圓錐和圓柱的側面積公式求解即可．【解答】解：設圓錐和圓柱的底面半徑為r，因為圓錐的軸截面是等邊三角形，所以圓錐的母線長為l＝2r，則圓錐和圓柱的高為?=4所以圓錐的側面積為S1圓柱的側面積為S2所以圓錐和圓柱的側面積之比為S1故選：C．【點評】本題考查圓柱與圓錐的側面積的求解，屬中檔題．4．（5分）已知向量a→=(2，4)，b→=(3，?1)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據已知條件，結合平面向量垂直的性質，即可求解．【解答】解：(a則(a→+kb→)?(a故“k=2”是“(故選：A．【點評】本題主要考查平面向量垂直的性質，屬于基礎題．5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知a＝2bcosC，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【分析】利用正弦定理以及三角形的內角和，兩角和的正弦函數化簡a＝2bcosC，求出B與C的關系，即可判斷三角形的形狀．【解答】解：a＝2bcosC，由正弦定理可知，sinA＝2sinBcosC，因為A+B+C＝π，所以sin（B+C）＝2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC＝2sinBcosC，sin（B﹣C）＝0，B﹣C＝kπ，k∈Z，因為A、B、C是三角形內角，所以B＝C．三角形是等腰三角形．故選：A．【點評】本題考查正弦定理、三角形的內角和、兩角和的正弦函數的應用，考查計算能力，屬于基礎題．6．（5分）如圖，P是正方體ABCD﹣A1B1C1D1邊A1C1上的動點，下列哪條邊與邊BP始終異面（）A．DD1 B．AC C．AD1 D．B1C【分析】根據空間中的兩條直線的位置關系，判斷是否為異面直線即可．【解答】解：對于A，當P是A1C1的中點時，BP與DD1是相交直線；對于B，根據異面直線的定義知，BP與AC是異面直線；對于C，當點P與C1重合時，BP與AD1是平行直線；對于D，當點P與C1重合時，BP與B1C是相交直線．故選：B．【點評】本題考查了兩條直線間的位置關系應用問題，是基礎題．7．（5分）已知兩條直線m，n和平面α，那么下列命題中的真命題是（）A．若m⊥n，n?α，則m⊥α B．若m⊥n，n⊥α，則m∥α C．若m⊥α，n?α，則m⊥n D．若m∥α，n∥α，則m∥n【分析】由直線與平面垂直的判定判斷A；由直線與平面平行的定義判斷B；由直線與平面垂直的定義判斷C；由直線與平面平行的性質判斷D．【解答】解：對于A，若m⊥n，n?α，可得m∥α或m?α或m與α相交，故A錯誤；對于B，若m⊥n，n⊥α，則m∥α或m?α，故B錯誤；對于C，若m⊥α，n?α，則m⊥n，故C正確；對于D，若m∥α，n∥α，可得m∥n或m與n相交或m與n異面，故D錯誤．故選：C．【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的判定及其應用，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．8．（5分）一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60°，行駛4h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東15°，這時船與燈塔的距離為（）km．A．15 B．306 C．156 【分析】由題意可得三角形ABC內的邊，角的值，由正弦定理可得BC的值．【解答】解：由題意可得AC＝15×4＝60，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°+15°＝105°，所以由三角形內角和可得∠B＝45°，在三角形ABC中由正弦定理可得BCsin∠BAC=ACsinB，所以BC=sin∠BACsinB故選：D．【點評】本題考查正弦定理的應用，屬于中檔題．9．（5分）已知正方形ABCD的邊長為1，點P是對角線BD上任意一點，則AP→A．[?12，12] B．【分析】利用向量AB→，AD【解答】解：設BP→=λBD→，則0≤BD→所以AP→又|AD所以AP→?BD所以AP→故選：C．【點評】本題主要考查平面向量的數量積運算，考查轉化能力，屬于中檔題．10．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別為棱AD、BC的中點，則平面C1D1EF與底面ABCD所成的二面角的余弦值為（）A．22 B．55 C．25【分析】根據題意可知，∠D1ED是平面C1D1EF與底面ABCD所成的二面角的平面角，然后在Rt△D1ED中，求出cos∠D1ED即可．【解答】解：根據題意，EF⊥平面ADD1A1，∴ED1⊥EF，ED⊥EF，∴∠D1ED是平面C1D1EF與底面ABCD所成的二面角的平面角，在Rt△D1ED中，ED=1∴cos∠D故選：B．【點評】本題考查了二面角的平面角的定義及求法，線面垂直的性質定理，考查了計算能力，屬于基礎題．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11．（5分）已知向量a→，b→滿足|a→|=2，|b→【分析】根據平面向量數量積的運算性質，結合平面向量夾角公式進行求解即可．【解答】解：由(b設a→與b→的夾角為θ，則cosθ因為0≤θ≤π，所以θ=π故答案為：π3【點評】本題主要考查了向量數量積的性質的應用，屬于基礎題．12．（5分）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC=3，則a＝13【分析】先利用三角形面積公式求得c，最后利用三角函數的余弦定理求得a．【解答】解：∵S△ABC=12bcsin∴c＝4∴a=故答案為：13【點評】本題主要考查了解三角形問題．靈活利用正弦定理和余弦定理是解決三角形邊角問題的關鍵．13．（5分）在△ABC中，點D滿足BD→=4DC→，若AD→=xAB→+y【分析】利用已知條件畫出圖形，利用平面向量的基本定理，求解x，y即可．【解答】解：在△ABC中，點D滿足BD→=4DC如圖，可知AD→所以x=15，y則x﹣y=?3故答案為：?3【點評】本題考查平面向量的基本定理的應用，是基礎題．14．（5分）已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：若l⊥α，l⊥m，則m∥α（或若l⊥α，m∥α，則l⊥m）．【分析】由l，m是平面α外的兩條不同直線，利用線面平行的判定定理得若l⊥α，l⊥m，則m∥α．若l⊥α，m∥α，則由線面垂直的性質和線面平行的性質得l⊥m．【解答】解：由l，m是平面α外的兩條不同直線，知：由線面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，則m∥α．若l⊥α，m∥α，則由線面垂直的性質和線面平行的性質得l⊥m，∴若l⊥α，m∥α，則l⊥m故答案為：若l⊥α，l⊥m，則m∥α．（或若l⊥α，m∥α，則l⊥m）．【點評】本題考查滿足條件的真命題的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．15．（5分）如圖，若正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，則異面直線AC與A1B所成的角的大小是60°；直線A1B和底面ABCD所成的角的大小是45°．【分析】連接A1C1，證明四邊形AA1C1C為平行四邊形，可得A1C1∥AC，得到異面直線AC與A1B所成的角即為∠BA1C1，再說明△BA1C1為等邊三角形，可得異面直線AC與A1B所成的角的大小是60°；由正方體的結構特征可得∠A1BA為直線A1B和底面ABCD所成的角，再由等腰直角三角形得答案．【解答】解：如圖，連接A1C1，∵AA1∥CC1，AA1＝CC1，∴四邊形AA1C1C為平行四邊形，可得A1C1∥AC，∴異面直線AC與A1B所成的角即為∠BA1C1，連接BC1，則△BA1C1為等邊三角形，∴異面直線AC與A1B所成的角的大小是60°；∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1的側棱AA1⊥底面ABCD，∴∠A1BA為直線A1B和底面ABCD所成的角，大小為45°．故答案為：60°；45°．【點評】本題考查異面直線所成角與線面角的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中檔題．16．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，線段B1D1上有兩個動點E，F，且EF＝1，給出下列三個結論：①三棱錐A﹣BCE與F﹣ABC的體積相等；②三棱錐A﹣BEF的體積為定值；③三棱錐B﹣AEF的高為63（三棱錐B﹣AEF的高長即點B到平面AEF所有正確結論的序號有①②．【分析】①將三棱錐A﹣BCE的體積轉化為三棱錐E﹣ABC的體積，此時三棱錐E﹣ABC與F﹣ABC同底等高，體積相等；②以△BEF為底、A到平面BEF的距離為高，兩者均為定值，從而三棱錐A﹣BEF的體積為定值；③等體積法求解三棱錐B﹣AEF的高，由此能求出三棱錐B﹣AEF的高．【解答】解：∵B1D1∥∥平面ABCD，線段B1D1上有兩個動點E，F，∴點E和點F到平面ABCD的距離相等，均為2，∴三棱錐A﹣BCE與F﹣ABC的體積相等，故①正確；∵EF＝1，∴S△BEF而點A到平面BEF即到平面BDD1B1的距離為定值，∴三棱錐A﹣BEF的體積為定值，故②正確；設三棱錐B﹣AEF的高為h，連接A1C1，與B1D1交于點G，則G為A1C1中點，且A1C1⊥B1D1，∵AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，∵AA1∩C1A1＝A1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∵AG?平面AA1C1，∴B1D1⊥AG，且∠GA1A＝90°，由勾股定理得AG=A1A2+A∵點A到平面BDD1B1的距離為A1∴VA?BEF∴三棱錐B﹣AEF的高為h=233故答案為：①②．【點評】本題考查等體積法、點到平面的距離、線面垂直的判定與性質等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．三、解答題共5小題，共70分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17．（14分）如圖，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AB＝6，AC＝23，BC＝26，點D在邊BC上，且∠ADC＝60°．（1）求cosB與△ABC的面積；（2）求線段AD的長．【分析】（1）利用余弦定理cosB=a2+（2）在△ABD中利用正弦定理ADsin∠ABD【解答】解：（1）根據題意得：cosB=a2+c∴△ABC的面積S△ABC=1（2）∵∠ADC＝60°，∴∠ADB＝120°，在△ABD中由正弦定理ADsin∠ABD=AB【點評】本題考查三角形的正余弦定理和三角形面積公式的運用，考查運算能力，屬于基礎題．18．（14分）如圖，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C與AC1交于點O，D為BC邊上一點，D為B1C1中點，且A1B∥平面ADC1．求證：（1）A1B∥OD；（2）平面A1BD1∥平面ADC1．【分析】（1）連接A1C，交AC1于點O，連接OD，則根據線面平行的性質定理能證明A1B∥OD；（2）由（1）得出點D為棱BC的中點，從而得出BD1∥DC1，根據線面平行的判定定理即可得出BD1∥平面ADC1，然后根據面面平行的判定定理能證明平面A1BD1∥平面ADC1．【解答】證明：（1）如圖，連接A1C，交AC1于O，連接OD，則平面A1BC∩平面ADC1＝OD，且A1B?平面A1BC，A1B∥平面ADC1，∴A1B∥OD．（2）由（1）知O為A1C的中點，∴D為BC的中點，且D1為B1C1的中點，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴BD1∥DC1，且BD1?平面ADC1，DC1?平面ADC1，∴BD1∥平面ADC1，且A1B∥面ADC1，BD1∩A1B＝B，BD1?平面A1BD1，A1B?平面A1BD1，∴平面A1BD1∥平面ADC1．【點評】本題考查了線面平行的判定定理和性質定理，面面平行的判定定理，三角形中位線的性質，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題．19．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分別是CD和PC的中點，求證：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．【分析】（Ⅰ）根據條件，利用平面和平面垂直的性質定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）根據已知條件判斷ABED為平行四邊形，故有BE∥AD，再利用直線和平面平行的判定定理證得BE∥平面PAD．（Ⅲ）先證明ABED為矩形，可得BE⊥CD①．現證CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位線的性質可得EF∥PD，從而證得CD⊥EF②．結合①②利用直線和平面垂直的判定定理證得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理證得平面BEF⊥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性質定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分別是CD和PC的中點，故四邊形ABED為平行四邊形，故有BE∥AD．又AD?平面PAD，BE不在平面PAD內，故有BE∥平面PAD．（Ⅲ）平行四邊形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED為矩形，故有BE⊥CD①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分別為CD和PC的中點，可得EF∥PD，∴CD⊥EF②．而EF和BE是平面BEF內的兩條相交直線，故有CD⊥平面BEF．由于CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．【點評】本題主要考查直線和平面垂直的判定定理，直線和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性質定理的應用，屬于中檔題．20．（14分）在△ABC中，3asinC=ccosA，c=2（Ⅰ）求A；（Ⅱ）再從條件（1）、條件（2）、條件（3）這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求BC邊上高線的長．條件（1）：sinC=2條件（2）：b=1+3條件（3）：a=2【分析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理可得3sinAsinC＝sinCcosA，結合sinC≠0，進而可求tanA=33，結合范圍A∈（0，π），可求（Ⅱ）若選條件（1）：由題意利用正弦定理可得sinC=1若選條件（2）：由題意利用余弦定理可得a的值，進而根據等面積法即可求解．若選條件（3）：由題意利用正弦定理可得sinC=22，可得C=π【解答】解：（Ⅰ）因為3asinC=ccosA所以由正弦定理可得3sinAsinC＝sinCcosA，又sinC≠0，所以3sinA＝cosA，即tanA=3因為A∈（0，π），所以A=π（Ⅱ）若選條件（1）：sinC=2a，由正弦定理知2sinC=asin故滿足所選條件的三角形不存在，不滿足題意；若選條件（2）：b＝1+3，由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（l+3）2+22﹣2（1+3）×2×3所以滿足條件的三角形唯一，由等積法可知S△ABC=12bcinA=即2×（1+3）×12=2若選條件（3）：a=2，由正弦定理，asinA=所以sinC=22，可得C=π【點評】本題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．21．（13分）設k是正整數，集合A至少有兩個元素，且A?N*．如果對于A中的任意兩個不同的元素x，y，都有|x﹣y|≠k，則稱A具有性質P（k）．（1）試判斷集合B＝{1，2，3，4}和C＝{1，4，7，10}是否具有性質P（2）？并說明理由；（2）若集合A＝{a1，a2，?，a12}?{1，2，?，20}，求證：A不可能具有性質P（3）；（3）若集合A?{1，2，?，2023}，且同時具有性質P（4）和P（7），求集合A中元素個數的最大值．【分析】（1）根據定義判斷B，C是否具有性質P（2）即可；（2）將{1，2，?，20}分為11個子集，結合抽屜原理證明結論；（3）先證明連續(xù)11個自然數中至多有5個元素屬于A，由此可得集合A中元素個數不超過920個，再舉例說明存在含有920個元素的滿足要求的集合A．【解答】解：（1）因為B＝{1，2，3，4}，又1∈N*，2∈N*，3∈N*，4∈N*，但|4﹣2|＝2，所以集合B不具有性質P（2），因為C＝{1，4，7，10}，又1∈N*，4∈N*，7∈N*，10∈N*，但|4﹣1|＝3，|7﹣1|＝6，|10