9.3分式方程第9章分式第1課時(shí)分式方程及其解法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解分式方程的概念；2.掌握去分母的方法解分式方程的；（重點(diǎn)）3.理解分式方程產(chǎn)生增根的原因，掌握分式方程驗(yàn)根的方法.（難點(diǎn)）

一艘輪船在靜水中的最大航速為

30千米/時(shí)，它沿江以最大航速順流航行

90

千米所用時(shí)間，與以最大航速逆流航行

60

千米所用時(shí)間相等.

設(shè)江水的流速為

x千米/時(shí)，根據(jù)題意可列方程

這個(gè)方程是我們以前學(xué)過(guò)的方程嗎？它與一元一次方程有什么區(qū)別？

.定義：像這樣，分母中含未知數(shù)的方程叫作分式方程.分式方程的概念知識(shí)要點(diǎn)1判一判

下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？整式方程分式方程方法總結(jié)：判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是看分母中是否含有未知數(shù)(注意：π

是常數(shù)，不是未知數(shù)).（2）怎樣去分母？（3）在方程兩邊乘以什么樣的式子才能把每一個(gè)分母

都約去？（4）這樣做的依據(jù)是什么？解分式方程最關(guān)鍵的問(wèn)題是什么？（1）如何把它轉(zhuǎn)化為整式方程呢？如何去分母你能試著解這個(gè)分式方程嗎？分式方程的解法2去分母在方程兩邊同時(shí)乘以一個(gè)合適的式子最簡(jiǎn)公分母分式的基本性質(zhì)方程的最簡(jiǎn)公分母是：(30

+

x)(30

-

x)解：方程兩邊同時(shí)乘以

(30+x)(30

-

x)，得檢驗(yàn)：將

x

=6代入原分式方程中，左邊

=

=

右邊，因此

x

=6是原分式方程的解.90(30

-

x)=60(30+x)，解得x=6.x=6是原分式方程的解嗎？解分式方程的基本思路：是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母.

這也是解分式方程的一般方法.歸納下面我們?cè)俳庖粋€(gè)分式方程：解：方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母

(x+5)(x

-

5)，得x+5=10，解得

x=5.x=5是原分式方程的解嗎？檢驗(yàn)：將

x=5代入原方程中，分母

x-

5和

x2-

25的值都為

0，相應(yīng)的分式無(wú)意義.因此

x

=

5雖是整式方程

x

+

5=10

的解，但不是原分式方程

的解.實(shí)際上，這個(gè)分式方程無(wú)解.想一想：

上面兩個(gè)分式方程中，為什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而

去分母后所得整式方程的解卻不是原分式方程的解呢？真相揭秘：分式兩邊同時(shí)乘以不為

0的式子，所得整式方程的解與分式方程的解相同.我們?cè)賮?lái)觀察去分母的過(guò)程：90(30-x)=60(30+x)兩邊同乘以(30+x)(30-x)當(dāng)x=6時(shí)，(30+x)(30-x)≠0真相揭秘：分式兩邊同時(shí)乘以等于

0的式子，所得整式方程的解使分母為

0，這個(gè)整式方程的解就不是原分式方程的解.x+5=10兩邊同乘以(x+5)(x-

5)當(dāng)

x=5時(shí)，(x

+

5)(x-

5)=0解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母為

0，所以分式方程的解必須檢驗(yàn)．分式方程解的檢驗(yàn)——必不可少的步驟檢驗(yàn)方法：

將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母的值不為

0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解.1.在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程；2.解這個(gè)整式方程；3.把整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解，否則該解須舍去；4.寫(xiě)出原方程的根.簡(jiǎn)記為：“一化二解三檢驗(yàn)”“去分母法”解分式方程的步驟要點(diǎn)歸納例1

解方程：解：方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母

x(x-

2)，得解這個(gè)一元一次方程，得x=-3.檢驗(yàn)：把x=-3代入

x(x-

2)，得

x(x-

2)≠0.因此x=-3是原方程的解.典例精析解：方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母(x+3)(x-

3)，得展開(kāi)，得解方程，得所以，原方程的根是x=21.例1解方程：(x-

1)(x

-

3)

-

2(x

+

3)(x

-

3)=-x(x

+

3).x2

-4x+3

-

2x2+18=-x2

-3x.x=21.檢驗(yàn)：當(dāng)

x=21

時(shí)，(x

+

3)(x

-

3)≠0.典例精析解：兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母(x

+2)(x

-

2)，得

x

+

2

=4.解得x

=2.檢驗(yàn)：把

x

=2代入(x

+2)(x

-

2)，得(x

+2)(x

-

2)=

0.因此

x

=2不是原分式方程的解，原方程無(wú)解.提醒：解分式方程時(shí)，通常要在方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母，驗(yàn)根時(shí)，只要把求得的根代入最簡(jiǎn)公分母，看它的值是否為零，使它不為零的根才是原方程的根，使它為零的根即為增根，應(yīng)舍去.用框圖的方式總結(jié)為：分式方程整式方程去分母解整式方程x=a檢驗(yàn)x=a是分式方程的解

該分式方程無(wú)解

當(dāng)

x=a

時(shí)最簡(jiǎn)公分母是否為零？否是例2關(guān)于

x的方程

的解是正數(shù)，則

a的取值范圍是_______________．解析：去分母得

2x＋a＝x-

1，解得

x＝-a

-

1.因?yàn)殛P(guān)于

x的方程

的解是正數(shù)，所以

x＞0

且

x≠1.所以

-a-1＞0且

-a-1≠1，解得

a＜-1且

a≠-2.a＜-1

且

a≠-2例3若關(guān)于

x的分式方程

無(wú)解，求

m的值．分析：先把分式方程化為整式方程，再分兩種情況討論求解：整式方程無(wú)解與分式方程有增根．

方法總結(jié)：先求出方程的解

(用未知字母表示)，然后根據(jù)其解的相關(guān)條件，列出關(guān)于未知字母的不等式求解，特別注意要使分母不為

0.解：方程兩邊都乘以

(x＋2)(x－2)

得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即

(m－1)x＝-10.①當(dāng)

m－1＝0

時(shí)，此方程無(wú)解，此時(shí)

m＝1；②方程有增根，則

x＝2

或

x＝－2，當(dāng)

x＝2

時(shí)，代入

(m－1)x＝－10，得

(m－1)×2＝－10，m＝－4；當(dāng)

x＝－2時(shí)，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×(－2)＝－10，解得

m＝6.

所以

m

的值是

1或－4或

6.

分式方程無(wú)解與分式方程有增根所表達(dá)的意義是不一樣的．分式方程有增根僅僅針對(duì)使最簡(jiǎn)公分母為

0的數(shù)；分式方程無(wú)解不但包括使最簡(jiǎn)公分母為

0

的數(shù)（增根），而且還包括分式方程化為整式方程后，使整式方程無(wú)解的數(shù)．方法歸納1.解方程.

解：(1)去分母，得5(x－2)=3x解得x=5經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是原方程的根.(2)去分母，得x－4－1=3－x解得x=4經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是原方程的增根，因而原方程無(wú)解.2.

防汛期間，縣指揮部組織人力到

30

km

遠(yuǎn)的堤上搶修堤壩，2

人騎摩托車(chē)先走，15min

后，大部隊(duì)乘汽車(chē)裝載著所需材料出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知汽車(chē)速度是摩托車(chē)速度的

1.5

倍，求這兩種車(chē)的速度.解：設(shè)摩托車(chē)的速度為x

km/h，則汽車(chē)的速度為

1.5x

km/h.

解得

x=40汽車(chē)速度：1.5×40=60

km/h.答：摩托車(chē)速度為

40km/h，汽車(chē)速度為

60

km/h.分式方程誤區(qū)(1)去分母時(shí)，原方程的整式部分漏乘；步驟(去分母法)一化(分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程)；二解

(整式方程)；三檢驗(yàn)

(把解代入到最簡(jiǎn)公分母，看是否為零)(2)

去分母后，分子是多項(xiàng)式時(shí)，沒(méi)有添括號(hào)(因分?jǐn)?shù)線(xiàn)有括號(hào)的作用)；(3)忘記檢驗(yàn).定義分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程D2.要把方程

化為整式方程，方程兩邊可以同時(shí)乘以（

）A.3y-

6B.3yC.3(3y

-

6)D.3y(y

-

2)1.下列關(guān)于

x的方程中，是分式方程的是(

)A.B.C.D.D3.解方程：解：

方程兩邊同乘以

(x

-

1)(x

+

2)，得x(x

+

2)

-

(x

-

1)(x

+

2)=3.解得：x=1.檢驗(yàn)：當(dāng)

x=1

時(shí)，(x

-

1)(x

+

2)=0，因此

x=1不是原分式方程的解.所以原分式方程無(wú)解.4.解方程：解：方程兩邊同乘以

，得解得檢驗(yàn)：把代入最簡(jiǎn)公分母，得所以原方程的解為5.若關(guān)