第4講第1課時不等式選講

不等式證實1/332/331.慣用證實不等式方法(1)比較法：比較法包含作差比較法和作商比較法.

(2)綜正當：利用一些已經證實過不等式(比如算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理)和不等式性質，推導出所要證實不等式.

(3)分析法：證實不等式時，有時能夠從求證不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立充分條件，把證實不等式轉化為判定這些充分條件是否具備問題，假如能夠必定這些充分條件都已具備，那么就能夠斷定原不等式成立.3/33

(4)反證法：能夠從正難則反角度考慮，即要證實不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質，推出矛盾，從而必定A>B.凡包括證實不等式為否定命題、唯一性命題或含有“至多”“最少”“不存在”“不可能”等詞語時，都能夠考慮用反證法.(5)放縮法：要證實不等式A<B成立，借助一個或多個中間變量經過適當放大或縮小到達證實不等式方法.4/332.絕對值不等式(1)含絕對值不等式解法：設a>0，|f(x)|<a?－a<f(x)<a；|f(x)|>a?f(x)<－a或f(x)>a.(2)了解絕對值幾何意義：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.5/33A6/332.已知x，y∈R，滿足x2＋2xy＋4y2＝6，則

z＝x2＋4y2最小值為_______.47/33最大值為________.8/33考點1比較法證實不等式例1：已知a≥b>0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.證實：∵2a3－b3－(2ab2－a2b)＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)，又∵a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0,2a＋b>0.∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∴2a3－b3－(2ab2－a2b)≥0.∴2a3－b3≥2ab2－a2b.9/33【規(guī)律方法】比較法證不等式步驟可歸納為：①作差并化簡，其化簡目標應是n個因式之積或完全平方式或常數(shù)形式；②判斷差值與零大小關系，必要時需進行討論；③得出結論.10/33例2：已知正數(shù)a，b，求證：aabb≥abba.思緒點撥：依據(jù)同底數(shù)冪運算法則，可考慮作商比較法.11/33

【規(guī)律方法】(1)因為所證不等式對于a，b含有輪換對稱性，故不妨設a≥b>0，這么處理既不影響結果，又可防止后面討論，尤其是有三個或三個以上字母，分類討論不太可能，這種方法顯得愈加便利.(2)比較法關鍵是第二步變形，普通說來，變形越徹底，對下一步判斷就越有利.12/33考點2綜正當證實不等式例3：(2017年新課標Ⅱ)已知

a>0，b>0，a3＋b3＝2.證實：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.證實：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.當且僅當a＝b＝1時，等號成立.13/33(2)因為(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3(a＋b)2

4(a＋b)＝2＋3(a＋b)3

4.

所以(a＋b)3≤8，所以a＋b≤2.

當且僅當a＝b＝1時，等號成立.

【規(guī)律方法】綜正當：利用一些已經證實過不等式和不等式性質時要注意它們各自成立條件.綜正當證實不等式邏輯關系是：A?B1?B2?…?Bn?B，及從已知條件A出發(fā)，逐步推演不等式成立必要條件，推導出所要證實結論B.14/33【互動探究】1.(年江蘇)已知

a，b，c，d為實數(shù)，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，證實：ac＋bd≤8.

證實：由柯西不等式可得：15/332.(年廣東調研)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|.16/3317/33考點3分析法證實不等式例4：(2017年廣東廣州二模)(1)已知

a＋b＋c＝1，

(2)若對任意實數(shù)x，不等式|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立，求實數(shù)a取值范圍.

(1)證實：因為

a＋b＋c＝1， 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2

＝a2＋b2＋c2＋2(a＋b＋c)＋3＝a2＋b2＋c2＋5.18/3319/33于“[f(x)min]≥2”.(2)解：設f(x)＝|x－a|＋|2x－1|，則“對任意實數(shù)x，不等式|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立”等價20/3321/3322/33

【規(guī)律方法】分析法證實不等式，就是“執(zhí)果索因”，從所證不等式出發(fā)，不停用充分條件代替前面不等式，直至使不等式成立條件已具備，就斷定原不等式成立.當證題不知從何入手時，有時能夠利用分析法而取得處理，尤其對于條件簡單而結論復雜題目往往是行之有效方法.

用分析法論證“若A，則B”這個命題模式是：欲證命題B為真，只需證實命題B1為真，從而又只需證實命題B2

為真，從而又……只需證實命題A為真，今已知A真，故B必真.簡寫為：B?B1?B2?…?Bn?A.23/33【互動探究】證實：要證不等式，即為24/3325/33即證1＋cosαcosβ－sinαsinβ>2cosαcosβ，只需證1>cos(α－β)，∵α≠β，∴結論顯然成立.故原不等式成立.26/33考點4反證法證實不等式27/3328/3329/33

易錯、易混、易漏⊙放縮法證實不等式中正確把握放縮度

30/3331/3332/33

【失誤與防范】(1)在利用