試題PAGE1試題第頁，共頁六校聯(lián)盟2024年4月期中聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量和的夾角為，，，則等于（）A.15 B.12 C.6 D.33.在中，，，，則角B的值為（）A. B. C. D.4.平面上三個力，，作用于一點且處于平衡狀態(tài)，，與夾角為45°，則的大小為（）A. B.5N C. D.5.靈運塔，位于九江市都昌縣東湖南山濱水區(qū)，踞南山之巔，南望鄱湖，當(dāng)代新建仿古塔．某校開展數(shù)學(xué)建?；顒樱薪Ｕn題組的學(xué)生選擇測量靈運塔的高度，為此，他們設(shè)計了測量方案．如圖，靈運塔垂直于水平面，他們選擇了與靈運塔底部D在同一水平面上的A，B兩點，測得米，在A，B兩點觀察塔頂C點，仰角分別為和，，則靈運塔的高度CD是（）A.45米 B.50米 C.55米 D.60米6.如圖，在正三棱柱中，M為棱的中點，N為棱上靠近點C的一個三等分點，若記正三棱柱的體積為V，則四棱錐的體積為（）A B.C. D.7.古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《測地術(shù)》中最早記錄了“海倫公式”：，其中，，，分別為的三個內(nèi)角，，所對的邊，該公式具有輪換對稱的特點.已知在中，，且的面積為，則邊上的中線長度為（）A B.4 C. D.8.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則的最小值為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.，B.若（a，），則C.若，，則最小值為1D.若是關(guān)于x的方程（p，）的根，則10.已知向量，，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.的最大值為6C.若，則 D.若，則11.化學(xué)中經(jīng)常碰到正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如六氟化硫（化學(xué)式）、金剛石等的分子結(jié)構(gòu)．將正方體六個面的中心連線可得到一個正八面體（如圖1），已知正八面體（如圖2）的棱長為2，則下列說法正確的是（）A.正八面體內(nèi)切球的表面積為B.正八面體外接球的體積為C.若點為棱上的動點，則的最小值為D.若點為棱上的動點，為正八面體的內(nèi)切球的直徑，則的取值范圍為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為_______．13.已知向量在向量上的投影向量，且，則_____________.14.已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對邊，且BC邊上的高為a，則的取值范圍為______．四、解答題：本大題共5小題，共77分.需寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖所示，為四邊形OABC的斜二測直觀圖，其中，，．（1）畫出四邊形的平面圖并標(biāo)出邊長，并求平面四邊形的面積；（2）若該四邊形以O(shè)A為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積．16.如圖，在四邊形ABCD中，，，，，.（1）求及AD的長度；（2）求BC的長度.17.已知在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中.（1）求A；（2）已知直線為的平分線，且與BC交于點M，若求的周長.18.如圖，在直角梯形中，//，，，為上靠近點的一個三等分點，為線段上的一個動點．（1）用和表示；（2）設(shè)，求的取值范圍．19.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，.（1）求角與；（2）若點為的所在平面內(nèi)一點，且滿足，求的值；（3）若點為的重心，且，求的面六校聯(lián)盟2024年4月期中聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)，從而得到其共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因為，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第三象限.故選：C2.已知向量和的夾角為，，，則等于（）A.15 B.12 C.6 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運算求解即可.【詳解】∵向量和的夾角為，，，∴.故選：B3.在中，，，，則角B的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)正弦定理即可求解.【詳解】在中，，，，由正定理得：，由于，所以故選：A4.平面上三個力，，作用于一點且處于平衡狀態(tài)，，與的夾角為45°，則的大小為（）A. B.5N C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平衡狀態(tài)得，結(jié)合向量的數(shù)量積求解即可．【詳解】由題意得，，所以，故選：C．5.靈運塔，位于九江市都昌縣東湖南山濱水區(qū)，踞南山之巔，南望鄱湖，當(dāng)代新建仿古塔．某校開展數(shù)學(xué)建模活動，有建模課題組的學(xué)生選擇測量靈運塔的高度，為此，他們設(shè)計了測量方案．如圖，靈運塔垂直于水平面，他們選擇了與靈運塔底部D在同一水平面上的A，B兩點，測得米，在A，B兩點觀察塔頂C點，仰角分別為和，，則靈運塔的高度CD是（）A.45米 B.50米 C.55米 D.60米【答案】B【解析】【分析】設(shè)，進而可得，由余弦定理得：，可求．【詳解】設(shè)米，在中，，則，在中，，則，因為，所以由余弦定理得：，整理得：，解得(米).故選：B6.如圖，在正三棱柱中，M為棱的中點，N為棱上靠近點C的一個三等分點，若記正三棱柱的體積為V，則四棱錐的體積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，取AC的中點D，可得BD⊥平面，分別計算四棱錐的體積與正三棱柱的體積，即可得解.【詳解】正三棱柱中，設(shè)，取AC中點D，連接BD，則BD⊥AC，BD＝，，正三棱柱的體積，平面ABC，BD平面ABC，則BD，又BD⊥AC，，平面，則BD⊥平面，，則四棱錐的體積．故選：B．7.古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《測地術(shù)》中最早記錄了“海倫公式”：，其中，，，分別為的三個內(nèi)角，，所對的邊，該公式具有輪換對稱的特點.已知在中，，且的面積為，則邊上的中線長度為（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得，然后利用三角形的面積公式、向量法求得邊上的中線長度.【詳解】設(shè)是的中點，連接.依題意，在中，，設(shè)，由余弦定理得，所以為鈍角，所以，所以，，兩邊平方得，所以.故選：D8.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求外接圓半徑，將置于圓中，利用圖形線段關(guān)系得到，結(jié)合數(shù)量積的運算律及已知求得，進而求最值．【詳解】由題設(shè)，外接圓的半徑，如下圖，由，則，令，且，又，，所以，則，當(dāng)，即時，有最小值.故選：D二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.，B.若（a，），則C.若，，則最小值為1D.若是關(guān)于x的方程（p，）的根，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算及復(fù)數(shù)的模的計算，即可判斷A；舉反例即可判斷B；設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式結(jié)合的范圍可判斷C；將代入方程，結(jié)合復(fù)數(shù)的相等，列出方程組求解，即可判斷D．【詳解】對于A，，設(shè)復(fù)數(shù)，則，所以，故A正確；對于B，若，則，故B錯誤；對于C，，，由得，，所以，，所以，由得，，故當(dāng)時，的最小值為1，故C正確；對于D，因為是關(guān)于x的方程（p，）的根，所以，即，所以，解得，故D正確；故選：ACD．10.已知向量，，則下列說法正確是（）A.若，則 B.的最大值為6C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】由平面向量平行的坐標(biāo)表示建立方程即可判定A；由模的坐標(biāo)表示和三角函數(shù)的有界性可判斷B；由平面向量垂直的坐標(biāo)表示結(jié)合平方關(guān)系計算即可判斷C；由平面向量數(shù)量積的運算計算可判斷D．【詳解】對于A，因為，所以，即，故A正確；對于B，，（其中，所以，故B正確；對于C，因為，所以，又因為，所以，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，，所以，故D正確．故選：ABD．11.化學(xué)中經(jīng)常碰到正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如六氟化硫（化學(xué)式）、金剛石等的分子結(jié)構(gòu)．將正方體六個面的中心連線可得到一個正八面體（如圖1），已知正八面體（如圖2）的棱長為2，則下列說法正確的是（）A.正八面體內(nèi)切球的表面積為B.正八面體外接球的體積為C.若點為棱上的動點，則的最小值為D.若點為棱上的動點，為正八面體的內(nèi)切球的直徑，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】利用等體積法求得正八面體內(nèi)切球半徑，即可判斷A；利用正八面體的對稱性得出正方體的中心即為外接球球心，即可判斷B；通過將兩個側(cè)面翻折共面后即可得出當(dāng)共線時，取得最小值；由向量數(shù)量積的運算律得出，根據(jù)的范圍即可得出的取值范圍．【詳解】對于A，設(shè)該正八面體內(nèi)切球的半徑為，由內(nèi)切球的性質(zhì)可知正八面體的體積，解得，故它的內(nèi)切球表面積為，故A項正確；對于B項，設(shè)該正八面體外接球的半徑為，由題可知，四邊形是正方形，，在中，，利用對稱性知，故點為正八面體外接球的球心，則，所以正八面體外接球的體積為，故B錯誤；對于C，如圖，因與是邊長為2的全等的正三角形，可將翻折到，使其與共面，從而得到一個菱形，連接與相交于點，此時，則取得最小值為，故C正確；對于D，由A可知正八面體的內(nèi)切球半徑為，，由上述可知，，當(dāng)為棱的端點時，取得最大值，即，當(dāng)為棱的中點時，取得最小值，即，所以得取值范圍為，故選：ACD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為_______．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的概念可得出關(guān)于實數(shù)的等式與不等式，解之即可.【詳解】因為為純虛數(shù)，則，解得.故答案為：.13.已知向量在向量上的投影向量，且，則_____________.【答案】【解析】【分析】由題意設(shè)，結(jié)合，求出，再根據(jù)投影向量的定義，列式計算，即可求得答案.【詳解】由題意知向量在向量上的投影向量為，設(shè)，由，得，故，即，故，故答案為：14.已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對邊，且BC邊上的高為a，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求得，和的關(guān)系式，繼而根據(jù)三角形面積公式求得，進而表示出，然后利用基本不等式求得的最小值，根據(jù)的表達式求得其最大值．【詳解】由余弦定理得，，由面積公式，，，，，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的取值范圍為．故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分.需寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖所示，為四邊形OABC的斜二測直觀圖，其中，，．（1）畫出四邊形的平面圖并標(biāo)出邊長，并求平面四邊形的面積；（2）若該四邊形以O(shè)A為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積．【答案】（1）作圖見解析，4；（2），．【解析】【分析】（1）根據(jù)斜二測畫法還原直觀圖，求出的邊長，即可求出四邊形的面積.（2）由（1）可知旋轉(zhuǎn)而成的幾何體可以看成圓柱加上一個同底的圓錐，求出相關(guān)量，再利用錐體、柱體的體積與表面積公式求解.【小問1詳解】在直觀圖中，，，則在平面圖形中，，，于是，所以平面四邊形的平面圖形如下圖所示：

由上圖可知，平面四邊形為直角梯形，所以面積為．【小問2詳解】直角梯形以O(shè)A為軸，旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體可以看成圓柱加上一個同底的圓錐，由（1）可知幾何體底面圓半徑為，圓柱母線長和高都為1，即；圓錐的高為，母線長為，所以體積；所以表面積.16.如圖，在四邊形ABCD中，，，，，.（1）求及AD的長度；（2）求BC的長度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運用平方關(guān)系求出，，由于，借助和角公式求出即可．再用正弦定理求出即可；（2）在中，由正弦定理求出，再用余弦定理求出即可.【小問1詳解】因為，，，，所以，，由于，又，∴，∴，則，∴，所以.在中，由正弦定理得，所以，所以.【小問2詳解】在中，由正弦定理得，可得，解得.由于，，在中，由余弦定理可得.17.已知在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中.（1）求A；（2）已知直線為的平分線，且與BC交于點M，若求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換，結(jié)合三角函數(shù)的和差公式即可得解；（2）利用三角形面積公式與余弦定理得到關(guān)于的方程組，結(jié)合整體法即可得解.【小問1詳解】根據(jù)題意可得，由正弦定理得，又，故，又，所以，則，因為，所以.【小問2詳解