第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年江蘇省南京市五校聯(lián)盟高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知平面α的法向量為a=(1,2,?2)，平面β的法向量為b=(?2,?4,k)，若α⊥β，則k=(

)A.?4 B.?5 C.4 D.52.已知(2+x)5=a0+A.?1 B.1 C.32 D.2433.已知函數(shù)fx=e?2x+3，則A.?1e B.e C.?24.某晚會(huì)有三個(gè)唱歌節(jié)目，兩個(gè)舞蹈節(jié)目，要求舞蹈節(jié)目不能相鄰，有(????)種排法？A.12 B.24 C.36 D.725.2424+2被5A.1 B.2 C.3 D.46.已知點(diǎn)A?1,?1,?1，直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn)且平行于向量a=(0,1,2)，則點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離為(

)A.305 B.355 C.7.若函數(shù)fx=12x2A.0,14 B.0,14 C.8.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥AB,AC=AB=CC1=1，E是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，在ΔA1BCA.2333 B.332 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E、FA.B1D1?AC=0 B.AD1=210.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊這5名同學(xué)參加志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，且每人只安排一個(gè)工作，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為C52A44

B.不同安排方案的種數(shù)為54

C.若司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為C11.已知直線(xiàn)y=kx與曲線(xiàn)y=lnx相交于不同兩點(diǎn)M(x1,y1)，N(x2,yA.0<k<1e B.y1+y2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.方程C142x=C1413.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，書(shū)中將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑．如下圖，四面體P?ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=1，則直線(xiàn)PB與平面PAC所成角的大小為

．

14.已知1+x?2x210=a0+四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)已知10道試題中有4道選擇題，甲、乙兩人依次不放回地抽取1道，求：(1)甲抽到選擇題的概率；(2)在甲抽到選擇題的情況下，乙抽到選擇題的概率．16.(本小題15分)如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1=(1)證明：AB1⊥(2)求點(diǎn)A到平面BCD的距離．17.(本小題15分)已知在2x?1xnn∈N?(1)求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，并指出是第幾項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式中的所有有理項(xiàng)．18.(本小題17分)如圖，已知四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，平面AA1D1D⊥(1)若BQ=3QC，證明：PQ//平面ABB(2)若二面角P?QD?C的正弦值為5?2626，求19.(本小題17分)已知函數(shù)fx=x(1)若曲線(xiàn)fx在x=1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2x+3y+1=0垂直，求a(2)討論fx(3)當(dāng)x∈1e,e時(shí)，fx≥參考答案1.B

2.B

3.C

4.D

5.C

6.A

7.B

8.D

9.ABD

10.AD

11.ABD

12.6

13.π614.?60

15.解：設(shè)事件A為“甲抽到選擇題”，事件B為“乙抽到選擇題”．

(1)10道試題中有4道選擇題，

甲、乙兩人依次不放回地抽取1道，

甲抽到選擇題的概率為：P(A)=410=25．

(2)P(AB)=416.解：(1)證明：由直三棱柱的性質(zhì)可知AA1⊥平面ABC，

因?yàn)锳B,AC?平面ABC，

所以AA1⊥AB，AB=AA1，所以四邊形AA因?yàn)锳A1⊥AC，AB⊥AC，AA1所以AC⊥平面AA1B1B所以AC⊥AB因?yàn)锳1所以AB又因?yàn)锳1B∩A所以AB1⊥(2)以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、設(shè)AC=2

，則A0,0,0，B3,0,0，所以AC=(0,2,0)，BC=(?設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量為n=則n?BC取x=3，則y=3所以n=(設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為d，則d=AC所以點(diǎn)A到平面BCD的距離為617.解：(1)依題意可得第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cn1，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cn2，

所以Cn1Cn2=25，即nn(n?1)2×1=25，則n2?6n=0，

∴n=6或n=0(舍去)，

∴n=6；

所以(2x?1x)6展開(kāi)式的通項(xiàng)為：Tr+1=C6r(2x)6?r(?x?12)r=(?1)r26?rC6rx6?32r(0≤r≤6,r∈N)，

令6?32r=0，解得r=4，

所以T5=218.(1)證明：取AA1的中點(diǎn)M，連接MP，MB，

在四棱臺(tái)ABCD一A1B1C1D1中，四邊形A1ADD1是梯形，A1D1=2，AD=4，

又點(diǎn)M，P分別是棱A1A，D1D的中點(diǎn)，

所以MP//AD，且MP=A1D1+AD2=3，

在正方形ABCD中，BC//AD，BC=4，

又BQ=3QC，所以BQ=3，

從而MP=?//BQ，

所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以PQ//MB，

又因?yàn)镸B?平面ABB1A1，PQ??平面ABB1A1，

所以PQ/?/平面ABB1A1．

(2)在平面AA1D1D中，作A1O⊥AD于O，

因?yàn)槠矫鍭A1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD=AD，

A1O⊥AD，A1O?平面AA1D1D，所以A1O⊥平面ABCD，

在正方形ABCD中，過(guò)O作AB的平行線(xiàn)交BC于點(diǎn)N，

因?yàn)镺D⊥AB，ON//AB所以O(shè)N⊥OD，

又因?yàn)镺N，OD?平面ABCD，A1O⊥平面ABCD，所以O(shè)A1，ON，OD兩兩垂直．

以O(shè)N為x軸，OD為y軸，OA1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)樗倪呅蜛A1D1D是等腰梯形，A1D1=2，AD=4，

所以AO=1，又A1A=D1D=17，由勾股定理可得A1O=4，

故各點(diǎn)坐標(biāo)為B(4,?1,0)，D(0,3,0)，C(4,3,0)19.解：(1)因?yàn)閒x=x所以f′1又fx在x=1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2x+3y+1=0垂直，所以f′即2+a=32，所以(2)f′x=2x+a①當(dāng)a≥0時(shí)，f′x>0，所以fx②當(dāng)a<0時(shí)，令f′x=0，得x2=?a當(dāng)x∈0,?a2時(shí)，f′x<0，f綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，fx在0,+∞當(dāng)a<0時(shí)，fx在0,?(3)由fx≥a+