第四節(jié)無窮小與無窮大一、無窮小二、無窮大三、無窮小與無窮大關(guān)系四、小結(jié)思索題11/20【無窮小產(chǎn)生背景——第二次數(shù)學(xué)危機(jī)】芝諾提出四個著名悖論：第一個悖論是說運(yùn)動不存在，理由是運(yùn)動物體抵達(dá)目標(biāo)地之前必須抵達(dá)半路，而抵達(dá)半路之前又必須抵達(dá)半路半路……如此下去，它必須經(jīng)過無限多個點(diǎn)，這在有限長時間之內(nèi)是無法辦到。第二個悖論是跑得很快阿希里趕不上在他前面烏龜。因?yàn)闉觚斣谒懊鏁r，他必須首先抵達(dá)烏龜起點(diǎn)，然后用第一個悖論邏輯，烏龜總在他前面。這兩個悖論是反對空間、時間無限可分觀點(diǎn)22/20第四個悖論是游行隊(duì)伍悖論，內(nèi)容大致相同第三個悖論是說“飛矢不動”，因?yàn)樵谀骋粫r間間隔，飛矢總是在某個空間間隔中確定位置上，因而是靜止。這兩個悖論是反對空間、時間由不可分間隔組成這說明希臘人已經(jīng)看到“無窮小”與“很小很小”矛盾。當(dāng)然他們無法處理這些矛盾。十八世紀(jì)數(shù)學(xué)思想確實(shí)是不嚴(yán)密、直觀、強(qiáng)調(diào)形式計(jì)算，而不論基礎(chǔ)可靠是否，其中尤其是：沒有清楚無窮小概念，所以導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚；對無窮大概念也不清楚；發(fā)散級數(shù)求和任意性；符號使用不嚴(yán)格性；不考慮連續(xù)性就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分存在性以及可否展成冪級數(shù)等等。比如以求速度為例，瞬時速度是Δs/Δt當(dāng)Δt趨向于零時值。Δt是零、是很小量，還是什么東西？這個無窮小量終究是不是零？這引發(fā)了極大爭論，從而引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。33/20一直到十九世紀(jì)二十年代，一些數(shù)學(xué)家才開始比較關(guān)注于微積分嚴(yán)格基礎(chǔ)。它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里克萊等人工作開始，最終由威爾斯特拉斯、戴德金和康托爾徹底完成，中間經(jīng)歷了半個多世紀(jì)，基本上處理了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了一個嚴(yán)格基礎(chǔ)。波爾查諾不但認(rèn)可無窮小數(shù)和無窮大數(shù)存在，而且給出了連續(xù)性正確定義?？挛髟?821年《代數(shù)分析教程》中從定義變量開始，認(rèn)識到函數(shù)不一定要有解析表示式。他抓住了極限概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定量而是變量，并定義了導(dǎo)數(shù)和積分；阿貝爾指出要嚴(yán)格限制濫用級數(shù)展開及求和；狄里克萊給出了函數(shù)當(dāng)代定義。在這些數(shù)學(xué)工作基礎(chǔ)上，維爾斯特拉斯消除了其中不確切地方，給出現(xiàn)在通用ε-δ極限、連續(xù)定義，并把導(dǎo)數(shù)、積分等概念都嚴(yán)格地建立在極限基礎(chǔ)上，從而克服了危機(jī)和矛盾。十九世紀(jì)七十年代初，威爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人獨(dú)立地建立了實(shí)數(shù)理論，而且在實(shí)數(shù)理論基礎(chǔ)上，建立起極限論基本定理，從而使數(shù)學(xué)分析終于建立在實(shí)數(shù)理論嚴(yán)格基礎(chǔ)之上了。44/20一、無窮小1.【直觀定義】極限為零變量稱為無窮小55/20【比如】【注意】（1）無窮小是變量,不能與很小數(shù)混同;（2）零是能夠作為無窮小唯一常數(shù).（3）說一個量是無窮小，必須指明其改變過程66/202.無窮小與函數(shù)極限關(guān)系:【證】【定理1】時,有對自變量其它改變過程類似可證.77/20【意義】（1）將普通極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);?！R稱《無窮小分析》【補(bǔ)例】寫成其極限值與一個無窮小之和形式.【解】故f(x)能寫成其極限值與一個無窮小之和.88/20二、無窮大1.【直觀定義】絕對值無限增大變量稱為無窮大x,總有則稱函數(shù)當(dāng)時為無窮大,使對一切滿足不等式①(或正數(shù)X),記作【準(zhǔn)確定義2】設(shè)f(x)在內(nèi)有定義（或|x|大于某一正數(shù)時有定義）,若任給M>0,總存在99/20【特殊情形】正無窮大+∞，負(fù)無窮大－∞．【注意】(1)無窮大是變量,不能與很大數(shù)混同;常數(shù)中不存在無窮大.(3)無窮大是一個特殊無界變量,而無界變量未必是無窮大，但它最少有一個無窮大子列(2)若上述定義中將①式改為則記作1010/20【無窮大】【無界量】【比喻】［無窮大］某過程中，組織紀(jì)律性強(qiáng)，某時刻后，步調(diào)一致地向無窮遠(yuǎn)跑.［無界量］某范圍內(nèi)某過程中，較自由、散漫，有向無窮遠(yuǎn)跑，有掉隊(duì)，有原地踏步不動，行動不一致.無窮大必?zé)o界，但無界未必是無窮大.【二者區(qū)分與聯(lián)絡(luò)】1111/20由此可知不是無窮大．有沒有窮大子列，故無界.【比如】不是無窮大.1212/20【證】【例1】1313/202.【鉛直漸近線】(1)［鉛直漸近線］【比如】是函數(shù)鉛直漸近線。(2)［水平漸近線］(3)［小結(jié)求漸近線］1414/20【例2】【解】1515/20三、無窮小與無窮大關(guān)系【定理2】在同一過程中,無窮大倒數(shù)為無窮小;恒不為零無窮小倒數(shù)為無窮大.【證】【分析】注意到由無窮大定義1616/20關(guān)于無窮大討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小討論.由無窮小定義【意義】1717/20四、小結(jié)1.主要內(nèi)容:兩個定義;兩個定理.鉛直漸近線2.幾點(diǎn)注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言.（1）無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很小