喀什市2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高三4月模擬測(cè)試數(shù)學(xué)時(shí)間：120分鐘滿分：150分第I卷（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.2.已知，R，則（）A. B. C. D.03.在任意四邊形中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，若，則（）A. B.1 C.2 D.34.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.5.已知?jiǎng)t（）A. B. C. D.6.若一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為4，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別為（）A.3，4 B.2，4 C.3， D.2，7已知，，且，則（）A.3 B.2 C. D.8.直線過橢圓的左焦點(diǎn)F和上頂點(diǎn)A，與圓心在原點(diǎn)的圓交于P，Q兩點(diǎn)，若則C的離心率為（）A B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上，則（）A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為 B.F的坐標(biāo)為C.若，則 D.10已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.11.已知數(shù)列滿足：，，則（）A.若，則 B.若，則C.若，為等比數(shù)列 D.若，第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，的夾角為，則______.13.五種活動(dòng)，甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加，甲選到的概率為_____；已知乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為_____.14.若將半徑為1，6，9的三個(gè)球放入一個(gè)正方體的容器中，則該容器的棱長(zhǎng)的最小值為_______.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知為等比數(shù)列，是，等差中項(xiàng)．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．16.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．17.如圖，P為圓臺(tái)的上底面的圓心，為圓臺(tái)下底面的圓心，為下底面直徑.是下底面圓的內(nèi)接正三角形，（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．18.已知雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn).（1）若離心率時(shí)，求的漸近線方程；（2）若，點(diǎn)在第一象限且為等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)，若，求的取值范圍．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若.①求的最小值；②證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

喀什市2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高三4月模擬測(cè)試數(shù)學(xué)時(shí)間：120分鐘滿分：150分第I卷（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合交集運(yùn)算求解.【詳解】，，.故選：C.2.已知，R，則（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】由，即，，解得.故選：B.3.在任意四邊形中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，若，則（）A. B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量加法法則，將分別用表示，再結(jié)合題意即可得解.【詳解】如圖，，，，.故選：C.4.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率，進(jìn)而可得切線方程.【詳解】由題可得，則，所以切線的斜率，所以在處的切線方程為，即.故選：A.5.已知?jiǎng)t（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，結(jié)合兩角和與差的正弦公式求解.【詳解】由，得，又，得，即，可得，，.故選：B.6.若一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為4，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別為（）A.3，4 B.2，4 C.3， D.2，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)，方差公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得.【詳解】樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，因?yàn)?，所以樣本?shù)據(jù)的方差.故選：D.7.已知，，且，則（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】將條件式兩邊取對(duì)數(shù)，比較可得，求出答案.【詳解】由，可得，又，，解得.故選：A.8.直線過橢圓的左焦點(diǎn)F和上頂點(diǎn)A，與圓心在原點(diǎn)的圓交于P，Q兩點(diǎn)，若則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合，求出直線的斜率，再根據(jù)的坐標(biāo)得出直線的斜率，從而得出的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，則，所以直線的方程為，即，所以直線的斜率為，過作的垂線，則為的中點(diǎn)，，，則，又，所以是的中點(diǎn)，所以直線的斜率，，則，.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上，則（）A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為 B.F的坐標(biāo)為C.若，則 D.【答案】BC【解析】【分析】對(duì)A，B，根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，判斷；對(duì)C，D，根據(jù)拋物線的定義求解判斷.【詳解】對(duì)于A，B，由拋物線方程，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，將代入，得，則，故C正確；對(duì)于D，由拋物線定義得，當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)的解析式，進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，且，，故D正確.故選：BCD11.已知數(shù)列滿足：，，則（）A.若，則 B.若，則C.若，為等比數(shù)列 D.若，【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，由遞推關(guān)系結(jié)合判斷；對(duì)B，C，D，根據(jù)遞推關(guān)系可得，得是以1為公差的等差數(shù)列，依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，由，，則，，可得，故A正確；對(duì)于B，C，D，由，則，，，是以1為公差的等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；若，，則，即，故B正確；若，則，，，故D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，的夾角為，則______.【答案】1【解析】【分析】利用數(shù)量積的定義直接求解.【詳解】依題意，.故答案為：113.五種活動(dòng)，甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加，甲選到的概率為_____；已知乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為_____.【答案】①.##0.6②.##0.5【解析】【分析】設(shè)事件表示“選到”，事件表示“選到”，然后結(jié)合條件概率公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)事件表示“選到”，事件表示“選到”，則甲從中選3個(gè).甲選到的概率為，乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為:故答案為:.14.若將半徑為1，6，9的三個(gè)球放入一個(gè)正方體的容器中，則該容器的棱長(zhǎng)的最小值為_______.【答案】【解析】【分析】由正方體結(jié)構(gòu)特征和題設(shè)要求分析確認(rèn)球心位置及其球與正方體的位置特征，再作出正方體體對(duì)角面和球的截面圖，列出關(guān)于正方體棱長(zhǎng)的等量關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)椴还簿€三點(diǎn)可唯一確定一個(gè)平面，而過三個(gè)球球心截三個(gè)球所得球的截面面積最大，所以由正方體結(jié)構(gòu)特征可知要使該容器的棱長(zhǎng)達(dá)到最小，則兩大球相切，且三個(gè)球球心均在正方體體對(duì)角面內(nèi)，兩個(gè)大球均分別與與自己同側(cè)的正方體角落所在的三個(gè)面相切，如圖為截正方體體對(duì)角面和兩個(gè)大球所得截面，則，假設(shè)最小球球心在上，且小球與該側(cè)正方體的三個(gè)面均相切，則，所以求該容器的棱長(zhǎng)的最小值只需考慮兩個(gè)大球即可，延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)B，設(shè)該正方體容器棱長(zhǎng)為a，則，所以，化簡(jiǎn)解得.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知為等比數(shù)列，是，的等差中項(xiàng)．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的公比為，利用等差中項(xiàng)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式建立關(guān)系求出，得解；（2）利用錯(cuò)位相減法求解.【小問1詳解】設(shè)的公比為，因?yàn)闉?，的等差中?xiàng)，所以，即，則，解得，所以.【小問2詳解】設(shè)的前項(xiàng)和為，又，，①，②①②得，所以.16.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理，邊化角結(jié)合二倍角公式求出，得解；（2）根據(jù)三角形面積公式，正弦定理可得，結(jié)合，進(jìn)而求出面積的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)椋瑒t，又，所以，則，又，所以，因?yàn)?，解得．【小?詳解】因?yàn)槭卿J角三角形，又，所以，所以，因?yàn)?，所以，則，從而，故面積的取值范圍是.17.如圖，P為圓臺(tái)的上底面的圓心，為圓臺(tái)下底面的圓心，為下底面直徑.是下底面圓的內(nèi)接正三角形，（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理證明，，由線面垂直的判定定理得證；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面，平面的一個(gè)法向量，利用向量法求出二面角.【小問1詳解】由題設(shè)，在圓O中，直徑，又是下底面圓的內(nèi)接正三角形，故可得，所以，因?yàn)?，可得，故同理，可得，又，平面，所以平?【小問2詳解】過O作交于點(diǎn)N，因?yàn)槠矫?，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，所以，故，設(shè)二面角的大小為，由圖可知二面角為銳二面角，所以.18.已知雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn).（1）若離心率時(shí)，求的漸近線方程；（2）若，點(diǎn)在第一象限且為等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)，若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求出，進(jìn)而求出漸近線方程；（2）由為等腰三角形對(duì)底邊進(jìn)行分類討論，求出點(diǎn)的軌跡并與雙曲線聯(lián)立即可解得的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)雙曲線對(duì)稱性可得，對(duì)直線斜率分類討論并與雙曲線聯(lián)立，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，即求出結(jié)果.【小問1詳解】由題意得，則，，所以漸近線方程為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，雙曲線，其中，，因?yàn)闉榈妊切?，?dāng)以為底時(shí)，顯然點(diǎn)在直線上，這與點(diǎn)在第一象限矛盾，故舍去；當(dāng)以為底時(shí)，若點(diǎn)P在第一象限時(shí)，，所以這樣的點(diǎn)不存在；當(dāng)以為底時(shí)，，設(shè)，其中，則有，解得，即；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問3詳解】由題知，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，不合題意，則直線的斜率，則設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)延長(zhǎng)線交雙曲線于點(diǎn)，根據(jù)雙曲線對(duì)稱性知，聯(lián)立有，得，顯然，其中，則①，②，，則，又，，則，即，將①②代入有，即，化簡(jiǎn)得，所以，代入到，得，所以，且，解得，又因?yàn)椋瑒t，所以.19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若.①求的最小值；②證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）①1；②證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，求出單調(diào)區(qū)間；（2）①求出的解析式，求導(dǎo)判斷；②根據(jù)（1）可得當(dāng)時(shí)，的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.【小問1詳解】定義域?yàn)?，而，?dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，所以，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為.【小問2詳解】①，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以.②由（1）和①可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮解的個(gè)數(shù)，的解的個(gè)數(shù)；設(shè)，，由（1）得，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)