第=page11頁，共=sectionpages11頁西南名校聯(lián)盟“3+3+3”2025屆高考備考診斷性聯(lián)考（三）數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A=1,a，B=?1,a2，若A∩B=A.0 B.?1,0 C.0,1 D.?1,0,12.已知x，y為實數(shù)，p:x<y，q:|x|<yA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.若sinα=2cos2α2A.?1 B.0 C.1 D.±4.昆明以其多樣的民族文化和獨(dú)特的地方美食聞名.現(xiàn)有一名游客計劃在三天內(nèi)品嘗完過橋米線、汽鍋雞、燒餌塊、鮮花餅這4種特色美食，每天至少選擇1種(當(dāng)天選擇的種類不分先后順序).若三天后他恰好品嘗完所有4種美食，則這三天他選擇美食的不同選法種數(shù)為(

)A.18 B.24 C.36 D.425.若函數(shù)f(x)=log2m?12(x+1)A.12 B.1 C.32 6.設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，過C上一點A作其準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為B，若cos∠BAF=A.1 B.2 C.3 D.47.若不等式3x+2a?9(x?b)≥0在x∈R上恒成立，且a>0，A.32 B.52 C.728.已知?ABC的周長為6，BC=2，∠ACB的平分線交AB于D，BD=CD，則cosB=A.12 B.23 C.34二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為1，O為正八邊形的中心，則下列說法正確的是(

)A.OA+OB⊥OE?OF B.BC10.如圖，平面四邊形ABCD滿足AB=AC=BC=2DC=2DA=2，BD與AC交于點O，若將?ACD沿AC翻折，得到三棱錐D′?ABC，已知二面角D′?AC?B的平面角為α，直線ADA.在翻折過程中，AC與BD′始終垂直

B.在翻折過程中，sinα=sinβ?sinγ始終成立

C.在翻折過程中，β的最大值為π4

11.若函數(shù)f(x)滿足對任意x1,x2∈(0,+∞)都有fA.函數(shù)f(x)=x2是“E函數(shù)”

B.函數(shù)f(x)=ex+x?1是“E函數(shù)”

C.若函數(shù)f(x)為“E函數(shù)”，f(1)=1，且當(dāng)x∈(0,+∞)時，f(x)>0，則對任意x∈2k,2k+1(k三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)a∈R，復(fù)數(shù)a1+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于直線y=x?1上，則a=13.已知函數(shù)f(x)=sinωx?2π3(0<ω<4)左移π14.在空間直角坐標(biāo)系下，由方程x2a2+y2b2+z2c2=1(a>0,b>0,c>0，且a，b，c不全相等)所確定的曲面稱為橢球面，若用坐標(biāo)平面x=0，y=0，z=0分別截橢球面，所得的截面是圓或者橢圓(如圖所示)，這三個截面的方程分別為：y2b2+z2c2=1x=0,四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分?jǐn)?shù)列an滿足：an+1=2an+n，a1(1)是否存在常數(shù)λ，μ，使得an+μn+λ為等比數(shù)列，若存在，求出λ，(2)求Sn．16.(本小題15分已知某種業(yè)公司培育了新品種的橙子，現(xiàn)從某批次收獲的果實中隨機(jī)抽取了100個橙子(直徑位于70mm至100mm之間)作為樣本，統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)根據(jù)長期檢測結(jié)果發(fā)現(xiàn)橙子直徑服從正態(tài)分布，并將直徑≥90mm的橙子定為特級品.此批次樣本橙子直徑的標(biāo)準(zhǔn)差s≈5mm，用標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值，用樣本平均數(shù)x作為μ的近似值.現(xiàn)從該批次中任取一個，試估計該橙子為特級品的概率(保留小數(shù)點后兩位數(shù)字)(2)在樣本中，從直徑在區(qū)間[85,90),[90,95)，[95,100)上的橙子中利用按比例分配樣本的分層抽樣隨機(jī)抽取7個橙子進(jìn)行檢測，再從中抽取3個橙子作進(jìn)一步檢測.記這3個橙子中直徑在區(qū)間[90,95)上的個數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．附參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則P(μ?σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827，17.(本小題15分)如圖，圓柱的軸截面為ABCD，點P、Q為上底面圓周上的兩點，已知DA=DP=DQ，直線DB過?APQ的重心G(1)證明：PQ⊥(2)求平面APQ與平面CGP的夾角的余弦值．18.(本小題17分已知雙曲線E:x2a2?y(1)求E的方程；(2)經(jīng)過點P的直線l1、l2(斜率都存在)分別與E交于點A、B和C、D，M、N分別為AB(i)若點M(?2,2)，求直線l1(ii)若點P(?2,0)，且AB?CD=0，證明：直線19.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=ex?a?b(1)當(dāng)a=0，b≠0時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)b=0時，存在三條不同的直線li(i=1,2,3)，li既是曲線y=f(x)的切線(切點為Ai)，又是曲線(i)求實數(shù)a的取值范圍；(ii)是否存在i,j∈1,2,3(i≠j)，使得線段AiBi與參考答案1.A

2.B

3.C

4.C

5.A

6.D

7.D

8.C

9.ABC

10.ACD

11.ABD

12.1

13.?π14.415.(1)若存在常數(shù)λ，μ，使得an則an+1+μn+μ+λ=qan+μn+λ即an+1又因為an+1=2an所以存在常數(shù)λ=1，μ=1，使得an且公比為2，首項為a1(2)∵an+n+1是首項為∴an+n+1=3∴S16.(1)由題意，估計該批次的橙子中隨機(jī)抽取100個的直徑的平均數(shù)為：x=5則μ≈x=85，σ=s則P(ξ≥90)=1?P(85?5所以從該批次的橙子中任取一個，該橙子為特級品的概率約為0.16．(2)由題意知直徑在區(qū)間[85,90),[90,95)，[95,100)上的頻率之比為0.28:所以這7個橙子中抽取的直徑在區(qū)間[85,90),[90,95)，[95,100)上的橙子個數(shù)分別為4，2，1．由題意知X的所有可能取值為0，1，2，則P(X=0)=C53C7所以X的分布列為X

012P

274717所以E(X)=0×17.(1)在圓柱中：∵AD⊥平面DPQ，在上底面中，∵DC為直徑且DP=DQ，∴又∵AD∩DC=D，AD,DC在平面ABCD∴PQ⊥平面又BD?平面ABCD∴PQ(2)設(shè)DC∩PQ=O，由(1)知：DC⊥PQ，所以由于G是?APQ∴A、G、O三點共線，連接AO由于DC/\!/AB，則?DOG～△BAG又AG=2GO，所以AB=2DO，即：DC=2DO，∴O為上底面圓的圓心，且DP故以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz；不妨設(shè)DA=DP=DQ=2，則：D(0,0,0)，A0,0,2，C又∵點G是?APQ的重心，所以O(shè)G∴G設(shè)面CGP的法向量m=x1,y則m?PC取y1=1所以m=(0,1,2)設(shè)面APQ的法向量n=x2,y則n?PQ取y2=1所以n=(1,1,1)∴cosm所以平面APQ與平面CGP夾角的余弦值為15

18.(1)設(shè)雙曲線右焦點為(c,0)，則有a2由于E的一條漸近線的方程為y=b

由題可得ca=所以雙曲線E的方程為x2(2)(i)設(shè)Ax1,y1

則x1+x2=?4，因為A、B在E上，則x兩式相減得x1整理可得y1?y可得直線l1的方程為y?2=?4(x+2)檢驗：直線l1:4x+y+6=0與x其Δ=144?3所以直線l1的方程為4x+y+6=0(ii)設(shè)Mx0,y0

設(shè)直線l1:x=my?2(m≠0)，聯(lián)立方程：x=my?2其中Δ=(16m)2則有y1+y2=16m4所以M2同理設(shè)Cx3直線l2:得4?m其中Δ=(16m)則有y3+y4=?16m4?得N2所以k=24則有直線MN:令y=0，得x=2當(dāng)直線MN的斜率不存在時，則m=±1，直線所以直線MN過定點23

19.(1)∵a=0，∴f(x)=ex∴f′(x)=ex當(dāng)b>0時，f′(x)>當(dāng)b<0時，由f′故f(x)在?∞,ln(2)當(dāng)b=0時，f(x)=e(i)設(shè)直線與曲線y=f(x)切于點x1,ex1∵f∴曲線y=f(x)的切線方程為y?e曲線y=sinx?于是問題等價于ex由①得x1=a+lncosx′1由?π<x′1<π，結(jié)合①于是上述方程可化為x′令?(x)=x?lncosx則?′所以當(dāng)x∈?π2,0當(dāng)x∈0,π4時，當(dāng)x∈π4,π又?(0)=0，?π當(dāng)x→?π2時，?(x)?(x)=x?ln

∵存在三條不同的直線li(i=1,2,3)，li既是曲線y=f(x)的切線(切點為Ai)，又是曲線y=sin∴?(x)