PAGEPAGE11第1課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.駕馭等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲得思路.2.嫻熟駕馭等差數(shù)列的五個(gè)量a1，d，n，an，Sn的關(guān)系，能夠由其中三個(gè)求另外兩個(gè).3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式求通項(xiàng)an.學(xué)問(wèn)點(diǎn)一等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1．定義：對(duì)于數(shù)列{an}，一般地，稱(chēng)a1＋a2＋a3＋…＋an為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．2．表示：常用符號(hào)Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.學(xué)問(wèn)點(diǎn)二等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d學(xué)問(wèn)點(diǎn)三a1，d，n，an，Sn知三求二1．在等差數(shù)列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝eq\f(na1＋an,2)或Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.兩個(gè)公式共涉及a1，d，n，an及Sn五個(gè)基本量，它們分別表示等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，項(xiàng)數(shù)，項(xiàng)和前n項(xiàng)和．2．依據(jù)方程的思想，在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中已知其中三個(gè)量可求另外兩個(gè)量，即“知三求二”．學(xué)問(wèn)點(diǎn)四數(shù)列中an與Sn的關(guān)系對(duì)于一般數(shù)列{an}，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則有an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))特殊提示：(1)這一關(guān)系對(duì)任何數(shù)列都適用．(2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通項(xiàng)公式中，令n＝1求得a1與利用a1＝S1求得的a1相同，則說(shuō)明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通項(xiàng)公式也適合n＝1的狀況，數(shù)列的通項(xiàng)公式用an＝Sn－Sn－1表示．若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通項(xiàng)公式中，令n＝1求得的a1與利用a1＝S1求得的a1不相同，則說(shuō)明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通項(xiàng)公式不適合n＝1的狀況，數(shù)列的通項(xiàng)公式采納分段形式．1．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S1＝a1.(√)2．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.(×)3．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加法．(√)4．1＋2＋3＋…＋100＝eq\f(100×1＋100,2).(√)題型一等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算例1在等差數(shù)列{an}中：(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.解(1)方法一由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＋a10＝2a1＋13d＝58，,a4＋a9＝2a1＋11d＝50，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝4.))∴S10＝10a1＋eq\f(10×10－1,2)d＝10×3＋eq\f(10×9,2)×4＝210.方法二由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＋a10＝a1＋a10＋4d＝58，,a4＋a9＝a1＋a10＋2d＝50，))∴a1＋a10＝42，∴S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝5×42＝210.(2)S7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝7a4＝42，∴a4＝6.∴Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(na4＋an－3,2)＝eq\f(n6＋45,2)＝510.∴n＝20.反思感悟(1)在解決與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要留意方程思想和整體思想的運(yùn)用．(2)構(gòu)成等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．跟蹤訓(xùn)練1在等差數(shù)列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝a1＋n－1d，,Sn＝na1＋\f(nn－1,2)d，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2n－1＝11，,na1＋\f(nn－1,2)×2＝35，))解方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝5，,a1＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝7，,a1＝－1.))題型二由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn求an例2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋eq\f(1,2)n，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？假如是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？解依據(jù)Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2，n∈N＋)，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋eq\f(1,2)n－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(n－12＋\f(1,2)n－1))＝2n－eq\f(1,2)， ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12＋eq\f(1,2)×1＝eq\f(3,2)，也滿意①式．∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－eq\f(1,2)，n∈N＋.∵an＋1－an＝2(n＋1)－eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n－\f(1,2)))＝2，故數(shù)列{an}是以eq\f(3,2)為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．引申探究若將本例中前n項(xiàng)和改為Sn＝n2＋eq\f(1,2)n＋1，求通項(xiàng)公式．解當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n2＋\f(1,2)n＋1))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(n－12＋\f(1,2)n－1＋1))＝2n－eq\f(1,2). ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12＋eq\f(1,2)＋1＝eq\f(5,2)不符合①式．∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，n＝1，,2n－\f(1,2)，n≥2，n∈N＋.))反思感悟跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n，求an.解當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn-1＝3n－3n-1＝2·3n-1.當(dāng)n＝1時(shí)，代入an＝2·3n-1得a1＝2≠3.∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2·3n-1，n≥2，n∈N＋.))題型三等差數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用例3某人用分期付款的方式購(gòu)買(mǎi)一件家電，價(jià)格為1150元，購(gòu)買(mǎi)當(dāng)天先付150元，以后每月的這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交付150元后的一個(gè)月起先算分期付款的第一個(gè)月，則分期付款的第10個(gè)月該交付多少錢(qián)？全部貸款付清后，買(mǎi)這件家電實(shí)際花費(fèi)多少錢(qián)？解設(shè)每次交款數(shù)額依次為a1，a2，…，a20，則a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，…a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5，即第10個(gè)月應(yīng)付款55.5元．由于{an}是以60為首項(xiàng)，以－0.5為公差的等差數(shù)列，所以有S20＝eq\f(60＋60－19×0.5,2)×20＝1105，即全部付清后實(shí)際付款1105＋150＝1255(元)．反思感悟跟蹤訓(xùn)練3甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m.(1)甲、乙起先運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇？(2)假如甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后馬上返回，甲接著每分鐘比前1分鐘多走1m，乙接著每分鐘走5m，那么起先運(yùn)動(dòng)幾分鐘后其次次相遇？解(1)設(shè)n分鐘后兩人第1次相遇，由題意，得2n＋eq\f(nn－1,2)＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.解得n＝7，n＝－20(舍去)．所以第1次相遇是在起先運(yùn)動(dòng)后7分鐘．(2)設(shè)n分鐘后第2次相遇，由題意，得2n＋eq\f(nn－1,2)＋5n＝3×70，整理得n2＋13n－420＝0.解得n＝15，n＝－28(舍去)．所以第2次相遇是在起先運(yùn)動(dòng)后15分鐘.1．已知等差數(shù)列{an}滿意a1＝1，am＝99，d＝2，則其前m項(xiàng)和Sm等于()A．2300B．2400C．2600D．2500答案D解析由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，解得m＝50，所以S50＝50×1＋eq\f(50×49,2)×2＝2500.2．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝4，S4＝20，則該數(shù)列的公差d等于()A．2B．3C．6D．7答案B解析方法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S2＝2a1＋d＝4，,S4＝4a1＋6d＝20，))解得d＝3.方法二由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.3．在一個(gè)等差數(shù)列中，已知a10＝10，則S19＝________.答案190解析S19＝eq\f(19a1＋a19,2)＝eq\f(19a10＋a10,2)＝19a10＝19×10＝190.4．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．若S4＝20，a4＝8，則S8＝________.答案72解析設(shè){an}的公差為d，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S4＝4a1＋\f(4×3,2)d＝20，,a4＝a1＋3d＝8，))解得a1＝d＝2，∴S8＝8×2＋eq\f(8×7,2)×2＝72.5．已知數(shù)列{an}滿意a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，則an＝________.答案3(n＋1)(n∈N＋)解析由a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)， ①當(dāng)n≥2，n∈N＋時(shí)，得a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)， ②①－②，得nan＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)，∴an＝3(n＋1)(n≥2，n∈N＋)．又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1×2×3＝6也適合上式，∴an＝3(n＋1)，n∈N＋.1．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法稱(chēng)為倒序相加法，在某些數(shù)列求和中也可能用到．2．等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五個(gè)量．若已知其中三個(gè)量，通過(guò)方程思想可求另外兩個(gè)量．在利用求和公式時(shí)，要留意整體思想的應(yīng)用，留意下面結(jié)論的運(yùn)用：若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)；若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap(m，n，p∈N＋)．3．由Sn與an的關(guān)系求an主要運(yùn)用an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))一、選擇題1．在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a8＝8，則該數(shù)列的前9項(xiàng)和S9等于()A．18B．27C．36D．45答案C解析S9＝eq\f(9,2)(a1＋a9)＝eq\f(9,2)(a2＋a8)＝36.2．在－20與40之間插入8個(gè)數(shù)，使這10個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則這10個(gè)數(shù)的和為()A．200B．100C．90D．70答案B解析S10＝eq\f(10×－20＋40,2)＝100.3．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an-1＋eq\f(1,2)(n≥2，n∈N＋)，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和等于()A．27B.eq\f(63,2)C．45D．－9答案A解析由已知數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列，∴S9＝9×1＋eq\f(9×8,2)×eq\f(1,2)＝9＋18＝27.4．在等差數(shù)列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，則數(shù)列{an＋bn}的前100項(xiàng)的和為()A．10000 B．8000C．9000 D．11000答案A解析由已知得{an＋bn}為等差數(shù)列，故其前100項(xiàng)的和為S100＝eq\f(100[a1＋b1＋a100＋b100],2)＝50×(25＋75＋100)＝10000.5．在等差數(shù)列{an}中，若S10＝4S5，則eq\f(a1,d)等于()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(1,4)D．4答案A解析由題意得10a1＋eq\f(1,2)×10×9d＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5a1＋\f(1,2)×5×4d))，∴10a1＋45d＝20a1＋40d，∴10a1＝5d，∴eq\f(a1,d)＝eq\f(1,2).6．在小于100的自然數(shù)中，全部被7除余2的數(shù)之和為()A．765B．665C．763D．663答案B解析∵a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋eq\f(1,2)×14×13×7＝665.7．在等差數(shù)列{an}中，aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,8)＋2a3a8＝9，且an<0，則S10等于()A．－9B．－11C．－13D．－15答案D解析由aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,8)＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，∵an<0，∴a3＋a8＝－3，∴S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝eq\f(10a3＋a8,2)＝eq\f(10×－3,2)＝－15.8．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－2n(n∈N＋)，則a2＋a18等于()A．36B．35C．34D．33答案C解析方法一a2＝S2－S1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.∴a2＋a18＝34.方法二易知{an}為等差數(shù)列．∴a2＋a18＝a1＋a19，S19＝eq\f(19a1＋a19,2)＝192－2×19，∴a1＋a19＝34，即a2＋a18＝34.二、填空題9．在等差數(shù)列{an}中，an＝2n＋3，n∈N＋，前n項(xiàng)和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c為常數(shù))，則a－b＋c＝________.答案－3解析因?yàn)閍n＝2n＋3，所以a1＝5，Sn＝eq\f(5＋2n＋3n,2)＝n2＋4n，與Sn＝an2＋bn＋c比較，得a＝1，b＝4，c＝0，所以a－b＋c＝－3.10．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq\o(OB,\s\up6(→))＝a1eq\o(OA,\s\up6(→))＋a200·eq\o(OC,\s\up6(→))，且A，B，C三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)原點(diǎn)O)，則S200＝________.答案100解因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)原點(diǎn)O)，所以a1＋a200＝1，所以S200＝eq\f(200a1＋a200,2)＝100.11．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝________.答案15解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則S3＝3a1＋eq\f(3×2,2)d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，S6＝6a1＋eq\f(6×5,2)d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝1，,2a1＋5d＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,d＝2.))故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.三、解答題12．在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8；(2)已知a2＋a4＝eq\f(48,5)，求S5.解(1)方法一∵a6＝10，S5＝5，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝10，,5a1＋10d＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝3.))∴a8＝a6＋2d＝16.方法二∵S6＝S5＋a6＝15，∴15＝eq\f(6a1＋a6,2)，即3(a1＋10)＝15.∴a1＝－5，d＝eq\f(a6－a1,5)＝3.∴a8＝a6＋2d＝16.(2)方法一∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝eq\f(48,5)，∴a1＋2d＝eq\f(24,5).∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×eq\f(24,5)＝24.方法二∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝eq\f(48,5)，∴S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝eq\f(5,2)×eq\f(48,5)＝24.13．已知數(shù)列{an}的全部項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝eq\f(1,4)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an－eq\f(3,4)(n∈N＋)．(1)證明：{an}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(1)證明當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝eq\f(1,4)aeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)a1－eq\f(3,4)，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn-1＝eq\f(1,4)(aeq\o\al(2,n)＋2an－3)－eq\f(1,4)(aeq\o\al(2,n－1)＋2an－1－3)．所以4an＝aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＋2an－2an-1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.因?yàn)閍n＋an