1/1第三節(jié)函數(shù)的基本性質(zhì)1.3.1第二課時函數(shù)的最大（?。┲担ɡ畈ǎ┮弧⒔虒W(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)教材以二次函數(shù)圖象為例,觀察出函數(shù)圖象的最低點,這給我們提供了一種求函數(shù)最值的方法“圖象觀察法”,這也是一種最直接,最直觀的方法.結(jié)合上一課時函數(shù)的單調(diào)性,學(xué)生通過函數(shù)圖象,研究函數(shù)性質(zhì),尋求最值.在實際生活中,常遇到最值問題,我們是通過建立函數(shù)模型來進行研究,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與社會生活緊密聯(lián)系.本節(jié)課,在探究函數(shù)的最值問題中,不斷培育學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過函數(shù)圖象,理解函數(shù)最大（小）值及幾何意義．2.結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求最大（?。┲担?.函數(shù)最大（?。┲档膶嶋H問題中的應(yīng)用．（三）學(xué)習(xí)重點1.理解函數(shù)最大（?。┲档母拍罴皫缀我饬x．2.求函數(shù)的最大（?。┲担ㄋ模W(xué)習(xí)難點結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求最大（?。┲担?、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1.預(yù)習(xí)任務(wù)一般地,設(shè)函數(shù)的定義域為,如果存在實數(shù)滿足:（1）對任意的,都有______;（2）存在,使得_______,那么我們稱是函數(shù)的最____值.詳解:;;大或;;?。?．預(yù)習(xí)自測（1）作函數(shù)的圖象,指出函數(shù)是否有的最值？若有,請求出最值．詳解:有最大值,無最小值;最大值為1．(二)課堂設(shè)計1.知識回顧（1）常見初等函數(shù)的圖象．（2）函數(shù)的單調(diào)性．2.問題探究探究一通過函數(shù)圖象,函數(shù)最高（低）點的位置特征及幾何意義●活動①學(xué)生作函數(shù),,圖象,觀察圖象的最高（低）點生:圖象上下無限延伸,沒有最高點,也沒有最低點;圖象上下無限延伸,沒有最高點,也沒有最低點,且中間斷開;圖象往上無限延伸,沒有最高點,最低點在處;師:結(jié)合圖像觀察結(jié)論,能否闡述函數(shù)圖象最高（低）點的位置特質(zhì)及幾何意義？生:圖象最低點在處.仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn),位置特征:最低點位于函數(shù)圖象上,不是圖像外的其他點;幾何意義:函數(shù)圖象上所有點在坐標(biāo)系中的位置都高于它或和它一樣高（最低點本身）.【設(shè)計意圖】觀察圖象易找到最高（低）點,教學(xué)時對最高（低）點的位置特征、幾何意義進行探究,展現(xiàn)數(shù)學(xué)概念生成的過程,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?●活動②圖象的最高（低）點所體現(xiàn)的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系本質(zhì)師:點之間位置高度的如何量化,更顯數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.由第一課時函數(shù)單調(diào)性推導(dǎo),我們在描述隨著的增大而增大,任取點到,其中刻畫的增大,因此,我們是借助于點的坐標(biāo)來探究.同學(xué)們可以想一想:在坐標(biāo)系中,圖象的點的高度,是由構(gòu)成圖象點的縱坐標(biāo)決定的.師:下面以圖象最低點在為例,探究函數(shù)對應(yīng)關(guān)系本質(zhì)圖象上其他點的位置不低于點圖象上任意點位置不低于點任意點的縱坐標(biāo)的值與縱坐標(biāo)的值關(guān)系:;而任意點的橫坐標(biāo)的值與橫坐標(biāo)的關(guān)系:（定義域）定義域內(nèi),尋求縱坐標(biāo)的最小值因此,我們可以下結(jié)論:函數(shù)圖象的最高（低）點的實質(zhì)是:函數(shù)在定義域內(nèi)任取所對應(yīng)的值小于或等于（大于或等于）該點的函數(shù)值;也可以這樣描述,函數(shù)整個定義域內(nèi)的函數(shù)值在處有最大（?。┲?稱為函數(shù)的最大（小）值.關(guān)系流程如圖:【設(shè)計意圖】從圖象的最高（低）點的“形”,如何過渡到最大（?。┲颠@個“數(shù)”,是教學(xué)設(shè)計的重點.我們從最高（低）點的位置特征,幾何意義分析,讓學(xué)生充分認(rèn)識到點的坐標(biāo),是圖象的構(gòu)成元素點的數(shù)量體現(xiàn),對“形”的認(rèn)識自然過渡到“數(shù)”的分析.點的坐標(biāo)由橫、縱坐標(biāo)組成,在坐標(biāo)系中圖象上的點投影在軸所覆蓋的范圍、軸所覆蓋的范圍,分別對應(yīng)了函數(shù)的定義域和值域.最高（低）點的橫、縱坐標(biāo),在坐標(biāo)系中該點投影在軸是其橫坐標(biāo)取值、軸上是其縱坐標(biāo)取值,與其他點投影到軸上的值相比較,是最大（?。┲?同時該點橫、縱坐標(biāo)分別對應(yīng)了定義域內(nèi)某個值,值域內(nèi)的最大（?。┲?●活動=3\*GB3③函數(shù)最大（?。┲档母拍顜?由以上的推導(dǎo),我們能否生成函數(shù)最大（?。┲档母拍?生:存在某個值使得所有函數(shù)值都比它大（?。┮部上嗟龋畮?由幾何特征,這個值在值域中嗎？請繼續(xù)完善．生:這個值在值域中.值域中存在某個值,使得所有函數(shù)值都比它大（?。畮?函數(shù)定義域優(yōu)先,值域中某個值是否有一個與之對應(yīng)？生:至少有一個與之對應(yīng),即存在性．師:一般地,設(shè)函數(shù)的定義域為,如果存在實數(shù)滿足:（1）對任意的,都有（）;（2）存在,使得,那么我們稱是函數(shù)的最大（?。┲?【設(shè)計意圖】學(xué)生要充分認(rèn)識圖象的最高（低）點的位置、該點坐標(biāo)形式、坐標(biāo)的對應(yīng)實質(zhì)這三者之間的聯(lián)系,才能從“形”的位置特征及幾何意義,到“數(shù)”對應(yīng)方式,呈現(xiàn)了函數(shù)最大（?。┲蹈拍畹纳蛇^程.探究二結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求最大（?。┲怠窕顒英儆蓤D象觀察函數(shù)最值．例1已知函數(shù)．（1）畫出的圖象;（2）根據(jù)圖象寫出的最小值．【知識點】函數(shù)單調(diào)性最值．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過程】（1）解:其圖象如圖所示:（2）由圖象,得函數(shù)的最小值為2.【思路點撥】畫出函數(shù)的圖象,依據(jù)函數(shù)最值的幾何意義,借助圖象寫出最值．【答案】（1）略;（2）2.同類訓(xùn)練如圖為函數(shù),的圖象,指出它的最大值、最小值．【知識點】函數(shù)單調(diào)性．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過程】觀察函數(shù)圖象可以知道,圖象上位置最高的點是,最低的點是,所以當(dāng)時取得最大值,最大值是3;當(dāng)時取得最小值,最小值是－2.【思路點撥】從左至右觀察圖象,在最高（低）點對應(yīng)的縱坐標(biāo)值,為函數(shù)的最大（小）值.【答案】3,-2．【設(shè)計意圖】考查學(xué)生如何觀察函數(shù)最值●活動②利用函數(shù)單調(diào)性求最值例2:求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【知識點】函數(shù)單調(diào)性最值．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過程】解:,且，,．,,,即．是區(qū)間上的減函數(shù)．因此,函數(shù)在區(qū)間的兩個端點分別取得最大值與最小值,即在時取得最大值,最大值為2,在時取得最小值,最小值為0.4．【思路點撥】由圖象可觀察函數(shù)單減,在處有最大值,在處有最小值.在實際解答題中,能說明函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)先證明,再求最值．【答案】2，0.4．同類訓(xùn)練求函數(shù)在上的最大值與最小值．【知識點】函數(shù)單調(diào)性．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過程】解:,且，則．,，在上是減函數(shù)．從而函數(shù)的最大值是,最小值是．【思路點撥】由函數(shù)單調(diào)性求最值．【答案】5,4．【設(shè)計意圖】求函數(shù)最值時,首先判定函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)圖象,在區(qū)間的端點值處取得最值.●活動③二次函數(shù)的最值問題例3求函數(shù)在上的最小值．【知識點】二次函數(shù)圖象性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想．【解題過程】解:函數(shù)的對稱軸是，當(dāng)時,在上單增,，當(dāng)時,在上單減,，當(dāng)時,．綜上所述【思路點撥】二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值,關(guān)鍵是根據(jù)圖象的對稱軸相對于所給區(qū)間的位置來確定,對于含字母系數(shù)的二次函數(shù)的最值,要注意分類討論.【答案】同類訓(xùn)練求函數(shù)在上的最小值．【知識點】二次函數(shù)圖象性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想．【解題過程】解:函數(shù)的對稱軸是．當(dāng)時,在上單減,；當(dāng)時,在上單增,；當(dāng)時,．綜上所述【思路點撥】二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值,關(guān)鍵是根據(jù)圖象的對稱軸相對于所給區(qū)間的位置來確定,對于含字母系數(shù)的二次函數(shù)的最值,要注意分類討論.【答案】例4函數(shù)的定義域為（）,值域為,求的取值范圍.【知識點】二次函數(shù)圖象性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過程】解:如圖,f0=f(3)=-4．【思路點撥】由值域求定義域,本質(zhì)是求值域方法的逆向思維,根據(jù)圖象找到最值所對應(yīng)的圖象段,投影到軸,找到相應(yīng)的變化范圍.同類訓(xùn)練:函數(shù)在（）上最大值是3,最小值是2,求的取值范圍.【知識點】二次函數(shù)圖象性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過程】解:如圖:要取到最小值2,必須對稱軸右側(cè)取值．最大值為3,則的必須在對稱軸左側(cè)取值．．【答案】．【思路點撥】由值域求定義域,本質(zhì)是求值域方法的逆向思維,根據(jù)圖象找到最值所對應(yīng)的圖象段,投影到軸,找到相應(yīng)的變化范圍.【設(shè)計意圖】通過值域?qū)で蠖x域的問題,結(jié)合二次函數(shù)圖象,找出對應(yīng)的坐標(biāo)軸的取值范圍．●活動④函數(shù)關(guān)系中恒成立問題例5已知函數(shù)()．(1)求的最小值;(2)若恒成立,求的取值范圍．【知識點】函數(shù)單調(diào)性求最值，恒成立問題轉(zhuǎn)化．【數(shù)學(xué)思想】變量分離思想、等價轉(zhuǎn)化思想．【解題過程】解:(1),且，則．,，,,，,即．故函數(shù)在上為增函數(shù)．∴當(dāng)時,有最小值,即．(2)有最小值為．恒成立,只需,即．【思路點撥】恒成立問題,常分離變量,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．【答案】（1）;（2）．同類訓(xùn)練函數(shù),時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍．【知識點】函數(shù)單調(diào)性、不等式恒成立問題．【數(shù)學(xué)思想】變量分離思想、等價轉(zhuǎn)化思想．【解題過程】解:恒成立，,時恒成立．記:，只需,即．【思路點撥】恒成立問題,常分離變量,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．【答案】．例6函數(shù)若時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【知識點】一次函數(shù)圖象性質(zhì)、不等式恒成立問題．【數(shù)學(xué)思想】變量分離思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想．【解題過程】解:,,恒成立，記:，轉(zhuǎn)化為恒成立,．當(dāng)時,恒成立…………….=1\*GB3①當(dāng)時,在上單增,恒成立,…………….=2\*GB3②當(dāng)時,在上單減，…………….=3\*GB3③由=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③:．【思路點撥】也可用二次函數(shù)圖象問題求解,若向一次函數(shù)圖象問題轉(zhuǎn)化,問題變得相對容易．【答案】．同類訓(xùn)練函數(shù)時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍．【知識點】一次函數(shù)圖象性質(zhì)、不等式恒成立問題．【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想．【解題過程】函數(shù)圖象的對稱軸是．當(dāng),即時,在上單增,．………….=1\*GB3①當(dāng),即時,在上單減,，．…………….=2\*GB3②當(dāng),即時,，．………….=3\*GB3③由=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③:．【思路點撥】對稱軸與給定區(qū)間位置不同關(guān)系,由函數(shù)圖象觀察單調(diào)性,結(jié)合最值求解．【答案】．【設(shè)計意圖】函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系:若函數(shù)在閉區(qū)間上是減函數(shù),則在上的最大值為,最小值為;若函數(shù)在閉區(qū)間上是增函數(shù),則在上的最大值為,最小值為．探究三函數(shù)最大（?。┲档膶嶋H問題中的應(yīng)用●活動①生活問題構(gòu)建函數(shù)模型例7某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù):,其中是儀器的月產(chǎn)量．（1）將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù);（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時,公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益＝總成本＋利潤)【知識點】數(shù)學(xué)建模．【數(shù)學(xué)思想】函數(shù)與方程思想．【解題過程】解:（1）月產(chǎn)量為臺,則總成本為元,從而（2）當(dāng)時,當(dāng)時,；當(dāng)時,是減函數(shù),綜上所述：時,．即每月生產(chǎn)300臺儀器時利潤最大,最大利潤為25000元．【思路點撥】分段函數(shù)模型要注意的不同取值范圍,所對應(yīng)的利潤求值問題．【答案】（1）;（2）每月生產(chǎn)300臺儀器時利潤最大,最大利潤為25000元．同類訓(xùn)練將進貨單價為40元的商品按50元一個出售時,能賣出500個,已知這種商品每漲價1元,其銷售量就減少10個,為得到最大利潤,售價應(yīng)為多少元？最大利潤是多少？【知識點】數(shù)學(xué)建模．【數(shù)學(xué)思想】函數(shù)與方程思想．【解題過程】解:設(shè)售價為元,利潤為元,單個漲價元,銷量減少個．故當(dāng)時,所以售價為70元時,利潤最大為9000元．【思路點撥】構(gòu)建一元二次方程求最值．【答案】售價為70元時,利潤最大為9000元．【設(shè)計意圖】（1）解決實際問題,首先要理解題意,然后建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題解決．（2）分清各種數(shù)據(jù)之間的關(guān)系是正確構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵．3.課堂總結(jié)知識梳理（1）通過函數(shù)圖象,探究函數(shù)最大（小）值及幾何意義．（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最大（?。┲担?）函數(shù)最大（小）值在實際問題中的應(yīng)用．重難點歸納（1）函數(shù)最大（?。┲蹈拍畹纳桑?）求函數(shù)最大（?。┲担ㄈ┱n后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.若函數(shù)則（）A的最大值為0,無最小值B無最大值,最小值為0C的最大值為,最小值為0D的最大值為0,最小值為【知識點】圖象應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想【解題過程】如圖:在在處有最小值,無最大值【思路點撥】由圖象觀察求最值【答案】B2.若函數(shù),則的最大值、最小值分別為（）A10,6B10,8C8,6D8,8【知識點】一次函數(shù)圖象性質(zhì)【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解:由一次函數(shù)單調(diào)性,,因此在區(qū)間,【思路點撥】也可用圖象觀察的方法.【答案】A3.函數(shù)（1）在的最大值,最小值分別是________（2）在的最大值,最小值分別是________【知識點】二次函數(shù)圖象【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想【解題過程】函數(shù)對稱軸（1）,函數(shù)在處有最小值,在處有最大值,（2）函數(shù)在上單增,在處有最大值,【思路點撥】給定區(qū)間求最值,作圖觀察.【答案】（1）35,-1;（2）8,無4.函數(shù)在上的值域是______【知識點】函數(shù)單調(diào)性【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想【解題過程】解:函數(shù),定義域為由一次分函數(shù)圖象知:在上單減,函數(shù)無最大值【思路點撥】可用定義法證明函數(shù)單調(diào)性,也可分析法在為減,在為增,在為減.【答案】5.已知二次函數(shù)滿足f2=f-1=-1且的最大值為【知識點】待定系數(shù)法求函數(shù)解析式【數(shù)學(xué)思想】函數(shù)與方程的思想【解題過程】解:設(shè),的最大值為8解得【思路點撥】也可以用頂點式、兩點式求解【答案】6.在上的最大值與最小值之差為2,求的值【知識點】一次函數(shù)單調(diào)性【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想【解題過程】解:當(dāng)時,常值函數(shù),在上無單調(diào)性當(dāng)時,在上單增,當(dāng)時,在上單減,【思路點撥】一次函數(shù)的單調(diào)性,【答案】2或-2能力型師生共研7.已知在區(qū)間上的最小值為,求的范圍【知識點】二次函數(shù)單調(diào)性【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想【解題過程】解:對稱軸為在區(qū)間單減,稱軸為【思路點撥】【答案】8.設(shè),其中,若在上有最小值,求的值【知識點】單調(diào)性應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解:,其中,在均單調(diào)遞增在單增【思路點撥】性質(zhì)法判斷函數(shù)單調(diào)性【答案】探究型多維突破9.若函數(shù)的最大值為,求的值.【知識點】二次函數(shù)根的分布【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想【解題過程】解:函數(shù)當(dāng)時,在上單增,矛盾當(dāng)時,函數(shù)圖象對稱軸矛盾當(dāng)時,函數(shù)圖象對稱軸當(dāng),即時,,當(dāng),即時矛盾綜上所述:【思路點撥】二次函數(shù)根的分布問題,結(jié)合函數(shù)圖象及函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性討論【答案】10.建造一個容積為6400立方米,深為4米的長方體無蓋蓄水池,池壁的造價為每平方米200元,池底的造價為每平方米100元．（1）把總造價元表示為池底的一邊長米的函數(shù);（2）由于場地原因,蓄水池的一邊長不能超過40米,問蓄水池的這個底邊長為多少時總造價最低？總造價最低是多少？【知識點】數(shù)學(xué)建?！緮?shù)學(xué)思想】函數(shù)與方程思想【解題過程】解:（1）由已知池底的面積為平方米,底面的另一邊長為米,則池壁的面積為:平方米．所以總造價:（2）由題意知設(shè),則,,,即從而這個函數(shù)在(0,40]上是減函數(shù),故當(dāng)時,所以當(dāng)池底是邊長為40米的正方形時,總造價最低為288000元.【思路點撥】函數(shù)單調(diào)