第04講易錯易混淆集訓(xùn)：等腰三角形中易漏解或多解的問題

之四大易錯(4類熱點題型講練)

目錄

【考點一求等腰三角形的周長時忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯】.........................................................1

【考點二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r沒有分類討論產(chǎn)生易錯】.........................................................5

【考點三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯】.....................................................................8

【考點四三角形的形狀不明時與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯】...............................................11

【考點一求等腰三角形的周長時忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯】

例題：（2024·廣東東莞·一模）一個等腰三角形的兩邊長分別是5cm和6cm，這個等腰三角形的周長是

cm．

【答案】16或17/17或16

【分析】考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系．由等腰三角形兩邊長為5cm和6cm，分別從等腰三

角形的腰長為5cm和6cm去分析即可求得答案，注意分析能否組成三角形．

【詳解】解：若等腰三角形的腰長為5cm，底邊長為6cm，

∵55106，

∴能組成三角形，

∴它的周長是：55616cm；

若等腰三角形的腰長為6cm，底邊長為5cm，

∵56116，

∴能組成三角形，

∴它的周長是：66517cm．

∴它的周長是：16cm或17cm．

故答案是：16或17

【變式訓(xùn)練】

1．（23-24七年級下·四川成都·期中）等腰三角形的兩邊長為4cm和8cm，這個三角形的周長為cm．

【答案】20

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想

到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的

關(guān)鍵．等腰三角形兩邊的長為4cm和8cm，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討

論．

【詳解】解：①當(dāng)腰是4cm，底邊是8cm時，448，不能構(gòu)成三角形，

②當(dāng)?shù)走吺?cm，腰長是8cm時，能構(gòu)成三角形，

則其周長48820cm，

所以，這個三角形的周長是20cm．

故答案為：20．

2．（23-24七年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）等腰三角形兩邊長分別為6,9，則其周長為．

【答案】21或24/24或21

【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系，熟練掌握“三角形兩邊之和大于第三邊；兩條之差小于第三邊”是解題的

關(guān)鍵，根據(jù)題意分情況討論：①當(dāng)腰長為6時；②當(dāng)腰長為9時；分別求得周長即可．

【詳解】解：由題可知：①當(dāng)腰長為6時；則底邊為9，

此時等腰三角形的周長為：66921，

②當(dāng)腰長為9時；則底邊為6，

此時等腰三角形的周長為：99624，

經(jīng)檢驗以上兩種情況都可以構(gòu)成三角形，

故答案為：21,24．

3．（23-24八年級上·浙江麗水·期末）一個等腰三角形的周長是20，若其中一條邊長為8，這個等腰三角形

的腰長是．

【答案】6或8

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)已知的等腰三角形的周長和一邊的長，

先分清三角形的底和腰，再計算腰長．

【詳解】解：等腰三角形的周長為20，

當(dāng)腰長8時，底邊4，

1

當(dāng)?shù)走?時，腰長2086，且66128，

2

故答案為：6或8．

4．（23-24七年級下·吉林長春·階段練習(xí)）一個等腰三角形的周長是17，已知它的一邊長是5，則另外兩邊

的長分別是．

【答案】6，6或5，7

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒

有明確哪邊是底哪邊是腰時，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．由于已知長度的邊沒有指明是

等腰三角形的底邊還是腰，因此要分類討論，最后要根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理判斷求出的結(jié)果是否符合題

意．

【詳解】解：①當(dāng)?shù)妊切蔚牡组L為5時，腰長17526；

則等腰三角形的三邊長為5、6、6，能構(gòu)成三角形．

②當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5時，底長17257；

則等腰三角形的三邊長為5、5、7，能構(gòu)成三角形．

故等腰三角形另外兩邊的長為6，6或5，7．

故答案為：6，6或5，7．

5．當(dāng)三角形中一條邊a是另一條邊b的2倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中a稱為“特征邊”，

如果一個“特征三角形”為等腰三角形，它的特征邊為4，那么這個特征三角形的周長為．

【答案】10

【分析】根據(jù)題中定義，可知其另一邊為2，利用等腰三角形的定義，可知第三邊為2或4，同時需要利用

三角形三邊關(guān)系進行驗證，排除第三邊為2的情況，即可求得周長．

【詳解】解：∵該三角形的特征邊為4，

∴其另一邊為2，

∵該三角形為等腰三角形，

∴第三邊長為2或4，

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知第三邊為2時，不能組成三角形，第三邊為4時，符合題意，

∴這個特征三角形的周長為：4+4+2=10．

故答案為：10．

【點睛】本題主要考查的是三角形中邊長的計算，易錯點在于利用三角形三邊關(guān)系排除不能組成三角形的

情況．

6．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）定義：若三角形滿足其中兩邊之和等于第三邊的三倍，則稱該三角形

為“三倍三角形”．若等腰三角形ABC是三倍三角形，且其中一邊長為3，則ABC的周長為．

【答案】8或12

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，設(shè)等腰三角形的腰長為x，底長為y，分兩

種情況討論：當(dāng)x3時；當(dāng)y3時．

【詳解】設(shè)等腰三角形的腰長為x，底長為y．

（1）當(dāng)x3時，分兩種情況：

①若x+y=3x，解得y6．

則三角形的三邊長為3，3，6，不符合題意．

②若2x3y，解得y2，

則ABC的三邊長為3，3，2，符合題意．

3328

ABC的周長為8．

（2）當(dāng)y3時，分兩種情況：

①若x+y=3x，解得x1.5，

則三角形的三邊長為1.5，1.5，3，不符合題意．

②若2x3y，解得x4.5，

則ABC的三邊長為4.5，4.5，3，符合題意．

4.54.5312

ABC的周長為12．

綜上所述，ABC的周長為8或12．

7．（23-24八年級下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）已知等腰三角形底邊為8，一腰上的中線分此三角形的周長成兩部

分，其差為2，則腰長為．

【答案】6或10/10或6

【分析】本題主要考查了等腰三角形的計算，正確理解分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．

由題意可知兩部分之差可以是底邊與腰之差，也可能是腰與底邊之差，解答時應(yīng)注意．設(shè)等腰三角形的腰

長是x，根據(jù)其中一部分比另一部分長2，列方程求解．

【詳解】解：如圖，設(shè)等腰三角形的腰長是x．

11

當(dāng)ADAC與BCBD的差是2時，即xx(x8)2，

22

解得：x10，

10，10，8能夠組成三角形，符合題意；

11

當(dāng)BCBD與ADAC的差是2時，即8x(xx)2，

22

解得：x6，

6，6，8能夠組成三角形，符合題意．

綜上所述，腰長是6或10．

故答案為：6或10．

8．（2023秋·江西南昌·八年級統(tǒng)考期末）若等腰三角形的三邊長分別為x，5，2x3，則此等腰三角形的周

長可以是．

【答案】11或13或17

【分析】先根據(jù)題中已知等腰三角形的三邊的長，而沒有指明哪個是腰，哪個是底邊，故應(yīng)該分三種情況

進行分析求解即可．

【詳解】解：①當(dāng)2x3是底邊時，則腰長為x，5，

∴x5，

∴2x37，

即三角形三邊長分別為5，5，7，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可以構(gòu)成三角形，

∴等腰三角形的周長55717；

②當(dāng)5是底邊時，則腰長為x，2x3，

∴x2x3，解得x3，

即三角形三邊長分別為3，3，5，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可以構(gòu)成三角形，

∴等腰三角形的周長33511；

③當(dāng)x是底邊時，則腰長為5，2x3，

∴52x3，解得x4，

即三角形三邊長分別為5，5，4，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可以構(gòu)成三角形，

∴等腰三角形的周長55414．

綜上所述，三角形的周長可以是11，14或17．

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、解一元一次方程以及三角形三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是

分類討論，并用三邊關(guān)系定理檢驗．

【考點二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r沒有分類討論產(chǎn)生易錯】

例題：（2023春·陜西寶雞·七年級統(tǒng)考期末）等腰三角形的一個角的度數(shù)是36，則它的底角的度數(shù)是．

【答案】36或72

【分析】分36的角是是底角和頂角的情況分析，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解．

【詳解】解：當(dāng)36的角是底角時，則底角為36，

1

當(dāng)36的角是頂角時，則底角為1803672，

2

故答案為：36或72．

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023春·福建漳州·七年級福建省漳州第一中學(xué)校考期末）定義：在一個等腰三角形中，如果一個內(nèi)角等

于另一個內(nèi)角的兩倍，則稱該三角形為“倍角等腰三角形”.“倍角等腰三角形”的頂角度數(shù)是（）

A．90B．45或36C．108或90D．90或36

【答案】D

11

【分析】設(shè)等腰三角形的頂角為x，則底角為180x90x，分兩種情況：當(dāng)頂角為底角的2倍

22

時，當(dāng)?shù)捉菫轫斀堑?倍時，分別列出方程求出x的值即可．

11

【詳解】解：設(shè)等腰三角形的頂角為x，則底角為180x90x，

22

1

當(dāng)頂角為底角的2倍時，x290x，

2

解得：x90；

1

當(dāng)?shù)捉菫轫斀堑?倍時，2x90x，

2

解得：x36；

綜上分析可知，“倍角等腰三角形”的頂角度數(shù)是90或36，故D正確．

故選：D．

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是注意進行分類討論．

2．（2023春·云南文山·八年級校聯(lián)考期中）等腰三角形有一內(nèi)角為80，則這個等腰三角形底角的度數(shù)

為．

【答案】50或80

【分析】由于不明確80的角是等腰三角形的底角還是頂角，故應(yīng)分80的角是頂角和底角兩種情況討論．

【詳解】分兩種情況：

①當(dāng)80的角為等腰三角形的頂角時，

底角的度數(shù)18080250；

②當(dāng)80的角為等腰三角形的底角時，其底角為80，

故它的底角度數(shù)是50或80．

故答案為：50或80．

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；解答此題時要注意80的角是頂角和底角兩

種情況，不要漏解，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．

3．等腰三角形的一個角比另一個角的2倍少20，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)是_____．

【答案】44或80或140

【分析】設(shè)另一個角是x，表示出一個角是2x20，然后分①x是頂角，2x20是底角，②x是底角，

2x20是頂角，③x與2x20都是底角根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180與等腰三角形兩底角相等列出方程

求解即可．

【詳解】解：設(shè)另一個角是x，表示出一個角是2x20，

①x是頂角，2x20是底角時，x22x20180，

解得x44，

所以，頂角是44；

②x是底角，2x20是頂角時，2x2x20＝180，

解得x50，

所以，頂角是2502080；

③x與2x20都是底角時，x2x20，

解得x20，

所以，頂角是180202140；

綜上所述，這個等腰三角形的頂角度數(shù)是44或80或140．

故答案為：44或80或140．

【點睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，難點在于分情況討論，特別是

這兩個角都是底角的情況容易漏掉而導(dǎo)致出錯．

4．如圖，在ABC中，B20，A105，點P在ABC的三邊上運動，當(dāng)△PAC為等腰三角形時，

頂角的度數(shù)是________．

【答案】105或55或70

【分析】作出圖形，然后分點P在AB上與BC上兩種情況討論求解．

【詳解】解：①如圖1，

點P在AB上時，APAC，頂角為A105，

②∵B20，A105，

∴C1802010555，

如圖2，點P在BC上時，若ACPC，

頂角為C55，

如圖3，若ACAP，

則頂角為CAP1802C18025570，

綜上所述，頂角為105或55或70．

故答案為：105或55或70．

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，注意要分情況討論求解．

【考點三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯】

例題：（23-24八年級上·重慶渝北·期中）如圖，在ABC中，DB=90°，AB16cm，BC12cm，AC20cm

點Q是ABC邊上的一個動點，點Q從點B開始沿BCA方向運動，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時

間為t秒．當(dāng)點Q在邊CA上運動時，出發(fā)秒后，△BCQ是以CQ為腰的等腰三角形．

【答案】22或24

【分析】題考查了等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況：當(dāng)CQCB時；當(dāng)QCQB時；然后分別進行計算即

可解答．

【詳解】解：分兩種情況：

當(dāng)CQCB時，如圖：

CBCQ12cm，

CBCQ

t24(秒)；

1

當(dāng)QCQB時，如圖：

QCQB，

CCBQ，

ABC90，

CA90，CBQQBA90，

QBAA，

BQQA，

1

CQQAAC10cm，

2

CBCQ

t22(秒)；

1

綜上所述：當(dāng)點Q在邊CA上運動時，出發(fā)22或24秒后，BCQ是以CQ為腰的等腰三角形，

故答案為：22或24．

【變式訓(xùn)練】

1．在△ABC中，∠B＝70°，過點A作一條直線，將△ABC分成兩個新的三角形．若這兩個三角形都是等腰

三角形，則∠C的度數(shù)為．

【答案】20°或27.5°或35°

【分析】分三種情況討論：①當(dāng)∠B為等腰三角形的頂角時；②當(dāng)∠ADB為等腰△ADB的頂角時；③當(dāng)

∠DAB為等腰△ADB的頂角時；綜合三種情況即可．

【詳解】解：設(shè)過點A且將△ABC分成兩個等腰三角形的直線交BC于點D，分三種情況討論．

①當(dāng)∠B為等腰△ADB的頂角時，如圖1，

1

∵∠BAD＝∠BDA＝×（180°﹣70°）＝55°，

2

又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，

1

∴∠C＝∠ADB＝27.5°；

2

②當(dāng)∠ADB為等腰△ADB的頂角時，如圖2，

∵AD＝BD，∠B＝70°，

∴∠BAD＝∠B＝70°，

∴∠ADB＝180°﹣70°×2＝40°，

又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，

1

∴∠C＝∠ADB＝20°；

2

③當(dāng)∠DAB為等腰△ADB的頂角時，如圖3，

則∠ADB＝∠B＝70°，

又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，

1

∴∠C＝∠ADB＝35°．

2

故答案為：20°或27.5°或35°．

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是綜合運用這

些性質(zhì)和定理．

2．（23-24八年級上·云南曲靖·期末）如圖所示，ab，點C在直線b上且在點B右側(cè)運動，ABC50，

作直線AC，若ABC是等腰三角形，則．

【答案】50或65或80

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的定義、三角形內(nèi)角和定理，由平行線的性質(zhì)可得

ACB，分三種情況：當(dāng)ABAC時；當(dāng)ABBC時；當(dāng)ACBC時；分別求解即可，熟練掌握以上

知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．

【詳解】解：ab，

ACB，

ABC是等腰三角形，ABC50，

當(dāng)ABAC時，ACBABC50，此時ACB50，

180ABC

當(dāng)ABBC時，BACBCA65，此時ACB65，

2

當(dāng)ACBC時，CABABC50，ACB180CABABC80，此時ACB80，

綜上所述，50或65或80，

故答案為：50或65或80．

3．（23-24八年級上·江西贛州·期末）如圖，在ABC中，AB12，B30，CB，P是邊BC上的

動點，連接AP．當(dāng)ABP是等腰三角形時，APC度．

【答案】60或105或150

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角性質(zhì)：分BPPA，BPBA和

APAB三種情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進行運算解題即可．

【詳解】解：當(dāng)BPPA時，PABB30

則APCPABB303060；

180B18030

當(dāng)BPBA時，APB75，

22

則APC180APB18075105；

當(dāng)APAB時，APBB30，

則APC180APB18030150；

故答案為：60或105或150

【考點四三角形的形狀不明時與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯】

例題：（2023秋·山東泰安·七年級東平縣實驗中學(xué)?？计谀┑妊切我谎系闹芯€把三角形周長分為15

和12兩部分,則此三角形的底邊長為()

A．7B．11C．7或11D．無法確定

【答案】C

【分析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)ADDCx，BCy，然后分兩種情況列出方程組求解，再根據(jù)三角形的

三邊關(guān)系判斷即可求解．

【詳解】解：如圖所示，

11

根據(jù)等腰三角形的定義和三角形中線的性質(zhì)得：ADDCACAB．

22

可設(shè)ADDCx，BCy，

∴AB2x．

x2x15x2x12

由題意得：或，

yx12yx15

x5x4

解得：或．

y7y11

x5

當(dāng)時，即此時等腰三角形的三邊為10，10，7，

y7

10710，符合三角形的三邊關(guān)系，

此情況成立；

x4

當(dāng)時，即此時等腰三角形的三邊為8，8，11，

y11

8811，符合三角形的三邊關(guān)系，

此情況成立．

綜上可知這個等腰三角形的底邊長是7或11．

故選：C．

【點睛】本題考查三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，三角形中線的性質(zhì)．利用分類討論的思想是解題

關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023春·遼寧沈陽·八年級?？茧A段練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45，那么這個三角

形的頂角為（）

A．45B．90C．135D．135或45

【答案】D

【分析】分三角形是銳角三角形時，利用直角三角形兩銳角互余求解；三角形是鈍角三角形時，利用三角

形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解．

【詳解】如圖1，三角形是銳角三角時，

∵ACD45，

∴頂角A904545；

如圖2，三角形是鈍角時，

∵ACD45，

∴頂角BAC4590135，

綜上所述，頂角等于45或135．

故選：D．

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．

2．（23-24七年級下·上海浦東新·期中）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，那么這個等腰三角形

的頂角為度．

【答案】50或130

【分析】此題考查了等腰三角形的定義．此題難度適中，注意掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．首

先根據(jù)題意畫出圖形，然后分別從銳角三角形與鈍角三角形分析求解即可求得答案．

【詳解】解：根據(jù)題意得：ABAC，BDAC，

如圖（1），ABD40，

則A50，

如圖（2），ABD40，

∴BAD50，

∴BAC18050130．

故這個等腰三角形的頂角是：50或130．

故答案為：50或130

3．（2024·四川達州·模擬預(yù)測）一個等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36，則此三角形頂角度數(shù)為．

【答案】54或126

【分析】本題考查了等腰三角形的內(nèi)容，要注意分類討論，等腰三角形可能是銳角三角形也可能是鈍角三

角形，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角的性質(zhì)即可求解．解決等腰三角形的問題時分類討論是

解決問題的關(guān)鍵．

【詳解】解：若三角形為銳角三角形時，如圖，ABAC，ACD36，CD為高，即ADC90，

此時AACDADC180，

A180903654，

若三角形為鈍角三角形時，如圖，ABAC，ACD36，CD為高，即ADC90，

此時BACDACD9036126，

綜上，等腰三角形的頂角的度數(shù)為54或126．

故答案為：54或126．

4．已知一個等腰三角形的周長為45cm，一腰上的中線將這個三角形的周長分為3:2的兩部分，則這個等腰

三角形的底長為．

【答案】9cm或21cm

【分析】本題可分別設(shè)出等腰三角形的腰和底的長，然后根據(jù)一腰上的中線所分三角形兩部分的周長來聯(lián)

立方程組，進而可求得等腰三角形的底邊長．注意此題一定要分為兩種情況討論，最后還要看所求的結(jié)果

是否滿足三角形的三邊關(guān)系．

【詳解】解：設(shè)該三角形的腰長是xcm，底邊長是ycm．

根據(jù)題意得，一腰上的中線將這個三角形的周長分為27cm和18cm兩部分，

11

xx27xx18

22

∴或，

11

xy18xy27

22

x18x12

解得或，

y9y21

經(jīng)檢驗，都符合三角形的三邊關(guān)系．

因此這個等腰三角形的腰長為9cm或21cm．

故答案為：9cm或21cm．

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確3∶2兩部分是哪一部分含有底邊，

所以一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，

也是解題的關(guān)鍵．

5．已知ABC中，B20，在AB邊上有一點D，若CD將ABC分為兩個等腰三角形，則A________．

【答案】100°，70°，40°或者10°

【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三種情況討論即可求解．

【詳解】第一種請況：BD=CD時，如圖，

∵BD=CD，∠B=20°，

∴∠B=∠DCB=20°，

∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，

（1）當(dāng)DA=DC時，∠A=∠ACD，

∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，

∴∠A=∠ACD=70°；

（2）當(dāng)DA=AC時，即有∠ADC=∠ACD=40°，

∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；

（3）當(dāng)CD=CA時，∠A=∠ADC=40°；

第二種請況：BC=CD時，如圖，

∵∠B=20°，BC=CD，

∴∠B=∠BDC=20°，

∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，

∵△ADC是等腰三角形，

∴有∠A=∠ACD，

∵∠A+∠A