幾種常用的數(shù)制進(jìn)位計(jì)數(shù)法——將數(shù)劃分為不同的位數(shù)，按位進(jìn)行累計(jì)，累計(jì)到一定數(shù)量后，又從零開始，同時(shí)向高位進(jìn)位。由于位數(shù)不同，則同樣的數(shù)碼在不同的數(shù)位中所表示的數(shù)值是不同的，低位數(shù)值小，高位數(shù)值大。

數(shù)制——用一組固定的數(shù)字和一套統(tǒng)一的規(guī)則來表示數(shù)目的方法目前計(jì)數(shù)通常采用的是進(jìn)位計(jì)數(shù)法。11.1

數(shù)制與碼制(3)被廣泛采用。進(jìn)位計(jì)數(shù)制的特點(diǎn)：同一個(gè)數(shù)碼在不同的數(shù)位上所表示的數(shù)值是不同的。(2)可以用少量的數(shù)碼表示較大的數(shù)。在生產(chǎn)實(shí)踐中人們使用各種進(jìn)位制，如10、12、

16、

60等進(jìn)制，但人們最熟悉的是十進(jìn)制。11.1

數(shù)制與碼制在數(shù)字系統(tǒng)中，目前還沒有具有十種狀態(tài)的開關(guān)器件可用來表示一個(gè)十進(jìn)制數(shù)。常見的開關(guān)器件通常只具有通、斷兩種不同的狀態(tài)，可以分別用0和1來表示。很顯然，在數(shù)字系統(tǒng)中使用二進(jìn)制數(shù)比較方便。因此，在數(shù)字系統(tǒng)中直接使用十進(jìn)制數(shù)比較困難。11.1

數(shù)制與碼制

進(jìn)位基數(shù)——每個(gè)數(shù)位規(guī)定使用的數(shù)碼符號(hào)的總數(shù)，又稱進(jìn)位模數(shù)，用R表示。

上式稱為進(jìn)位計(jì)數(shù)制的位置記數(shù)法，也稱為并列表示法。11.1

數(shù)制與碼制式(2)形式稱為進(jìn)位計(jì)數(shù)制的多項(xiàng)式表示法，也稱為按權(quán)展開式。當(dāng)某位的數(shù)碼為1時(shí)所表征的數(shù)值，稱為該數(shù)位的權(quán)值。

十進(jìn)制數(shù)個(gè)、十、百、千等位的權(quán)值分別為1、10、100、1000…

（2）11.1

數(shù)制與碼制1.十進(jìn)制(Decimal)(1)十進(jìn)制的特點(diǎn)b.基數(shù)R=10，即遵循“逢十進(jìn)一”的計(jì)數(shù)規(guī)則。c.各位的權(quán)值為10i。a.每位有10個(gè)不同的數(shù)碼0、1、2、…、9。11.1

數(shù)制與碼制=3102+3101+

3100+310-1+310-2(333.33)D按權(quán)展開式權(quán)權(quán)

權(quán)

權(quán)

權(quán)位置計(jì)數(shù)法

十進(jìn)制數(shù)用下標(biāo)“D”表示，也可省略。例如：(2)十進(jìn)制的表示十進(jìn)制數(shù)人們最熟悉，但機(jī)器實(shí)現(xiàn)起來困難。因?yàn)闃?gòu)成計(jì)數(shù)電路的基本思路是把電路的狀態(tài)與數(shù)碼對(duì)應(yīng)起來，而十進(jìn)制的十個(gè)數(shù)碼，必須由十個(gè)不同的而且能嚴(yán)格區(qū)分的電路狀態(tài)與之對(duì)應(yīng)，這樣將在技術(shù)上帶來許多困難，而且也不經(jīng)濟(jì)，因此在計(jì)數(shù)電路中一般不直接采用十進(jìn)制。11.1

數(shù)制與碼制2.二進(jìn)制(Binary)(1)二進(jìn)制數(shù)b.基數(shù)R=2，即遵循“逢二進(jìn)一”的計(jì)數(shù)規(guī)則。c.各位的權(quán)值為2i。a.每位有2個(gè)不同的數(shù)碼0、1。(2)二進(jìn)制數(shù)的表示二進(jìn)制數(shù)用下標(biāo)“B”表示。例如：11.1

數(shù)制與碼制由于二進(jìn)制只有兩個(gè)數(shù)碼0和1，因此，它的每一位數(shù)可用任何具有兩個(gè)不同穩(wěn)定狀態(tài)的元件來表示，如BJT的飽和與截止，繼電器接點(diǎn)的閉合和斷開，燈泡的亮和不亮等。只要規(guī)定其中一種狀態(tài)為1，另一狀態(tài)為0，就可以表示二進(jìn)制數(shù)。因而二進(jìn)制是數(shù)字系統(tǒng)唯一認(rèn)識(shí)的代碼。(3)二進(jìn)制數(shù)的特點(diǎn)a.

二進(jìn)制的數(shù)字裝置簡(jiǎn)單可靠，所用元件少。11.1

數(shù)制與碼制c.二進(jìn)制數(shù)的位數(shù)多，書寫太長(zhǎng)。b.二進(jìn)制的基本運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單，運(yùn)算操作方便。d.使用不方便。

因?yàn)槿藗兞?xí)慣十進(jìn)制數(shù)，而機(jī)器只能認(rèn)識(shí)二進(jìn)制數(shù)。因此在運(yùn)算時(shí)，原始數(shù)據(jù)多用人們習(xí)慣的十進(jìn)制，在送入機(jī)器時(shí)，必須將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字系統(tǒng)能接受的二進(jìn)制數(shù)。而在運(yùn)算結(jié)束后，再將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。11.1

數(shù)制與碼制在微型計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，一般將8位（bit）二進(jìn)制稱為一個(gè)字節(jié)（Byte），16位稱為一個(gè)字，32位稱為雙字。1K表示210（1024），1M＝210K=1024K表示220注意：數(shù)字系統(tǒng)中的1K（1024）與物理學(xué)中1k(1000)是不同的。引進(jìn)一些2的冪次方的縮寫表示二進(jìn)制數(shù)，比如:11.1

數(shù)制與碼制3.八進(jìn)制(Octal)(1)八進(jìn)制的特點(diǎn)a.每位有8個(gè)不同的數(shù)碼0、1、2、…、7。b.基數(shù)R=8，即遵循“逢八進(jìn)一”的計(jì)數(shù)規(guī)則。c.各位的權(quán)值為8i。(2)八進(jìn)制的表示(752.34)O=7×82+5×81+2×80+3×8-1+4×8-2八進(jìn)制數(shù)用下標(biāo)“O”表示。例如11.1

數(shù)制與碼制4.十六進(jìn)制(Hexadecimal)(1)十六進(jìn)制的特點(diǎn)a.每位有16個(gè)不同的數(shù)碼0、1、2、…、9、A、B、C、D、E、F。c.各位的權(quán)值為16i。(2)十六進(jìn)制的表示(BD2.3C)H=B×162+D×161+2×160+3×16-1+C×16-2

十六進(jìn)制數(shù)用下標(biāo)“H”表示，例如：=11×162+13×161+2×160+3×16-1+12×16-2b.基數(shù)R=16，即遵循“逢十六進(jìn)一”的計(jì)數(shù)規(guī)則。11.1

數(shù)制與碼制常用數(shù)制對(duì)照表十進(jìn)制（D）二進(jìn)制（B）八進(jìn)制（O）00000010001120010230011340100450101560110670111781000109100111101010121110111312110014131101151411101615111117十六進(jìn)制（H）0123456789ABCDEF11.1

數(shù)制與碼制

數(shù)制間的轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換前后整數(shù)部分和小數(shù)部分必須分別相等!轉(zhuǎn)換原則:轉(zhuǎn)換的方法:

具體步驟是：首先把非十進(jìn)制數(shù)寫成按權(quán)展開的多項(xiàng)式，然后按十進(jìn)制數(shù)的計(jì)數(shù)規(guī)則求其和，所得結(jié)果就是其所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。1.多項(xiàng)式法多項(xiàng)式法適用于將非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。11.1

數(shù)制與碼制[例]11.1

數(shù)制與碼制(1)整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換（采用除基取余法）2.基數(shù)乘除法

基數(shù)乘除法適合把一個(gè)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為其它非十進(jìn)制的數(shù)。

十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為其它進(jìn)制的數(shù)，分為整數(shù)和小數(shù)部分。11.1

數(shù)制與碼制將十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)，則有:如果將上式兩邊同除以2，所得的商為余數(shù)就是d011.1

數(shù)制與碼制同理，這個(gè)商又可以寫成顯然，若將上式兩邊再同時(shí)除以2，則所得余數(shù)是d1。重復(fù)上述過程，直到商為0，就可得二進(jìn)制數(shù)的數(shù)碼d0、d1、…、dn-1。11.1

數(shù)制與碼制c.重復(fù)做b，直到商為0。將各個(gè)余數(shù)轉(zhuǎn)換成R進(jìn)制的數(shù)碼，并按照和運(yùn)算過程相反的順序把各個(gè)余數(shù)排列起來，即為R進(jìn)制的數(shù)。b.將上一步所得的商再除以R，記下所得商和余數(shù)。把十進(jìn)制整數(shù)N轉(zhuǎn)換成R進(jìn)制數(shù)的步驟如下：a.將N除以R，記下所得的商和余數(shù)。11.1

數(shù)制與碼制[例]將(89)D轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。44……1……d0892余數(shù)即(89)D＝(1011001)B

[解]222……0……d1222225……1……d32……1……d40……1……d611……0……d21……0……d511.1

數(shù)制與碼制(2)小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換（乘基取整法）將十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制小數(shù)，有：將上式兩邊同時(shí)乘以2，便得到令小數(shù)部分則上式可寫成因此，2D乘積的整數(shù)部分就是d-1。11.1

數(shù)制與碼制若將2D乘積的小數(shù)部分D'再乘以2，則有所得乘積的整數(shù)部分就是d-2。重復(fù)上述過程，便可求出二進(jìn)制小數(shù)的各位數(shù)碼。11.1

數(shù)制與碼制把十進(jìn)制的純小數(shù)M轉(zhuǎn)換成R進(jìn)制數(shù)的步驟如下：a.將M乘以R，記下整數(shù)部分。b.將上一步乘積中的小數(shù)部分再乘以R，記下整數(shù)部分。c.重復(fù)做b，直到小數(shù)部分為0或者滿足精度要求為止。d.將各步求得的整數(shù)轉(zhuǎn)換成R進(jìn)制的數(shù)碼，并按照和運(yùn)算過程相同的順序排列起來，即為所求的R進(jìn)制數(shù)。11.1

數(shù)制與碼制[例1]將(0.64)D轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，要求誤差小于2-10。即(0.64)D＝(0.1010001111)B

0.640.56×21.120.280.68×21.360.84×21.680.92×21.840.96×21.920.48×20.960.24×20.480.12×20.24(取整)(乘基)×21.280.56×2…1d-1[解]…0d-2…1d-3…1d-10…1d-9…1d-8…1d-7…0d-6…0d-5…0d-411.1

數(shù)制與碼制[例2](0.35)D=(?)O[解]0.35×8=2.8…………2最高位0.8×8=6.4…………60.4×8=3.2…………30.2×8=1.6…………1最低位(0.35)D=(0.2631…)O即11.1

數(shù)制與碼制[例3](11.375)D=(?)B(11)D=(1011)B

[解](0.375)D=(0.011)B(11.375)D=(1011.011)B故11.1

數(shù)制與碼制3.基數(shù)為2i

的進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換常用數(shù)制對(duì)照表十進(jìn)制（D）二進(jìn)制（B）八進(jìn)制（O）00000010001120010230011340100450101560110670111781000109100111101010121110111312110014131101151411101615111117十六進(jìn)制（H）0123456789ABCDEF11.1

數(shù)制與碼制

八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)的基數(shù)分別為8=23，16=24，所以三位二進(jìn)制數(shù)恰好相當(dāng)一位八進(jìn)制數(shù)，四位二進(jìn)制數(shù)相當(dāng)一位十六進(jìn)制數(shù)。(1)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)(或十六進(jìn)制數(shù))的方法：a.整數(shù)部分和小數(shù)部分可以同時(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。b.以二進(jìn)制數(shù)的小數(shù)點(diǎn)為起點(diǎn)，分別向左、向右，每三位(或四位)分一組。二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)(或十六進(jìn)制數(shù))的方法：11.1

數(shù)制與碼制

c.把每一組二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制(或十六進(jìn)制)數(shù)，并保持原排序。對(duì)于小數(shù)部分，最低位一組不足三位(或四位)時(shí)，必須在有效位右邊補(bǔ)0，使其足位；對(duì)于整數(shù)部分，最高位一組不足位時(shí)，可在有效位的左邊補(bǔ)0。在計(jì)算機(jī)應(yīng)用系統(tǒng)中，二進(jìn)制主要用于機(jī)器內(nèi)部的數(shù)據(jù)處理，八進(jìn)制和十六進(jìn)制主要用于書寫程序，十進(jìn)制主要用于運(yùn)算最終結(jié)果的輸出。11.1

數(shù)制與碼制[例1]將(110110111000110.1011000101)B轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)。0110110111000110.1011000101006DC6.B14(110110111000110.1011000101)B=(6DC6.B14)H

[解]以小數(shù)點(diǎn)為界，每4位劃分為1組，如下：即11.1

數(shù)制與碼制[例2]將(01101111010.1011)2轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)。八進(jìn)制1572.54二進(jìn)制001101111010

.101100

(01101111010.1011)B=(1572.54)O

[解]以小數(shù)點(diǎn)為界，每3位劃分為1組，如下：所以11.1

數(shù)制與碼制[解]與八進(jìn)制數(shù)37

5.46等值二進(jìn)制數(shù)011111101.100110(2)八進(jìn)制數(shù)(或十六進(jìn)制數(shù))轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)的方法可以采用與二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)(或十六進(jìn)制數(shù))的方法相反的步驟，即只要按原來順序?qū)⒚恳晃话诉M(jìn)制數(shù)(或十六進(jìn)制數(shù))用相應(yīng)的三位(或四位)二進(jìn)制數(shù)代替即可。[例]分別求出(375.46)O、(678.A5)H的等值二進(jìn)制數(shù)。11.1

數(shù)制與碼制所以011001111000.10100101與十六進(jìn)制678

.A5等值二進(jìn)制數(shù)(375.46)8=(011111101.100110)2(678.A5)16=(011001111000.10100101)2(3)八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)，可通過二進(jìn)制數(shù)作為過渡，重新分組后直接進(jìn)行。11.1

數(shù)制與碼制[例]將(AF.16C)H轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)。十六進(jìn)制AF.16C八進(jìn)制257.0554

二進(jìn)制10101111.000101101100011.1

數(shù)制與碼制1.2.3碼制

在以前戰(zhàn)爭(zhēng)中為了通訊的保密，都有電臺(tái)密碼，就是用幾個(gè)數(shù)字的組合表示一個(gè)漢字或者單詞；在數(shù)字系統(tǒng)中，是用某種數(shù)制中幾個(gè)數(shù)字的組合表示另外一種數(shù)制的某個(gè)數(shù)。11.1

數(shù)制與碼制常用的編碼：1.自然二進(jìn)制碼按自然數(shù)順序排列的二進(jìn)制碼。常用四位自然二進(jìn)制碼，表示十進(jìn)制數(shù)0~15，各位的權(quán)值依次為23、22、21、20。代碼(編碼)：用一定位數(shù)的一組二進(jìn)制數(shù)碼按一定規(guī)則排列起來表示數(shù)字、符號(hào)等特定信息的數(shù)碼。碼制：形成這種代碼所遵循的規(guī)則。11.1

數(shù)制與碼制2.二—十進(jìn)制編碼(BCD碼)

二—十進(jìn)制編碼是用四位二進(jìn)制碼的10種組合表示一位十進(jìn)制數(shù)0~9，簡(jiǎn)稱BCD碼(BinaryCodedDecimal)。

由于四位二進(jìn)制碼可以有16種組合，從16種組合中任選用10種組合，有而目前使用的編碼還不到十種。11.1

數(shù)制與碼制十進(jìn)制數(shù)8421碼5421碼2421碼余3碼BCDGray碼012345678900000001001000110100010101100111100010010000000100100011010010001001101010111100000000010010001101001011110011011110111100110100010101100111100010011010101111000000000100110010011001110101010011001000幾種常用的BCD碼

11.1

數(shù)制與碼制若某種代碼的每一位都有固定的“權(quán)值”，則稱這種代碼為有權(quán)碼；否則，叫無權(quán)碼。(1)有權(quán)碼a8421BCD（NBCD）碼用四位自然二進(jìn)制碼的16種組合中的前10種，來表示十進(jìn)制數(shù)0~9，由高位到低位的權(quán)值為23、22、21、20，即為8、4、2、1，8421BCD由此得名。BCD碼大致可分為有權(quán)碼BCD和無權(quán)BCD。11.1

數(shù)制與碼制[例]（276.8）10=（？）NBCD2

7

6.

8↓↓

↓

↓0010011101101000（276.8）10=（001001110110.1000）NBCD11.1

數(shù)制與碼制b.5421BCD碼5421BCD碼，從高位到低位的權(quán)值分別為5、4、2、1。在四位二進(jìn)制代碼所表示的0000~1111全部16個(gè)代碼中，8421BCD碼占用了前10個(gè)，而5421BCD碼則采用了前5和后11個(gè)代碼中間的6個(gè)代碼。十進(jìn)制數(shù)8421碼5421碼01234567890000000100100011010001010110011110001001000000010010001101001000100110101011110011.1

數(shù)制與碼制5421BCD碼的編碼方案不是惟一的，表中只列出了一種編碼方案。注：這種有權(quán)BCD碼中，有的十進(jìn)制數(shù)碼存在兩種加權(quán)方法。例如，5421BCD碼中的數(shù)碼5，既可以用1000表示，也可以用0101表示。十進(jìn)制數(shù)8421碼5421碼01234567890000000100100011010001010110011110001001000000010010001101001000100110101011110011.1

數(shù)制與碼制

注：2421BCD碼和5421BCD碼一樣，編碼方案也不是惟一的。c.2421BCD碼2421BCD碼，從高位到低位的權(quán)值分別為2、4、2、1。在四位二進(jìn)制代碼所表示的0000~1111全部16個(gè)代碼中，8421BCD碼占用了前10個(gè)，而2421BCD碼則采用了前5和后5個(gè)代碼，舍棄了中間6個(gè)代碼。十進(jìn)制數(shù)8421碼2421碼01234567890000000100100011010001010110011110001001000000010010001101001011110011011110111111.1

數(shù)制與碼制2421BCD碼的10個(gè)數(shù)碼中，0和9、1和8、2和7、3和6、4和5的代碼的對(duì)應(yīng)位恰好一個(gè)是0時(shí)，另一個(gè)就是1。我們稱0和9、1和8互為反碼。因此2421BCD碼具有對(duì)9互補(bǔ)的特點(diǎn)，它是一種對(duì)9的自補(bǔ)代碼(即只要對(duì)某一組代碼各位取反就可以得到9的補(bǔ)碼)，在運(yùn)算電路中使用比較方便。十進(jìn)制數(shù)8421碼2421碼01234567890000000100100011010001010110011110001001000000010010001101001011110011011110111111.1

數(shù)制與碼制(2)無權(quán)碼這種碼的每位沒有固定的權(quán)，各組代碼與十進(jìn)制數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是人為規(guī)定的。余3碼是一種較為常用的無權(quán)碼。余3碼是8421BCD碼的每個(gè)碼組加3(0011)形成的。余3碼也是一種9的自補(bǔ)碼。8421碼余3碼0000000100100011010001010110011110001001001101000101011001111000100110101011110011.1

數(shù)制與碼制2.其它常用的代碼(1)格雷(Gray)碼格雷碼的特點(diǎn)：a.任意兩組相鄰代碼之間只有一位不同，因而又叫單位距離碼。b.首尾兩個(gè)數(shù)碼即最小數(shù)和最大數(shù)之間也符合此特點(diǎn)，故它可稱為循環(huán)碼。c.編碼還具有反射性，因此又稱其為反射碼。8421碼BCDGray碼0000000100100011010001010110011110001001000000010011001001100111010101001100100011.1

數(shù)制與碼制利用這一反射特性可以方便地構(gòu)成位數(shù)不同的Gray碼。Gray碼的編碼方案有多種（a）利用反射特性按表中所示的對(duì)稱軸為界，除最高位互補(bǔ)反射外，其余低位數(shù)沿對(duì)稱軸鏡像對(duì)稱。常見的：11.1

數(shù)制與碼制8421碼BCDGray碼00000001001000110100010101100111100010010000000100110010011001110101010011001000從自然二進(jìn)制碼最低位開始，相鄰的兩位相加，但不進(jìn)位，其結(jié)果作為格雷碼的最低位，依此類推，一直加到最高位，格雷碼的最高位與二進(jìn)制碼的最高位相同。運(yùn)算規(guī)則：[例](9)D=(1101)G

=(1001)B（b）根據(jù)自然二進(jìn)制碼計(jì)算11.1

數(shù)制與碼制格雷碼的單位距離特性可以降低其產(chǎn)生錯(cuò)誤的概率，并且能提高其運(yùn)行速度。又稱其為可靠性代碼例如，在十進(jìn)制數(shù)7加1的運(yùn)算中，當(dāng)采用四位自然二進(jìn)制碼時(shí)，計(jì)數(shù)器應(yīng)由0111變?yōu)?000。由于計(jì)數(shù)器中各元件特性不可能完全相同，因而各位數(shù)碼不可能同時(shí)發(fā)生變化，變化過程可能為0111→1111→1011→1001→1000。8421碼BCDGray碼0000000100100011010001010110011110001001000000010011001001100111010101001100100011.1

數(shù)制與碼制8421碼BCDGray碼00000001001000110100010101100111100010010000000100110010011001110101010011001000雖然最終結(jié)果是正確的，但在運(yùn)算過程中出現(xiàn)了錯(cuò)碼1111，1011，1001，這會(huì)造成數(shù)字系統(tǒng)的邏輯錯(cuò)誤，而且使運(yùn)算速度降低。若采用格雷碼，由7變成8，只有一位發(fā)生變化，就不會(huì)出現(xiàn)上述錯(cuò)碼，而且運(yùn)算速度會(huì)明顯提高。11.1

數(shù)制與碼制(2)奇偶校驗(yàn)碼奇偶校驗(yàn)碼是由信息位和校驗(yàn)位兩部分組成的。奇偶校驗(yàn)碼是一種可以檢測(cè)一位錯(cuò)誤的代碼。校驗(yàn)位僅有一位，它可以放在信息位的前面，也可以放在信息位的后面。信息位可以是任何一種二進(jìn)制代碼，它代表著要傳輸?shù)脑夹畔ⅰ?1.1

數(shù)制與碼制奇偶校驗(yàn)碼編碼方式：a.使每一個(gè)碼組中信息位和校驗(yàn)位的“１”的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，稱為奇校驗(yàn)。b.使每一個(gè)碼組中信息位和校驗(yàn)位的“１”的個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，稱為偶校驗(yàn)。11.1

數(shù)制與碼制8421BCD奇偶校驗(yàn)碼11.1

數(shù)制與碼制奇偶校驗(yàn)碼常用于代碼的傳送過程中，對(duì)代碼接收端的奇偶性進(jìn)行檢查，與發(fā)送端的奇偶性一致，則可認(rèn)為接收到的代碼正確，否則，接收到的一定是錯(cuò)誤代碼。奇偶校驗(yàn)碼只能檢測(cè)一位錯(cuò)碼，但不能測(cè)定哪一位出錯(cuò)，也不能自行糾正錯(cuò)誤。若代碼中同時(shí)出現(xiàn)多位錯(cuò)誤，則奇偶校驗(yàn)碼無法檢測(cè)。但是，由于多位同時(shí)出錯(cuò)的概率要比一位出錯(cuò)的概率小得多，并且奇偶校驗(yàn)碼容易實(shí)現(xiàn)，因而該碼被廣泛采用。海明碼可以檢錯(cuò)和糾錯(cuò)11.1

數(shù)制與碼制(3)字符碼字符碼種類很多，是專門用來處理數(shù)字、字母及各種符號(hào)的二進(jìn)制代碼。ASCII碼(AmericanStandardCodeforInformationInterchange，美國(guó)信息交換標(biāo)準(zhǔn)代碼)由七位二進(jìn)制碼組成，主要用于數(shù)字系統(tǒng)和計(jì)算機(jī)中。博多碼是由五位二進(jìn)制碼組成，主要用于電傳打字和數(shù)字通信中。最常見的：11.1

數(shù)制與碼制ASCII碼編碼表ASCII碼是用7位二進(jìn)制數(shù)碼來表示字符(128個(gè))的。11.1

數(shù)制與碼制每個(gè)字符都是由代碼的高3位b6b5b4和低4位b3b2b1b0一起確定的。例如，3的ASCII碼為33H，A的ASCII碼為41H。11.1

數(shù)制與碼制(4)漢字編碼顯然，用單字節(jié)編碼來表示漢字是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，國(guó)標(biāo)GB2312-80規(guī)定每個(gè)漢字和圖形符號(hào)用兩個(gè)字節(jié)表示。在數(shù)字系統(tǒng)和計(jì)算機(jī)中，常用若干位二進(jìn)制編碼來表示一個(gè)漢字。一般將8位二進(jìn)制數(shù)碼稱為一個(gè)字節(jié)。11.1

數(shù)制與碼制11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算（2）兩種運(yùn)算表示數(shù)量信息的運(yùn)算稱為算術(shù)運(yùn)算數(shù)量信息（1）二進(jìn)制數(shù)碼0和1表示：邏輯信息表示邏輯信息的運(yùn)算稱為邏輯運(yùn)算在數(shù)字系統(tǒng)中：11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算1.算術(shù)運(yùn)算(1)加法運(yùn)算運(yùn)算規(guī)則：逢二進(jìn)一0+0=00+1=11+0=11+1=10例：6AH

1BH=85H

(2)減法運(yùn)算運(yùn)算規(guī)則：0-0=01-0=11-1=00-1=1(向高位借1當(dāng)2)例：55H2FH=26H11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算(3)乘法運(yùn)算運(yùn)算規(guī)則：0

0=01

0=01

0=01

1=1例：1110B

0110B=10100100B

(4)除法運(yùn)算運(yùn)算規(guī)則：0

1=01

1=1例10011000

110

00011001110

10011000-110111-1101000-1101011.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算2.原碼、反碼和補(bǔ)碼的概念前面所提到的二進(jìn)制數(shù)，沒有提到符號(hào)問題，

故是一種無符號(hào)數(shù)。但在實(shí)際中數(shù)顯然會(huì)有正有負(fù)，那么在數(shù)字設(shè)備中“+”、“-”符號(hào)應(yīng)該是有區(qū)別的。1)真值與機(jī)器數(shù)在數(shù)字設(shè)備中“+”、“-”號(hào)也要數(shù)值化一般將數(shù)的最高位設(shè)為符號(hào)位“0”表示“+”“1”表示“-”11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算+1010101-1011101真值機(jī)器數(shù)機(jī)器數(shù)——連同符號(hào)位在一起的數(shù)真值——機(jī)器數(shù)的數(shù)值為了區(qū)分“+”“-”號(hào)數(shù)值化前后的兩個(gè)對(duì)應(yīng)數(shù)，引入真值和機(jī)器數(shù)兩個(gè)術(shù)語。11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算2)原碼

將數(shù)的真值形式中，正數(shù)符號(hào)用符號(hào)0表示，負(fù)數(shù)符號(hào)用符號(hào)1表示，叫做數(shù)的原碼形式，簡(jiǎn)稱原碼。數(shù)+9–9真值(用8位數(shù)碼表示)+0001001–0001001原碼0000100110001001符號(hào)位+尾數(shù)部分(1)原碼形式11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算(2)

原碼的特點(diǎn)a.易于辨認(rèn)；進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算時(shí)需要增加設(shè)備，如做減法運(yùn)算時(shí)要用減法器。3)反碼符號(hào)位+尾數(shù)部分(1)反碼形式

為了減少設(shè)備量，將減法變?yōu)榧臃?，引進(jìn)了反碼和補(bǔ)碼形式。11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算(2)反碼的性質(zhì)正數(shù)：尾數(shù)部分與真值形式相同負(fù)數(shù)：尾數(shù)為真值數(shù)值部分逐位取反[X2]反

=11111011X1=+4X2=-4[X1]反

=0000010011.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算4)補(bǔ)碼正數(shù)：尾數(shù)部分與真值同，即[X]補(bǔ)=[X]反負(fù)數(shù)：尾數(shù)為真值數(shù)值部分按位取反加1。即[X]補(bǔ)=[X]反+

1符號(hào)位+尾數(shù)部分(1)補(bǔ)碼形式(2)補(bǔ)碼的性質(zhì)11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算[X2]補(bǔ)=11111011+1X1=+4X2=-4[X1]補(bǔ)

=00000100=111111003.原碼、反碼和補(bǔ)碼的算術(shù)運(yùn)算[解](1)原碼運(yùn)算[例1]已知X=+1101，Y=+0110，用原碼、反碼和補(bǔ)碼計(jì)算Z=X–Y之值。[X]原=01101[Y]原=0011011.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算因?yàn)閨X|>|Y|，故計(jì)算結(jié)果應(yīng)與[X]原符號(hào)相同。01101–0011000111所以Z原=00111，其真值Z=+0111[X]原=01101[Y]原=0011011.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算(2)反碼運(yùn)算反碼運(yùn)算的規(guī)則Z反=[X-Y]反=[X]反+

[-Y]反+符號(hào)位進(jìn)位01101+11001100110所以[X]反=01101[-Y]反=11001由于Z反=00111，其真值Z=+0111+10011111.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算(3)補(bǔ)碼運(yùn)算補(bǔ)碼運(yùn)算的規(guī)則Z補(bǔ)=[X-Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+

[-Y]補(bǔ)符號(hào)位進(jìn)位自然丟失01101+11010100111[X]補(bǔ)=01101[-Y]補(bǔ)=11010由于所以Z補(bǔ)=00111，其真值Z=+011111.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算[解](1)原碼運(yùn)算[例2]已知X=+0110，Y=+1101，用原碼、反碼和補(bǔ)碼計(jì)算Z=X–Y之值。[X]原=00110[Y]原=01101因?yàn)閨X|<|Y|，故計(jì)算結(jié)果應(yīng)與[X]原符號(hào)相反。01101–00110所以Z原=10111，其真值Z=-01111011111.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算(2)反碼運(yùn)算00110+1001011000所以[X]反=00110[-Y]反=10010由于Z反=11000，其真值Z=-011111.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算(3)補(bǔ)碼運(yùn)算00110+1001111001[X]補(bǔ)=00110[-Y]補(bǔ)=10011由于所以Z補(bǔ)=11001，其真值Z=-011111.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算1.邏輯變量(1)邏輯狀態(tài)

在一定條件下，事物的某種性質(zhì)只表現(xiàn)為兩種互不相容的狀態(tài)，如開與關(guān)，是與非、真與假等。

兩種狀態(tài)必出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一種，一種狀態(tài)是另一種狀態(tài)的反狀態(tài)?；具壿嬤\(yùn)算11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算用符號(hào)0和1表示這兩種狀態(tài)，稱為邏輯狀態(tài)。0和1分別稱為0狀態(tài)和1狀態(tài)0狀態(tài)一般表示邏輯條件的假或無效1狀態(tài)一般表示邏輯條件的真或有效(2)邏輯變量?jī)H有兩種取值0和1的變量0和1稱為邏輯常量把表示事件條件的變量稱之為輸入邏輯變量，把表示事件結(jié)果的變量稱為輸出邏輯變量。11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算2.正邏輯和負(fù)邏輯

若將高電平規(guī)定為邏輯0，低電平規(guī)定為邏輯1，則為負(fù)邏輯

在數(shù)字系統(tǒng)中，各種信息都用一系列的高、低電平信號(hào)表示。

若將高電平規(guī)定為邏輯1，低電平規(guī)定為邏輯0，則為正邏輯對(duì)于同一電路，可用正邏輯表示，也可用負(fù)邏輯表示。選用的邏輯體制不同，電路的邏輯功能也將不同11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算在同一系統(tǒng)中，只能采用一種邏輯體制。若無特別說明，一般采用正邏輯。3.邏輯運(yùn)算邏輯運(yùn)算與算術(shù)運(yùn)算有著本質(zhì)上的差別1)與運(yùn)算(邏輯乘)當(dāng)決定某事件的全部條件都具備時(shí)，事件才發(fā)生的因果關(guān)系，這種因果關(guān)系稱之為邏輯與。11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算(1)邏輯與電路SASB

L

R+_E(2)與邏輯真值表真值表——由邏輯變量的所有可能取值組合及其對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)值所構(gòu)成的表格。用A、B和L分別代表開關(guān)SA、SB和燈的邏輯狀態(tài)。設(shè)定開關(guān)閉合和燈亮用1表示，開關(guān)斷開和燈滅用0表示。11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算AB00011011L0001與邏輯真值表SASB

L

R+_E(3)邏輯函數(shù)式（或邏輯表達(dá)式）L=AB

(4)與門符號(hào)實(shí)現(xiàn)與運(yùn)算的邏輯器件稱為與門11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算ABL(b)國(guó)際流行符號(hào)(a)國(guó)標(biāo)符號(hào)ABL&與門邏輯符號(hào)2)或運(yùn)算(邏輯加)邏輯或——當(dāng)決定某事件的全部條件中，任一條件具備，事件就發(fā)生的因果關(guān)系11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算(1)或邏輯電路SALSB

R+_(2)或邏輯真值表AB00011011L0111L=A＋B

(3)邏輯函數(shù)式（或邏輯表達(dá)式）(4)或門符號(hào)(a)國(guó)標(biāo)符號(hào)ABL≥1或門邏輯符號(hào)ABL(b)國(guó)際流行符號(hào)11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算3)非運(yùn)算(邏輯非)邏輯非——當(dāng)條件具備時(shí)，事件不發(fā)生；條件不具備時(shí)，事件就發(fā)生的因果關(guān)系。非邏輯真值表A01L10(1)邏輯非電路(2)非邏輯真值表SALR+_11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算(3)邏輯函數(shù)式（或邏輯表達(dá)式）(a)國(guó)標(biāo)符號(hào)AL1(b)國(guó)際流行符號(hào)AL讀作“A非”式中，A稱為原變量，稱為反變量。(4)非門符號(hào)非運(yùn)算也稱為求反運(yùn)算。11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算4)邏輯常量間的基本運(yùn)算與或非0·0=00+0=00·1=00+1=11·0=01+0=11·1=11+1=111.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算復(fù)合邏輯運(yùn)算AB00011011L1110b.真值表c.邏輯符號(hào)1.常用的復(fù)合邏輯

(1)與非邏輯a.邏輯表達(dá)式(a)國(guó)標(biāo)符號(hào)(b)國(guó)際流行符號(hào)表示非運(yùn)算11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算AB00011011L1000b.真值表c.邏輯符號(hào)

(2)或非邏輯a.邏輯表達(dá)式(a)國(guó)標(biāo)符號(hào)(b)國(guó)際流行符號(hào)11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算(3)與或非邏輯ABCD0000000100100011L1110010001010110011110001110110011010101111001101111011111100000b.真值表a.邏輯表達(dá)式11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算c.邏輯符號(hào)(a)國(guó)標(biāo)符號(hào)(b)國(guó)際流行符號(hào)11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算(4)異或邏輯b.真值表a.邏輯表達(dá)式AB00011011L0110若兩個(gè)輸入變量A、B的取值相異，則輸出變量L為1；若A、

B的取值相同，則L為0。c.邏輯功能d.邏輯符號(hào)(a)國(guó)標(biāo)符號(hào)(b)國(guó)際流行符號(hào)11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算(5)同或邏輯b.真值表a.邏輯表達(dá)式若兩個(gè)輸入變量A、B的取值相異，則輸出變量F為0；若A、

B的取值相同，則F為1。c.邏輯功能A

BAB00011011L1001與異或邏輯功能相反A

B=同或也稱異或非11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算d.邏輯符號(hào)(a)國(guó)標(biāo)符號(hào)(b)國(guó)際流行符號(hào)11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算2.多變量的“異或”及“同或”邏輯

(1)多變量的異或邏輯由圖(a)得由圖(b)得11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算

(2)多變量的同或邏輯由圖(a)得由圖(b)得⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算(3)多變量的異或及同或邏輯特性n個(gè)變量的“異或”邏輯，當(dāng)輸入變量的取值組合中，有奇數(shù)個(gè)1時(shí)，“異或”邏輯的輸出值為1；反之，輸出值為0。利用此特性，可作為奇偶校驗(yàn)碼校驗(yàn)位的產(chǎn)生電路。b.偶數(shù)個(gè)變量的“同或”，等于這偶數(shù)個(gè)變量的“異或”之非。A⊙B⊙C⊙D=A⊙B=如11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算c.奇數(shù)個(gè)變量的同或，等于這奇數(shù)個(gè)變量的異或。3.邏輯運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)別各種邏輯運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)別，由高到低的排序如下：長(zhǎng)非號(hào)是指非號(hào)下有多個(gè)(1個(gè)以上)變量的非號(hào)。A⊙B⊙C=如11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算4、邏輯運(yùn)算的完備性但是，它們不是最好的完備集，因?yàn)橛盟鼈儗?shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)，必須同時(shí)使用三種不同的邏輯門，這對(duì)數(shù)字系統(tǒng)的制造、維修都不方便。

“與”、“或”、“非”是邏輯代數(shù)中三種最基本的邏輯運(yùn)算。任何邏輯函數(shù)都可以用這三種運(yùn)算的組合來構(gòu)成。即任何數(shù)字系統(tǒng)都可以用這三種邏輯門來實(shí)現(xiàn)。因此，稱“與”、“或”、“非”是一個(gè)完備集合，簡(jiǎn)稱完備集。11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算人們希望用較少種類的門來完成更多的功能。分析表明由與非、或非、與或非這三種復(fù)合運(yùn)算中的任何一種都能實(shí)現(xiàn)與、或、非的功能，即這三種復(fù)合運(yùn)算各自都是完備集。因此，利用“與非門”、“或非門”、“與或非門”中的任何一種，都可以實(shí)現(xiàn)任何邏輯函數(shù)，這給數(shù)字系統(tǒng)的制造、維修帶來了極大的方便。11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算邏輯代數(shù)(Logicalgebra)又叫布爾代數(shù)(Booleanalgebra)或開關(guān)代數(shù)。邏輯代數(shù)于1845年由英國(guó)數(shù)學(xué)家G.Boole首先提出的。1938年shannon開始用于開關(guān)電路的設(shè)計(jì)。20世紀(jì)60年代，數(shù)字技術(shù)的發(fā)展，使布代數(shù)成為邏輯設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，廣泛地應(yīng)用于數(shù)字電路的分析和設(shè)計(jì)中。邏輯代數(shù)的基本定理11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算1.邏輯代數(shù)基本定理(2)自等律：A·1=A

A+0=A(1)0-1律：A·0=0

A+1=1(3)重疊律：A·A=A

A+A=A(4)互補(bǔ)律：A·A=0

A+A=1(5)交換律：

A+B=B+A

AB=BA(6)結(jié)合律：

(A+B)+C=A+(B+C)

(AB)C=A(BC)11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算(7)分配律：A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)(8)吸收律1(9)吸收律2(10)吸收律3(11)否否律11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算(12)多余項(xiàng)定律求反律又稱為摩根(Morgan)定律(13)求反律(反演律)11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算2.邏輯代數(shù)的幾條重要規(guī)則1.代入規(guī)則

任何一個(gè)邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)某一邏輯變量的位置都代之以一個(gè)邏輯函數(shù)，則等式仍成立。[例1]證明兩變量的求反公式[證明]11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算將等式兩邊的B用B+C代入便得到三變量的摩根定律同理可將摩根定律推廣到n變量11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式L，如果將其中的“+”換成“·”，“·”換成“+”，“１”換成“0”，“0”換成“1”，并保持原先的邏輯優(yōu)先級(jí)，變量不變，長(zhǎng)非號(hào)(二個(gè)或二個(gè)以上變量的非號(hào))不動(dòng)，則可得原函數(shù)L的對(duì)偶式L'，且L和L'互為對(duì)偶式。2.對(duì)偶法則根據(jù)對(duì)偶法則知原式L成立，則其對(duì)偶式也一定成立。與運(yùn)算關(guān)系式和或運(yùn)算關(guān)系式分別一一互為對(duì)偶式。這樣，根據(jù)對(duì)偶規(guī)則，公式的證明就可以減少一半。11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算[例2]求下列函數(shù)的對(duì)偶式(1)(2)(3)[解](1)(2)(3)11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算3.反演規(guī)則（香農(nóng)定理——Shannon定理）稱為原函數(shù)F的反函數(shù)，或稱為補(bǔ)函數(shù)。

對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式F，如果將其表達(dá)式中所有的算符“·”換成“+”，“+”換成“·”，常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，并保持原先的邏輯優(yōu)先級(jí)不變，長(zhǎng)非號(hào)不動(dòng)，則所得到的結(jié)果就是。11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算的反函數(shù)。[例3]求函數(shù)[解1]利用摩根定律11.2

算術(shù)運(yùn)算與邏輯運(yùn)算[解2]利用反演規(guī)則由得[例4]求的反函數(shù)。[解]11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法11.3.1邏輯函數(shù)的概念1.邏輯函數(shù)的定義

當(dāng)輸入邏輯變量A、B、C…取值確定后，輸出邏輯變量L的取值隨之而定，把輸入和輸出邏輯變量間的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)，記為：11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法2、邏輯函數(shù)的建立在實(shí)際的數(shù)字系統(tǒng)中，任何邏輯問題都可以用邏輯函數(shù)來描述。例如，在二層樓房裝了一盞樓梯燈L，并在一樓和二樓各裝一個(gè)單刀雙擲開關(guān)A和B，如圖所示。若用A=1和B=1代表開關(guān)在向上位置，A=0和B=0代表開關(guān)在向下的位置；以L=1代表燈亮，L=0代表燈滅。則L=A

B11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法11.3.2邏輯函數(shù)的表示方法AB00011011L01101.真值表一種用表格表示邏輯函數(shù)的方法函數(shù)的真值表。特點(diǎn)：（2）隨著變量數(shù)目的增多，真值表的行數(shù)急劇增加，規(guī)模急劇增大。（1）直觀的表示了輸入與輸出的邏輯關(guān)系。11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法2.邏輯函數(shù)式異或邏輯函數(shù)的表達(dá)式

用與、或、非等邏輯運(yùn)算的組合表示邏輯函數(shù)輸入與輸出間邏輯關(guān)系的表達(dá)式11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法3.邏輯圖

將邏輯式中各變量間的與、或、非等運(yùn)算關(guān)系用相應(yīng)的邏輯符號(hào)表示出來，即得到函數(shù)關(guān)系的邏輯圖。函數(shù)的邏輯圖11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法同一邏輯函數(shù)的邏輯電路圖不是惟一的因?yàn)楹瘮?shù)的邏輯圖11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法4.卡諾圖5.硬件描述語言卡諾圖是邏輯函數(shù)的一種圖形表示方式。

硬件描述語言（Hardware

Description

Language，簡(jiǎn)稱：HDL）是電子系統(tǒng)硬件行為描述、結(jié)構(gòu)描述、數(shù)據(jù)流描述的語言。11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法11.3.3邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)和式(1)最小項(xiàng)的定義1.最小項(xiàng)的定義、編號(hào)和性質(zhì)

在n個(gè)邏輯變量組成的與項(xiàng)中，每個(gè)變量或以原變量或以反變量形式出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，稱之為n個(gè)變量的最小項(xiàng)。二個(gè)變量A、B有四個(gè)最小項(xiàng)：11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法三變量A、B、C有八個(gè)(23)個(gè)最小項(xiàng)：n個(gè)變量應(yīng)有2n個(gè)最小項(xiàng)。(2)最小項(xiàng)的編號(hào)最小項(xiàng)通常用mi表示。11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法

將最小項(xiàng)中原變量表示為1，反變量表示為0，當(dāng)變量順序確定后，用1和0按變量順序排列形成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，此二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即為該最小項(xiàng)的下標(biāo)i。最小項(xiàng)mi下標(biāo)i的確定：有時(shí)為了區(qū)別不同變量數(shù)n的相同最小項(xiàng)符號(hào)，最小項(xiàng)可表示為：11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法三變量的最小項(xiàng)及其編號(hào)使最小項(xiàng)為1的變量取值A(chǔ)B

C對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)最小項(xiàng)編號(hào)最小項(xiàng)0

0

00

0

10

1

00

1

11

0

01

0

11

1

01

1

101234567m0m1m2m3m4m5m6m711.3

邏輯函數(shù)及其表示方法(3)最小項(xiàng)的性質(zhì)在輸入變量的任何取值下，有且只有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1。b.任何兩個(gè)不同最小項(xiàng)之積恒為0，即

即對(duì)于輸入變量的各種邏輯取值，最小項(xiàng)的值為1的幾率最小，最小項(xiàng)由此得名。11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法d.具有邏輯相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)之和可以合并成一項(xiàng)，并消去一個(gè)因子。c.對(duì)于變量的任何一組取值，全體最小項(xiàng)之和為1，即邏輯相鄰性是指兩個(gè)最小項(xiàng)除一個(gè)因子互為非外，其余因子相同。例如，兩個(gè)最小項(xiàng)和ABC是邏輯相鄰項(xiàng)。11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法這兩個(gè)最小項(xiàng)之和可以合并，并消去一個(gè)因子。e.n個(gè)變量有2n個(gè)最小項(xiàng)，且對(duì)于每一最小項(xiàng)，有n個(gè)最小項(xiàng)與之相鄰。例如三個(gè)變量的最小項(xiàng)有相鄰最小項(xiàng)11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法

在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果所有與項(xiàng)均為最小項(xiàng)，稱這種表達(dá)式為最小項(xiàng)之和形式，或稱為標(biāo)準(zhǔn)與或式。一個(gè)三變量的最小項(xiàng)之和形式2.邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和形式(1)定義11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法(2)最小項(xiàng)表達(dá)式的簡(jiǎn)寫式

最小項(xiàng)之和形式是邏輯函數(shù)的一種標(biāo)準(zhǔn)形式，而且任何一個(gè)邏輯函數(shù)都只有唯一的最小項(xiàng)表達(dá)式。11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法(3)由一般式獲得最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式a.代數(shù)法[例1]試將邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)表達(dá)式。

對(duì)邏輯函數(shù)的一般式采用添項(xiàng)法，即反復(fù)應(yīng)用公式X=X(Y+Y)代入缺少某變量(Y)的與項(xiàng)中，即可形成最小項(xiàng)之和形式。11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法[解]11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法b.真值表法

將原邏輯函數(shù)真值表中使函數(shù)值為1的各個(gè)最小項(xiàng)相加，便可得出該函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。[例2]試將邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)表達(dá)式。[解]列出邏輯函數(shù)的真值表。

在這些與項(xiàng)中，若對(duì)應(yīng)的變量取值為1，則寫成原變量；若對(duì)應(yīng)的變量取值為0，則寫成反變量。11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法從真值表上得到最小項(xiàng)表達(dá)式為函數(shù)的真值表11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法11.3.4邏輯函數(shù)的卡諾圖

將n變量邏輯函數(shù)的全部最小項(xiàng)各用一個(gè)小方格表示，并使任何在邏輯上相鄰的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰，這種圖就叫n變量的卡諾圖。1.卡諾圖ABC00011110(b)三變量卡諾圖0

101AB(a)二變量卡諾圖0

111.3

邏輯函數(shù)及其表示方法ABCD000111100132576131514891110(c)四變量卡諾圖(d)五變量卡諾圖0001111011.3

邏輯函數(shù)及其表示方法卡諾圖特點(diǎn):圖中小方格數(shù)為2n，其中n為變量數(shù)。b.圖形兩側(cè)標(biāo)注了變量取值，它們的數(shù)值大小就是相應(yīng)方格所表示的最小項(xiàng)的編號(hào)。c.變量取值順序按格雷碼排列，使具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)，在幾何位置上也相鄰。ABCD000111100132576131514891110(c)四變量卡諾圖0001111011.3

邏輯函數(shù)及其表示方法(1)幾何(位置)相鄰a.小方格相連(有公共邊)則相鄰m5與m1、m4、

m7、m13相鄰m0與m1、m4相鄰ABCD000111100132576131514891110(c)四變量卡諾圖0001111011.3

邏輯函數(shù)及其表示方法m0與m2重合c.循環(huán)相鄰b.對(duì)折重合的小方格相鄰m0與m8重合m0、m4、

m12、m8、m10、m14、

m6、m2等都為循環(huán)相鄰的最小項(xiàng)m0、m1、m3、m2；m0、m1、

m5、m4；m0、m2、

m10、m8；對(duì)稱軸對(duì)稱軸ABCD000111100132576131514891110(c)四變量卡諾圖0001111011.3

邏輯函數(shù)及其表示方法

處于卡諾圖上下及左右兩端、四個(gè)頂角的最小項(xiàng)也都具有相鄰性。(2)邏輯相鄰兩最小項(xiàng)中除一個(gè)變量互為非外，其余相同。ABCD000111100132576131514891110(c)四變量卡諾圖0001111011.3

邏輯函數(shù)及其表示方法2.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示所有的1方格圖即為邏輯函數(shù)的卡諾圖表示。邏輯函數(shù)的卡諾圖表示的基本方法：(1)先把邏輯函數(shù)化成最小項(xiàng)之和的形式。(2)根據(jù)邏輯函數(shù)所包含的變量數(shù)畫出相應(yīng)的卡諾圖。(3)然后對(duì)應(yīng)于函數(shù)式中所包含的各最小項(xiàng)，在圖中相應(yīng)的小方格中填入1，其余小方格中填入0（也可以不填）。11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法1

0

1

01

0

0

1[解](1)畫出三變量的卡諾圖在卡諾圖中將m0、m3、m4、m6處填1，其余填0(或不填)。[例3]試用卡諾圖表示邏輯函數(shù)。ABC0

100

01

111011.3

邏輯函數(shù)及其表示方法[例4]試用卡諾圖表示邏輯函數(shù)ABCD00

01111000011110110

1011001101011[解](1)畫出四變量的卡諾圖在卡諾圖中將m0、m1、m2、m5、m7、m8、m10、m11、m13、m15處填1，其余填0)。11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法[例5]試用卡諾圖表示邏輯函數(shù)(2)畫出三變量的卡諾圖，并將L表示在卡諾圖中[解1](1)先把邏輯函數(shù)一般式化成最小項(xiàng)之和的形式ABC0101100

0110001111011.3

邏輯函數(shù)及其表示方法[解2]邏輯函數(shù)一般式直接填入卡諾圖法在A=0，B=0，C=1對(duì)應(yīng)的方格,即在m1對(duì)應(yīng)位置填1在A=1，B=1，C=0對(duì)應(yīng)的方格,即在m6對(duì)應(yīng)位置填1BC:在B=1,C=1對(duì)應(yīng)的方格(不管A的取值)，即在m3、m7在對(duì)應(yīng)位置填1對(duì)于函數(shù)1ABC010001111011111.3

邏輯函數(shù)及其表示方法[例6]試用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：ABCD00011110000111101111在C=0,D=0所對(duì)應(yīng)的方格中填1AB：在A=1,B=1所對(duì)應(yīng)的方格中填1在A=0,C=1,D=0所對(duì)應(yīng)的方格中填1111111ABD：在A=1,B=1,D=1所對(duì)應(yīng)的方格中填1AC：在A=1,C=1所對(duì)應(yīng)的方格中填111[解]直接填入111111.3

邏輯函數(shù)及其表示方法兩個(gè)邏輯函數(shù)相與，表示兩個(gè)函數(shù)在卡諾圖上所占兩個(gè)區(qū)域的公共區(qū)域。兩個(gè)邏輯函數(shù)相或，表示兩個(gè)函數(shù)所覆蓋的全部區(qū)域。一個(gè)邏輯函數(shù)的非，就是求該函數(shù)所覆蓋之外的區(qū)域。思考題：兩個(gè)邏輯函數(shù)“異或”及“同或”的幾何含義？3.卡諾圖的邏輯運(yùn)算11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法[例7]已知邏輯函數(shù)，試求：(1)(2)(3)(4)[解](1)(2)(3)(4)11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法11.3.5邏輯函數(shù)各種表示方法之間的轉(zhuǎn)換1.由真值表求出函數(shù)式和邏輯圖c.將這些與項(xiàng)或起來，就得到了邏輯函數(shù)式。(1)由真值表求出函數(shù)式a.把真值表中每一組使函數(shù)值為1的輸入變量取值都對(duì)應(yīng)一個(gè)與項(xiàng)。b.在這些與項(xiàng)中，若對(duì)應(yīng)的變量取值為1，則寫成原變量；若對(duì)應(yīng)的變量取值為0，則寫成反變量。11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法ABCL00000101001110010111011101101011[例8]試求真值表所示邏輯函數(shù)的表達(dá)式。[解]先找出使函數(shù)L取值為1的變量組合，分別為001、010、100、110、111。由此可得L的邏輯函數(shù)式：11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法A1B1C1&&≥1L(2)由函數(shù)式畫出邏輯圖函數(shù)式邏輯圖11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法2.由邏輯函數(shù)式求真值表

把輸入變量取值的所有可能組合分別代入邏輯函數(shù)式中進(jìn)行計(jì)算，求出相應(yīng)的函數(shù)值，然后把輸入變量取值與函數(shù)值按對(duì)應(yīng)關(guān)系列成表，這就是所求的真值表。[例9]求邏輯函數(shù)式L=(A

B)C+AB對(duì)應(yīng)的真值表。11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)式的真值表輸出

輸入ABC

L

0000010100111001011101110001011111.3

邏輯函數(shù)及其表示方法3.由邏輯圖求邏輯函數(shù)式和真值表

從輸入到輸出（或輸出到輸入）依次把邏輯圖中的每個(gè)邏輯符號(hào)用相應(yīng)的運(yùn)算符號(hào)代替，即可求得邏輯函數(shù)式。[例10]試寫出圖示邏輯電路的邏輯函數(shù)式。A1B≥1C&&≥1L

11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法A1B≥1C&&≥1L

邏輯函數(shù)式11.3

邏輯函數(shù)及其表示方法

任何邏輯函數(shù)只有唯一的真值表和卡諾圖與之對(duì)應(yīng)。4.卡諾圖與邏