小學(xué)數(shù)學(xué)超詳細(xì)知識(shí)歸納總結(jié)（打印版）

N?■基本概念■?;

I第一童數(shù)和數(shù)的運(yùn)算

一、概念

（一）整數(shù)

1、整數(shù)的意義

自然數(shù)和0都是整數(shù)。

2、自然數(shù)

我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候，用來表示物體個(gè)數(shù)的1,2,3……叫做自然數(shù)。

一個(gè)物體也沒有，用0表示。0也是自然數(shù)。

3、計(jì)數(shù)單位

一（個(gè)工十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計(jì)數(shù)單

位。其中“一”是計(jì)數(shù)的基本單位。

10個(gè)1是10,10介10是100……每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)

率都是這樣的計(jì)數(shù)法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

10o

4、數(shù)位

計(jì)數(shù)單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。

5、整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地讀。讀億級(jí)、萬級(jí)時(shí)，

先按照個(gè)級(jí)的讀法去讀，再在后面加一個(gè)"億"或"萬"字。每一級(jí)

末尾的0都不讀出來，其它數(shù)位連續(xù)有幾個(gè)0都只讀一個(gè)零。

6、整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地寫，哪一個(gè)數(shù)位上一個(gè)

單位也沒有，就在那個(gè)數(shù)位上寫

0o

7、一個(gè)較大的多位數(shù)，為了讀寫方便，常常把它改寫成用"萬"或

“億”作單位的數(shù)。有時(shí)還可以根據(jù)需要，省略這個(gè)數(shù)某一位后面的

數(shù)，寫成近似數(shù)。

⑴準(zhǔn)確數(shù)：在實(shí)際生活中，為了計(jì)數(shù)的簡(jiǎn)便，可以把一個(gè)較大的數(shù)

改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準(zhǔn)確數(shù)。例如把

1254300000改寫成以萬做單位的數(shù)是125430萬；改寫成以億

做單位的數(shù)12.543億。

（2）近似數(shù)：根據(jù)實(shí)際需要，我們還可以把一個(gè)較大的數(shù)，省略某一

位后面的尾數(shù)，用一個(gè)近似數(shù)來表示。例如：1302490015省略

億后面的尾數(shù)是13億。⑶四舍五入法：求近似數(shù)，看尾數(shù)最高位

上的數(shù)是幾，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾數(shù)向前一位進(jìn)1。

這種求近似數(shù)的方法就叫做四舍五入法。

8、整數(shù)大小的比較：位數(shù)多的那個(gè)數(shù)就大，如果位數(shù)相同，就看最

高位，最高位上的數(shù)大，那個(gè)數(shù)就大；最高位上的數(shù)相同，就看下一

位，哪一位上的數(shù)大那個(gè)數(shù)就大。以此類推。

（二）小數(shù)

1、小數(shù)的意義

把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之幾、

百分之幾、千分之幾……可以用小數(shù)表示。如1/10記作0.1,7/100

記作0.07。

一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分

之幾……

一個(gè)小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)部分組成。數(shù)中的圓點(diǎn)叫做

小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部

分，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。

小數(shù)點(diǎn)右邊第一位叫十分位，計(jì)數(shù)單位是十分之一（0」）；第二位叫

百分位，計(jì)數(shù)單位是百分之一（0.01）……小數(shù)部分最大的計(jì)數(shù)單位

是十分之一，沒有最小的計(jì)數(shù)單位。小數(shù)部分有幾個(gè)數(shù)位，就叫做幾

位小數(shù)。如0.36是兩位小數(shù)，3.066是三位小數(shù)

在小數(shù)里，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)部分的最

高分?jǐn)?shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進(jìn)率也

是10。

2、小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)

點(diǎn)讀作"點(diǎn)”，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。

3、小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫，小

數(shù)點(diǎn)寫在個(gè)位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。

4、比較小數(shù)的大小：先看它們的整數(shù)部分,,整數(shù)部分大的那個(gè)數(shù)就

大；整數(shù)部分相同的，十分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大；十分位上的數(shù)

也相同的，百分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大……

5、小數(shù)的分類

（1）純小數(shù):整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如：0.25、0.368

都是純小數(shù)。

（2）帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。例如：3.25、

5.26都是帶小數(shù)。

（3）有限小數(shù):小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。例如：

41.7、25.3、0.23都是有限小數(shù)。

⑷無限小數(shù):小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。例如：

4.33……3.1415926……

⑸無限不循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無

限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如：n

（6）循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，有一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不

斷重復(fù)出現(xiàn)，這介數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如：3.555……

0.0333……12.109109……

一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個(gè)循環(huán)小

數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如：3.99……的循環(huán)節(jié)是“9”,0.5454……

的循環(huán)節(jié)是“54”。

⑺純循環(huán)小數(shù):循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。

例如：3.111……0.5656……

（8）混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)

小數(shù)。3.1222……0.03333……

寫循環(huán)小數(shù)的時(shí)候，為了簡(jiǎn)便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個(gè)循環(huán)節(jié),

并在這介循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點(diǎn)一個(gè)圓點(diǎn)。如果循環(huán)節(jié)只有

一個(gè)數(shù)字，就只在它的上面點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)。

（三）分?jǐn)?shù)

1、分?jǐn)?shù)的意義

把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分

數(shù)。

在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表

示把單位"1”平均分成多少份；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有

這樣的多少份。

把單位"1"平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。

2、分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀分母再讀“分之"然后讀分子，分

子和分母按照整數(shù)的讀法來讀。

3、分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線，再寫分母，最后寫分子，按照整數(shù)的

寫法來寫。

4、比較分?jǐn)?shù)的大?。?/p>

（1）分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的那個(gè)分?jǐn)?shù)就大。

（2）分子相同的分?jǐn)?shù)，分母小的那個(gè)分?jǐn)?shù)就大。

（3）分母和分子都不同的分?jǐn)?shù)，通常是先通分，轉(zhuǎn)化成通分母的分?jǐn)?shù)，

再比較大小。

⑷如果被比較的分?jǐn)?shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要比較它們的整數(shù)部分，整數(shù)部

分大的那個(gè)帶分?jǐn)?shù)就大;如果整數(shù)部分相同，再比較它們的分?jǐn)?shù)部分,

分?jǐn)?shù)部分大的那個(gè)帶分?jǐn)?shù)就大。

5、分?jǐn)?shù)的分類

按照分子、分母和整數(shù)部分的不同情況，可以分成：真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、

帶分?jǐn)?shù)

（1）真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于lo

⑵假分?jǐn)?shù):分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。

假分?jǐn)?shù)大于或等于lo

（3）帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分

數(shù)。

6、分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系及分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

（1）除法是一種運(yùn)算，有運(yùn)算符號(hào)；分?jǐn)?shù)是一種數(shù)。因此，一般應(yīng)敘

述為被除數(shù)相當(dāng)于分子，而不能說成被除數(shù)就是分子。

（2）由于分?jǐn)?shù)和除法有密切的關(guān)系，根據(jù)除法中“商不變”的性質(zhì)可

得出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

⑶分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大

小不變，這叫做分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，它是約分和通分的依據(jù)。

7、約分和通分

（1）分子、分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

（2）把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它相等但分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約

分。

（3）約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子、分母；

通常要除到得出最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為止。

⑷把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。

⑸通分的方法：先求出原來幾個(gè)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分?jǐn)?shù)

化成用這個(gè)最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。

8、倒數(shù)

（1）乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

（2）求一個(gè)數(shù)（0除外）的倒數(shù)，只要把這個(gè)數(shù)的分子、分母調(diào)換位

置。

（3）1的倒數(shù)是1,0沒有倒數(shù)

（四）百分?jǐn)?shù)

1、百分?jǐn)?shù)的意義

表示一個(gè)數(shù)是另一分?jǐn)?shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù),也叫做百分率

或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用"％”來表示。百分號(hào)是表示百分?jǐn)?shù)的符號(hào)。

2、百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀百分之，再讀百分號(hào)前面的數(shù)，

讀數(shù)時(shí)按照整數(shù)的讀法來讀。

3、百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在原來的分子后

面加上百分號(hào)"％”來表示。

4、百分?jǐn)?shù)與折數(shù)、成數(shù)的互化：

例如：三折就是30%,七五折就是75%,成數(shù)就是十分之幾，如一

成就是腌闖砂僧質(zhì)褪?0%,則六成五就是65%。

5、納稅和利息：

稅率：應(yīng)納稅額與各種收入的比率。

利率：利息與本金的百分率。由銀行規(guī)定按年或按月計(jì)算。

利息的計(jì)算公式：利息;本金x利率x時(shí)間

6、百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的區(qū)別主要有以下三點(diǎn)：

(1)意義不同。百分?jǐn)?shù)是“表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)J

它只能表示兩數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，不能表示某一具體數(shù)量。如：可以

說1米是5米的20%,不可以說“一段繩子長(zhǎng)為20%米?！币?/p>

此，百分?jǐn)?shù)后面不能帶單位名稱。分?jǐn)?shù)是“把單位’1'平均分成若

千份，表示這樣一份或幾份的數(shù)”。分?jǐn)?shù)不僅可以表示兩數(shù)之間的倍

數(shù)關(guān)系，如：甲數(shù)是3,乙數(shù)是4,甲數(shù)是乙數(shù)的？；還可以表示一

定的數(shù)量，如：嘏3恕米等。

（2）應(yīng)用范圍不同。百分?jǐn)?shù)在生產(chǎn)、工作和生活中，常用于調(diào)查、統(tǒng)

計(jì)、分析與比較。而分?jǐn)?shù)常常是在測(cè)量、計(jì)算中，得不到整數(shù)結(jié)果時(shí)

使用。

⑶書寫形式不同。百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而采用百分號(hào)"％”

來表示。如：百分之四十五，寫作：45%；百分?jǐn)?shù)的分母固定為100,

因此，不論百分?jǐn)?shù)的分子、分母之間有多少個(gè)公約數(shù)，都不約分；

百分?jǐn)?shù)的分子可以是自然數(shù)，也可以是小數(shù)。而分?jǐn)?shù)的分子只能是自

然數(shù)，它的表示形式有：真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)，計(jì)算結(jié)果不是

最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的一般要通過約分化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，是假分?jǐn)?shù)的要化成帶分?jǐn)?shù)。

7、數(shù)的互化

⑴小數(shù)化成分?jǐn)?shù)嫄來有幾位小數(shù)就在1的后面寫幾個(gè)零作分母，

把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子，能約分的要約分。

⑵分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有

的不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，一般保留三位小數(shù)。

（3）一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因

數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)；如果分母中含有2和5以外的質(zhì)

因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。

⑷小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)在后面添上

百分號(hào)。

⑸百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號(hào)去掉，同時(shí)

把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。

（6）分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時(shí)，通常保留

三位小數(shù)），再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。

⑺百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡(jiǎn)

分?jǐn)?shù)。

（五）數(shù)的整除

1、整除的意義

整數(shù)a除以整數(shù)b（b/0）,除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說

a能被b整除，或者說b能整除a。

除盡的意義甲數(shù)除以乙數(shù)，所得的商是整數(shù)或有限小數(shù)而余數(shù)也為

0時(shí)，我們就說甲數(shù)能被乙數(shù)除盡，（或者說乙數(shù)能除盡甲數(shù)）這里

的甲數(shù)、乙數(shù)可以是自然數(shù)，也可以是小數(shù)（乙數(shù)不能為01

2、約數(shù)和倍數(shù)

（1）如果數(shù)a能被數(shù)b（b/0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫

做a的約數(shù)（或a的因數(shù)1倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。

（2）一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1,最大的約

數(shù)是它本身。

⑶一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身，沒有

最大的倍數(shù)。

3、奇數(shù)和偶數(shù)

（1）自然數(shù)按能否被2整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。

①能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。0也是偶數(shù)。

②不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。

（2）奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：

①相鄰兩個(gè)自然數(shù)之和是奇數(shù)，之積是偶數(shù)。

②奇數(shù)+奇數(shù):偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)；奇

數(shù)-奇數(shù)二偶數(shù)，

奇數(shù)-偶數(shù)二奇數(shù)，偶數(shù)-奇數(shù)二奇數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)二偶數(shù)；奇數(shù)X奇數(shù)二

奇數(shù)，奇數(shù)X偶數(shù)二偶數(shù)，偶數(shù)X偶數(shù)二偶數(shù)。

4、整除的特征

（1）個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都能被2整除。

（2）個(gè)位上是?；?的數(shù)，都能被5整除。

（3）一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除。

⑷一個(gè)數(shù)各位數(shù)上的和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除。

（5）能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)一定能

被3整除。

（6）一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個(gè)數(shù)就能被4（或25）

整除。

⑺一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，這個(gè)數(shù)就能被8（或

125）整除。

5、質(zhì)數(shù)和合數(shù)

（1）一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或

素?cái)?shù)），100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11.13、17、19、23、

29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、

89、97。

⑵一個(gè)數(shù)如果除了1和它本身還有別的約數(shù)這樣的數(shù)叫做合數(shù)，

例如4、6、8、9、12都是合數(shù)。

⑶1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。

如果把自然數(shù)按其約數(shù)的個(gè)數(shù)的不同分類，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和lo

6、分解質(zhì)因數(shù)

（1）質(zhì)因數(shù)

每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合

數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3x5,3和5叫做15

的質(zhì)因數(shù)。

（2）分解質(zhì)因數(shù)

把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用

短除法來分解質(zhì)因數(shù)。先用能整除這個(gè)合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除，一直除到商

是質(zhì)數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。

（3）公因（約）數(shù)

幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個(gè)叫這幾個(gè)

數(shù)的最大公因數(shù)。

公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。成互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，有下列

幾種情況：①和任何自然數(shù)互質(zhì)；

②相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)；

③當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)；

④兩個(gè)合數(shù)的公約數(shù)只有1時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，如果幾個(gè)數(shù)中任意

兩個(gè)都互質(zhì)，就說這幾個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。

如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。

如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是lo

⑷公倍數(shù)

①幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。其中最大的一個(gè)叫

這幾個(gè)數(shù)的最大公倍數(shù)。

求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，

一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止，然后把所有的除數(shù)連乘求積，

這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的的最大公約數(shù)。

②幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè),

叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)（或其中的部分?jǐn)?shù)）

的公約數(shù)去除，一直除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把所有的除

數(shù)和商連乘求積，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。

幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，而幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。

（一）商不變的規(guī)律

商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或者同時(shí)縮小相同

的倍，商不變。

（二）小數(shù)的性質(zhì)

小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。

（三）小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化

I、小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，原來的數(shù)就擴(kuò)大10倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)

兩位，原來的數(shù)就擴(kuò)大100倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位，原來的數(shù)就

擴(kuò)大1000倍……

2、小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，原來的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)

兩位，原來的數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位，原來的數(shù)就

縮小1000倍……

3、小數(shù)點(diǎn)向左移或者向右移位數(shù)不夠時(shí)，要用"0"補(bǔ)足位。

（四）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零

除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

（五）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

1、被除數(shù)。除數(shù)=被除數(shù)/除數(shù)

2、因?yàn)榱悴荒茏鞒龜?shù)，所以分?jǐn)?shù)的分母不能為零。

3、被除數(shù)相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母。

（一）整數(shù)四則運(yùn)算的法則

1、整數(shù)加法：

把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫做加法。

在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分?jǐn)?shù)，和

是總數(shù)。

加數(shù)+加數(shù)二和一個(gè)加數(shù)二和-另一個(gè)加數(shù)

2、整數(shù)減法：

已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫做減法。

在減法里，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)

叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分別是部分?jǐn)?shù)。

加法和減法互為逆運(yùn)算。

3、整數(shù)乘法：

求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算叫做乘法。

在乘法里，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和

叫做積。

在乘法里，0和任何數(shù)相乘都得0.1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。

一個(gè)因數(shù)X一個(gè)因數(shù)二積一個(gè)因數(shù)=積+另一個(gè)因數(shù)

4、整數(shù)除法：

已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算叫做除法。

在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個(gè)因數(shù)叫做除數(shù)，所求的

因數(shù)叫做商。

乘法和除法互為逆運(yùn)算。

在除法里，0不能做除數(shù)。因?yàn)?和任何數(shù)相乘都得0,所以任何一

個(gè)數(shù)除以0,均得不到一個(gè)確定的商。

被除數(shù)+除數(shù)=商除數(shù)二被除數(shù)+商被除數(shù)=商、除數(shù)

5、乘方：

求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方。例如3x3=32

（二）小數(shù)四則運(yùn)算

1、小數(shù)加法:

小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的

超算。

2、小數(shù)減法:

小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的

一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算.

3、小數(shù)乘法：

小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的

簡(jiǎn)便運(yùn)算；一個(gè)數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個(gè)數(shù)的十分之幾、百分之幾、

千分之幾……是多少。

4、小數(shù)除法：

小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，就是已知兩介因數(shù)的積與其

中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。

（三）分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算

1、分?jǐn)?shù)加法：

分?jǐn)?shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)

的運(yùn)算。

2、分?jǐn)?shù)減法：

分?jǐn)?shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的

一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算。

3、分?jǐn)?shù)乘法：

分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)

便運(yùn)算。

4、分?jǐn)?shù)除法：

分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同。就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其

中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。

(四)運(yùn)算定律

1、加法運(yùn)算定律

(1)加法交換律：

兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即a+b=b+a.

(2)加法結(jié)合律：

三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；或者先把后

兩個(gè)數(shù)相加，再和第一個(gè)數(shù)相加它們的和不變，即

(a+b)+c=a+(b+c)。

2、乘法運(yùn)算定律

(1)乘法交換律：

兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即axb二bxa。

(2)乘法結(jié)合律：

三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再乘以第三個(gè)數(shù)；或者先把后

兩個(gè)數(shù)相乘，再和第一個(gè)數(shù)相乘，它們的積不變，即(axb)xc=ax(b

xc)。

⑶乘法分配律：

兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，

再把兩個(gè)積相加，BP(a+b)xc=axc+bxco

⑷乘法分配律擴(kuò)展：

兩個(gè)數(shù)的差與一數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相

減,即(a-b)xc=axc-bxc

3、減法運(yùn)算定律

(1)從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，可以從這個(gè)數(shù)里減去所有減數(shù)的和，

差不變，即a-b-c=a-(b+c)。

(2)一個(gè)數(shù)連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)，可以先減去第二個(gè)減數(shù)，再減去第一個(gè)

減數(shù),即a-b-c=a-c-bo

4、除法運(yùn)算定律

(1)一個(gè)數(shù)連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)，可以除以這兩個(gè)數(shù)的集，即a+b+c=a

4-(bxc)o

(2)一個(gè)數(shù)連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)，可以先除以第二除數(shù)，再除以第一個(gè)除

數(shù)，即a-rb-j-c=a-rc-j-b?

5、其它

a-b+c=a+c-b

a-b+c=a+(b-c)

a-rbxc=axc-rb

a-rbxc=a-r(b-j-c)

6、積的變化規(guī)律：在乘法中，一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大(或

縮?。┤舾杀叮e也擴(kuò)大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)。

推廣：一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大A倍，另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大B倍，積擴(kuò)大AB倍。

一個(gè)因數(shù)縮小A倍，另一個(gè)因數(shù)縮小B倍，積縮小AB倍。

7、商不變性質(zhì)：在除法中，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大（或縮?。┫嗤?/p>

的倍數(shù)，商不變。m，0a-rb=（axm）4-（bxm）=（a-rm）+（b+m）

推廣：被除數(shù)擴(kuò)大（或縮?。〢倍，除數(shù)不變，商也擴(kuò)大（或縮?。?/p>

A倍。

被除數(shù)不變，除數(shù)擴(kuò)大（或縮?。〢倍，商反而縮小（或擴(kuò)大）

A倍。

利用積的變化規(guī)律和商不變規(guī)律性質(zhì)可以使一些計(jì)算簡(jiǎn)便。但在有余

數(shù)的除法中要注意余數(shù)。如：8500-200=可以把被除數(shù)、除數(shù)同

時(shí)縮小100倍來除，即85-2=,商不變，但此時(shí)的余數(shù)1是被縮

小被后的，所以還原成原來的余數(shù)應(yīng)該是

100100o

（五）計(jì)算方法

1、整數(shù)加法計(jì)算法則：

相同數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進(jìn)

2、整數(shù)減法計(jì)算法則：

相同數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位

退一作十，和本位上的數(shù)合并在一起，再減。

3、整數(shù)乘法計(jì)算法則：

先用一個(gè)因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個(gè)因數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)，用

因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對(duì)齊哪一位，然后把各次

乘得的數(shù)加起來。

4、整數(shù)除法計(jì)算法則：

先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位；如果

不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位的上面。

如果哪一位上不夠商1,要補(bǔ)"0"占位。每次除得的余數(shù)要小于除

數(shù)。

5、小數(shù)乘法法則：

先按照整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從

積的右邊起數(shù)出幾位,點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)；如果位數(shù)不夠，就用"0"補(bǔ)足。

6、除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計(jì)算法則：

先按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；

如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添"0”,再繼續(xù)除。

7、除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算法則：

先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)幾位

（位數(shù)不夠的補(bǔ)"0"）,然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算。

8、同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法：

同分母分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。

9、異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法：

先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計(jì)算。

10、帶分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法：

整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來。

11.分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則：

分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分?jǐn)?shù)

乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。

12、分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則:

甲數(shù)除以乙數(shù)（。除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。

（六）運(yùn)算順序

1、小數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。

2、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。

3、沒有括號(hào)的混合運(yùn)算:同級(jí)運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算；兩級(jí)運(yùn)算先

算乘、除法，后算加減法。

4、有括號(hào)的混合運(yùn)算:先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，最后

算括號(hào)外面的。

5、第一級(jí)運(yùn)算：加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算。

6、第二級(jí)運(yùn)算：乘法和除法叫做第二級(jí)運(yùn)算。

（-）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用

1、簡(jiǎn)單應(yīng)用題

(1)簡(jiǎn)單應(yīng)用題：只含有一種基本數(shù)量關(guān)系，或用一步運(yùn)算解答的

應(yīng)用題，通常叫做簡(jiǎn)單應(yīng)用題。

(2)解題步驟：

a審題理解題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容，知道應(yīng)用題的條件和問題。讀

題時(shí)，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也可以

復(fù)述條件和問題，幫助理解題意。

b選擇算法和列式計(jì)算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目中告訴

什么，要求什么著手，逐步根據(jù)所給的條件和問題，聯(lián)系四則運(yùn)算的

含義，分析數(shù)量關(guān)系，確定算法，進(jìn)行解答并標(biāo)明正確的單位名稱。

C檢驗(yàn)：就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進(jìn)行檢查看所列算式和計(jì)算過

程是否正確，是否符合題意。如果發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，馬上改正。

2、復(fù)合應(yīng)用題

(1)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的，用兩步或兩步以上

運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通常叫做復(fù)合應(yīng)用題。

(2)含有三個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。

求比兩個(gè)數(shù)的和多(少)幾個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。

比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題。

(3)含有兩個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。

已知兩數(shù)相差多少(或倍數(shù)關(guān)系)與其中一個(gè)數(shù)，求兩個(gè)數(shù)的和(或

差I(lǐng)

已知兩數(shù)之和與其中一個(gè)數(shù)，求兩個(gè)數(shù)相差多少(或倍數(shù)關(guān)系1

(4)解答連乘連除應(yīng)用題。

(5)解答三步計(jì)算的應(yīng)用題。

(6)解答小數(shù)計(jì)算的應(yīng)用題：小數(shù)計(jì)算的加法、減法、乘法和除法

的應(yīng)用題，他們的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本

相同，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。

d答案：根據(jù)計(jì)算的結(jié)果，先口答，逐步過渡到筆答。

(7)解答加法應(yīng)用題：

a求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)的和

是多少。

b求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少,

求乙數(shù)是多少。

(8)解答減法應(yīng)用題:

a求剩余的應(yīng)用題：從已知數(shù)中去掉一部分，求剩下的部分。

-b求兩個(gè)數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲

數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少。

c求比一個(gè)數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少,,乙數(shù)比甲數(shù)少

多少，求乙數(shù)是多少。

(9)解答乘法應(yīng)用題：

a求相同加數(shù)和的應(yīng)用題：已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)，求總

數(shù)。

b求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)是多少，另一個(gè)數(shù)是

它的幾倍，求另一個(gè)數(shù)是多少。

(10)解答除法應(yīng)用題：

a把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和

把這個(gè)數(shù)平均分成幾份的，求每一份是多少。

b求一個(gè)數(shù)里包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和每份是多少,

求可以分成幾份。

C求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少,

求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。

d已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。

(11)常見的數(shù)量關(guān)系：

總價(jià)=單價(jià)x數(shù)量

路程二速度x時(shí)間

工作總量;工作時(shí)間x工效

總產(chǎn)量二單產(chǎn)量X數(shù)量

3、典型應(yīng)用題

具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題，通常叫做典

型應(yīng)用題。

(1)平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。

解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對(duì)應(yīng)的總份數(shù)。

算術(shù)平均數(shù)：已知幾個(gè)不相等的同類量和與之相對(duì)應(yīng)的份數(shù)，求平均

每份是多少。數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量之和+數(shù)量的個(gè)數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。

加權(quán)平均數(shù)：已知兩個(gè)以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。

數(shù)量關(guān)系式（部分平均數(shù)X權(quán)數(shù)）的總和。（權(quán)數(shù)的和）=加權(quán)平均

數(shù)。

差額平均數(shù):是把各個(gè)大于或小于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分,

求的是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù)。

數(shù)量關(guān)系式：（大數(shù)-小數(shù)）/2;小數(shù)應(yīng)得數(shù)最大數(shù)與各數(shù)之差

的和?總份數(shù)二最大數(shù)應(yīng)給數(shù)最大數(shù)與個(gè)數(shù)之差的和+總份數(shù)

二最小數(shù)應(yīng)得數(shù)。

例：一輛汽車以每小時(shí)10。千米的速度從甲地開往乙地，又以每

小時(shí)60千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。

分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地

的路程設(shè)為"1”,則汽車行駛的總路程為“2”,從甲地到乙地

的速度為100，所用的時(shí)間為，汽車從乙地到甲地速度為60千

米，所用的時(shí)間是，汽車共行的時(shí)間為+=,汽車的平均速

度為2。=75（千米）

（2）歸一問題：已知相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量，其中一種量改變，另一種

量也隨之而改變，其變化的規(guī)律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。

根據(jù)求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，

兩次歸一問題。

根據(jù)球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以分為正

歸一問題，反歸一問題。

一次歸一問題，用一步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單

歸一?！?/p>

兩次歸一問題，用兩步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙

歸一?！?/p>

正歸一問題：用等分除法求出“單一量"之后，再用乘法計(jì)算結(jié)果的

歸一問題。

反歸一問題：用等分除法求出“單一量"之后，再用除法計(jì)算結(jié)果的

歸一問題。

解題關(guān)鍵：從已知的一組對(duì)應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一

量），然后以它為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)題目的要求算出結(jié)果。

數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)我涣縓份數(shù)二總數(shù)量（正歸一）

總數(shù)量+單一量二份數(shù)（反歸一）

例一個(gè)織布工人，在七月份織布4774米，照這樣計(jì)算，織布

6930米，需要多少天？

分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。6930-

（47744-31）=45（天）

（3）歸總問題：是已知單位數(shù)量和計(jì)量單位數(shù)量的個(gè)數(shù)，以及不同

的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個(gè)數(shù)），通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個(gè)

數(shù)（或單位數(shù)量1

特點(diǎn)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不

過變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。

數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)挝粩?shù)量x單位個(gè)數(shù)+另一個(gè)單位數(shù)量=另一個(gè)單位

數(shù)量單位數(shù)量x單位個(gè)數(shù)+另一個(gè)單位數(shù)量=另一個(gè)單位

數(shù)量。

例修一條水渠，原計(jì)劃每天修800米，6天修完。實(shí)際4天修

完，每天修了多少米？

分析：因?yàn)橐蟪雒刻煨薜拈L(zhǎng)度，就必須先求出水渠的長(zhǎng)度。所以也

把這類應(yīng)用題叫做“歸總問題"。不同之處是“歸一"先求出單一量，

再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。800x6-

4=1200（米）

（4）和差問題：已知大小兩個(gè)數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個(gè)數(shù)

各是多少的應(yīng)用題叫做和差問題。

解題關(guān)鍵：是把大小兩個(gè)數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個(gè)大數(shù)的和（或兩個(gè)小數(shù)的

和），然后再求另一個(gè)數(shù)。

解題規(guī)律：（和+差）+2:大數(shù)大數(shù)-差二小數(shù)

（和-差）+2=小數(shù)和-小數(shù)=大數(shù)

例某加工廠甲班和乙班共有工人94人，因工作需要臨時(shí)從乙班調(diào)

46人到甲班工作，這時(shí)乙班比甲班人數(shù)少12人，求原來甲班和乙

班各有多少人？

分析：從乙班調(diào)46人到甲班，對(duì)于總數(shù)沒有變化，現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)

化成2個(gè)乙班，即94-12,由此得到現(xiàn)在的乙班是（94-

12）4-2=41（人），乙班在調(diào)出46人之前應(yīng)該為41+46=87

（人），甲班為94-87=7（人）

（5）和倍問題：已知兩個(gè)數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)

各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問題。

解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（即1倍數(shù)）一般說來，題中說是“誰"的幾

倍，把誰就確定為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量是多

少。根據(jù)另一個(gè)數(shù)（也可能是幾個(gè)數(shù)）與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再去求

另一個(gè)數(shù)（或幾個(gè)數(shù)）的數(shù)量。

解題規(guī)律：和+倍數(shù)和=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)x倍數(shù)=另一個(gè)數(shù)

例:汽車運(yùn)輸場(chǎng)有大小貨車115輛，大貨車比小貨車的5倍多7

輛，運(yùn)輸場(chǎng)有大貨車和小汽車各有多少輛?

分析：大貨車比小貨車的5倍還多7輛，這7輛也在總數(shù)115

輛內(nèi)，為了使總數(shù)與（5+1）倍對(duì)應(yīng)，總車輛數(shù)應(yīng)（115-7）輛。

列式為（115-7）+（5+1）=18（輛），18x5+7=97（輛）

（6）差倍問題：已知兩個(gè)數(shù)的差，及兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)

各是多少的應(yīng)用題。

解題規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的差。（倍數(shù)-1）=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)x倍數(shù)=另

一個(gè)數(shù)。

例甲乙兩根繩子，甲繩長(zhǎng)63米，乙繩長(zhǎng)29米，兩根繩剪去同

樣的長(zhǎng)度，結(jié)果甲所剩的長(zhǎng)度是乙繩長(zhǎng)的3倍，甲乙兩繩所剩長(zhǎng)度

各多少米？各減去多少米？

分析：兩根繩子剪去相同的一段，長(zhǎng)度差沒變，甲繩所剩的長(zhǎng)度是乙

繩的3倍，實(shí)比乙繩多（3-1）倍，以乙繩的長(zhǎng)度為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。列

式（63-29）。（3-1）=17（米）…乙繩剩下的長(zhǎng)度，17x

3=51（米）…甲繩剩下的長(zhǎng)度，29-17=12（米）…剪去的長(zhǎng)度。

（7）行程問題：關(guān)于走路、行車等問題，一般都是計(jì)算路程、時(shí)間、

速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時(shí)間、路程、

方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關(guān)系，再根據(jù)這類

問題的規(guī)律解答。

解題關(guān)鍵及規(guī)律：

同時(shí)同地相背而行：路程=速度和X時(shí)間。

同時(shí)相向而行：相遇時(shí)間:速度和X時(shí)間

同時(shí)同向而行（速度慢的在前，快的在后）:追及時(shí)間=路程速度差。

同時(shí)同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）潞程二速度差X時(shí)間。

例甲在乙的后面28千米，兩人同時(shí)同向而行，甲每小時(shí)行16千

米，乙每小時(shí)行9千米，甲幾小時(shí)追上乙？

分析：甲每小時(shí)比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小時(shí)可以追

近乙（16-9）千米，這是速度差。

已知甲在乙的后面28千米（追擊路程），28千米里包含著幾個(gè)

（16-9汗米，也就是追擊所需要的時(shí)間。列式28-（16-9）

=4（小時(shí)）

（8）流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程

問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點(diǎn)主要是

考慮水速在逆行和順行中的不同作用。

船速：船在靜水中航行的速度。

水速：水流動(dòng)的速度。

順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣取?/p>

逆水速度：船逆流航行的速度。

順?biāo)?船速+水速

逆速=船速-水速

解題關(guān)鍵：因?yàn)轫樍魉俣仁谴倥c水速的和，逆流速度是船速與水速

的差，所以流水問題當(dāng)作和差問題解答。解題時(shí)要以水流為線索。

解題規(guī)律：船行速度二（順?biāo)俣?逆流速度）+2

流水速度=（順流速度逆流速度）-2

路程=順流速度x順流航行所需時(shí)間

路程=逆流速度x逆流航行所需時(shí)間

例一只輪船從甲地開往乙地順?biāo)校啃r(shí)行28千米，到乙

地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比順?biāo)嘈?小時(shí)，已知水速

每小時(shí)4千米。求甲乙兩地相距多少千米？

分析：此題必須先知道順?biāo)乃俣群晚標(biāo)枰臅r(shí)間，或者逆水速

度和逆水的時(shí)間。已知順?biāo)俣群退魉俣龋虼瞬浑y算出逆水的速

度，但順?biāo)玫臅r(shí)間，逆水所用的時(shí)間不知道，只知道順?biāo)饶嫠?/p>

少用2小時(shí)，抓住這一點(diǎn)，就可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐乃?/p>

用的時(shí)間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為284x2=20

（千米）20x2=40（千米）404-（4x2）=5（小時(shí)）

28x5=140（千米工

（9）還原問題：已知某未知數(shù)，經(jīng)過一定的四則運(yùn)算后所得的結(jié)果，

求這個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題，我們叫做還原問題。

解題關(guān)鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。

解題規(guī)律：從最后結(jié)果出發(fā)，采用與原題中相反的運(yùn)算（逆運(yùn)算）

方法，逐步推導(dǎo)出原數(shù)。

根據(jù)原題的運(yùn)算順序列出數(shù)量關(guān)系，然后采用逆運(yùn)算的方法計(jì)算推導(dǎo)

出原數(shù)。

解答還原問題時(shí)注意觀察運(yùn)算的順序。若需要先算加減法，后算乘除

法時(shí)別忘記寫括號(hào)。

例某小學(xué)三年級(jí)四個(gè)班共有學(xué)生168人，如果四班調(diào)3人到三班,

三班調(diào)6人到二班，二班調(diào)6人到一班，一班調(diào)2人到四班，則

四個(gè)班的人數(shù)相等，四個(gè)班原有學(xué)生多少人？

分析：當(dāng)四個(gè)班人數(shù)相等時(shí)，應(yīng)為168。4,以四班為例，它調(diào)

給三班3人，又從一班調(diào)入2人，所以四班原有的人數(shù)減去3再

加上2等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為168-4-2+3=43（人）

一班原有人數(shù)列式為168-4-6+2=38（人）；二班原有人數(shù)列式

為168-4-6+6=42（人）三班原有人數(shù)列式為1684-

4-3+6=45（人工

（10）植樹問題：這類應(yīng)用題是以“植樹”為內(nèi)容。凡是研究總路

程、株距、段數(shù)、棵樹四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，叫做植樹問題。

解題關(guān)鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而

確定是沿線段植樹還是沿周長(zhǎng)植樹，然后按基本公式進(jìn)行計(jì)算。

解題規(guī)律：沿線段植樹

棵樹二段數(shù)+1棵樹二總路程+株距+1

株距二總路程。（棵樹-1）總路程二株距x（棵樹-1）

沿周長(zhǎng)植樹

棵樹二總路程+株距

株距二總路程+棵樹

總路程二株距x棵樹

例沿公路一旁埋電線桿301根，每相鄰的兩根的間距是50米。

后來全部改裝，只埋了201根。求改裝后每相鄰兩根的間距。

分析:本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。列式為50

x（301-1）4-（201-1）=75（米）

（11）盈虧問題：是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。他的特點(diǎn)是

把一定數(shù)量的物品，平均分配給一定數(shù)量的人，在兩次分配中，一次

有余，一次不足（或兩次都有余）,或兩次都不足），已知所余和不足

的數(shù)量，求物品適量和參加分配人數(shù)的問題，叫做盈虧問題。

解題關(guān)鍵:盈虧問題的解法要點(diǎn)是先求兩次分配中分配者沒份所得物

品數(shù)量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額），用

前一個(gè)差去除后一個(gè)差，就得到分配者的數(shù)，進(jìn)而再求得物品數(shù)。

解題規(guī)律：總差額+每人差額=人數(shù)

總差額的求法可以分為以下四種情況：

第一次多余，第二次不足，總差額=多余+不足

第一次正好，第二次多余或不足，總差額=多余或不足

第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余

第一次不足，第二次也不足，總差額=大不足-小不足

例參加美術(shù)小組的同學(xué)，每個(gè)人分的相同的支數(shù)的色筆，如果小組

10人，則多25支，如果小組有12人，色筆多余5支。求每人

分得幾支？共有多少支色鉛筆？

分析：每個(gè)同學(xué)分到的色筆相等。這個(gè)活動(dòng)小組有12人，比10人

多2人，而色筆多出了（25-5）=20支，2個(gè)人多出20支，

一個(gè)人分得10支。列式為（25-5）。（12-10）=10（支）

10x12+5=125（支工

（12）年齡問題：將差為一定值的兩個(gè)數(shù)作為題中的一個(gè)條件，這

種應(yīng)用題被稱為“年齡問題，

解題關(guān)鍵：年齡問題與和差、和倍、差倍問題類似，主要特點(diǎn)是隨著

時(shí)間的變化，年歲不斷增長(zhǎng)，但大小兩個(gè)不同年齡的差是不會(huì)改變的,

因此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時(shí)，要善于利用差不

變的特點(diǎn)。

例父親48歲，兒子21歲。問幾年前父親的年齡是兒子的4倍？

分析：父子的年齡差為48-21=27（歲工由于幾年前父親年齡是

兒子的4倍，可知父子年齡的倍數(shù)差是（4-1）倍。這樣可以算

出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的4

倍。列式為：21（48-21）-（4-1）=12（年）

（13）雞兔問題：已知"雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求"雞"和"兔"

各多少只的一類應(yīng)用題。通常稱為“雞兔問題"又稱雞兔同籠問題

解題關(guān)鍵：解答雞兔問題一般采用假設(shè)法，假設(shè)全是一種動(dòng)物（如全

是"雞"或全是"兔、然后根據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的

頭數(shù)。

解題規(guī)律：（總腿數(shù)-雞腿數(shù)X總頭數(shù)）+一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只

數(shù)

兔子只數(shù)二（總腿數(shù)-2x總頭數(shù)）

如果假設(shè)全是兔子，可以有下面的式子：

雞的只數(shù)二（4x總頭數(shù)-總腿數(shù)）?2

兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù)

例雞兔同籠共50個(gè)頭，170條腿。問雞兔各有多少只？

兔子只數(shù)（170-2x502=35（只）

雞的只數(shù)50-35=15（只）

（二）分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

1、分?jǐn)?shù)加減法應(yīng)用題：

分?jǐn)?shù)加減法的應(yīng)用題與整數(shù)加減法的應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系和解題

方法基本相同，所不同的只是在已知數(shù)或未知數(shù)中含有分?jǐn)?shù)。

2、分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題：

是指已知一個(gè)數(shù)，求它的幾分之幾是多少的應(yīng)用題。

特征：已知單位“1”的量和分率，求與分率所對(duì)應(yīng)的實(shí)際數(shù)量。

解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確判斷單位“1”的量。找準(zhǔn)要求問題所對(duì)應(yīng)的分率，

然后根據(jù)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義正確列式。

3、分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題：

求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少。

特征：已知一個(gè)數(shù)和另一個(gè)數(shù)，求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾或百

分之幾。"一個(gè)數(shù)”是比較量，“另一個(gè)數(shù)”是標(biāo)準(zhǔn)量。求分率或百分

率，也就是求他們的倍數(shù)關(guān)系。

解題關(guān)鍵:從問題入手搞清把誰看作標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)也就是把誰看作了“單

位一"，誰和單位一的量作比較，誰就作被除數(shù)。

甲是乙的幾分之幾（百分之幾）：甲是比較量，乙是標(biāo)準(zhǔn)量，用甲除

以乙。

甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）：甲減乙比乙多（或少幾分

之幾）或（百分之幾1關(guān)系式（甲數(shù)減乙數(shù)〃乙數(shù)或（甲數(shù)減乙數(shù)）

/甲數(shù)。

已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾），求這個(gè)數(shù)。

特征：已知一個(gè)實(shí)際數(shù)量和它相對(duì)應(yīng)的分率，求單位“1”的量。

解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確判斷單位"1”的量把單位“1”的量看成X根據(jù)分

數(shù)乘法的意義列方程，或者根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義列算式，但必須找準(zhǔn)

和分率相對(duì)應(yīng)的已知實(shí)際

數(shù)量。

4、出勤率

發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)/試驗(yàn)種子數(shù)x100%

小麥的出粉率=面粉的重量/小麥的重量x100%

產(chǎn)品的合格率=合格的產(chǎn)品數(shù)/產(chǎn)品總數(shù)x100%

職工的出勤率=實(shí)際出勤人數(shù)/應(yīng)出勤人數(shù)xlOO%

5、工程問題:

是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的特例，它與整數(shù)的工作問題有著密切的聯(lián)系。它是探

討工作總量、工作效率和工作時(shí)間三個(gè)數(shù)量之間相互關(guān)系的一種應(yīng)用

題。

解題關(guān)鍵$巴工作總量看作單位“1”,工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)，

然后根據(jù)題目的具體情況，靈活運(yùn)用公式。

數(shù)量關(guān)系式：

工作總量;工作效率X工作時(shí)間

工作效率;工作總量+工作時(shí)間

工作時(shí)間:工作總量+工作效率

工作總量+工作效率和=合作時(shí)間

6、納稅

納稅就是把根據(jù)國(guó)家各種稅法的有關(guān)規(guī)定，按照一定的比率把集體或

個(gè)人收入的一部分繳納給國(guó)家。

繳納的稅款叫應(yīng)納稅款。

應(yīng)納稅額與各種收入的（銷售額、營(yíng)業(yè)額、應(yīng)納稅所得額……）的

比率叫做稅率。

7、利息

存入銀行的錢叫做要本金。

取款時(shí)銀行多支付的錢叫做利息。

利息與本金的比值叫做利率。

利息:本金X利率X時(shí)間

常用的數(shù)量關(guān)系式

1、每份數(shù)x份數(shù)=總數(shù)總數(shù)+每份數(shù)=份數(shù)總數(shù)+份數(shù)=每

份數(shù)

2、1倍數(shù)x倍數(shù)=幾倍數(shù)幾倍數(shù)+1倍數(shù)=倍數(shù)幾倍數(shù)+倍數(shù)=

1倍數(shù)

3、速度x時(shí)間=路程路程+速度=時(shí)間路程+時(shí)間=速度

4、單價(jià)x數(shù)量=總價(jià)總價(jià)+單價(jià)=數(shù)量總價(jià)+數(shù)量=單價(jià)

5、工作效率x工作時(shí)間=工作總量工作總量+工作效率=工作

時(shí)間工作總量+工作時(shí)間=工作效率

6、加數(shù)+加數(shù)=和和-一個(gè)加數(shù)=另一個(gè)加數(shù)

7、被減數(shù)-減數(shù)=差被減數(shù)-差二減數(shù)差+減數(shù)=被減數(shù)

8、因數(shù)x因數(shù)=積積+一個(gè)因數(shù)=另一個(gè)因數(shù)

9、被除數(shù)。除數(shù)=商被除數(shù)+商=除數(shù)商x除數(shù)=被除數(shù)

10、總數(shù)+總份數(shù)=平均數(shù)

（和+差）+2=大數(shù)（和-差）+2=小數(shù)

和+（倍數(shù)-1）=小數(shù)小數(shù)x倍數(shù)=大數(shù)（或者和-小數(shù)

二大數(shù)）

差+（倍數(shù)-D二小數(shù)小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)（或小數(shù)+差二大

相遇路程=速度和X相遇時(shí)間

相遇時(shí)間=相遇路程+速度和

速度和=相遇路程+相遇時(shí)間

15、濃度問題

溶質(zhì)的重量+溶劑的重量=溶液的重量

溶質(zhì)的重量+溶液的重量X100%=濃度

溶液的重量x濃度=溶質(zhì)的重量

溶質(zhì)的重量+濃度=溶液的重量

16、利潤(rùn)與折扣問題

利潤(rùn)=售出價(jià)-成本

利潤(rùn)率=利潤(rùn)。成本x100%=(售出價(jià)+成本-1)x100%

漲跌金額=本金x漲跌百分比

利息=本金x利率x時(shí)間

稅后利息=本金x利率x時(shí)間x(l-20%)

一、概述

1、事物的多少、長(zhǎng)短、大小、輕重、快慢等，這些可以測(cè)定的客觀

事物的特征叫做量。把一個(gè)要測(cè)定的量同一個(gè)作為標(biāo)準(zhǔn)的量相比較叫

做計(jì)量。用來作為計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的量叫做計(jì)量單位。

2、數(shù)+單位名稱=名數(shù)

只帶有一個(gè)單位名稱的叫做單名數(shù)，如：5小時(shí)，3千克。

帶有兩個(gè)或兩個(gè)以上單位名稱的叫做復(fù)名數(shù)，如：5小時(shí)6分，3千

克500克。

56平方分米=(0.56)平方米就是單名數(shù)轉(zhuǎn)化成單名數(shù)。

560平方分米=(5)平方米(60平方分米)就是單名數(shù)轉(zhuǎn)化成復(fù)名數(shù)

的例子。

3、高級(jí)單位與低級(jí)單位是相對(duì)的.比如，“米”相對(duì)于分米，就是高級(jí)單

位,相對(duì)于千米就是低級(jí)單位.

二、長(zhǎng)度

1、什么是長(zhǎng)度

長(zhǎng)度是一維空間的度量。

2、長(zhǎng)度常用單位

*公里(km)*米(m)*分米(dm)*厘米(cm)*毫米(mm)*微

米(um)

3、單位之間的換算

*1毫米=1000微米*1厘米=10毫米*1分米=10厘米

*1米=1000毫米*1千米=1000米

三、面積

1、什么是面積

面積，就是物體所占平面的大小。對(duì)立體物體的表面的多少的測(cè)量一

般稱表面積。

2、常用的面積單位

*平方毫米*平方厘米*平方分米*平方米*平方千米

3、面積單位的換算

*1平方厘米=100平方毫米*1平方分米=100平方厘米*1

平方米=100平方分米*1公傾=10000平方米*1平方公里

=100公頃

四、體積和容積

@體積，就是物體所占空間的大小。

②容積，箱子、油桶、倉(cāng)庫(kù)等所能容納物體的體積，通常叫做它

們的容積。

2、常用單位

③體積單位：*立方米*立方分米*立方厘米

②容積單位：*升*毫升

3、單位換算

①體積單位

*1立方米=1000立方分米*1立方分米=1000立方厘米

@容積單位

*1升=1000毫升*1升=1立方米*1毫升=1立方厘米

五、質(zhì)量

intern質(zhì)量，就是表示表示物體有多重。

2、常用單位*噸t*千克kg*克g

3、常用換算*一噸=1000千克*1千克=1000克

六、時(shí)間

工期圓_是指有起點(diǎn)和終點(diǎn)的一段時(shí)間

2、常用單位世紀(jì)、年、月、日、時(shí)、分、秒

3、單位換算

*1世紀(jì)=100組公元1年一100年是第一世紀(jì)，公元1901—2000

是第二十世紀(jì)）

*平年一年365天