廣東省中山市桂山中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（

）A． B．1 C．2 D．2．已知的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，則等于（

）．A． B． C． D．3．將2個(gè)相同的紅球和2個(gè)相同的黑球放入兩個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子中至少放1個(gè)球，則不同的放法有（

）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種4．函數(shù)有（

）A．極大值為5，無(wú)極小值 B．極小值為，無(wú)極大值C．極大值為5，極小值為 D．極大值為5，極小值為5．平面直角坐標(biāo)系上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，每次向右或向上移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，則移動(dòng)8次后，質(zhì)點(diǎn)恰好位于點(diǎn)的移動(dòng)方式有（）A．56種 B．70種 C．210種 D．1680種6．展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．15 B．20 C．30 D．357．給圖中五個(gè)區(qū)域染色，有四種不同的顏色可供選擇，要求邊界有重合部分的區(qū)域（僅頂點(diǎn)與邊重合或僅頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合不算）染上不同的顏色，則不同的染色方法有（）A．216種 B．180種 C．192種 D．168種8．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，若對(duì)任意，都有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．有4名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）．A．每名同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有種B．每名同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有種C．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有24種D．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有種10．對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．在處取得最小值 B．在處取得最大值C．有兩個(gè)不同零點(diǎn) D．11．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且．若，則稱是的“增值”函數(shù)．下列函數(shù)是的“增值”函數(shù)，其中使得在上不是單調(diào)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．某學(xué)校高二（1）班上午安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、體育、物理門課，要求第一節(jié)不安排體育，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)必須相鄰，則不同的排課方法共有種．13．已知的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為.14．如圖，某公園內(nèi)有一個(gè)三角形的人工湖，其中．為便于游客觀光，公園的主管部門準(zhǔn)備修建兩條觀光近和（為線段上一點(diǎn)，且異于），已知修建的單位長(zhǎng)度費(fèi)用是修建的單位長(zhǎng)度費(fèi)用的3倍，要使修建這兩條觀光道的費(fèi)用最低，則．四、解答題（本大題共5小題）15．車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺(tái)機(jī)床，則有多少種選派方法？16．已知函數(shù)在處有極值4.(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.17．求的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)18．已知函數(shù)．(1)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：．19．定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)，存在極大值和極小值，且存在一個(gè)常數(shù)，使成立，則稱函數(shù)為極值可差比函數(shù)，常數(shù)稱為該函數(shù)的極值差比系數(shù).已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，判斷是否為極值可差比函數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)是否存在使的極值差比系數(shù)為？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若，求的極值差比系數(shù)的取值范圍.

參考答案1．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選A．2．【答案】D【詳解】，令，可得解得.故選D.3．【答案】C【詳解】若兩個(gè)盒子中都放入2個(gè)球，則有3種不同的方法；若一個(gè)盒子中放1個(gè)球，另一個(gè)盒子中放3個(gè)球，則有4種不同的方法．故不同的放法有7種．故選C.4．【答案】A【詳解】,由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)，取得極大值，無(wú)極小值.故選A5．【答案】B【詳解】由題可知，該質(zhì)點(diǎn)向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，向上移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，共有種移動(dòng)方式．故選B.6．【答案】A【詳解】分析：由題意，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，得到展開(kāi)式的的項(xiàng)，即可得到結(jié)果.詳解：由題意，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，所以展開(kāi)式的的項(xiàng)為，所以展開(kāi)式的的系數(shù)為，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是解答的關(guān)鍵，著重考查了考生的推理與運(yùn)算能力.7．【答案】D【詳解】先對(duì)3，4，5染色，有種方法，若2和3同色，則不同的染色方法有種，若2和3不同色，則不同的染色方法有種，綜上，不同的染色方法有種．故選D.8．【答案】A【詳解】令函數(shù)，由，得，又，求導(dǎo)得，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不等式，解得，所以不等式的解集為.故選A.9．【答案】AC【詳解】對(duì)于AB選項(xiàng)，第1個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，第2個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，后面的2個(gè)同學(xué)也有3種報(bào)法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種結(jié)果，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于CD選項(xiàng)，每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則第1個(gè)社團(tuán)有4種選擇，第2個(gè)社團(tuán)有3種選擇，第3個(gè)社團(tuán)有2種選擇，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種結(jié)果，C正確，D錯(cuò)誤．故選AC.10．【答案】BD【分析】利用單調(diào)性求最值判斷A,B，求零點(diǎn)判斷C，先轉(zhuǎn)換到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，在比大小判斷D即可.【詳解】定義域?yàn)椋椎?，令?令，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則的最大值為，故A錯(cuò)誤，B正確，令，解得，可得只有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，易知，且結(jié)合單調(diào)性知，即成立，故D正確.故選BD.11．【答案】CD【詳解】由，可得．對(duì)于A：由，可得：為常數(shù)，令，則，所以，則在上是減函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B：由可得：，為常數(shù)，令，則，所以，則在上是增函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可得：，為常數(shù)，令，則，所以，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故正確；對(duì)于D，由可得：，為常數(shù)，令，則0，所以，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故正確．故選CD．12．【答案】【詳解】先考慮第一節(jié)安排體育課，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)必須相鄰，則將數(shù)學(xué)與語(yǔ)文捆綁，形成一個(gè)大元素，共有種排法；接下來(lái)只考慮語(yǔ)文和數(shù)學(xué)必須相鄰的情形，只需將數(shù)學(xué)與語(yǔ)文捆綁，形成一個(gè)大元素，共有種排法.由間接法可知，不同的排法種數(shù)為種.13．【答案】512【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以從而奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為14．【答案】【詳解】設(shè)，修建的單位長(zhǎng)度費(fèi)用為，修建總費(fèi)用為，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，則取得最小值．15．【答案】185種選派方法.【分析】方法一：設(shè)A，B代表2位老師傅，分情況利用組合數(shù)即可求解.方法二：分三種情況，5名男鉗工有4，3，2名被選上，利用組合數(shù)即可求解.方法三：4名女車工都被選上，有3名被選上或有2名被選上，利用組合數(shù)即可求解.【詳解】方法一：設(shè)A，B代表2位老師傅．A，B都不在內(nèi)的選派方法有＝5(種)，A，B都在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有＝10(種)，A，B都在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有＝30(種)，A，B都在內(nèi)且一人當(dāng)鉗工，一人當(dāng)車工的選派方法有＝80(種)，A，B有一人在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有＝20(種)，A，B有一人在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有＝40(種)，所以共有＋＋＋＋＋＝185(種)選派方法．方法二：5名男鉗工有4名被選上的方法有＋＋＝75(種)，5名男鉗工有3名被選上的方法有＋＝100(種)，5名男鉗工有2名被選上的方法有＝10(種)，所以共有75＋100＋10＝185(種)選派方法．方法三：4名女車工都被選上的方法有＋＋＝35(種)，4名女車工有3名被選上的方法有＋＝120(種)，4名女車工有2名被選上的方法有＝30(種)，所以共有35＋120＋30＝185(種)選派方法．16．【答案】(1)，(2)最小值是，最大值是.【詳解】（1），∵函數(shù)在處取得極值4，∴，，解得，，∴，經(jīng)驗(yàn)證在處取得極大值4，故，.（2）由（1）可知，，，令，解得，令，解得或，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在在時(shí)取得極小值，極小值為；在時(shí)取得極大值，極大值為，且，，經(jīng)比較，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，最大值是.17．【答案】【詳解】由題設(shè)，，對(duì)于，有，且為正整數(shù)，令，則，故或或，所以常數(shù)項(xiàng)為.18．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)詳解.【詳解】（1）由，可得不等式，由，則，令，求導(dǎo)可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題意可得；（2）由，則，令，求導(dǎo)可得在上恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由是函數(shù)的極值點(diǎn)，可得，即，由，則，所以.19．【答案】(1)是，理由見(jiàn)解析(2)不存在，理由見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，（），則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以在和上嚴(yán)格遞增，在上嚴(yán)格遞減，所以的極大值為，極小值為，所以，所以是極值差比函數(shù).（2）的定義域?yàn)?，，假設(shè)存在使的極值差比系數(shù)為，則，是方程的兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則，解得，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以，從而，得?）令（），，所以在上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，因此（*）無(wú)解，所以不存在使的極值差比系數(shù)為；（3）由（2）知極值差比系數(shù)為，即，不妨