4-2.常規(guī)根軌跡的繪制法則（不證明）法則1.根軌跡起源于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)。繪制根軌跡的步驟：（1）尋找滿足幅角條件的所有s點(diǎn)，由這些點(diǎn)構(gòu)成根軌跡；（2）根據(jù)幅值條件確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)(即特征方程根)處的K*值。5/6/20251下面分三種情況討淪。

1．m=n,即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均有確定的值。

2．m<n，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有m條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)(稱為有限零點(diǎn))外，還有n-m條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無限零點(diǎn))。

3．m>n,即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有n條根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)(稱為有限極點(diǎn))外，還有m-n條根軌跡起始于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無限極點(diǎn))。這種情況在實(shí)際的物理系統(tǒng)中雖不會(huì)出現(xiàn)，但在參數(shù)根軌跡中，有可能出現(xiàn)在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中。由閉環(huán)特征方程：5/6/20252法則2.根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性：

根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m、開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n中的大者相等，連續(xù)并對(duì)稱于實(shí)軸。5/6/20253法則3.當(dāng)n>m時(shí)，有n-m條根軌跡分支沿著與實(shí)軸交角為,交點(diǎn)為的一組漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處。根軌跡的漸進(jìn)線可由下式而定：交點(diǎn)：交角：5/6/20254例：

已知：試畫出根軌跡的大致圖形。解：按根軌跡繪制的規(guī)則：規(guī)則1，3個(gè)極點(diǎn)也是起點(diǎn)：0，-1，-2；無零點(diǎn)，則終點(diǎn)為：∞，∞，∞。規(guī)則2，分支數(shù)：n=3>m=0，有3條根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。規(guī)則3，漸近線：因?yàn)楸鞠到y(tǒng)中，，所以共有

n-m=3條漸近線。漸近線的傾角：取k＝0，1，2，得到：5/6/20255漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：ReIm0-2-11800600-600三條紅色線為漸近線5/6/20256法則4實(shí)軸上的根軌跡：根軌跡在實(shí)軸上的分布:實(shí)軸上的某一區(qū)段,若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)和實(shí)數(shù)極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù),該區(qū)段必是條完整的根軌跡分支或是某條根軌跡分支的一部分.5/6/20257[例]設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試求實(shí)軸上的根軌跡。[解]：零極點(diǎn)分布如下：

紅線所示為實(shí)軸上根軌跡，為：[-10，-5]和[-2，-1]。注意在原點(diǎn)有兩個(gè)極點(diǎn)，雙重極點(diǎn)用“”表示。5/6/20258法則5.兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)，分離點(diǎn)的坐標(biāo)d是下列方程的解：實(shí)軸上的分離點(diǎn)有以下兩個(gè)特點(diǎn):(1)若實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的極點(diǎn)或兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)之間的區(qū)段有根軌跡,則這兩相鄰點(diǎn)之間必有一個(gè)分離點(diǎn)。這兩個(gè)相鄰的極點(diǎn)或兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)中有一個(gè)可以是無限極點(diǎn)或零點(diǎn).（2）如果實(shí)軸上根軌跡在開環(huán)零點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)之間，則此區(qū)段上要么沒有分離點(diǎn),如有,則不止一個(gè)。分離點(diǎn)5/6/20259其實(shí)分離會(huì)合點(diǎn)還可以用另一種方法來求：從特征方程中對(duì)Kg求導(dǎo)，再令其導(dǎo)數(shù)為零，求出相應(yīng)的S，如果S在根軌跡上，則是分離會(huì)合點(diǎn)，否則不是。5/6/202510[分離角]：在分離點(diǎn)上，根軌跡的切線和實(shí)軸的夾角稱為分離角。與相分離的根軌跡的支數(shù)k有關(guān)：。5/6/202511例4-1.設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，試?yán)L制其概略根軌跡。解：s

面上的零點(diǎn)（-1），極點(diǎn)（0，-2，-3）。(1).實(shí)軸上[-3，-2]，[-1，0]

是根軌跡。(2).根軌跡有三條分支，分別始于0，-2，-3；終于-1和兩個(gè)無限零點(diǎn)。有兩條漸近線：-3-2-105/6/202512(3).實(shí)軸上[-3，-2]

內(nèi)有一分離點(diǎn)d：所以分離點(diǎn)為：d

-2.47該方程可化為d3＋4d2+5d+3=0

其根為：

-2.4656，-0.7672j0.7926按上述法則畫出如右根軌跡圖：-3-2-10d5/6/202513例4-2.設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。解：在s平面上開環(huán)極點(diǎn)有兩個(gè)：-1j，開環(huán)零點(diǎn)-2。(1).實(shí)軸(

，-2]為根軌跡。(2).根軌跡有兩條分支，始于-1+j和-1-j終於-2和

。(3).在(

，-2]上有一分離點(diǎn)：即解得：（舍去），作出該系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示：5/6/202514-2-1+j-1-j-3.414復(fù)數(shù)根軌跡圖在復(fù)平面上是圓的一部分5/6/202515

法則6：根軌跡的起始角與終止角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角，稱為起始角；根軌跡進(jìn)入復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角，稱為終止角。1.起始角：其中：為零點(diǎn)到此極點(diǎn)連線與正實(shí)軸的夾角，為極點(diǎn)到此極點(diǎn)連線與正實(shí)軸的夾角5/6/2025162.終止角：其中：為零點(diǎn)到此零點(diǎn)連線與正實(shí)軸的夾角，為極點(diǎn)到此零點(diǎn)連線與正實(shí)軸的夾角5/6/202517[例]如圖，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)的起始角。[解]：根據(jù)對(duì)稱性，可知點(diǎn)的出射角為：請(qǐng)根據(jù)相角條件自行計(jì)算。

相角要注意符號(hào)；逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)；注意矢量的方向。[注意]：5/6/202518例4-3.設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下圖，求概略根軌跡：（P150）解：開環(huán)零點(diǎn)為-1.5，-2+j，-2-j

開環(huán)極點(diǎn)為0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.51).實(shí)軸上(-

，-2.5]，[-1.5，0]為根軌跡2).根軌跡有4條分支：始于0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.5；

終于-1.5，-

，-2+j，-2-j；3).根軌跡在零、極點(diǎn)之間，無分離點(diǎn)。4).起始角：終止角：5/6/202519法則7.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)若根軌跡與虛軸相交，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。閉環(huán)特征方程至少有一對(duì)共軛虛根。這時(shí)的增益K*稱為臨界根軌跡增益。交點(diǎn)上的K*值和

可用勞斯判據(jù)確定，也可令閉環(huán)特征方程中的s=j

，然后分別令其實(shí)部和虛部為零而求得。5/6/202520方法一：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：將代入得：

[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，試求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)和。當(dāng)時(shí)，為根軌跡的起點(diǎn)，但不是根軌跡與虛軸的交點(diǎn)當(dāng)

時(shí)，

，這是從實(shí)部為零得到，得到的解在虛軸上，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為

。5/6/202521方法二：用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定的值。勞斯陣列為：

勞斯陣列中某一行全為零時(shí)，特征方程可出現(xiàn)共軛虛根。勞斯陣列中可能全為零的行有二。共軛虛根為輔助方程

的根。1、令，得臨界增益為：2、令，得（根軌跡起點(diǎn)即開環(huán)極點(diǎn)）。5/6/202522例4-4系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制根軌跡圖P151解：開環(huán)極點(diǎn)：0、-3、-1+j、-1-j

開環(huán)零點(diǎn)：4個(gè)無限零點(diǎn)(1)漸近線：應(yīng)有n-m=4-0=4條漸近線。漸近線的傾角：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：

(2)實(shí)軸上的根軌跡：0

-3

5/6/202523(3)分離點(diǎn)：可求得(4)極點(diǎn)-p3的起始角：不難求得極點(diǎn)-p1、-p2、-p4到-p3的幅角分別、、.所以同理不難求得極點(diǎn)-p4處的起始角：(5)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：

方法一：由特征方程求：特征方程：5/6/202524實(shí)部方程： 虛部方程： 解得：方法二：由勞斯陣列求：列出勞斯陣列令s1行首項(xiàng)為零，即求K1=8.16得，再根據(jù)行s2系數(shù)得到輔助方程

(舍去)5/6/202525

當(dāng)n-m>=2時(shí)，

，即：對(duì)于任意的k*

，閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和，為常數(shù)。表明：當(dāng)

k*變化時(shí)，部分閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面上向右移動(dòng)（變大），則另一些極點(diǎn)必然向左移動(dòng)（變?。?。

根據(jù)上述8個(gè)規(guī)則，可以大致畫出根軌跡的形狀。法則8根之和：5/6/202526繪制根軌跡圖的繪制規(guī)則序內(nèi)容規(guī)則1起點(diǎn)終點(diǎn)起始于開環(huán)的極點(diǎn)，終止于開環(huán)傳的零點(diǎn)（包括無限零點(diǎn)）2分支數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)（n

m），對(duì)稱于實(shí)軸3漸近線相交于實(shí)軸上的同一點(diǎn)：坐標(biāo)為：傾角為：4實(shí)軸上分布實(shí)軸上的根軌跡在實(shí)軸的某一區(qū)間內(nèi)存在根軌跡，則其右邊開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)數(shù)之和必為奇數(shù)5/6/202527序內(nèi)容規(guī)則5分離（會(huì)合）點(diǎn)實(shí)軸上的分離（會(huì)合）點(diǎn)——（必要條件）6起始角終止角復(fù)極點(diǎn)處的起始角：復(fù)零點(diǎn)處的終止角：8虛軸交點(diǎn)（1）滿足特征方程的值；（2）由勞斯陣列求得（及K1響應(yīng)的值）；8根之和當(dāng)時(shí)，一些軌跡向右，則另一些將向左。開環(huán)極點(diǎn)數(shù)之和=閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)之和。5/6/202528根軌跡作圖步驟一、標(biāo)注開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，縱橫坐標(biāo)用相同的比例尺；二、實(shí)軸上的根軌跡；三、n-m條漸近線；四、根軌跡的出射角、入射角；五、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；六、根軌跡的分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)；

結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對(duì)稱性、根軌跡的支數(shù)、起始點(diǎn)和終點(diǎn)，閉環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)之和等性質(zhì)畫出根軌跡。5/6/202529⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。⒋起始角，⒌求與虛軸的交點(diǎn)，此時(shí)特征方程為解：⒈求出開環(huán)零極點(diǎn)，即：⒉實(shí)軸上的根軌跡：(－∞，0]將代入得：5/6/202530⒍求分離會(huì)合點(diǎn)：由特征方程由圖知這兩點(diǎn)并不在根軌跡上，所以并非分離會(huì)合點(diǎn)，這也可將代入得為復(fù)數(shù)。5/6/202531⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。⒋出射角，⒌求與虛軸的交點(diǎn)，此時(shí)特征方程為解：⒈求出開環(huán)零極點(diǎn)，即：⒉實(shí)軸上的根軌跡：(－∞，0]將代入得：5/6/202532⒍求分離會(huì)合點(diǎn)：由特征方程由圖知這兩點(diǎn)都在根軌跡上，所以都是分離會(huì)合點(diǎn)。5/6/202533⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。

⒋出射角，⒌求與虛軸的交點(diǎn)，此時(shí)特征方程為解：⒈求出