廣東省惠州市2024-2025學年高二下學期第一次階段考試數(shù)學檢測試題一、單選題：本題共8題，每小題5分，共40分.1.設(shè)函數(shù)在處存在導數(shù)為2，則（）A.2 B.1 C. D.6【正確答案】B【分析】由導數(shù)的概念求解.【詳解】由已知有，則.故選：B2.用這五個數(shù)組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，則不同的偶數(shù)共有（）A.120個 B.72個 C.60個 D.48個【正確答案】D【分析】利用分步乘法計數(shù)原理可得答案.【詳解】由題可知，不同的偶數(shù)共有個.故選：D.3.函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D4.將9個相同的小球放入3個不同的盒子中共有多少種方法（每個盒子中至少放入一個小球）（）A.28 B.56 C.36 D.84【正確答案】A【分析】采用隔板法求解.【詳解】根據(jù)題意可知，采用隔板法，9個相同的小球形成8個空，在8個空中插入2塊隔板，形成3組小球，再放入3個不同的盒子，共有種方法．故選：A．5.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)的奇偶性排除；判斷時，的符號可排除，從而得到結(jié)果.【詳解】定義域為：為奇函數(shù)，可排除；當時，，可排除，從而可得正確本題正確選項：本題考查具體函數(shù)圖象的識別問題，解題常用方法為排除法，排除法驗證的順序通常為：奇偶性、特殊值、單調(diào)性.6.甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種 B.60種 C.120種 D.240種【正確答案】C【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，根據(jù)分步乘法公式則共有種，故選：C.7.用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（）A.240 B.360 C.480 D.600【正確答案】C【分析】先涂區(qū)域②③④，再討論①與④的顏色是否相同，結(jié)合計數(shù)原理運算求解.【詳解】將區(qū)域標號，如下圖所示：因為②③④兩兩相鄰，依次用不同的顏色涂色，則有種不同的涂色方法，若①與④顏色相同，則有1種不同的涂色方法；若①與④的顏色不相同，則有3種不同的涂色方法；所以共有種不同的涂色方法.故選：C.8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）．A. B.e C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．二、多選題：本題共3題，每小題6分，共18分.9.下列說法正確的是（）A.將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有種B.有三張參觀券，要在5人中確定3人去參觀，不同方法的種數(shù)是60C.從6男4女中選4人參加比賽，若4人中必須有男有女，則共有194種選法D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，則甲、乙兩人不相鄰共有12種排法【正確答案】ACD【分析】每封信均有3種投法，計算可判斷A；從5人中選3人，計算可判斷B；分3種情況，即1男3女，2男2女，3男1女，計算可判斷C；利用插空法求得方法數(shù)判斷D.【詳解】對于A，將5封信投入3個郵筒，每封信均有3種投法，故不同的投法共有種，故A正確；對于B，參觀券相同，只需從5人中選出3人即可，方法數(shù)為種，故B錯誤；對于C，從6男4女中選4人參加比賽，若4人中必須有男有女，包含的類別有1男3女，2男2女，3男1女，即有種選法，故C正確；對于D，先將丙、丁兩人全排列有種，排好后有3個空位，再將甲、乙兩人安排到兩人（丙、丁）的空位中有種，由分步計數(shù)原理可得總的方法數(shù)為種，故D正確.故選：ACD.10.若為等差數(shù)列，，則下列說法正確的是（）A.B.是數(shù)列中的項C.數(shù)列單調(diào)遞減D.數(shù)列前7項和最大【正確答案】ACD【分析】由為等差數(shù)列，列方程組求得首項與公差，就可得到通項公式，然后對選項逐一判斷即可.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，則，解得，，故A選項正確，由，得，故B錯誤，因為，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故C正確，由數(shù)列通項公式可知，前7項均為正數(shù)，，所以前7項和最大,故D正確.故選：ACD11.若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（）．A. B. C. D.【正確答案】BCD【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，由已知可得在上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD三、填空題：本題共3題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則________.【正確答案】【分析】求導，通過賦值求出的值即可進一步求解.【詳解】，所以，所以故答案為.13.將序號分別為1，2，3，4，5，6的六張參觀券全部分給甲、乙等5人，每人至少一張，如果分給甲的兩張參觀券是連號，則不同分法共有________種．【正確答案】120【分析】先分給甲，再分給剩余四個人，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理得到答案.【詳解】由題意得，如果分給甲的兩張參觀券是連號，則有種分法，再將剩余的4張分給剩余4個人，有種分法，所以一共有種分法.故12014.從1，2，3，4，5，6這6個數(shù)字中，任取3個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中，若有1和3時，3必須排在1的前面；若只有1和3中的一個時，它應排在其他數(shù)字的前面，這樣不同的三位數(shù)共有________個．（用數(shù)字作答）【正確答案】60【分析】1與3是特殊元素，以此為分類標準進行分類，分三種情況：沒有數(shù)字1和3時，只有1和3中的一個時或同時有1和3時，利用排列、組合以及插空法即可求解.【詳解】1與3是特殊元素，以此為分類標準進行分類．分三類：①沒有數(shù)字1和3時，滿足條件的三位數(shù)有個；②只有1和3中的一個時，滿足條件的三位數(shù)有2個；③同時有1和3時，把3排在1的前面，再從其余4個數(shù)字中選1個數(shù)字插入3個空中的1個即可，滿足條件的三位數(shù)有·個．所以滿足條件的三位數(shù)共有(個)．故60四、解答題：每題共5題，共77分.15.（1）求展開式中的系數(shù)；（2）求展開式中的常數(shù)項.【正確答案】（1）–252；（2）【分析】（1）（2）求出二項式展開式的通項公式，再讓x的指數(shù)符合要求即可求得結(jié)論.【詳解】（1）展開式的通式為，令，得，所以展開式中的系數(shù)為.（2）展開式的通式為，令，得，，所以展開式中的常數(shù)項為.16.已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直．（1）求；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．【正確答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值，極小值【分析】（1）結(jié)合導數(shù)的幾何意義及直線垂直的性質(zhì)計算即可得；（2）借助導數(shù)可討論單調(diào)性，即可得極值.【小問1詳解】，則，由題意可得，解得；【小問2詳解】由，故，則，，故當時，，當時，，當時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為、，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故有極大值，有極小值.17.設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項和．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知結(jié)合等差中項關(guān)系，建立公比的方程，求解即可得出結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合條件得出的通項，根據(jù)的通項公式特征，用錯位相減法，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項，，；（2）設(shè)的前項和為，，，①，②①②得，，.本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算、等差中項的性質(zhì)，以及錯位相減法求和，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知數(shù)列的前頂和為.且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在數(shù)列中，，求數(shù)列的前項和.【正確答案】（1）（2），【分析】（1）利用求通項公式；（2）轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列，分組求和.【小問1詳解】當時，可得：；當時，，，兩式相減，得：，即，所以.【小問2詳解】當時，；當時，，所以，所以：，時，，上式也成立.所以：，19.已知函數(shù)，.（1）當時，求的極值點；（2）討論的單調(diào)性；（3）若函數(shù)在上恒小于0，求a的取值范圍.【正確答案】（1）極大值點，無極小值點；（2）當時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）.【分析】（1）當時，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得到極值．（2）求導得到，討論和兩種情況，計算得到答案.（3）討論，，，四種情況，根據(jù)單調(diào)性得到函數(shù)最值得到答案小問1詳解】當時，，定義域為.，令，得,當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.在時取得極大值，無極小值.所以的極大值點是，無極小值點.【小問2詳解】，則，，