10/10空間向量處理距離問題1．求點點距離設，，則，即，其中表示與兩點間的距離，這就是空間兩點間的距離公式.例1：已知正方體，、分別為和中點且是和的公垂線段.求直線與間的距離.AA'DBB'D'AA'DBB'D'CC'yzxMN，.，∴直線與間的距離是.例2：已知平行六面體，，，，，，求體對角線長.BCAB'BCAB'DC'A'D'∴∴體對角線長為.例3：已知正方形的邊長是，平面外的一點到正方形各頂點的距離都為，、分別是、上的點，且.求線段的長.ADBCNPOyADBCNPOyMzx，，，.∵，∴，，即，，.∵，∴線段的長為.★異面直線上兩點距離公式其中，是異面直線和的距離，為和所成的角，、分別是異面直線、上的點、到公垂線與、的交點、的距離。如果點(或)在點(或)的另一側時，則公式中取“”號.BβlαADC例4：如圖，在直二面角，點、，且，且，若，，，求線段的長.BβlαADC解：.∴.2．求點線距離已知一條直線上兩點，，直線外一點為，則有點與直線的距離，其中向量積有公式.此公式亦可記為.例5：過的直角頂點作線段垂直于這個三角形所在平面，已知，，，求點到的距離.ACBDACBDxyzα，，.，BDCAPzxyBDCAPzxy例6：如圖，垂直矩形所在平面，且，，.求點到的距離及的面積.解：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關各點坐標為，，.，，，∴點到的距離為.(平方單位)，∴的面積為平方單位.3．求點面距離如圖，為平面任一點，已知為平面的一條斜線，為平面的一個法向量，過作平面的垂線，連結則為斜線和平面所成的角，記為易得nOnOPAαθ.即點到平面的距離等于平面內外兩點的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量模的比值.例7：已知正方體.求點到平面的距離.解：不妨設正方體的邊長為，建立空間直角坐標系，則相關各點坐標為，，，.AA'DBB'D'AA'DBB'D'CC'yzx，，，令取平面的一個法向量為.∵，，∴，，∴，∴點到平面的距離為.例8：如圖，已知正方形的邊長為，、分別是、的中點，平面，且，求點到平面的距離．ABGEABGEFDCzxy，，，.設平面法向量為，，，，令取平面的一個法向量為.∵，，∴，，，∴點到平面的距離為.4．求線線距離和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.公垂線和兩條異面直線都相交，公垂線上兩個交點間的部分叫做異面直線的公垂線段.例9：已知正方體，棱長為.求直線與的距離.解：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關各點坐標為AA'DBB'D'CC'yAA'DBB'D'CC'yzx設點，點，且有，.則，，，，，∴，∴.∵此時就是與公垂線段，∴直線與的距離為.★求異面直線間的距離也可以利用向量的正射影性質直接計算.abnBA如圖，設兩條異面直線、的公垂線的方向向量為,這時分別在、上任取、兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線、的距離.abnBA即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.直線、的距離.解法二：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關各點坐標為，，，.設異面直線與的公垂線的方向向量，，，，取則異面直線與的公垂線的方向向量.∵，，∴，，∴，∴直線與的距離為.★兩條異面直線間的距離公式(實質與解法二相同)：已知兩條異面直線，其中一條上有兩點、，另外一條直線上有另外兩點、則有.解法三：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關各點坐標為，，，.，，.∴直線與的距離為.★極值法求異面直線間的距離已知、為異面直線，那么在上取一點，作垂直相交于點，設一變量，把表示為關于的函數(shù)，的最小值即為異面直線間的距離.解法四：AA'DBB'D'CC'yzxPFQ取任一點作垂直相交于點，作垂直相交于點，連結，所以.設，則AA'DBB'D'CC'yzxPFQ∴.當時，有最小值為，所以直線與的距離為.例10：正四面體邊長均為.求異面直線與的距離.BCADOzxyBCADOzxy，，，.設異面直線與的公垂線的方向向量，，，，取則異面直線與的公垂線的方向向量.∵，，∴，，∴，∴異面直線與的距離為.5．求線面距離一條直線和一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離叫做這條直線到這個平面的距離.直線到平面的距離可轉化為求點到平面的距離.例11：如圖，四棱錐的底面是菱形，，，平面，且，是的中點.求與平面間的距離.解：以為原點，為軸，中邊上高為軸，為軸建立空間直角坐標系，則為中點，則相關各點坐標為CADPzxBEFy，CADPzxBEFy設平面法向量為，，，，令取平面的一個法向量為.∵且，∴平面，∴到平面的距離就是到平面的距離.∵，，∴，，∴，∴與平面間的距離為.6．求面面距離和兩個平行平面同時垂直的直線叫做兩個