中考備考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)特殊三角形練習(xí)題一、單選題1．（2022·浙江衢州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）甲骨文是我國的一種古代文字，是漢字的早期形式，下列甲骨文中，不是軸對稱的是（）A． B． C． D．2．（2022·浙江金華·?？家荒＃┈F(xiàn)實世界中，對稱現(xiàn)象無處不在，中國方塊字中有些也具對稱性，下列漢字是軸對稱圖形的是（

）A．蘭 B．溪 C．日 D．子3．（2022·浙江臺州·統(tǒng)考二模）下列體育運動項目圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（

）．A． B．C． D．4．（2022·浙江紹興·一模）將一張圓形紙片對折再對折，得到如下左圖，然后沿著虛線剪開，得到兩部分．其中一部分展開后的平面圖形是（

）A． B． C． D．5．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考一模）5．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考一模）將一張正方形紙片按如圖步驟①②，沿虛線對折2次，然后沿圖③的虛線剪去一個角，展開鋪平后得到圖④，若圖③中，，則四邊形與原正方形紙面積比為（

）A． B． C． D．6．（2022·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖，是一個銳角，以點A為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，交射線于點D，E，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．7．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，在中，平分交于點，則等于（

）A． B． C． D．8．（2022·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）性質(zhì)“等腰三角形的三線合一”，其中所指的“線”之一是（

）A．等腰三角形底角的平分線 B．等腰三角形腰上的高C．等腰三角形腰上的中線 D．等腰三角形頂角的平分錢9．（2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點在的邊上，點在射線上（不與點，重合），連接，．下列命題中，假命題是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則10．（2022·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，高和交于點F，添加下列哪個條件（

），不能使得．A． B． C． D．二、填空題11．（2022·浙江臺州·統(tǒng)考一模）根據(jù)光學(xué)中平面鏡光線反射原理，入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等．如圖，是兩面互相平行的平面鏡，一束光線m通過鏡面反射后的光線為n，再通過鏡面β反射后的光線為k．光線m與鏡面的夾角的度數(shù)為，光線n與光線k的夾角的度數(shù)為．則x與y之間的數(shù)量關(guān)系是______．12．（2022·浙江杭州·二模）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點C，D分別落在的位置上，交AD于點G．已知，那么_________度．13．（2022·浙江衢州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等腰三角形的一個外角為，則它的頂角的度數(shù)為______．14．（2022·浙江紹興·一模）等腰三角形一邊長為8，另一邊長為5，則此三角形的周長為_____．15．（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請幫他在橫線上____填上一個適當(dāng)?shù)臈l件．16．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，以點為圓心，長為半徑作弧，交射線于點，連接，則的度數(shù)是______．三、解答題17．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于點E．P是邊BC上的動點（不與B，C重合），連結(jié)AP，將△APC沿AP翻折得△APD，連結(jié)DC，記∠BCD=α．(1)如圖，當(dāng)P與E重合時，求α的度數(shù)．(2)當(dāng)P與E不重合時，記∠BAD=β，探究α與β的數(shù)量關(guān)系．18．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形中，，，，垂足為點，．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．19．（2022·浙江杭州·杭州育才中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，和都是等邊三角形，連接、，與交于點F．(1)求證；(2)______．20．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的角平分線，，交于點E．(1)求證：．(2)當(dāng)時，請判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．21．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）在6×8的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，已知線段AB，其中點A在直線MN上.要求①僅用無刻度直尺；②保留畫圖痕跡.(1)在圖1中，在直線上找到一點，作，便得；(2)在圖2中，在直線上找到一點，作，使得.22．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，點C、F、E、B在同一直線上，點A、D分別在BC兩側(cè)，AB∥CD，BE＝CF，∠A＝∠D．（1）求證：AB＝DC；（2）若AB＝CE，∠B＝30°，求∠D的度數(shù)．23．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考一模）圖1為科研小組研制的智能機(jī)器，水平操作臺為l，底座AB固定，高AB為50cm，始終與平臺l垂直，連桿BC長度為60cm，機(jī)械臂CD長度為40cm，點B，C是轉(zhuǎn)動點，AB，BC與CD始終在同一平面內(nèi)，張角∠ABC可在60°與120°之間（可以達(dá)到60°和120°）變化，CD可以繞點C任意轉(zhuǎn)動．(1)轉(zhuǎn)動連桿BC，機(jī)械臂CD，使張角∠ABC最大，且CD∥AB，如圖2，求機(jī)械臂臂端D到操作臺l的距離DE的長．(2)轉(zhuǎn)動連桿BC，機(jī)械臂CD，要使機(jī)械臂端D能碰到操作臺l上的物體M，則物體M離底座A的最遠(yuǎn)距離和最近距離分別是多少？24．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖是由54個邊長為1的小等邊三角形組成的網(wǎng)格，請按要求畫格點多邊形（頂點均在格點上）．(1)在圖1中畫一個以為腰的．(2)在圖2中畫一個四邊形，使其中一條對角線長為4，且恰有兩個內(nèi)角為90°．25．（2022·浙江衢州·?？家荒＃┤鐖D，已知∠MON=25°，矩形ABCD的邊BC在OM上，對角線AC⊥ON．（1）求∠ACD度數(shù)；（2）當(dāng)AC=5時，求AD的長．（參考數(shù)據(jù)：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，結(jié)果精確到0.1）26．（2022·浙江舟山·統(tǒng)考二模）如圖，在中，∠C＝90°，D是邊BC上一點，連接AD并延長至點E，AD＝DE，過點E作EF⊥BC于點F，連接BE．(1)求證：．(2)若BE＝DE，AC＝8，CD＝4，求AB的長．27．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，海岸線上有兩座燈塔，，燈塔位于燈塔的正東方向，與燈塔相距．海上有甲、乙兩艘貨船，甲船位于燈塔的北偏東30°方向，與燈塔相距的的處；乙船位于燈塔的北偏東15°方向，與燈塔相距的處．求：(1)甲船與燈塔之間的距離；(2)兩艘貨船之間的距離．28．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABD中，∠DAB＝∠DBA，BC⊥BD交AD的延長線于點C，AE⊥AC交BD的延長線于點E．(1)求證：△ADE≌△BDC．(2)若CD＝2AD＝2，求AB的長．29．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考二模）圖，在的方格紙中，線段的端點均在格點上，畫出一個，使的面積為2，點在格點上．(1)在圖1中，畫出為鈍角三角形．(2)在圖2中，畫出為直角三角形．30．（2022·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，在6×6的方格紙中，每個小正方形的頂點稱為格點，請僅用直尺分別按要求畫出三個頂點都是格點的三角形(每小題只需畫一個)．(1)在圖1中畫△ABD，使AB＝AD．(2)在圖2中畫△ABC，使，且∠ACB＝90°．31．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考一模）已知：如圖，在中，于點，為上一點，且，．(1)求證：；(2)已知，，求的長．32．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，在五邊形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，BC＝DE，連接AC，AD，∠ACD＝∠ADC．(1)求證：．(2)若，∠ACD＝65°，求∠BAE的度數(shù)．33．（2022·浙江嘉興·一模）已知：如圖，以線段AC為邊在兩側(cè)分別作鈍角三角形ABC和鈍角三角形ADC，其中∠ACB和∠ACD為鈍角，且∠BAC=∠DAC，BC=DC．求證：∠B=∠D．小明的證明過程如下框：證明：在和中∵∴∴小明的證法是否正確？若正確，請在框內(nèi)打“√”；若錯誤，請寫出你的證明過程．參考答案：1．D【詳解】A．是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B．是軸對稱圖形，故本選項錯誤；C．是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D．不是軸對稱圖形，故本選項正確．故選D．2．C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)判斷即可．【詳解】由題可知，“日”字是軸對稱圖形，故C正確；故選：C．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的判定，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵．3．D【分析】根據(jù)軸對稱的定義進(jìn)行判斷，若一個圖形沿著某條直線折疊，直線兩邊的部分能夠完全重合，則該圖形為軸對稱圖形．【詳解】解：選項D為軸對稱圖形．故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱，解題的關(guān)鍵是充分理解軸對稱圖形概念．4．C【分析】嚴(yán)格按照圖中的方法親自動手操作一下，即可很直觀地呈現(xiàn)出來，也可根據(jù)折痕形成的對角線特點進(jìn)行判定．【詳解】根據(jù)題意知，剪去的紙片一定是一個四邊形，且對角線互相垂直平分．故選C．【點睛】本題主要考查學(xué)生的動手能力及空間想象能力，以及菱形的判定．掌握“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”是解題關(guān)鍵．5．D【分析】設(shè)原正方形的邊長為a，根據(jù)圖3中，，得到圖④中的圖形中的線段關(guān)系，求出四邊形的面積，即可求解.【詳解】根據(jù)圖示的方法折疊可知四邊形為菱形，∵圖③中，，故在圖④中，可知G為OQ中點，∠OHG=30°，設(shè)原正方形的面積為a，則PQ=a，S正方形MNQP=a2,故OQ=∴OG=OQ=，EG=2OG=∵∠OHG=30°∴HG=2OG=，OH==∴HF=2OH=∴S四邊形EFGH=EG×HF=a2,∴四邊形與原正方形紙面積比為a2：a2=，故選D.【點睛】此題主要考查菱形的面積解，解題的關(guān)鍵是熟知折疊的性質(zhì)及含30°的直角三角形的性質(zhì)及菱形的面積公式.6．B【分析】先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得．【詳解】解：，，由作圖可知，，，，故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識點，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．B【分析】首先根據(jù)角平分線的定義，可得∠ABD=∠DBC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，可求得∠DBC=35°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求得．【詳解】解：∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠DBC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，∵∠DBC+∠ACB+∠BDC=180°，∠BDC=75°，∴3∠DBC+75°=180°，∴∠DBC=35°，∴∠ABD=35°，∴∠BAC=∠BDC-∠ABD=75°-35°=40°，故選：B．【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，結(jié)合圖形準(zhǔn)確找到相關(guān)角的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．8．D【分析】根據(jù)在等腰三角形中，頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合對各選項進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：等腰三角形中三線合一，即在等腰三角形中頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合．故選D．【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握三線合一中的三線分別指頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線．9．D【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明PD是否是BC的垂直平分線，判斷即可．【詳解】因為AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分線，所以PB=PC，則A是真命題；因為PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分線，所以AB=AC，則B是真命題；因為AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分線，所以PB=PC，則C是真命題；因為PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判斷AP是BC的垂直平分線，所以AB和AC不一定相等，則D是假命題．故選：D．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．D【分析】根據(jù)已知條件可得，可得，則再添加一條邊相等即可證明，根據(jù)選項逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：∵在中，和是邊上的高，∴，∴，，A、添加，根據(jù)AAS即可證明，故該選項正確，符合題意；B、添加，根據(jù)AAS即可證明，故該選項正確，符合題意；C、添加

，則是等腰直角三角形，則，根據(jù)ASA即可證明，故該選項正確，符合題意；D、添加，不能得到邊相等，無法證明，故該選項不正確，不符合題意．故選D．【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)即可求得．【詳解】解：∵入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，∴反射后的光線n與鏡面夾角度數(shù)為，∵是兩面互相平行的平面鏡，∴反射后的光線n與鏡面夾角度數(shù)也為，又由入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，∴反射后的光線k與鏡面的夾角度數(shù)也為，，．故答案為：．【點睛】本題考查了平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)，掌握反射光線與平面鏡所夾的角相等以及兩直線平行內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．12．64【分析】由題意得AD∥BC，可得∠CEF=∠EFG=58°，由折疊的性質(zhì)可知∠GEF=∠CEF=58°，再由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：AD∥BC，∴∠CEF=∠EFG=58°，由折疊的性質(zhì)得：∠GEF=∠CEF=58°，∴∠BEG=180°-∠FEC-∠GEF=180°-58°-58°=64°．故答案為：64°．13．或【分析】等腰三角形的一個外角等于130°，則等腰三角形的一個內(nèi)角為50°，但已知沒有明確此角是頂角還是底角，所以應(yīng)分兩種情況進(jìn)行分類討論即可得．【詳解】∵等腰三角形的一個外角為，∴與130°相鄰的內(nèi)角為50°，當(dāng)為頂角時，其他兩角都為、，當(dāng)為底角時，其他兩角為、，所以等腰三角形的頂角為或，故答案為或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，在解決與等腰三角形有關(guān)的問題，由于等腰所具有的特殊性質(zhì)，很多題目在已知不明確的情況下，要進(jìn)行分類討論，才能正確解題．14．18或21【詳解】當(dāng)腰為8時，周長為8+8+5=21；當(dāng)腰為5時，周長為5+5+8=18．故此三角形的周長為18或21故答案為18或21．15．（答案不唯一）【分析】利用等邊三角形的判定定理即可求解．【詳解】解：添加，理由如下：為等腰三角形，，為等邊三角形，故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查了等邊三角形的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的判斷定理．16．10°或100°【分析】分兩種情況畫圖，由作圖可知得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】解：如圖，點即為所求；在中，，，，由作圖可知：，，；由作圖可知：，，，，．綜上所述：的度數(shù)是或．故答案為：或．【點睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．17．(1)25°(2)①當(dāng)點P在線段BE上時，2α－β＝50°；②當(dāng)點P在線段CE上時，2α＋β＝50°【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根據(jù)AE平分∠BAC，P與E重合，可得∠ACD，從而α＝∠ACB?∠ACD；（2）分兩種情況：①當(dāng)點P在線段BE上時，可得∠ADC＝∠ACD＝90°?α，根據(jù)∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，即可得2α?β＝50°；②當(dāng)點P在線段CE上時，延長AD交BC于點F，由∠ADC＝∠ACD＝90°?α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α可得90°?α＝40°＋α＋β，即2α＋β＝50°．【詳解】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵P與E重合，AE平分∠BAC，∴D在AB邊上，AE⊥CD，∴∠ACD＝65°，∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°；（2）①如圖1，當(dāng)點P在線段BE上時，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，∴90°－α＋β＝40°＋α，∴2α－β＝50°；②如圖2，當(dāng)點P在線段CE上時，延長AD交BC于點F，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，∴90°－α＝40°＋α＋β，∴2α＋β＝50°．【點睛】本題考查三角形綜合應(yīng)用，涉及軸對稱變換，三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)，能熟練運用三角形外角的性質(zhì)．18．(1)見解析(2)20°【分析】（1）根據(jù)，可得，，再由，即可求證；（2）根據(jù)，可得，，從而得到，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，，∵，∴∠AED=∠ABC=90°∵，∴；（2）解：∵，∴，，∴∠ADC=∠ACD，∴，∵，∴∠ADE+∠DAC=90°，∴，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．(1)見解析(2)60【分析】（1）由“”可證，可得；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】（1）∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，即，在和中，∴，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：60．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，證明是本題的關(guān)鍵．20．(1)見解析(2)相等，見解析【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）利用平行線的性質(zhì)可得，

則AD=

AE，從而有CD

=

BE，由(1)

得，，可知BE

=

DE，等量代換即可．【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，∴．∵，∴，∴．（2）．理由如下：∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即．由（1）得，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識，熟練掌握平行與角平分線可推出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．21．(1)見解析；(2)見解析【分析】(1)過點B作于點O，再在點O的右側(cè)的MN上取一點C，使OC=OB，點C即為所求的點；(2)作線段AB的垂直平分線交MN于點E，點E即為所求的點．（1）解：如圖：點C即為所求的點（2）解：如圖：點E即為所求的點【點睛】本題考查了復(fù)雜作圖，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題．22．（1）見解析；（2）75°．【分析】（1）由兩直線平行，內(nèi)錯角相等得到∠B＝∠C，繼而證明△ABF≌△CDE（AAS），據(jù)此解題；（2）由（1）△ABF≌△CDE得，AB＝CD，BF＝CE，證明△ABF是等腰三角形，再根據(jù)三角形內(nèi)角和180°解題．【詳解】證明：（1）∵，∴∠B＝∠C，∵BE＝CF，∴，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴AB＝CD；（2）∵△ABF≌△CDE，∴AB＝CD，BF＝CE，∵AB＝CE，∠B＝30°，∴AB＝BF，∴∠A＝∠AFB，∴△ABF是等腰三角形，∴∠A＝，∴∠D＝∠A＝75°．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和的應(yīng)用等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．23．(1)DE＝40cm(2)最遠(yuǎn)距離，最近距離【分析】（1）延長CD交l于點E，過點B作BF⊥CD，垂足為F．解Rt△BCF，求出CF長，即可求解；（2）如圖，當(dāng)B、C、共線，物品M離底座A最遠(yuǎn)，距離為，解Rt△ABD1，求出AD1長；過點C作CG⊥l，垂足為G，解Rt△CGD1，求出D1G長，再利用等腰三角形性質(zhì)，得D2G的長，從而可求出AD1即可求解．（1）解：延長CD交l于點E，過點B作BF⊥CD，垂足為F．∵CDAB，AB⊥l，∴CD⊥l．∴四邊形AEFB為矩形，∴EF＝AB＝50cm．又∵∠ABC＝120°，∴∠CBF＝30°．∴．∴DE＝EF＋CF－CD＝50＋30－40＝40(cm)．答：機(jī)械臂臂端D到操作臺l的距離DE的長為40cm；（2）如圖，當(dāng)B、C、共線，物品M離底座A最遠(yuǎn)，距離為，∵BC＝60cm，，∴BD1=BC+CD1=100cm，∵AB＝50cm，∴．∴，∴∠AD1B=30°，即∠B＝60°，如圖，當(dāng)∠B＝60°，時，物品M離底座A最近，距離為．∵，∴．過點C作CG⊥l，垂足為G，∴CG＝CD1=20cm，∴．∴D1D2=D1G+D2G=40cm，∴．答：物體M離底座A的最遠(yuǎn)距離和最近距離分別是50cm和10cm．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，結(jié)合題中條件，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造恰當(dāng)直角三角形是解題的關(guān)鍵．24．(1)作圖見解析(2)作圖見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的特征進(jìn)行作圖即可；（2）以A或B為固定點，先確定其中一條對角線長為4時的對應(yīng)點，再根據(jù)其中恰有兩個內(nèi)角為90°進(jìn)行作圖即可．【詳解】（1）解：畫法不唯一，如圖1或圖2（2）解：畫法不唯一，如圖3、圖4、圖5、圖6、圖7或圖8【點睛】本題考查了作圖，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)作圖的突破口，再根據(jù)題目要求進(jìn)行作圖．25．(1)25°；（2）2.1.【詳解】試題分析：（1）延長AC交ON于點E，如圖，利用互余計算出∠OCE=65°，再利用對頂角相等得到∠ACB=∠OCE=65°，再根據(jù)∠ACD=90°-∠ACB即可解決問題；（2）接著在Rt△ABC中利用∠ACB的余弦可計算出BC，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到AD的長.試題解析：（1）延長AC交ON于點E，如圖，∵AC⊥ON，∴∠OEC=90°，在Rt△OEC中，∵∠O=25°，∴∠OCE=65°，∴∠ACB=∠OCE=65°，∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25°（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD=BC，在Rt△ABC中，∵cos∠ACB=，∴BC=AC?cos65°=5×0.42=2.1，∴AD=BC=2.1．26．(1)見解析(2)【分析】（1）由“”可證；（2）由全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求，由勾股定理可求解．【詳解】（1）證明：在和中，，；（2），，，，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．27．(1)(2)【分析】（1）連接，可得為正三角形，即可得出答案；（2）過作于點，可得出為等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得出答案；【詳解】（1）解：如圖，連接．∵甲船位于燈塔B的北偏東30°方向∴∠ABC=60°∵，，∴為正三角形，∴，即甲船與燈塔之間的距離為．（2）解：過作于點．∵，∴，∴為等腰直角三角形．∵，∴，又∵，∴，∴．∴兩艘貨船之間的距離為．【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，等邊三角形，勾股定理．作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．28．(1)見解析(2)【分析】（1）通過垂直的定義和對頂角相等進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化，再利用“ASA”得出兩個三角形全等；（2）根據(jù)斜邊是短直角邊長度兩倍得出∠CDB=60°，再求∠ADB的度數(shù)，從而得出AB的長度．【詳解】（1）∵BD⊥BC，AE⊥AC，∴∠DAE＝∠DBC＝90°．∵∠DAB＝∠DBA，∴AD＝BD，∵∠ADE＝∠BDC，∴△ADE≌△BDC（ASA）（2）∵CD＝2AD＝2，∴BD＝AD＝1，∵∠DBC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠BDC＝60°，∠DAB＝∠DBC∴∠DAB＝∠C＝30°，∴，∴AB的長為．【點睛】本題考查了三角形的全等的判定、30°直角三角形特征，掌握這些結(jié)論是解決本題的關(guān)鍵．29．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式，當(dāng)，到的距離為1時，符合題目要求；（2）以為直徑作圓，其中由勾股定理得，，，由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根據(jù)三角形面積公式計算可得，因此圖2中即為所求．（1）如圖1，即為所求．由圖知：，到的距離為1，∴，∴即為所求．（