PAGE1-第8節(jié)函數(shù)與方程【選題明細表】學問點、方法題號函數(shù)零點(個數(shù))及所在區(qū)間1,2,4,8,9,10利用函數(shù)零點個數(shù)確定參數(shù)的取值(范圍)3,5,6,7,11,14函數(shù)零點的綜合問題12,13基礎(chǔ)鞏固(時間:30分鐘)1.已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)f(x)的零點為(D)(A),0 (B)-2,0 (C) (D)0解析:當x≤1時,則f(x)=2x-1=0,解得x=0.當x>1時,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因為x>1,所以此時方程無解.綜上函數(shù)f(x)的零點只有0.2.(2024·豫西南部分示范性中學聯(lián)考)函數(shù)f(x)=lnx-的零點所在的區(qū)間為(B)(A)(0,1) (B)(1,2)(C)(2,3) (D)(3,4)解析:易知f(x)=lnx-在定義域(0,+∞)上是增函數(shù),又f(1)=-2<0,f(2)=ln2->0,則f(1)·f(2)<0,故f(x)的零點在區(qū)間(1,2)內(nèi).3.函數(shù)f(x)=2x--a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是(C)(A)(1,3) (B)(1,2) (C)(0,3) (D)(0,2)解析:因為函數(shù)f(x)=2x--a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,又函數(shù)f(x)=2x--a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi),則有f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,所以0<a<3.4.已知函數(shù)f(x)=2x+x+1,g(x)=log2x+x+1,h(x)=log2x-1的零點依次為a,b,c,則(A)(A)a<b<c (B)a<c<b(C)b<c<a (D)b<a<c解析:令函數(shù)f(x)=2x+x+1=0,可知x<0,即a<0;令g(x)=log2x+x+1=0,則0<x<1,即0<b<1;令h(x)=log2x-1=0,可知x=2,即c=2.明顯a<b<c.5.(2024·湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)且是R上的單調(diào)函數(shù),若函數(shù)y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一個零點,則實數(shù)λ的值是(C)(A) (B) (C)- (D)-解析:令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,則f(2x2+1)=f(x-λ),因為f(x)是R上的單調(diào)函數(shù),所以2x2+1=x-λ,只有一個實根,即2x2-x+1+λ=0只有一個實根,則Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.6.(2024·北京燕博園聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)y=f(x)-k有三個不同的零點,則實數(shù)k的取值范圍是(C)(A)(-2,2) (B)(-2,1)(C)(0,2) (D)(1,3)解析:當x<0時,f(x)=x3-3x,則f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0,所以x=±1(舍去正根),故f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增,在(-1,0)上單調(diào)遞減,又f(x)=ln(x+1)在x≥0上單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.f(x)極大值=f(-1)=2,且f(0)=0,故當k∈(0,2)時,y=f(x)-k有三個不同零點.7.(2024·河南焦作二模)已知函數(shù)f(x)=F(x)=f(x)-x-1,且函數(shù)F(x)有2個零點,則實數(shù)a的取值范圍為(C)(A)(-∞,0] (B)[1,+∞)(C)(-∞,1) (D)(0,+∞)解析:由題意,x≤0,F(x)=ex-x-1,有一個零點0;x>0,F(x)=x[x+(a-1)],因為函數(shù)F(x)有2個零點,所以1-a>0,所以a<1.故選C.8.函數(shù)f(x)=-()x的零點個數(shù)為.

解析:令f(x)=0,得=()x.在平面直角坐標系中分別畫出函數(shù)y=與y=()x的圖象.如圖所示.由圖可知兩函數(shù)圖象有1個交點,故f(x)的零點只有一個.答案:19.(2024·衡水中學檢測)已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)的零點個數(shù)是.

解析:由y=2f2(x)-3f(x)=0,得f(x)=0或f(x)=.作出y=f(x)的圖象(如圖).由圖象知,f(x)=0時,方程有2個實根,f(x)=時,方程有3個實根.故y=2f2(x)-3f(x)共有5個零點.答案:5實力提升(時間:15分鐘)10.函數(shù)f(x)=lnx+ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))的零點所在的區(qū)間是(A)(A)(0,) (B)(,1)(C)(1,e) (D)(e,+∞)解析:函數(shù)f(x)=lnx+ex在(0,+∞)上單調(diào)遞增,因此函數(shù)f(x)最多只有一個零點.f(e-3)=-3+<-3+e<0,又f()=ln+=-1>0,所以函數(shù)f(x)=lnx+ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))的零點所在的區(qū)間是(0,).11.(2024·全國Ⅲ卷)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點,則a等于(C)(A)- (B) (C) (D)1解析:因為y=x2-2x在x=1處有最小值-1,y=ex-1+e-x+1在x=1處有最小值2.又因為f(x)有唯一的零點,所以當x=1時,f(x)有最小值f(1)=-1+2a=0,所以a=.故選C.12.(2024·河北保定第一次模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿意f(x+1)=-f(x),當x∈[0,1]時,f(x)=-2x+1,設(shè)函數(shù)g(x)=()|x-1|(-1<x<3),則函數(shù)f(x)與g(x)的圖象全部交點的橫坐標之和為(B)(A)2 (B)4 (C)6 (D)8解析:因為f(x+1)=-f(x),所以f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x),所以f(x)的周期為2.由于f(x)為偶函數(shù),所以f(1-x)=f(x-1)=f(x+1),故f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.又函數(shù)g(x)=()|x-1|的圖象關(guān)于直線x=1對稱,在同一坐標系內(nèi)作出f(x)與g(x)在(-1,3)上的圖象,如圖,由圖可知四個交點的橫坐標關(guān)于x=1對稱,其和為2×2=4.13.(2024·河北邯鄲第一次模擬)若曲線y=log2(2x-m)(x>2)上至少存在一點與直線y=x+1上的一點關(guān)于原點對稱,則m的取值范圍為.

解析:因為直線y=x+1關(guān)于原點對稱的直線為y=x-1.依題意,方程log2(2x-m)=x-1在x∈(2,+∞)上有解,則m=2x-1在x∈(2,+∞)上有解,所以m>2.又2x-m>0在x∈(2,+∞)上恒成立,則m<(2x)min,所以m≤4.所以實數(shù)m的取值范圍為(2,4].答案:(2,4]14.(2024·濟南質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=若方程f(x)=ax有三個不同的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是