第36屆全國中學生物理競賽復賽理論考試試題解答（與杯高相比，杯底厚度可忽略杯中盛有茶水，茶水密度為p．重力加速度大小為g.的改變.RRGaCORORDGD;aA;a1）以凳面中心O為坐標原點，以過O點向上的心位置yCM為式中h是杯中茶水的高度.令λ=pπr2，(1)式即體的質心應盡可能接近凳面，處于最低點的位置yCM(h=hmax)=(yCM)min，故有整體的質心應盡可能接近凳面，處于最低點的位置yCM(h=hmax)=(yCM)min.(1)式即式中當h滿足即時取等號，hmax即杯中茶水的最佳高度.]析分別如解題圖a和解題圖b所示，其中NA、NB和NC分NNA+NB+NC-Q-P=0(7)3NNA=NC(8)3分式中，Q=mg+λhmaxg，P=Mg.由(7)(8)式得2NA+NB-Q-P=0DRDRGBANCoxoBANCoxoC即]值得指出的是，解(10)滿足NB>0，即這已由題給條件保證了.），2lmmmmmrlmm1）該平板車的車輪被一裝置（圖中未畫出）卡住而不能前后移動，但仍可繞車軸轉動．將把手提至水平位置由靜止開始釋放，求把手在與水平地面碰撞前的瞬間的轉動角速度.2）在把手與水平地面碰撞前的瞬間立即撤去卡住兩車輪的裝置，同時將車輪和軸鎖死，在在車輪從開始運動直至靜止的過程中，車軸移動的距離.J=J1+J2=ml2+ml2=(1)4分Jw2=4mgh(3)2分式中h是把手和平板整體的質心下降的距離（見解題圖b）CoθCoθrCθoθh·rrCr3l/22）在把手與地面碰撞前的瞬間，把手和平板整碰前瞬間把手和平板質心速度的水平與豎直分量（從把手末端朝向把手前端為正）分vC1x=vC1sinθ=(5)2分vC1y=-vC1cosθ=-(6)2分水平方向的相互作用力是滑動摩擦力.設碰撞過程中地面對系統(tǒng)在豎直方向上總的支持力(-μN,)dt=6mv0-4mvC1x(7)2分t=0-(8)2分值得注意的是，(8)式左端的沖量不可能等于零，因而(7)式左端的沖量也不可能等于零.由6mv0=4mvC1x-μ4mvC1y=4mvC1sinθ-μ4mvC1cosθ即當系統(tǒng)靜止，故當系統(tǒng)開始運動.下面分兩階段討論系統(tǒng)開始運動地面對兩車輪的正壓力，Nox和Noy是把手和平作用力，地面對車輪的滑動摩擦力f1=μN01.把手和平板作為一個整體的受力解題圖d所示，圖中Nf=-μ(N+N01)=-μ(6mg)(10)2分=-μg(11)2Nox-μN=4maC(12)1分N+Noy-4mg=0(13)1分對把手和平板系統(tǒng)應用相對于過質心的水平軸sinθ+Ncosθ+Noxsinθ-Noycosθ=0(14)2分Nox=μN+4m(-μg)=μN-4μmgNoy=4mg-NN0-2mg-NμN0r=2mr2β設車輪經歷時間間隔t后開始純滾動，由純滾動條件有①r=βtr=v=v0+a(βr-aC)t=v0在整個又滑又滾階段，車軸移動的距離s1為v-v=2aCs1N02β2aC2Nox2o車輪的正壓力，Nox2和Noy2分別是把手和平板通過軸對兩車輪在水平方向和豎直方向的作用力，f2是地面對車力解題圖f所示，圖中N2N02β2aC2Nox2of2f2f-f2r=2mr2β2aC2=β2rNox2=-4maC2對把手和平板系統(tǒng)在水平方向上應用質心運Nox2-μN2=4maC2解題圖解題圖fNoy2=4mg-N2聯立以上三式消去Nox2和Noy2得aC2=-(23)4分在整個純滾動階段，車軸移動的距離s2滿足0-v2=在車輪從開始運動直至靜止的整個過程中，車軸移s=s1+s2所示，兩圓柱形固定導軌相互平行，其對稱b均為L、半徑均為b、每單位長度的電阻均為共面，下端（通過兩根與相應導軌同軸的、較長的硬導線）與一電流為I的理想恒流源（恒流源內部的能量損耗可不計）相連．不考慮空氣阻力和摩擦阻力，重力加速度大小圖a.某電磁軌道炮的簡化模型為g，真空磁導率為μ0．考慮一彈丸自導軌2）求彈丸的出射速度；4）求在彈丸的整個加速過程中理想恒流源所做的做的功之比.方向垂直于兩導軌對稱軸所在平面斜向下。彈丸長為dr9的一段所受到的方向平行于導軌軸線斜向上.彈丸所受2）設彈丸的加速度大小為a.由牛頓第二定律有F-mgsinθ=ma彈丸作勻加速直線運動，彈丸的出射速度vmax滿足max0v2-v2=2max03）兩導軌之間離某導軌軸線距離為r處（不一定是彈丸上一點）的磁場為通過兩導軌各自從下端開始長為l的一段以及彈丸長為dr的一段組成平面回路的磁通量為通過兩導軌各自從下端開始長為l的一段以及彈丸組成平面回路的磁通量為ldr=(10)4分式中是彈丸沿導軌的運動速度.由全電路歐姆定律得U+ε=2λlI+IR(12)2分式中U為恒流源兩端的電壓。彈丸做勻加速直線運動，在通電后任意時刻t有v=at(13)由(11)(12)(13)(14)式得，在時刻t恒流源兩即t2+IR+-gsinθ),t4）在彈丸的整個加速過程中，恒流源所做的功為t2dt+I2Rdt(18)3分dt=L3/2=I2RT=I2R2L(|=lnln-gsinθ,)T2=lnEkmax=ax=mL-mgLsinθ(20)板后的空氣層，可簡化成一個亥姆霍茲共振器，如圖聲波傳播速度vs與空氣密度p及體積彈性模量K的關系為5Pa）下空氣(可視為理想氣體)的摩爾質量Mmol=29.0g/mol，熱容比氣體普適常量R=8.31J圖a.微孔竹板墻照片(局部)圖b.微孔竹板裝置簡化圖及對應的亥姆霍pVY=常量式中Y是熱容比。對上式兩邊微分得Y+YpVY-1ΔV=0(3)4分2）細管內的空氣柱的質量為細管中的空氣柱的運動是由外界壓力與容器內的壓力之差所引起的.設這部分空氣柱運動的位移為x（向外為正），容器內的空氣體積的改變?yōu)閷⒋胧降?，所述亥姆霍茲共振器吸收聲波的頻率為3）按題設，兩種需要通過所述亥姆霍茲共振器吸收聲波的頻率f01和f02之比為=0.60f01=，f02=(15)式中，S1和S2是相應的上述亥姆霍茲共振器的微孔的橫截面積.由即2=0.36(17)6分中心軸通過微球透鏡中心，且與光纖對稱軸重合.空氣折射率n0=1.2）若光束在透鏡聚焦過程中滿足近軸條件，為了使平行激光束剛好聚焦于光纖端面（與光3）為了使進入光纖的全部光束能在光纖內長距離傳輸，平行入射激光束的直徑最大不能超——廠——廠n2n1n2nn0sinθ=n1sinα(1)2分解題圖aθ=arcsin0.17=9.8。(4)4分2）平行激光束首先在微球透鏡前表面一次成像，其成像位置i1（相對于微球透鏡前表面頂率n=1.50，r是微球前表面曲率半徑，.由(5)式得=4.5mm(6)6分光束在微球透鏡后表面第二次成像位置i2（相對于微球透鏡后表面頂點O）可由球面鏡折射o2=i1-D==1.50mm(8)4分由于此時是虛物，o2應取負值，即將以上數據代入(7)式可得二次成像位置i2為=0.75mm(9)4分上式已略去將上式結果代入(11)式，結合(Dsinθ=0.76mm(12)4分平行入射激光束的直徑最大不能超過0.76mm.β;在微球的大圓內射αAYBααAYBαn解題圖b.n0α=nβ即θ,=2Y=0.75mm(9)4分3）為了使進入光纖的全部光束能在光纖內長距離傳輸，平行入射激光束的直徑取最大值dθ,=θ=0.17(10)4分平行入射激光束的直徑最大不能超過0.76mm.]光線在B點的入射角上O,BA=β,折射角必定為α;折射出的光線與光軸交于F點（按n0n0sinα=nsinβαBααBαα+Y=2β(7)2分θ,=αY=2(αβ)(8)4分C——廠nAY解題圖b.式中第三步利用了近軸近似，略去了O(α2)項.3）為了使進入光纖的全部光束能在光纖內長距離傳輸，平行入射激光束的直徑取最大值dθ,=θ(10)4分在(10)式右端略去了O(α3)項后得sinθ=2sinα(11)4分Dsinθ=0.76mm(12)4分平行入射激光束的直徑最大不能超過0.76mm.]微子νμ的靜止質量近似為零.在實驗室參照系中測得π介子8m/s為真空中的光速）.pμν式中pμνEμνπc2(3)4分式中Eμνν即c=0.2714cpμν式中pμνμ+mμc2)+Eνπc2(2)2分Eμ2=(pμ2+(mμc2)2,Evν利用EμμEνπc2Yμμc2而uμEμμc2(Yμ即μ=0.2714c(6)2分]u滿足θ9=π的情形，正好分別相應于θ=0和θ=π的情形.于是由可知，從π介子衰變得到的μ子的最大速率umin和最小速率umax分別為2）根據放射性衰變規(guī)律，μ子的衰變率ρ滿足根據放射性衰變規(guī)律，μ子的衰變率ρ滿足μμmax路程所需的時間間隔在uμμmaxs(10)2分靜止的μ子的平均壽命τ0可從靜止的μ子半衰期求得5]觀測到閃電導致的瞬間發(fā)光和伽瑪射線暴等新現象.閃電通常由雷電云（離地云內的正負電荷，而云地閃電則把負電荷釋放到地面.該圓柱區(qū)域的中軸線垂直于地面，半徑為2.5km，高度為2）在起電過程中，雷電云上下兩端電荷會隨時間指數增加.定，地面為良導體，試估算此雷電云正下方產生的地表電場3）云地閃電通常由帶電云底端帶負電的冰晶顆粒尖端放電觸發(fā)，先形成一條指向地面的放很小閃電通道（中心放電細路徑除外）內部電場強短時間內，閃電通道內部的電荷分布可視為穩(wěn)定分布.已知大氣的電場擊穿閾值為4）閃電通道連通云地后，云底和通道內部的負電荷迅速流向地面；閃電區(qū)域的溫度驟然上5）球形閃電（球閃）的微波空泡模型認為球閃是一個球形等離子體微波空腔（空泡）.當發(fā)出的微波信號，需要在該區(qū)域懸浮一個載荷（包括氣球材料和探測器）為50量M=29g/mol；氣球內氦氣密度（在離地高度12km處的值）PHe=0.18kg/m3.重力加速度g=9.8m/s2，氣體普適常量R=8.31J/(K.mol).式中S=πr2，r=2.5km，d=1.0km.該區(qū)域上下兩端的電勢差為U=Ed=150MV式中E=0.15MV/m.所帶正電荷總量為已利用(3)式和題給數據h=6.0km，d=1dq=σ2πr,dr,其中r,為圓盤半徑，σ=Q/(πr2)為圓盤心且與圓盤垂直的軸線）上與盤相距x處產生的電勢為整個帶電圓盤在圓盤中軸線上與盤相距x處產生的電勢為整個帶電圓盤在圓盤中軸線上與盤相距x處產生的電場為雷電云負電荷圓盤在x=h產生的電場為式中h為負電荷的高度.正電荷圓盤在x=h+d產生的電場為將地面考慮為平面導體.應用鏡像電荷法，得到正負電荷產生的地面E地面=2.8kV/m(6)6分]式中Q=2.5C，h=6.0km.利用高斯定理得，圓柱電荷體系外的電場為式中r9為到圓柱中軸線的距離.閃電通道的表面（柱面）電場應為擊穿電場，故其直徑為=5.0m式中E擊穿=3.0MV/m.），2πrLE擊穿=(10)2分將上式兩邊對r求導得ε0E擊穿=rP(r)(11)P(r)=ε0E擊穿r一1(12)6分4）電離層底部光環(huán)產生與擴展的物理過程示意圖如解題圖a所示.圖中，無線電波從閃電O點在t=0t=tA時刻到達電離層底面A處時開層截止頻率（3