第六章代數(shù)結(jié)構(gòu)離散數(shù)學(xué)講授：李小南配套教材：李小南，易黃建，喬勝寧，離散數(shù)學(xué)，電子工業(yè)出版社，2025目錄CONTENTS6.16.26.36.46.5代數(shù)系統(tǒng)子群和商群循環(huán)群和對稱群群同態(tài)及應(yīng)用環(huán)和域6.1代數(shù)系統(tǒng)

6.1.1

代數(shù)運(yùn)算數(shù)、矩陣、函數(shù)、向量、多項式等交換律、結(jié)合律、分配律等定義6.1.1設(shè)X是一個集合，則到X的一個映射“”稱為X上的一個代數(shù)運(yùn)算或二元運(yùn)算.例6.1.1設(shè)，定義，則是上的二元運(yùn)算.定義6.1.2設(shè)X是一個集合，則到X的一個映射“”稱為X上的一個n元運(yùn)算.例6.1.3()和()都是代數(shù)系統(tǒng).定義6.1.3設(shè)X是一個集合，X及其上的若干個代數(shù)運(yùn)算一起稱為一個代數(shù)系統(tǒng).定義6.1.4集合X到自身的映射稱為X的一個變換，若此映射是單射（滿射或雙射），則稱此變換是單射變換（滿射變換或雙射變換）.每個元素與自身對應(yīng)的變換顯然是一個雙射變換，稱為恒等變換.定義6.1.5有限集X

=

{1,2,…,n}的雙射變換稱為一個置換.上面的常用符號表示為顯然集合X的置換和X的排列是一一對應(yīng)的，故X共有P(n,n)=n!個置換.例如當(dāng)n=3時，X={1,2,3}共有6個置換，分別為分別用T(X)和S(X)表示X上的所有變換和置換構(gòu)成的集合，定義它們上的運(yùn)算為映射的合成，即，表示兩個映射的合成，稱為變換的乘法.我們通常省去運(yùn)算符，僅記為.進(jìn)而，我們可以稱代數(shù)系統(tǒng)T(X)和代數(shù)系統(tǒng)S(X).兩個例子如下：映射的概念使兩個集合聯(lián)系了起來，對于代數(shù)系統(tǒng)來說，我們希望映射能夠“保持運(yùn)算”.定義6.1.6設(shè)和是兩個代數(shù)系統(tǒng)，f是X到Y(jié)的一個映射.如果，有，則稱f是兩個代數(shù)系統(tǒng)之間的同態(tài)映射.同態(tài)的雙射稱為同構(gòu)映射.如果兩個代數(shù)系統(tǒng)之間存在同構(gòu)映射，則稱兩個代數(shù)系統(tǒng)是同構(gòu)的.定義6.1.7設(shè)X是非空集合，和是X上的兩個二元運(yùn)算，如果(1)交換律，.(2)結(jié)合律，(3)吸收律,成立，則稱是一個格.并運(yùn)算(最小上界)交運(yùn)算(最大下界)定義6.1.8，若格滿足分配律：則稱是分配格.若格中存在，使得則稱是有界格.對于有界格，若X上的一元運(yùn)算′滿足則稱是有補(bǔ)格，稱為x的補(bǔ).6.1.2

格和群例6.1.4設(shè)X={a,b,c,d},X上的兩個二元運(yùn)算和的定義分別如下：可以驗證，是一個格.定義偏序關(guān)系為：于是有，因此格的Hasse圖如下圖所示.考慮X上的一元運(yùn)算，如下表所示：可驗證此一元運(yùn)算是X上的補(bǔ)運(yùn)算(0=a,1=d).另外，容易驗證是分配格.定義6.1.9如果X上的兩個二元運(yùn)算和和一元運(yùn)算′滿足定義6.1.7和定義6.1.8中的所有條件，則稱代數(shù)系統(tǒng)′為布爾代數(shù)(或布爾格).定義6.1.10設(shè)f是布爾代數(shù)′和′之間的一個雙射，如果f保持并、交和補(bǔ)運(yùn)算，即則稱f是布爾代數(shù)′和′之間的一個同構(gòu)映射，稱這兩個布爾代數(shù)是同構(gòu)的.例6.1.6設(shè)Y={1,2},考慮冪集格(參考例1.4.5)，顯然例6.1.4中的布爾代數(shù)′和布爾格是同構(gòu)的(參考書第171頁圖6.1.1).注意若按照代數(shù)系統(tǒng)的表示方法，應(yīng)該記為

，其中分別表示集合的并、交、補(bǔ)運(yùn)算.定義6.1.11設(shè)是一個代數(shù)系統(tǒng)，若二元運(yùn)算滿足(1)結(jié)合律：(2)單位元：存在，使得(3)逆元：存在，使得對于群X，若|X|=n(n為正整數(shù))，則稱X為有限群，且稱n為群X的階；否則稱其為無限群.例6.1.7代數(shù)系統(tǒng)結(jié)合律單位元逆元交換律是否構(gòu)成群√0?x√交換群√11/x√交換群√1

√不是群√

√不是群則稱是一個群.定義中的e稱為群的單位元，稱為x的逆元.若還滿足(4)交換律：則稱是一個交換群或Abel群.幺半群半群例6.1.10

(一般線性群)

和分別是全體n×n實可逆矩陣和全體n×n實矩陣構(gòu)成的集合.代數(shù)系統(tǒng)結(jié)合律單位元逆元交換律是否構(gòu)成群√零矩陣√√交換群√單位矩陣

幺半群√零矩陣√√交換群√單位矩陣√

一般線性群注意這里的可換為復(fù)數(shù)域或有理數(shù)域.例6.1.11

(n次單位根群)所謂n次單位根是指方程的n個復(fù)數(shù)解，所有n次單位根及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算構(gòu)成一個交換群，稱為n次單位根群.例6.1.12

(n元對稱群)考慮集合X(|X|=n)的所有置換構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng).設(shè)是X的一個置換，則的逆映射和復(fù)合就是恒等變換.因為映射的復(fù)合滿足結(jié)合律，所以集合X上的所有置換構(gòu)成一個n元對稱群，記為.n元對稱群的子群稱為置換群，我們以為例.X={1,2,3}共有6個置換，分別為以為例，它把2變?yōu)?，把3變?yōu)?，稱其為一個2-輪換.由于1在作用下未變，因此可以用(23)表示這個置換