專題25最值模型之將軍遛馬模型與將軍過橋（造橋）模型

將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型是將軍飲馬的姊妹篇，它是在將軍飲馬的基礎(chǔ)上加入了平移的

思想，主要還是考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就將軍遛馬模型

和將軍過橋（造橋）模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

在解決將軍遛馬和將軍過橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長度（定長），只要將線段按照長

度方向平移即可，即可以跨越長度轉(zhuǎn)化為標準的將軍飲馬模型，再依據(jù)同側(cè)做對稱點變異側(cè)，異側(cè)直接連

線即可。利用數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，將復雜模型變成基本模型就簡單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過橋（造

橋）再也不是問題！

模型1.將軍遛馬模型

【核心思路】去除定量，組合變量（通過幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）。

【模型解讀】已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側(cè),且PQ間長度恒定,在

直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)

（1）點A、B在直線m兩側(cè)：（2）點A、B在直線m同側(cè)：

圖1圖2

（1）如圖1，過A點作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，

此時P、Q即為所求的點。（2）如圖2，過A點作AE∥m,且AE長等于PQ長，作B關(guān)于m的對稱點B’,連

接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。

【最值原理】兩點之間線段最短。

例1．（2023·黑龍江·九年級?？计谥校﹩栴}背景（1）如圖（1），在公路l的一側(cè)有A，B兩個工廠，A，B

到公路的垂直距離分別為1km和3km，A，B之間的水平距離為3km．現(xiàn)需把A廠的產(chǎn)品先運送到公路上然

后再轉(zhuǎn)送到B廠，則最短路線的長是_____km．

問題探究（2）如圖（2），△ACB和DEF是腰長為2的兩個全等的等腰直角三角形，ACBDEF90，

點A，D重合，點B，F(xiàn)重合，將△ACB沿直線AB平移，得到△ACB，連接AE，CE．試探究在平移

過程中，AECE是否存在最小值．若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

問題解決（3）如圖（3），A，B分別是河岸m一側(cè)的兩個旅游景點，它們到河岸的垂直距離分別是2km和4km，

A，B的水平距離是13km．游客在景點A游覽完后，乘坐大巴先到河岸上的碼頭甲處，改乘游輪沿河航行

5km到達碼頭乙，再乘坐大巴到達景點B．請問碼頭甲，乙建在何處才能使從A到B的旅游路線最短，并求

出最短路線的長．

例2．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上

的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．

例3．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB4，BC2，G是AD的中點，線段EF在邊AB

上左右滑動；若EF1，則GECF的最小值為____________．

例4．（2023上·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，線段MN在對角線BD上

運動，若⊙O的周長為2，MN1，則AMN周長的最小值是．

例5．（2023秋·河南南陽·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中將ABD沿射線BD平移，

得到EGF，連接EC、GC．求ECGC的最小值為______．

例6．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD的長分別為6，4，將ABC

沿射線CA的方向平移得到GFE，分別連接DE，F(xiàn)D，AF，則DFDE的最小值為______．

模型2.將軍過橋（造橋）模型

【核心思路】去除定量，組合變量（通過幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）。

【模型解讀】

【單橋模型】已知，如圖1將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：

橋建在何處能使路程最短？

考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM

與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點落在A’位置（圖2）．

問題化為求A’N+NB最小值，顯然，當共線時，值最小，并得出橋應建的位置（圖3）．

圖1圖2圖3

【雙橋模型】已知，如圖4，將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過兩條河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，

問：橋建在何處能使路程最短？

圖4圖5圖6

考慮PQ、MN均為定值，所以路程最短等價于AP+QM+NB最小，對于這彼此分離的三段，可以通過平移

使其連接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB為A'Q+QM+MB'．（如圖5）

當A'、Q、M、B'共線時，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次確定P、N位置．（如圖6）

【最值原理】兩點之間線段最短。

例1．（2023.浙江八年級期中）同學們已經(jīng)學過一些平行線的性質(zhì)，其實平行線的性質(zhì)還有一些：

（1）如圖1，如果ab，在a上任取一點P，作PQ⊥b于點Q，則線段PQ的長度叫a，b之間的距離.

如果在a上再取一點M，作MN⊥b于點N，則線段MN可以看成由線段PQ平移得到，即MN=PQ，這就得

到平行線的又一條性質(zhì)：平行線間的距離處處相等．根據(jù)平移還有哪些線段相等.

（2）剛在（1）中提到的平行線性質(zhì)在河上建橋也有廣泛的應用：如圖2，直線a，b表示一條河的兩岸，

且ab.現(xiàn)在要在這條河上建一座橋．使村莊A經(jīng)橋過河到村莊B．現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學設計：

小明：作AD⊥a，交a于點D，交b于點C．在CD處建橋.路徑是A-C-D-B．

小紅：作AD⊥a，交a，b于點D，點C；把CD平移至BE，連AE，交b于G，作GF⊥a于F.在FG處建橋．路

徑是A-G-F-B．

問：小明、小紅誰設計的路徑長較短？再用平移等知識說明理由.

（3）假設新橋就按小紅的設計在FG處實施建造了，上游還有一座舊橋，凌晨3點某船從舊橋下到新橋下，

到達后立即返回，來回穿梭于兩橋之間，船在靜水每小時16千米，水流每小時4千米，在當晚23點時有

人看見船在離舊橋80千米處行駛求這兩橋之間的距離.

例2．（2023.廣東八年級專項訓練）如圖所示，某條護城河在CC處角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到達B處，

須經(jīng)過兩座橋（橋?qū)挷挥嫞瑯蚺c河垂直），設護城河以及兩座橋都是東西、南北走向的，恰當?shù)卦鞓蚩墒笰

到B的路程最短，請確定兩座橋的位置．

例3．（2023·廣西·二模）已知，在河的兩岸有A，B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB

＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M

點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為()

A．213B．1+35C．3+37D．85

例4．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，YABCD中，AB3，AD2，DAB60，DFAB，BECD；

垂足分別為點F和E．點G和H分別是DF和BE上的動點，GH∥AB，那么AGGHCH的最小值為______．

例5．（2023.山東中考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），經(jīng)過點A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三

點．(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；(2)連接AC、BC，N為拋物線上的點且在第四象限，當SNBC=SABC

△△

時，求N點的坐標；(3)在（2）問的條件下，過點C作直線l∥x軸，動點P（m，3）在直線l上，動點Q

（m，0）在x軸上，連接PM、PQ、NQ，當m為何值時，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．

例6．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在YABCD中，AB2，AD5，M、N分別是AD、BC

邊上的動點，且ABCMNB60，則BMMNND的最小值是________．

課后專項訓練

1．（2021·四川南充市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB15，BC20，把邊AB沿對角線BD平移，

點A'，B'分別對應點A，B．給出下列結(jié)論：①順次連接點A'，B'，C，D的圖形是平行四邊形；②點C

到它關(guān)于直線AA'的對稱點的距離為48；③A'CB'C的最大值為15；④A'CB'C的最小值為

917．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

2．（2023安徽中考學二模）如圖，菱形ABCD的邊長為23，∠ABC＝60°，點E、F在對角線BD上運動，

且EF＝2，連接AE、AF，則AEF周長的最小值是（）

△

A．4B．4+3C．2+23D．6

3．（2022·重慶九龍坡·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將ABD沿射線BD方

向平移，得到EFG，連接EC、GC．則EC+GC的最小值為（）△

△

A．23B．43C．26D．46

4．（2023·安徽合肥·合肥壽春中學?？既＃┰谶呴L為2的正方形ABCD中，點E、F是對角線BD上的兩

個動點，且始終保持BFBE1，連接AE、CF，則AECF的最小值為（）

A．22B．3C．25D．251

5．（2023·廣東·九年級期中）如圖，CD是直線x＝1上長度固定為1的一條動線段．已知A（﹣1，0），B（0，

4），則四邊形ABCD周長的最小值為_________________．

6．（2022·浙江金華·八年級期末）在綜合實踐課上，小明把邊長為2cm的正方形紙片沿著對角線AC剪開，

如圖l所示．然后固定紙片ABC，把紙片ADC沿AC的方向平移得到A′D′C′，連A′B，D′B，D′C，在平

移過程中：（1）四邊形A′BC△D′的形狀始終是△__；（2）A′B+D′B的最小值△為__．

7．（2022下·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學?？茧A段練習）如圖，在矩形ABCD中，AD=BC=3，

∠DBC=60°，將△DAB沿射線DB方向平移得到△D’A’B’，連接CD’和CB’，則CD’+CB’的最小值

為．

8．（2023·山東濰坊·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知A0,1，B4,2，PQ是x軸上的一條動

線段，且PQ1，當APPQQB取最小值時，點Q坐標為______.

9．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，菱形ABCD的BC邊在x軸上，頂點C坐標為4,0，頂點D坐標為0,3，

點E在y軸上，線段EF∥x軸，且點F坐標為8,6，若菱形ABCD沿x軸左右運動，連接AE、DF，則

運動過程中，四邊形ADFE周長的最小值是________．

10．（2023·重慶·?？既＃┤鐖D，在邊長為1的菱形ABCD中，ABC60，將△ABD沿射線BD的方向

平移得到△A'B'D'，分別連接A'C，A'D，B'C，則A'CB'C的最小值為．

11．（2023.廣東省深圳市九年級期中）如圖1，已知平行四邊形ABCO，以點O為原點，OC所在的直線為x

軸，建立直角坐標系，AB交y軸于點D，AD=2，OC=6，∠A=60°，線段EF所在的直線為OD的垂直平分線，

點P為線段EF上的動點，PM⊥x軸于點M點，點E與E′關(guān)于x軸對稱，連接BP、E′M．

（1）請直接寫出點A的坐標為_____，點B的坐標為_____；

（2）當BP+PM+ME′的長度最小時，請直接寫出此時點P的坐標為_____；

12．（成都市2022-2023學年八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中有A0,3，D5,0兩點．將直線l1：

yx向上平移2個單位長度得到直線l2，點B在直線l2上，過點B作直線l1的垂線，垂足為點C，連接AB，

BC，CD，則折線ABCD的長ABBCCD的最小值為．

13．（廣西2021年中考數(shù)學真題）如圖，已知點A(3,0)，B(1,0)，兩點C(3,9)，D(2,4)在拋物線y=x2上，

向左或向右平移拋物線后，C，D的對應點分別為C，D￠，當四邊形ABCD的周長最小時，拋物線的解

析式為．

14．（2023上·陜西西安·九年級?？茧A段練習）（1）問題提出如圖①，在ABC中，ABAC6,BAC120，

點D，E分別是AB,AC的中點．若點M，N分別是DE和BC上的動點，則AMMN的最小值是______．

（2）問題探究：如圖②，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋（與河床垂直），橋造在何處，

才能使從A到B的路徑AMNB最短．博琳小組針對該問題展開討論，小旭同學認為：過A作河

岸的垂線，使AAMN，MN為河寬，連接AB，AB與河的一岸交于點N，此時在點N處建橋，可使從A

到B的路徑AMNB最短．你認為小旭的說法正確嗎？請說明理由．（3）問題解決：如圖③，在

矩形ABCD中，AB60,BC80．E、F分別在AB,CD上，且滿足EF∥BC，BE20．若邊長為10的正

方形MNPQ在線段EF上運動，連接BM、DP，當BMDP取值最小時，求EN的長．

15．（2023.廣安九年級月考）如圖，拋物線yax2bxca0，經(jīng)過點A1，0，B3，0，C0，3三點．1

求拋物線的解析式及頂點M的坐標；2連接AC、MB，P為線段MB上的一個動點（不與點M、B重合），

過點P作x軸的垂線PQ，若OQ=a，四邊形ACPQ的面積為s，求a為何值時，面積s最大；

3點N是拋物線上第四象限的一個定點，坐標為N(4，5)，過點C作直線l//x軸，動點Pm，3在直線l

上，動點Qm，0在x軸上，連接PM、PQ、NQ，當m為何值時，PMPQQN的和最小，并求出PMPQQN

和的最小值．

16．（2023·陜西咸陽·?？家荒＃締栴}提出】（1）如圖1，點A、B在直線l的同側(cè)，點A到直線l的距離AC2，

點B到直線l的距離BD4，A、B兩點的水平距離CD8，點P是直線l上的一個動點，則APBP的最

小值是________；

【問題探究】（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB4，BC2，G是AD的中點，線段EF在邊AB上左右

滑動，若EF1，求GECF的最小值；

【問題解決】（3）如圖3，某公園有一塊形狀為四邊形ABCD的空地，管理人員規(guī)劃修兩條小路AC和BD（小

路的寬度忽略不計，兩條小路交于點P），并在AD和BC上分別選取點M、N，沿PM、PN和MN修建地

下水管，為了節(jié)約成本，要使得線段PM、PN與MN之和最小．

已測出ACB45，ADB60，CPD75，PD40m，PC502m，管理人員的想法能否實現(xiàn)，若

能，請求出PMPNMN的最小值，若不能，請說明理由．

1

17．（2023上·重慶萬州·九年級?？计谥校┤鐖D，直線yx4的圖象與x軸和y軸分別交于點A和點B，

2

AB的垂直平分線l與x軸交于點C，與AB交于點D，連接BC．(1)如圖1，求OC的長；(2)如圖2，若點P

是射線CD上的動點，點E和點F是y軸上的兩個動點，且EF2，當△ADP的面積為10時，求PEEFFC

的最小值。

18．（2023·江蘇南京·模擬預測）【模型介紹】

古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側(cè)的兩個軍營

A,B．他總是先去A營，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營．如圖①，他時常想，怎么走才能使每天走的

路程之