PAGEPAGE2第2節(jié)古典概型與幾何概型課時(shí)作業(yè)基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練(時(shí)間：30分鐘)1．投擲兩枚骰子，則點(diǎn)數(shù)之和是8的概率為()(A)eq\f(5,36) (B)eq\f(1,6)(C)eq\f(2,15) (D)eq\f(1,12)A解析：基本領(lǐng)件的總數(shù)為36，點(diǎn)數(shù)之和為8的有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)五種狀況，故其概率為eq\f(5,36).2．某單位安排在3月1日至7日舉辦人才溝通會(huì)，某人隨機(jī)選擇其中的連續(xù)兩天參與溝通會(huì)，那么他在1日至3日期間連續(xù)兩天參與溝通會(huì)的概率為()(A)eq\f(1,2) (B)eq\f(1,3)(C)eq\f(1,4) (D)eq\f(1,6)B解析：在1日至7日選連續(xù)兩天，有基本領(lǐng)件為：(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，共6個(gè)．符合條件的基本領(lǐng)件有：(1，2)，(2，3)，共2個(gè)．∴所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).3．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1，2，3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為()(A)eq\f(7,9) (B)eq\f(1,3)(C)eq\f(5,9) (D)eq\f(2,3)D解析：f′(x)＝x2＋2ax＋b2,要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由題意知全部的基本領(lǐng)件有9個(gè)，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，其次個(gè)數(shù)表示b滿意a2＞b2的有6個(gè)基本領(lǐng)件，即(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，所以所求事務(wù)的概率為eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).4．(改編題)在一種嬉戲規(guī)則中規(guī)定，要將一枚質(zhì)地勻稱的銅板扔到一個(gè)邊長(zhǎng)為8的小方塊上(銅板的直徑是4)，若銅板完整的扔到小方塊上即可晉級(jí)．現(xiàn)有一人把銅板扔在小方塊上且沒有掉下來(lái)，其晉級(jí)的概率為()(A)eq\f(1,64) (B)eq\f(1,16)(C)eq\f(1,8) (D)eq\f(1,4)D解析：由題意分析知，要完整的落在正方形內(nèi)部，則銅板中心到小方塊的邊長(zhǎng)的距離不小于銅板半徑的長(zhǎng)．所以晉級(jí)的概率為eq\f(42,82)＝eq\f(1,4).故選D.5．(2024南昌二模)在《周易》中，長(zhǎng)橫“__”表示陽(yáng)爻，兩個(gè)短橫“__”表示陰爻，有放回地取陽(yáng)爻和陰爻三次合成一卦，共有23＝8種組合方法，這便是《系辭傳》所說(shuō)：”太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”，有放回地取陽(yáng)爻和陰爻一次有2種不同的狀況，有放回地取陽(yáng)爻和陰爻兩次有四種不同的狀況，有放回地取陽(yáng)爻和陰爻三次有八種不同的狀況，即為八卦，在一次卜卦中，恰好出現(xiàn)兩個(gè)陽(yáng)爻一個(gè)陰爻的概率是()(A)eq\f(1,8) (B)eq\f(1,4)(C)eq\f(3,8) (D)eq\f(1,2)C解析：在一次所謂“算卦”中得到六爻，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝23＝8，這六爻恰好有2個(gè)陽(yáng)爻1個(gè)陰爻包含的基本領(lǐng)件m＝3，∴這六爻恰好有2個(gè)陽(yáng)爻1個(gè)陰爻的概率是p＝eq\f(m,n)＝eq\f(3,8).故選C.6．(2024石家莊模擬)已知O，A，B三地在同一水平面內(nèi)，A地在O地正東方向2km處，B地在O地正北方向2km處，某測(cè)繪隊(duì)員在A，B之間的直線馬路上任選一點(diǎn)C作為測(cè)繪點(diǎn)，用測(cè)繪儀進(jìn)行測(cè)繪，O地為一磁場(chǎng)，距離其不超過(guò)eq\r(3)km的范圍內(nèi)會(huì)對(duì)測(cè)繪儀等電子儀器形成干擾，使測(cè)量結(jié)果不精確，則該測(cè)繪隊(duì)員能夠得到精確數(shù)據(jù)的概率是()(A)eq\f(1,2) (B)eq\f(\r(2),2)(C)1－eq\f(\r(3),2) (D)1－eq\f(\r(2),2)D解析：由題意知在等腰直角三角形OAB中，以O(shè)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓截AB所得的線段長(zhǎng)為2，而|AB|＝2eq\r(2)，故該測(cè)繪隊(duì)員能夠得到精確數(shù)據(jù)的概率是1－eq\f(2,2\r(2))＝1－eq\f(\r(2),2).7．在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)θ，則使eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2成立的概率是________．解析：由eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2，得eq\f(\r(2),2)≤sin(θ＋eq\f(π,4))≤1，結(jié)合θ∈[0，π]，得θ∈[0，eq\f(π,2)]，∴使eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2成立的概率為eq\f(\f(π,2),π)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)8．已知函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，則該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的概率為________．解析：要使函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程x2－2ax＋b2＝0要有兩個(gè)實(shí)根，則Δ＝4a2－4b2＞0，又a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，即a＞b，而a，b的取法共有3×3＝9種，其中滿意a＞b的取法有(4，3)，(6，3)，(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)，共6種，所以所求的概率為eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)9．(2024岳陽(yáng)一模)有3個(gè)愛好小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參與其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參與各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參與同一個(gè)愛好小組的概率為________．解析：甲、乙兩位同學(xué)參與3個(gè)小組的全部可能性有3×3＝9(種)，其中甲、乙兩人參與同一個(gè)小組的狀況有3(種)．故甲、乙兩位同學(xué)參與同一個(gè)愛好小組的概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)10．(2024洛陽(yáng)模擬)現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品．(1)假如從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率．(2)假如從中一次取3件，求3件都是正品的概率．解：(1)有放回地抽取3次，按抽取依次(x，y，z)記錄結(jié)果，則x，y，z都有10種可能，所以基本領(lǐng)件總數(shù)為10×10×10＝103(種)；設(shè)事務(wù)A為“連續(xù)3次都取出正品”，則包含的基本領(lǐng)件共有8×8×8＝83種，因此P(A)＝eq\f(83,103)＝0.512.(2)可以看作不放回抽樣3次，依次不同，基本領(lǐng)件不同，按抽取依次記錄(x，y，z)，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以基本領(lǐng)件總數(shù)為10×9×8.設(shè)事務(wù)B為“3件都是正品”，則事務(wù)B包含的基本領(lǐng)件總數(shù)為8×7×6，所以P(B)＝eq\f(8×7×6,10×9×8)＝eq\f(7,15).實(shí)力提升練(時(shí)間：15分鐘)11．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一點(diǎn)P，△ABP的最大邊是AB的概率是()(A)eq\f(\r(2),2) (B)eq\f(\r(3),2)(C)eq\r(2)－1 (D)eq\r(3)－1D解析：如圖，分別以A，B為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交CD于P1，P2，則當(dāng)P在線段P1P2間運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使得△ABP的最大邊是AB，易得eq\f(P1P2,CD)＝eq\r(3)－1，即△ABP的最大邊是AB的概率是eq\r(3)－1.故選D.12．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠ABC＝150°，若在菱形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到菱形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離不小于1的概率為()(A)eq\f(π,4) (B)1－eq\f(π,4)(C)eq\f(π,8) (D)1－eq\f(π,8)D解析：分別以菱形ABCD的各個(gè)頂點(diǎn)為圓心，作半徑為1的圓，如圖所示．在菱形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P位于四個(gè)圓的外部或在圓上時(shí)，滿意點(diǎn)P到四個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1，即圖中的陰影部分區(qū)域．∵S菱形ABCD＝AB·BCsin150°＝4×4×eq\f(1,2)＝8，∴S陰影＝S菱形ABCD－S空白＝8－π×12＝8－π，∴該點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1的概率P＝eq\f(S陰影,S菱形ABCD)＝eq\f(8－π,8)＝1－eq\f(π,8).故選D.13．在[－2，2]上隨機(jī)地取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則事務(wù)“直線x＋y＝1與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2有交點(diǎn)”發(fā)生的概率為________．解析：直線x＋y＝1與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2有交點(diǎn)，則有d＝eq\f(|a＋b－1|,\r(2))≤eq\r(2)，即|a＋b－1|≤2，∴－1≤a＋b≤3，其表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示，所以P(－1≤a＋b≤3)＝eq\f(4×4－（\f(1,2)＋\f(1,2)×3×3）,4×4)＝eq\f(11,16).答案：eq\f(11,16)14．(2024威海調(diào)研)在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積大于20cm解析：不妨設(shè)長(zhǎng)為xcm，則寬為(12－x)cm，由x(12－x)＞20，得2＜x＜10，所以該矩形面積大于20cm2的概率為eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)15．已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1.(1)若a，b分別表示將一質(zhì)地勻稱的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、其次次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求y＝f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)的概率．(2)若a，b∈[1，6]，求滿意y＝f(x)有零點(diǎn)的概率．解：(1)設(shè)(a，b)表示一個(gè)基本領(lǐng)件，則拋擲兩次骰子的全部基本領(lǐng)件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(6，5)，(6，6)，共36個(gè)．用A表示事務(wù)“y＝f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)”，即Δ＝[－(a＋1)]2－4b2＝0，則a＋1＝2b.則A包含的基本領(lǐng)件有(1，1)，(3，2)，(5，3)，共3個(gè)，所以P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).即事務(wù)“y＝f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)”的概率為eq\f(1,12).(2)用B表示事務(wù)“y＝f(x)有零點(diǎn)”，即a＋1≥2b.試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|1≤a≤6，1≤b≤6}，構(gòu)成事務(wù)B的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|1≤a≤6，1≤b≤6，a－2b＋1≥0}，如圖所示：所以所求的概率為P(B)＝eq\f(\f(1,2)×5×\f(5,2),5×5)＝eq\f(1,4).即事務(wù)“y＝f(x)有零點(diǎn)”的概率為eq\f(1,4).16．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)(x－2，x－y)．(1)在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)為1，2，3的三張卡片，現(xiàn)從今盒中有放回地先后抽到兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別記為x，y，求事務(wù)“|OP|取到最大值”的概率；(2)若利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)在[0，3]上先后取兩個(gè)數(shù)分別記為x，y，求P點(diǎn)在第一象限的概率．解：(1)記抽到的卡片標(biāo)號(hào)為(x，y)，全部的狀況分別如下表：(x，y)(1，1)(1，2)(1，3)(2，1)(2，2)(2，3)(3，1)(3，2)(3，3)P(x－2，x－y)(－1，0)(－1，－1)(－1，－2)(0，1)(0，0)(0，－1)(1，2)(1，1)(1，0)|OP|1eq\r(2)eq\r(5)101eq\r(5)eq\r(2)1其中基本領(lǐng)件是總數(shù)為9，隨機(jī)事務(wù)A“|OP|取最大