概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)講義

目錄

第一章事件與概率1

?1.1概率論發(fā)展簡(jiǎn)史....................................................1

?1.2概率論的幾個(gè)基本概念..............................................1

?1.2.1隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件......................................1

?1.2.2事件的運(yùn)算...................................................2

?1.2.3概率的定義及性質(zhì)............................................4

?1.2.4條件概率....................................................6

?1.2.5全概率公式和Bayes公式....................................8

?1.2.6事件的獨(dú)立性.............................................10

第二章隨機(jī)變量及其分布13

?2.1隨機(jī)變量的概念................................................13

?2.2離散型隨機(jī)變量....................................................14

?2.2.10-1分布.......................................................15

?2.2.2二項(xiàng)分布....................................................16

?2.2.3Poisson分布...............................................16

?2.2.4離散的均勻分布.............................................18

?2.3連續(xù)型隨機(jī)變量....................................................18

72.3.1正態(tài)分布...................................................21

?2.3.2指數(shù)分布...................................................22

?2.3.3均勻分布...................................................24

?2.4多維分布.........................................................24

?2.5邊緣分布.........................................................28

?2.6條件分布和隨機(jī)變量的獨(dú)立性.......................................29

?2.6.1條件分布................................................29

?2.6.2隨機(jī)變量的獨(dú)立性........................................32

?2.7隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布........................................33

第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征41

?3.1數(shù)學(xué)期望（均值）及中位數(shù)...........................................42

?3.1.1數(shù)學(xué)期望...................................................42

?3.1.2數(shù)學(xué)期望的性質(zhì).............................................44

?3.1.3條件期望...................................................45

73.1.4中位數(shù)......................................................47

?3.2方差、標(biāo)準(zhǔn)差和矩.................................................48

?3.2.1方差和標(biāo)準(zhǔn)差................................................48

?3.2.2矩..........................................................50

?3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù).................................................50

73.3.1協(xié)方差......................................................50

?3.3.2相關(guān)系數(shù)...................................................51

?3.4其他一些數(shù)字特征與相關(guān)函數(shù).......................................52

?3.5大數(shù)定律和中心極限定理...........................................54

?3.5.1大數(shù)定律...................................................54

?3.5.2中心極限定理................................................55

第四章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念及抽樣分布58

?4.1引言..............................................................58

?4.1.1什么叫數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)...........................................58

?4.1.2數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的應(yīng)用...........................................61

?4.1.3統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史.............................................63

?4.2數(shù)理統(tǒng)計(jì)的若干基本概念...........................................64

74.2.1總體和樣本.................................................64

?4.2.2樣本的兩重性和簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本................................66

?4.2.3統(tǒng)計(jì)模型...................................................67

?4.2.4統(tǒng)計(jì)推斷...................................................68

?4.3統(tǒng)計(jì)量............................................................69

?4.3.1統(tǒng)計(jì)量的定義................................................69

?4.3,2若干常用的統(tǒng)計(jì)量...........................................70

?4.4三大分布一X2,t,F分布及正態(tài)總體樣本均值和樣本方差的分布.....71

?4.4.1X2分布......................................................71

?4.4.2t分布.......................................................73

?4.4.3F分布......................................................74

?4.4.4正態(tài)總體樣本均值和樣本方差的分布..........................76

?4.4.5幾個(gè)重要推論................................................76

第五章參數(shù)估計(jì)79

?5.1點(diǎn)估計(jì)............................................................79

?5.1.1矩估計(jì)方法.................................................79

?5.1.2極大似然估計(jì)方法........................................81

?5.1.3點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良準(zhǔn)則...........................................85

?5.2區(qū)間估計(jì).........................................................86

75.2.1置信區(qū)間...................................................87

?5.2.2置信界......................................................89

?5.2.3確定樣本大小................................................90

第六章假設(shè)檢驗(yàn)91

?6.1基本概念和問(wèn)題的提法.............................................91

?6.1.1零假設(shè)，對(duì)立假設(shè)，兩類(lèi)錯(cuò)誤,拒絕域，顯著性水平，功效.........91

?6.1.2假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的提法........................................93

?6.1.3檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的選取及假設(shè)檢驗(yàn)的步驟..........................94

?6.2重要參數(shù)檢驗(yàn)....................................................95

?6.2.1一樣本正態(tài)總體均值和方差的檢驗(yàn)............................95

?6.2.2兩樣本正態(tài)總體的情形....................................99

?6.2.3成對(duì)數(shù)據(jù)...................................................101

?6.2.40-1分布中未知參數(shù)p的假設(shè)檢驗(yàn).............................102

?6.3擬合優(yōu)度檢驗(yàn)......................................................103

?6.3.1離散總體情形..............................................103

?6.3.2列聯(lián)表的獨(dú)立性和齊一性檢驗(yàn)................................105

?6.3.3連續(xù)總體情形...............................................107

iii

第一章事件與概率

教學(xué)目的：

1）掌握隨機(jī)事件的概念和相關(guān)運(yùn)算.

2）了解概率的不同定義，掌握古典概型的基本計(jì)算.

3）掌握條件概率的概念，熟練運(yùn)用全概率公式和Bayes公式.

4）掌握事件獨(dú)立的概念和有關(guān)運(yùn)算.

?1.1概率論發(fā)展簡(jiǎn)史

概率論起源于17世紀(jì),現(xiàn)在公認(rèn)是1654年P(guān)ascal與Fermat就賭博中的數(shù)學(xué)問(wèn)題所展

開(kāi)的討論，在討論中提出了一些基本概念，最典型的例子是如何分賭本的問(wèn)題.兩個(gè)賭

徒相約賭若干局,誰(shuí)先贏s局就算誰(shuí)贏.由此提出期望的概念.之后幾個(gè)數(shù)學(xué)大家Huygens,

Bemouli,J,DeMoivre等研究了這個(gè)問(wèn)題，Bernouli對(duì)頻率與概率接近這一事實(shí)給予了

理論上的闡述.1812年Laplace在《分析概率論》中最早敘述了概率論的幾個(gè)基本定理,

給出了古典概率的明確定義.1814年在《概率的哲學(xué)探討》一書(shū)中，記載了一個(gè)有趣的統(tǒng)

計(jì)故事,根據(jù)倫敦、彼得堡、柏林和全法國(guó)的統(tǒng)計(jì)資料,得出幾乎一致的男嬰和女?huà)氤錾?/p>

的比例為22:21,即男嬰比例為51.16%,或男嬰與女?huà)氲谋戎禐?04.76:100,可是統(tǒng)計(jì)1745-

1784年整整40年巴黎男嬰的出生率時(shí),得到的比例為25:24（104.17:100）,調(diào)查研究后發(fā)現(xiàn)

巴黎人有遺棄男嬰的陋習(xí).1900年Hilbert在第二屆世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了23個(gè)有名的

問(wèn)題，主體是對(duì)新世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展方向的探討.關(guān)于建立概率論的公理體系是他所提的

第六個(gè)問(wèn)題''借助公理來(lái)研究那些在其中數(shù)學(xué)起重要作用的物理科學(xué)；首先是概率和力

學(xué)，.隨后Poincare,Borel等都對(duì)概率論公理體系的建立做出了努力，1933年蘇聯(lián)的大數(shù)

學(xué)家Kolmogorov。903-1987）正式提出了概率論的公理體系.概率論從此得到迅速的發(fā)展,

在此基礎(chǔ)上,數(shù)理統(tǒng)計(jì)也得到了迅速的發(fā)展.

?1.2概率論的幾個(gè)基本概念

?1.2.1隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件

隨機(jī)現(xiàn)象：自然界中的客觀現(xiàn)象,當(dāng)人們觀測(cè)它時(shí),所得結(jié)果不能預(yù)先確定,而僅僅

是多種可能結(jié)果之一.

1

舉例說(shuō)明隨機(jī)現(xiàn)象.

隨機(jī)試驗(yàn)：隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它某個(gè)特征的觀測(cè).

隨機(jī)試驗(yàn)中要求試驗(yàn)的結(jié)果至少2個(gè)，每次試驗(yàn)或觀測(cè)得到其中的一個(gè)結(jié)果，在試

驗(yàn)和觀測(cè)之前不能預(yù)知是哪個(gè)結(jié)果發(fā)生。此外，要求在相同的條件下能重復(fù)試驗(yàn)。

如觀測(cè)把硬幣拋4次后正面向上的次數(shù);觀測(cè)某地的溫度變化;某電話總機(jī)單位時(shí)間

內(nèi)轉(zhuǎn)接的電話次數(shù).

定義121.基本事件：隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)單一結(jié)果，它猶如分子中的原子，在化學(xué)反應(yīng)

中不能再分,所以有“基本”兩字.

如把硬幣拋3次后有8種可能結(jié)果:正正正、正正反、正反正、反正正、正反反、反正

反、反反正、反反反.這8種可能結(jié)果的每一個(gè)都是基本事件.

定義1.2.2.隨機(jī)事件：簡(jiǎn)稱(chēng)事件，在隨機(jī)試驗(yàn)中我們所關(guān)心的可能出現(xiàn)的各種結(jié)果，它

由一個(gè)或若干個(gè)基本事件組成.

隨機(jī)事件常用大寫(xiě)英文字母A,B,C,D等表示.如果用語(yǔ)言表達(dá)，則要用花括號(hào)括起

來(lái)

定義123.樣本空間：隨機(jī)試驗(yàn)中所有基本事件所構(gòu)成的集合,通常用Q或S表示.

例121.擲一枚股子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).則Q={1,2,3,4,5,6).

例1.2.2.考察某一地區(qū)的年降雨量，則Q={x|0<x<T},這里T表示某個(gè)常數(shù),表示

降雨量不會(huì)超過(guò)T.

定義124.必然事件(Q)：在試驗(yàn)中一定會(huì)發(fā)生的事件；

不可能事件停)：在試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件.

?1.2.2事件的運(yùn)算

可以證明,把樣本空間中的基本事件與空間中的點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，則事件與集合相對(duì)應(yīng),因

此事件運(yùn)算與集合運(yùn)算可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

2

1.子事件AcB:事件A發(fā)生蘊(yùn)含事件B一定發(fā)生，則事件A稱(chēng)為事件B的子事件，記

為AcB.若AcB,且BcA,則稱(chēng)事件A與事件B相等，記為A=B.

2.事件的和(AUB):事件A和事件B中至少有一個(gè)發(fā)生的這一事件稱(chēng)為事件A和事

件B的和,記為AUB.

3.事件的積(AUB):事件A和事件B同時(shí)發(fā)生這一事件稱(chēng)為事件A和事件B的積，記

為AUB.

如果AUB=,則稱(chēng)A和B不相容，即事件A和B不能同時(shí)發(fā)生.

4.對(duì)立事件Ac(或、)：A不發(fā)生這一事件稱(chēng)為事件A的對(duì)立事件(或余事件).

3

5.事件A和事件B的差A(yù)_B:事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生這一事件稱(chēng)為事件A和事件B的

差，記為A_B,或等價(jià)的，ABc.

DeMorgan對(duì)偶法則:

ATTB=iua,

上面公式可以推廣到n個(gè)事件：

~nn

nAi=、

i=1i=1

~nn

Un.

Ai=4i

i=1i=1

?1.2.3概率的定義及性質(zhì)

1.概率的定義

什么叫概率？直觀地講,概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)字表征,其值在0和1之

間，換句話說(shuō),概率是事件的函數(shù).如何求出事件A的概率(記為P(A))?

⑴古典概型:有兩個(gè)條件，

第一，(有限性)試驗(yàn)結(jié)果只有有限個(gè)(記為n),

第二，(等可能性)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.

為計(jì)算事件A的概率,設(shè)A中包含m個(gè)基本事件,則定義事件A的概率為

P(A)="'

n

記號(hào)：為方便起見(jiàn)，以#(B)記事件B中基本事件的個(gè)數(shù)，因此，

4

(2)概率的統(tǒng)計(jì)定義

古典概型的兩個(gè)條件往往不能滿足，此時(shí)如何定義概率？常用的一種方法是把含

有事件A的隨機(jī)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)做n次(Bernouli試驗(yàn)),設(shè)事件A發(fā)生了回次，稱(chēng)比值-為

事件A發(fā)生的頻率，當(dāng)n越來(lái)越大時(shí),頻率會(huì)在某個(gè)值p附近波動(dòng),且波動(dòng)越來(lái)越小,這個(gè)

值P就定義為事件A的概率.

注意：為什么不能寫(xiě)為lime。丫=P?因?yàn)椤共皇莕的函數(shù).

幾個(gè)例子:英文字母被使用的頻率是相當(dāng)穩(wěn)定的；福爾摩斯探案集第四本《跳舞的

小人》，福爾摩斯用頻率破了丘比特和埃爾茜之間聯(lián)絡(luò)密碼；1872年英國(guó)人Shix,W把IT算

到707位,194451945.3數(shù)學(xué)家法格遜認(rèn)為1T的小數(shù)位的數(shù)字對(duì)0到9應(yīng)該是等可能的,但核

對(duì)Shix的結(jié)果發(fā)現(xiàn)數(shù)字7太少,故對(duì)Shix的結(jié)果有懷疑,重新計(jì)算發(fā)現(xiàn)前527位是正確的,

后面不對(duì)了.計(jì)算機(jī)出現(xiàn)后，法國(guó)人讓.蓋尤計(jì)算了IT的前100萬(wàn)位小數(shù),發(fā)現(xiàn)各個(gè)數(shù)字出

現(xiàn)的頻率相同.

(3)主觀概率

關(guān)于概率的統(tǒng)計(jì)定義,我們可能會(huì)想到，如果試驗(yàn)不能在相同的條件下獨(dú)立重復(fù)很

多次時(shí)該怎么辦？還有人們常談?wù)摲N種事件出現(xiàn)機(jī)會(huì)的大小,如某人有80%的可能性辦

成某事.如某人有80%的可能性辦成某事.另一人則認(rèn)為僅有50%的可能性.即我們常常

會(huì)拿一個(gè)數(shù)字去估計(jì)這類(lèi)事件發(fā)生的可能性,而心目中并不把它與頻率掛鉤.這種概率

稱(chēng)為主觀概率,這類(lèi)概率有相當(dāng)?shù)纳罨A(chǔ).在金融和管理等方面有大量的應(yīng)用，這一

學(xué)派稱(chēng)為Bayes學(xué)派,近來(lái)得到越來(lái)越多的認(rèn)可.但是當(dāng)前用頻率來(lái)定義概率的頻率派

仍是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主流.焦點(diǎn)是頻率派認(rèn)為概率是客觀存在，不可能因人而異.

(4)概率的公理化定義

對(duì)概率運(yùn)算規(guī)定一些簡(jiǎn)單的基本法則，

(i)設(shè)A是障機(jī)事件，則0<P(A)<1,

(ii)設(shè)Q為必然事件,則P(Q)=1,

(iii)若事件A和B不相容,則P(AUB)=P(A)+P(B),

為了對(duì)可數(shù)無(wú)窮個(gè)事件仍能成立,我們要把上面公式中的兩個(gè)事件推廣到可數(shù)無(wú)窮個(gè)兩

兩不相容的事件序列。。

P(nAi)=比P(Ai)

i=1i=1

2.古典概率計(jì)算的幾個(gè)例子

計(jì)算古典概率,主要用到排列組合的知識(shí).

5

復(fù)習(xí)選排列,重復(fù)排列和組合公式有關(guān)知識(shí).

例123.一個(gè)班有r個(gè)人，不計(jì)2月29日出生的(即假定一年為365天)，問(wèn)至少有兩人同

一天生日的概率是多少？

要點(diǎn)：⑴本問(wèn)題中的樣本空間是什么？⑵重復(fù)排列，(3)先計(jì)算余事件

例124.盒中有32只紅球,4只白球，從中任摸2球，求兩球中至少有一個(gè)白球的概率.

要點(diǎn)：⑴樣本空間可以考慮為所有可能的組合,也可以考慮為所有可能的選排列,

有些問(wèn)題中只能考慮其中之一,具體問(wèn)題具體分析，

⑵本題可以直接計(jì)算隨機(jī)事件的概率,也可以先計(jì)算對(duì)應(yīng)的余事件的概率,然后得

到所需事件的概率.

?1.2.4條件概率

1.條件概率的定義

一般講，條件概率就是在知道了一定的信息下所得到的隨機(jī)事件的概率.如兩個(gè)

工廠A和B生產(chǎn)同一品牌的電視機(jī),商場(chǎng)中該品牌有個(gè)統(tǒng)一的次品率，比如0.5%,如果你

從某個(gè)途徑知道該商場(chǎng)的這批電視機(jī)是A廠生產(chǎn)的，則你買(mǎi)到的電視機(jī)的次品率不再

是0.5%,而應(yīng)該比0.5%要小,這個(gè)概率就是條件概率,即你在知道了這批電視機(jī)是A廠生

產(chǎn)的附加條件下的概率就是條件概率.

保險(xiǎn)中應(yīng)用的存活人數(shù)死亡率也是條件概率.

定義1.2.5.設(shè)事件A和B是隨機(jī)試驗(yàn)Q中的兩個(gè)事件，P(B)>0,稱(chēng)

「(.18)

P(A|B)=~p(Br

為事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率.

注1.2.1.P(A)和P(A|B)是不同的兩個(gè)概率.如圖，設(shè)矩形A的面積為1,則P(A)表示A的

面積，而P(A|B)表示在B中，A所占的比例，即AB這塊面積在B中所占的比例.

6

也可以從概率的統(tǒng)計(jì)定義,即用頻率來(lái)近似概率這一角度來(lái)理解條件概率.設(shè)在n次

獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A發(fā)生了吸次，事件B發(fā)生了肥次，事件AB發(fā)生了nAB次，事件B發(fā)生

下事件A發(fā)生的頻率為

nABP(AB)

S

nBP(B)

注1.22事實(shí)上，我們所考慮的概率都是在一定條件下計(jì)算的，因?yàn)殡S機(jī)試驗(yàn)就是在一

定的條件下進(jìn)行的,所以樣本空間是相對(duì)而言的.如果把在一定條件下的事件試驗(yàn)看成

無(wú)條件的，則在補(bǔ)充條件下進(jìn)行的事件試驗(yàn)的結(jié)果一般而言相對(duì)于原有結(jié)果要少，即樣

本空間改變了.所以所得隨機(jī)事件的概率一般是不相同的.

例125.有io個(gè)產(chǎn)品，內(nèi)有3個(gè)次品，從中一個(gè)個(gè)地抽取(不放回)檢驗(yàn)，問(wèn)第一次取到次

品后第二次再取到次品的概率.

解：樣本空間Q是從10個(gè)產(chǎn)品中有序取出2個(gè)產(chǎn)品的不同方法，這是一個(gè)排列問(wèn)題，易

知#Q=10x9=90,記A=｛第一次取出的是次品｝,B=｛第二次取出的是次品｝,#(AB)=

6,#A=3,故

P(AB)

P(B|A)=

PM)

注意，P(B|A)=2/9P(A)=3/10.

例126.有三張相同的卡片和一頂帽子，第一張卡片兩面都畫(huà)有圈，第二張卡片一面畫(huà)

圈,-面畫(huà)星,第三張卡片兩面都畫(huà)星.現(xiàn)在莊家把卡片放在帽中搖晃,然后讓你任取一

張，把它放在桌上，設(shè)你看到卡片上面的圖案為圈，然后莊家與你打賭下面的圖案與上

面一樣時(shí)算莊家贏，不一樣是為你贏.請(qǐng)問(wèn)這樣的賭博是否是公平的？

7

這是著名數(shù)學(xué)家，信息論的創(chuàng)建者之一A.Weaver設(shè)計(jì)的，他曾在50年的《科學(xué)美國(guó)

人》上介紹過(guò)這個(gè)例子.請(qǐng)大家想一想,很有意思.

例127.擲兩個(gè)股子,觀測(cè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),分別以x和y表示第一和第二顆股子擲出的點(diǎn)數(shù),

記A={(x,y):x+y>9},B={(x,y):x>y},求P(A|B)和P(B|A).

容易算出P(A|B)=2/15,P(B|A)=1/3,這說(shuō)明這兩個(gè)條件概率不是一回事.

2.乘法定理

由P(A|B)=[告P(AB)=P(A|B)P(B)

由歸納法容易推廣為n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率有如下公式：

P(A1A2...An)=P(Al)P(A2|Al)...P(An|Al...An-1)

上面公式的右邊看似麻煩，其實(shí)在實(shí)際中很容易算出.在沒(méi)有給出n個(gè)事件之間相

互關(guān)系時(shí),這是計(jì)算n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的一個(gè)重要公式.

例128.某人忘了某飯店電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨意撥號(hào)，問(wèn)他三次之內(nèi)撥通

電話的概率.

解：令A(yù)={第i次打通電話},i=1,2,3,則

P(3次內(nèi)撥通電話)=P(AinA2nAs)

=1_P(A\A-2A7)

9S7

=1=0.3

-l<H)s

?1.2.5全概率公式和Bayes公式

1.全概率公式

定義1.2.6.設(shè)Bi,B2,.一Bn是樣本空間Q中的兩兩不相容的一組事件，即BiBj=cp,i工

j,且滿足Bi=Q,則稱(chēng)Bi,B2,...Bn是樣本空間Q的一個(gè)分害U(又稱(chēng)為完備事件

群,英文為partition).

8

全概率公式:設(shè)｛Bi,B2,...Bn｝是樣本空間Q的一個(gè)分割,A為Q中的一個(gè)事件,則

n

P(A)=比P(A|Bi)P(Bi)

i=1

目的：有時(shí)不容易直接計(jì)算事件A的概率，但是在每個(gè)BLLA的條件概率容易求出.

注意:應(yīng)用中最重要的是驗(yàn)證｛Bi,B2,...Bn｝構(gòu)成樣本空間的一個(gè)分割.

例129.設(shè)某廠產(chǎn)品的一個(gè)零部件是由三家上游廠商供貨的.已知有一半是A廠提供

的,B廠商和C分別提供25%,已知廠商A和B的次品率都是2%,C的次品率為4%,從

該廠產(chǎn)品中任取一個(gè)產(chǎn)品，問(wèn)該產(chǎn)品的這個(gè)零部件是次品的概率.

解：記Bi=｛取到的產(chǎn)品是Bi廠生產(chǎn)的｝,i=1,2,3,易見(jiàn)Bi,B2,B3構(gòu)成樣本空間的一個(gè)

分害！J,且P(Bi)=0.5,P(B2)=P(B3)=0.25,P(A|Bi)=P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.04,

由全概率公式馬上得到

P(A)=0.02x0.5+0.02x0.25+0.04x0.25=0,025

例1210.一條家狗在野營(yíng)后走失了，猜想狗有三種可能去向：

A:它已回家，

B:仍在原地啃骨頭，

C:已走失到附近的樹(shù)林中去了.

從狗的習(xí)性可估計(jì)上述三種可能性分別為1/4,1/2,1/4,一個(gè)小孩被派回去找狗，如

果狗仍在原地啃骨頭，小孩能找到的可能性為9。％,如果狗已走失到附近的樹(shù)林中去了,

則小孩能找到的可能性為5。％.問(wèn)小孩能找到狗的概率.

解：可以分析得出狗的三種去向構(gòu)成樣本空間的一個(gè)分割，小孩能在不同情況下找到狗

的概率是條件概率,如果狗已回家，小孩能找到狗的概率為0.由全概率公式可以算出小

孩能找到狗的概率為23/40=57.5%.

2.Bayes公式

9

設(shè)｛Bi,B2,...Bn｝是樣本空間的一個(gè)分割，A為。中的一個(gè)事件，P(Bi)>0,i=1,2,

.,n,P(A)>0,則

P(Bi,A)=4P(A|Bi)P(B，)

LP(A|Bj)P(Bj)

什么情況下用Bayes公式？由公式知，分母就是事件A的概率,而分子和等式左邊的

條件概率中的條件正好反過(guò)來(lái).所以我們知道在因果關(guān)系互換時(shí)必須用Bayes公式.

例1.2.11.一種診斷某癌癥的試劑，經(jīng)臨床試驗(yàn)有如下記錄：有癌癥病人陽(yáng)性的概率

為95%,無(wú)癌癥病人陰性的概率為95%.現(xiàn)用這種試劑在某社區(qū)進(jìn)行癌癥普查,設(shè)該社區(qū)

癌癥發(fā)病率為0.5%,問(wèn)某人反應(yīng)為陽(yáng)性時(shí)該人患癌癥的概率.

解：設(shè)A=｛反應(yīng)為陽(yáng)性｝,C=｛被診斷者患癌癥｝,由題意，

P(A|C)=0.95,P(,i|,)=0.95,P(C)=0.005,

現(xiàn)在要算的是P(C|A).這是典型的因果關(guān)系互換，只能用Bayes公式.

P(C|A)=——「(A[C)P(C)——

P(A|C)P(C)+P(A|CP(「)

0.95x0.005

0.95x0.005+0.05x0.995

0.087=8.7%

這說(shuō)明用該試劑進(jìn)行普查,準(zhǔn)確性只有8.7%.計(jì)算表明，如果兩次反應(yīng)為陽(yáng)性時(shí)患

癌癥的概率達(dá)到了64%.

?1.2.6事件的獨(dú)立性

為了計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，可以運(yùn)用乘法定理，P(AB)=P(A|B)P(B).什

么情況下P(AB)=P(A)P(B)?即AB同時(shí)發(fā)生的概率等于兩個(gè)事件單獨(dú)發(fā)生概率的乘

積？為此我們有如下的定義：

定義1.2.7.設(shè)A,B是隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,若滿足P(AB)=P(A)P(B),則稱(chēng)事件A和B相

互獨(dú)立.

關(guān)于獨(dú)立的概念，應(yīng)該是從實(shí)際出發(fā)，如果能夠判斷事件B的發(fā)生與否對(duì)事件A的

發(fā)生與否不產(chǎn)生影響，則事件A,B即為獨(dú)立.如把一個(gè)硬幣擲兩次，觀測(cè)正反面出現(xiàn)的

10

情況，A=｛第一次出現(xiàn)正面｝,B=｛第二次出現(xiàn)正面｝,AB=｛兩次都出現(xiàn)正面｝,樣本空

間。有4個(gè)基本事件，#(AB)=1,#(A)=2,#(B)=2,故

P(AB)=1/4,P(A)P(B)=1/2,1/2=1/4

即事件A,B相互獨(dú)立.事實(shí)上,我們?nèi)菀着袛嗟谝淮问欠癯霈F(xiàn)正面與第二次是否出

現(xiàn)正面沒(méi)有任何影響，即獨(dú)立的.設(shè)t表示事件A發(fā)生和不發(fā)生之一，八表示事件B發(fā)生

和不發(fā)生之一.由獨(dú)立性的定義可以推知P(…)=P(i)P(川，(這兒一共4個(gè)等式),獨(dú)

立性的定義可以推廣到n個(gè)事件.

定義128.設(shè)Ai,A2,一.An是隨機(jī)試驗(yàn)中的n個(gè)事件，以士表示A或1之一.若滿足

P(A-1A~2...A~n)=P(A~1)P(A~2)...P(A~n),

則稱(chēng)事件列A1,A2,...An相互獨(dú)立.

(上面有2n個(gè)等式)

注意:上面等式等價(jià)于對(duì)A1,A2,...An中的任意k個(gè)事件Ai,,5,...,Aik,k=2,...n,

有

P(Ai1Ai2...Aik)=P(Ai1)P(Ai2)...P(Aik)

注意:獨(dú)立和不相容是不同的兩個(gè)概念.

例1.2.12.A,B,C三人獨(dú)立地破譯密碼,每人能破譯密碼的概率分別為1/3,1/4,1/5.問(wèn)

密碼能被破譯的概率有多大？

解：設(shè)口=｛密碼被破譯｝,A,B和C分別表示A,B和C三人能破譯密碼這三個(gè)事件，由獨(dú)

立性，

P(D)=P(AnBnC)=1_P(IM)

_0^1i

=1_P(?)P(?)P('-)=1_1-.=0.6

.i1.1

例1213.在元件可靠性研究中,我們考慮如下兩種電路：

其中1-4表示4個(gè)繼電器,它們是否開(kāi)通是相互獨(dú)立的,設(shè)繼電器導(dǎo)通的概率為P，(0<

p<1),求兩種電路從L到R為通路的概率.

11

解：左圖為串聯(lián)后并聯(lián)，右邊為并聯(lián)后串聯(lián)，記A=｛第i個(gè)繼電器導(dǎo)通｝,則左圖LR為通

路的表達(dá)為A1A2nA3A4，右圖LR為通路的表達(dá)為(AinAs)n(A2nA”,由于P(AIA2)=

P(Ai)P(A2)=p2=P(A3A4),故

P(A1A2nA3A4)=p2+p2_p4=p2(2_p2)

同理，

P((AinA3)n(A2nA4))=(2p_p2)2=p2(2_p)2,

由于2_p2<(2—摩,故并聯(lián)后串聯(lián)的電路比串聯(lián)后并聯(lián)的電路的可靠性高一點(diǎn).

例1.2.14.n個(gè)人獨(dú)立向同一目標(biāo)射擊，第i個(gè)人命中目標(biāo)的概率為p,i=1,2,...,n,求至

少有一人命中目標(biāo)的概率.

解：令A(yù)=｛第i個(gè)人命中目標(biāo)｝,D=｛至少有一人命中目標(biāo)｝,則

n

n

D=Ai,

i=1

__

P(D)=1_P(n)=1_P(AiA2...A'n)

=1_(1_P1)(1_P2).■.(1_Pn)

s1_exp｛_Zpi｝

上面約等號(hào)在p較小時(shí)成立.例如pi=0.04,n=100時(shí)，P(D)s1_exp｛_4｝=

0.98168

12

第二章隨機(jī)變量及其分布

教學(xué)目的：

1）掌握隨機(jī)變量的概念。掌握離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù),連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密

度,及任意的隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念.

2）掌握二項(xiàng)分布、Poisson分布，以及相應(yīng)的概率計(jì)算.

3）掌握正態(tài)分布，指數(shù)分布和均勻分布，會(huì)進(jìn)行相應(yīng)的概率計(jì)算.

4）掌握多維隨機(jī)變量的概念。了解n維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)的概念和性質(zhì).

5）掌握二維離散型和連續(xù)型陵機(jī)變量的邊緣分布與聯(lián)合分布之間的關(guān)系，會(huì)用這些關(guān)

系式求邊緣分布.

?2.1隨機(jī)變量的概念

隨機(jī)變量是其值隨機(jī)會(huì)而定的變量。

例2.1.1.以X表示擲一次股子得到的點(diǎn)數(shù),X是一個(gè)隨機(jī)變量.它可以?。?,2,3,4,5,6｝中

的一個(gè)值’但到底取那個(gè)值’要等擲了股子才知道.

例2.1.2.一張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)金額是一個(gè)隨機(jī)變量.它的值要等開(kāi)獎(jiǎng)以后才知道.

例2.1.3.在一批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽出100個(gè)產(chǎn)品，其中所含的廢品數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量.它

的值要等檢查了所有抽出的產(chǎn)品后才知道.

在另外的例子中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不是一個(gè)數(shù)，但仍可用數(shù)來(lái)描述.

例2.1.4.擲一枚硬幣出現(xiàn)正面或反面.

例2.1.5.產(chǎn)品被分為正品或廢品.

13

上面兩例中的結(jié)果均可用一個(gè)取值0,1的隨機(jī)變量來(lái)描述,其中可以1代表正面或正

品，以。代表反面或廢品.

事實(shí)上,對(duì)任意一個(gè)事件A,定義

?3eA,

1廣,

IA(3)=反N,

0

則事件A由隨機(jī)變量lA表示出來(lái).IA稱(chēng)為事件A的示性函數(shù).

隨機(jī)變量是把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，也就是樣本空間，與一組實(shí)數(shù)聯(lián)系起來(lái).這樣的處

理簡(jiǎn)化了原來(lái)的概率結(jié)構(gòu).例如某機(jī)構(gòu)調(diào)查民眾對(duì)一提案的態(tài)度是支持⑴還是反對(duì)(0).

如果隨機(jī)訪問(wèn)50人，按照古典概型，所有可能的結(jié)果有250個(gè).但是如果我們用X記1的個(gè)

數(shù)來(lái)表示贊成者的人數(shù)，則X為一個(gè)隨機(jī)變量.它的取值范圍只在{0,1,...,50},所以隨

機(jī)變量的引進(jìn)有利于我們對(duì)所研究的問(wèn)題進(jìn)行準(zhǔn)確，簡(jiǎn)練的描述.又由于隨機(jī)變量取實(shí)

值，隨機(jī)變量之間的運(yùn)算就變得容易了.

對(duì)于隨機(jī)變量的研究，是概率論的中心內(nèi)容.因?yàn)閷?duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們關(guān)心的

通常是與所研究的問(wèn)題有關(guān)的某個(gè)量或某些量.而這些量就是隨機(jī)變量.

定義2.1.1.令Q為一個(gè)樣本空間.令X是定義在Q上的一個(gè)實(shí)函數(shù)，則稱(chēng)X為一個(gè)(一維)隨

機(jī)變量.

常見(jiàn)的隨機(jī)變量可以分為兩大類(lèi).只取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)值的隨機(jī)變量稱(chēng)為離散型

隨機(jī)變量;取連續(xù)的值且密度存在的隨機(jī)變量稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量.當(dāng)然，存在既非離

散型也非連續(xù)型的隨機(jī)變量.但它們?cè)趯?shí)際中并不常見(jiàn),也不是我們這里研究的對(duì)象.

?2.2離散型隨機(jī)變量

定義221.設(shè)X為一隨機(jī)變量.如果X只取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)值’則稱(chēng)X為一個(gè)(一維)離

散型隨機(jī)變量.

由于一個(gè)隨機(jī)變量的值是由試驗(yàn)結(jié)果決定的，因而是以一定的概率取值.這個(gè)概率

分布稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù).

定義2.2.2.設(shè)X為一離散型隨機(jī)變量'其全部可能值為向，a2，…}.則

pi=P(X=a),i=1,2,...(2.2.1)

14

稱(chēng)為X的概率函數(shù).

概率函數(shù)｛p,i=1,2,..｝必須滿足下列條件：

pi>0,i=1,2,....

比pi=1

概率函數(shù)(221)指出了全部概率1是如何在X的所有可能值之間分配的.它可以列

表的形式給出：

可能值aia2ai

概率PiP2Pi

有時(shí)也把(222)稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布表.

設(shè)Q為一樣本空間.X為定義于其上的一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其取值為Xi,X2,..…令A(yù)

為國(guó),x2，…｝的任意一個(gè)子集.事件｛X取值于A中｝的概率可根據(jù)概率的可加性來(lái)計(jì)算:

P(A)=比P(X=X).

xeA

這樣知道了離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)，我們就能給出關(guān)于X的任何概率問(wèn)題的回答.

下面我們給出常見(jiàn)的離散型分布.在描述離散概率模型時(shí)，Bernoulli試驗(yàn)是最早被

研究且應(yīng)用及其廣泛的概率模型.

定義2.2.3.設(shè)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果A和I,則稱(chēng)此試驗(yàn)為一Bernoulli試驗(yàn).

定義224.設(shè)將一個(gè)可能結(jié)果為A和,的Bernoulli試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)n次，使得事件A每次

出現(xiàn)的概率相同，則稱(chēng)此試驗(yàn)為n重Bernoulli試驗(yàn).

下面的0-1分布和二項(xiàng)分布都是以Bernoulli試驗(yàn)為基礎(chǔ)的.

?2.2.10-1分布

設(shè)隨機(jī)變量X只取0,1兩值,P(X=1)=p,P(X=0)=1_p，則稱(chēng)X服從0-1分布

或Bernoulli分布.0-1分布是很多古典概率模型的基礎(chǔ).

15

?2.2.2二項(xiàng)分布

設(shè)某事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p.現(xiàn)把試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)n次.以X記A在這n次試

驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則X取值0,1,n，且有

/、

P(X=k)=:pk(1_p)?k,k=o,1,...,n,(2.2.3)

稱(chēng)X服從二項(xiàng)分布，記為X~B(n.pj.

從/

X:Pk。_P)n*=(p+1_p)n=1,

k

我們知道(2.2.3)確實(shí)是一個(gè)概率函數(shù).

為了考察這個(gè)分布是如何產(chǎn)生的，考慮事件{X=i},要使這個(gè)事件發(fā)生，必須在

這n次試驗(yàn)的原始記錄

AAIA...iAi

中，有i個(gè)A,n_i個(gè)4,每個(gè)A有概率p而每個(gè)！有概率1_p,又由于每次試驗(yàn)獨(dú)立，所以

每次出現(xiàn)A與否與其它次試驗(yàn)的結(jié)果獨(dú)立.因此由概率乘法定理得出每個(gè)這樣的原始結(jié)

果序列發(fā)生的概率為p(1_p)n」.但是i個(gè)A和n_i個(gè)泊勺排列總數(shù)是/『，所以有i個(gè)A的

概率是：

/、

npi(1_p)n-i,i=0,1,...,n.

一個(gè)變量服從二項(xiàng)分布有兩個(gè)條件:一是各次試驗(yàn)的條件是穩(wěn)定的，這保證了事

件A的概率p在各次試驗(yàn)中保持不變;二是各次試驗(yàn)的獨(dú)立性.現(xiàn)實(shí)生活中有許多現(xiàn)象

不同程度地滿足這些條件.例如工廠每天生產(chǎn)的產(chǎn)品.假設(shè)每日生產(chǎn)n個(gè)產(chǎn)品.若原材料

質(zhì)量，機(jī)器設(shè)備，工人操作水平等在一段時(shí)間內(nèi)保持穩(wěn)定，且每件產(chǎn)品是否合格與其它

產(chǎn)品合格與否并無(wú)顯著性關(guān)聯(lián)，則每日的廢品數(shù)服從二項(xiàng)分布.

?2.2.3Poisson分布

設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為

P(X=k)==e-A,k=A>0,(2.2.4)

則稱(chēng)x服從參數(shù)為人的Poisson分布，并記X~P(A).

由于厘有級(jí)數(shù)展開(kāi)式

_..A2Xk

A++

e-1+A+27+77

16

所以

P(X=k)=1.

k=0

穆德和格雷比爾著的《統(tǒng)計(jì)學(xué)導(dǎo)論》給出了Poisson分布的如下推導(dǎo).

假定體積為V的液體包含有一個(gè)大數(shù)目N的微生物.再假定微生物沒(méi)有群居的本能，

它們能夠在液體的任何部分出現(xiàn)，且在體積相等的部分出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同.現(xiàn)在我們?nèi)◇w

積為D的微量液體在顯微鏡下觀察，問(wèn)在這微量液體中將發(fā)現(xiàn)x個(gè)微生物的概率是什么？

我們假定V遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于D.由于假定了這些微生物是以一致的概率在液體中到處散布，因

此任何一個(gè)微生物在D中出現(xiàn)的概率都是D/V.再由于假定了微生物沒(méi)有群居的本能,

所以一個(gè)微生物在D中的出現(xiàn)，不會(huì)影響另一個(gè)微生物在D中的出現(xiàn)與否.因此微生物

中有x個(gè)在D中出現(xiàn)的概率就是

在這里我們還假定微生物是如此之小，擁擠的問(wèn)題可以忽略不考慮，即N個(gè)微生物所占

據(jù)的部分對(duì)于體積D來(lái)說(shuō)是微不足道.

在(2.2.5)中令V和N趨向于無(wú)窮，且微生物的密度N/V=d保持常數(shù).將(2.2.5)式改

寫(xiě)成如下形式：

5(.V-1)(.V-2)...(X-r4xJVD'Nx

/[J'/1-JO、(Dd)x。

=x!

當(dāng)N變成無(wú)限時(shí)其極限為

e-Dd(Dd)x/x!(2.2.6)

令Dd=A，則(226)和(224)的形式相同.這一推導(dǎo)過(guò)程還證明了入是x的平均數(shù)，因?yàn)樗?/p>

考察的一部分體積D乘以整個(gè)的密度d就給出了在D中所預(yù)計(jì)的平均數(shù)目.

當(dāng)N很大，p很小且Np趨于一個(gè)極限時(shí)，Poisson分布是二項(xiàng)分布的一個(gè)很好的近似.

而在N未知時(shí)，Poisson分布更顯得有用.我們有下面的定理.

定理221.在n重Bernoulli試驗(yàn)中，以pn代表事件A在試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，它與試驗(yàn)總

數(shù)n有關(guān).如果npn-入，則當(dāng)n-o時(shí)，

、國(guó)(1_加尸-與?(2.2.7)

八Ai

17

例2.2.1.現(xiàn)在需要100個(gè)符合規(guī)格的元件.從市場(chǎng)上買(mǎi)的該元件有廢品率0.01.考慮到有

廢品存在,我們準(zhǔn)備買(mǎi)100+a個(gè)元件使得從中可以挑出100個(gè)符合規(guī)格的元件.我們要求

在這100+a個(gè)元件中至少有100個(gè)符合規(guī)格的元件的概率不小于0.95.問(wèn)a至少要多大？

解：令

A=｛在100+a個(gè)元件中至少有100個(gè)符合規(guī)格的元件｝.

假定各元件是否合格是獨(dú)立的.以X記在100+a個(gè)元件中的廢品數(shù).貝!]X服從n=100+a

和p=0.01的二項(xiàng)分布,且

P(A)=\-100+a(O.O1)i(O.99)ioo+a-L

1*1

上式中的概率很難計(jì)算.由于100+a較大而0.01較小,且(100+a)(0.01)=1+0.01as1,

我們以入=1的Poisson分布來(lái)近似上述概率.因而

a

P(A)=比eT/ii.

i=1

當(dāng)a=0,1,2,3時(shí),上式右邊分別為0.368,0,736,0.920和0.981.故取a=3已夠了.

?2.2.4離散的均勻分布

設(shè)隨機(jī)變量X取值a1，a2,an,且有

P(X=ak)=—,k=1,,n.(2.2.8)

則稱(chēng)X服從離散的均勻分布.

可以看出，離散的均勻分布正是古典概型的抽象.

?2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

離散隨機(jī)變量只取有限個(gè)或可數(shù)無(wú)限個(gè)值，而連續(xù)型隨機(jī)變量取不可數(shù)個(gè)值.這就

決定了不能用描述離散型隨機(jī)變量的辦法來(lái)刻劃連續(xù)型隨機(jī)變量.

考慮一個(gè)例子.假定步槍射手瞄準(zhǔn)靶子在固定的位置進(jìn)行一系列的射擊.令X是命

中點(diǎn)與過(guò)靶心垂線的水平偏離值，設(shè)x取值L5cm,5cm].X是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量.

為了計(jì)算X落在某區(qū)間的概率，將L5,5]分為長(zhǎng)為1厘米的小區(qū)間.對(duì)于每個(gè)小區(qū)間,

以落在這個(gè)小區(qū)間的彈孔數(shù)除以彈孔總數(shù)得到落在這個(gè)區(qū)間的彈孔的相對(duì)頻數(shù).設(shè)總

彈孔數(shù)為100.我們得到下表：

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區(qū)間彈孔數(shù)相對(duì)頻數(shù)

[_5,_4]