雅禮教育集團(tuán)2025年上學(xué)期期中考試試卷高一數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘分值：150分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.的值（）A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在【答案】A【解析】【分析】判斷弧度2，3表示的角的范圍，判斷的正負(fù)，即可得答案.【詳解】，，．故選：A2.如下圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求異面直線所成角.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為,，則,所以.故選：C3.設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)?/p>

，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,所以

,所以,故選B.4.設(shè)向量滿足，，則=A.1 B.2 C.3 D.5【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)?，，兩式相加得：，所以，故選A.考點(diǎn)：本小題主要考查平面向量的模、平面向量的數(shù)量積等平面向量知識(shí)，熟練基礎(chǔ)知識(shí)與基本題型是解答好本類題目的關(guān)鍵．5.已知、是球的球面上的兩點(diǎn)，，點(diǎn)為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為，則球的表面積為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，利用三棱錐體積的最大值為，求出半徑，即可求出球的表面積．【詳解】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，.因此，球的表面積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查球的半徑與表面積的計(jì)算，確定點(diǎn)的位置是關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件得，再利用即可得解.【詳解】由可得，，，.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)A，B，C，D是平面上四個(gè)不同的點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共線，若，則是（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形【答案】D【解析】【分析】變形得到，求出，得到為等腰三角形.【詳解】，即，，，所以，為等腰三角形.故選：D8.如圖所示，在四邊形中，，，，將四邊形沿對(duì)角線BD折成四面體，使平面平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.與平面所成的角為D.四面體的體積為【答案】B【解析】【分析】對(duì)于A，若，根據(jù)線面垂直判定定理得，得出矛盾可判斷A；根據(jù)線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可判斷B；由平面得就是與平面所成的角，求出可判斷C；求出四面體的體積可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，若，因?yàn)椋?，平面，平面，所以平面，可得，這與矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，所以，得，又因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，平面，所以就是與平面所成的角，因?yàn)椋耘c平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，四面體的體積為，故D錯(cuò)誤.故選：B.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.復(fù)數(shù)z虛部的最大值為2B.復(fù)數(shù)z實(shí)部取值范圍是C.的最小值為1D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一、三、四象限【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，再依次討論求解即可.【詳解】解：滿足的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，如圖，由圖可知，虛部最大的復(fù)數(shù)，即復(fù)數(shù)z虛部的最大值為2．A正確；實(shí)部最小的復(fù)數(shù)，實(shí)部最大的復(fù)數(shù)，所以實(shí)部的取值范圍是，B正確；表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到的距離，所以的最小值為，C正確；由圖可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一、二、三、四象限，故D錯(cuò)誤．故選：ABC10.下列四個(gè)選項(xiàng)中，化簡正確的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】運(yùn)用拆角與和角公式即可判斷A項(xiàng)；逆用兩角差的余弦公式即可判斷B,C兩項(xiàng)；運(yùn)用誘導(dǎo)公式五先轉(zhuǎn)化部分三角函數(shù)式，再逆用公式即可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng),，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.11.已知，為異面直線，直線與，都垂直，則下列說法正確的是（）A.若平面，則，B.存在平面，使得，，C.有且只有一對(duì)互相平行的平面和，其中，D.至多有一對(duì)互相垂直的平面和，其中，【答案】BC【解析】【分析】由線面關(guān)系判斷ABD；由線面垂直判定判斷C；【詳解】對(duì)于A，如下圖所示，在正方體中取為，為，為，平面為平面，則，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在正方體中取為，為，為，平面為平面，此時(shí)，，，故B正確；對(duì)于C，由線面垂直的判定可知，，，過直線且與垂直的平面只有一個(gè)，過直線且與垂直的平面只有一個(gè)，則有且只有一對(duì)互相平行的平面和，其中，，故C正確；對(duì)于D，在正方體中取為，為，為，此時(shí)平面平面，平面平面，即至少存在兩對(duì)互相垂直的平面和，其中，，故D錯(cuò)誤；故選：BC三、填空題：（本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）12.如果用半徑為的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐筒，那么這個(gè)圓錐筒的高是___________.【答案】3【解析】【分析】先求半圓的弧長，就是圓錐的底面周長，求出底面圓的半徑，然后利用勾股定理求出圓錐的高.【詳解】半徑為的半圓弧長為，圓錐的底面圓的周長為，圓錐的底面半徑為：，所以圓錐的高：，故答案為：3.13.已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.【答案】##【解析】【分析】法一，由由，得，借助于幾何作圖，作，確定點(diǎn)P的軌跡，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，即可求得答案;法二，由題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)條件確定確定點(diǎn)C在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，可求得答案.【詳解】法一由，得.如圖所示，分別作,作，由于是單位向量,則四邊形OACB是邊長為1正方形，所以,作，則,所以點(diǎn)P在以C為圓心，1為半徑的圓上.由圖可知，當(dāng)點(diǎn)O，C，P三點(diǎn)共線且點(diǎn)P在點(diǎn)P1處時(shí)，||取得最大值,故||的最大值是,故答案為：法二由，得，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，所以點(diǎn)C在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上.所以故答案為：14.已知，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩角和與差的正切公式即可求解.【詳解】原式．故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.函數(shù)（）的最大值為3，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，則，求值【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】（1）由三角函數(shù)性質(zhì)得,最大值為A+1=3,∴A=2，周期，∴f（x）=2sin（2x-）+1（2），f（）=2∴2sin（-）+1=2,得sin（-）=，=16.在四面體ABCD中，CB=CD，，且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，求證：（I）直線；（II）．【答案】（I）證明見解析．（II）證明見解析．【解析】【詳解】證明：（I）E，F(xiàn)分別為AB，BD的中點(diǎn)．（II），又，所以．17.在中，．（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由、及，利用正弦定理即可求出的值；（2）由余弦定理表示出，把、及的值代入求出的值，由為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出的值，從而利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式分別求出和的值，把所求式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，將和的值代入即可求出值.【詳解】（1）在中，根據(jù)正弦定理，，于是.（2）在中，根據(jù)余弦定理，得于是，從而，.所以.18.半徑為1的圓內(nèi)接，且．（1）求數(shù)量積，，；（2）求的面積．【答案】（1），，．（2）【解析】【分析】（1）將變形為，兩邊平方即可求得的值，同理可求，的值；（2）利用向量的數(shù)量積或夾角公式求出的夾角或余弦值進(jìn)而可得正弦值，結(jié)合三角形面積公式，即可求得答案.【小問1詳解】，，則，即得，所以，同理，．【小問2詳解】由，，由，，得，則，同理，，則，所以．19.如圖所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，邊AD上一點(diǎn)滿足．現(xiàn)將沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如圖所示．（1）求證：；（2）求四棱錐的體積；（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形ABCE為菱形，從而線線垂直，得到平面．故；（2）由面面垂直得到線面垂直，求出，利用錐體體積公式進(jìn)行求解；（3）作出輔助線，證明線面垂直，得到線線垂直，即為平面與平面所成銳二面角的平面角，求出各邊長，得到，求出答案.【小問1詳解】證明：在平面圖形中，連接CE，由勾股定理得，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形ABCE為菱形，在圖中，連接AC交BE于點(diǎn)，則，在立體圖形中，，，又，平面，平面．又平面，；【小問2詳解】在平面圖形中，由勾股定理得，由（1）知，四邊形ABCE為菱形，結(jié)合題設(shè)易得，故，平面平面BCDE，且平面平