第頁，共頁江蘇省梅村高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一（數(shù)學(xué)）3月質(zhì)量檢測（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知向量，是平面上兩個不共線的單位向量，且，，，則（）A.、、三點(diǎn)共線 B.、、三點(diǎn)共線C.、、三點(diǎn)共線 D.、、三點(diǎn)共線【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量共線則判斷即可.【詳解】對A，因?yàn)?，，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故A錯誤；對B，因?yàn)椋?，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故B錯誤；對C，因?yàn)椋?，則，故、、三點(diǎn)共線，故C正確；對D，因?yàn)?，，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故D錯誤.故選：C2.設(shè)D，E為△ABC所在平面內(nèi)兩點(diǎn)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所?故選：B3.如圖，中，，則（）A.9 B.18 C.6 D.12【答案】D【解析】【分析】由可得，則，代入化簡即可得出答案.【詳解】由可得：，所以，所以，，因?yàn)?，所?故選：D.4.八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2的正八邊形，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.在方向上的投影向量為【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用余弦定理，向量平行四邊形法則，數(shù)量積定義，投影向量概念公式分別計算即可.【詳解】由正八邊形可知，，對，，故A錯誤；對，由，可得，由平行四邊形法則，可得，故錯誤；對C，因?yàn)?，所以，故C錯誤；對D，因?yàn)椋栽谏系耐队盀?，投影向量為，故D正確.故選：D.5.已知，，，則的最小值為（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】借助向量數(shù)量積公式及模長與數(shù)量積的關(guān)系計算即可得.【詳解】由，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：A.6.已知的三內(nèi)角所對的邊分別是，設(shè)向量，若，則的形狀是（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用平面向量平行的條件得，再利用余弦定理可得邊的關(guān)系，即可得解.【詳解】由題意，向量，且，則，故，整理得到，故，故或，即或，故的形狀為等腰或直角三角形.故選：D.7.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，若為鈍角三角形，則c的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求最大邊為，再利用以及求得c取值范圍.【詳解】因，則，若為鈍角三角形，則，得，又因，則，得，故故選：A8.黃鶴樓地處蛇山之??瀕臨萬里長江，是武漢市地標(biāo)建筑.已知黃鶴樓的高度約為米，在其一側(cè)有一座建筑物，在它們之間的地面上的點(diǎn)（三點(diǎn)共線）處，測得樓頂?樓頂?shù)难鼋欠謩e為和，在樓頂處測得樓頂?shù)难鼋菫?則地面上兩點(diǎn)之間的距離約為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】利用兩角差的余弦公式可得，由題意求出，結(jié)合正弦定理計算即可求解.【詳解】由題意得，，在中，，，所以，又米，由正弦定理，得，解得米，所以米.故選：B.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）A.若復(fù)數(shù)，則B.若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部等于C.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則D.若，則【答案】CD【解析】【分析】A虛數(shù)無法比大?。籅利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得出復(fù)數(shù)；C利用純虛數(shù)的定義列方程；D利用計算.【詳解】虛數(shù)無法比大小，但?？梢员却笮?，故A錯誤；，則復(fù)數(shù)z的虛部等于，故B錯誤；復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則且，得，故C正確；，故D正確.故選：CD10.下列命題正確的是（）A.若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得B.“”是“”的必要不充分條件C.已知為平面內(nèi)兩個不共線的向量，則可作為平面的一組基底D.若點(diǎn)為的重心，則【答案】BCD【解析】【分析】A注意、為零向量，則不唯一，即可判斷；B根據(jù)充分、必要性定義，結(jié)合條件間的推出關(guān)系判斷；C根據(jù)基底的性質(zhì)判斷；D由重心是中線的交點(diǎn)，應(yīng)用向量加法、數(shù)乘的幾何意義判斷.【詳解】A：若、為零向量，滿足前提，但不唯一，錯；B：對于，如非零向量，顯然此時不成立；對于，必有，故“”是“”的必要不充分條件，對；C：由為不共線的向量，若，，顯然無解，所以也不共線，故可作為平面的一組基底，對；D：由重心是中線的交點(diǎn)，如下圖示為平行四邊形，過的中點(diǎn)，則，且，故，對.故選：BCD11.設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.外接圓的半徑為 B.面積的最大值為C.的最大值為2 D.的最小值為32【答案】ABC【解析】【分析】對于A，由正弦定理易得；對于B，利用余弦定理和基本不等式求出的最大值即可判斷；對于C，利用正弦定理化邊為角，根據(jù)三角恒等變換將所求式化成正弦型函數(shù)，利用其性質(zhì)即得；對于D，利用B項(xiàng)結(jié)論易得.【詳解】對于A，因，，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理，，解得，故A正確；對于B，由余弦定理，，即，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.則的面積為，即面積的最大值為，故B正確；對于C，由正弦定理，，可得故，因，則，故當(dāng)時，即時，取得最大值2，故C正確；對于D，由B項(xiàng)分析，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最大值為32，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量滿足，則與夾角的大小為______.【答案】【解析】【分析】先利用向量的運(yùn)算律求得及，然后利用向量的夾角公式求解即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄繚M足，所以，所以，即，所以，設(shè)與夾角為，則，又，所以.故答案為：13.在平行四邊形ABCD中，若AB＝2，AD＝1，·＝－1，點(diǎn)M在邊CD上，則·的最大值為________．【答案】2【解析】【分析】先求出，再建立直角坐標(biāo)系，求出則，，并設(shè)，，求出和的坐標(biāo)利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到，再利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】如圖，因?yàn)?，，，所以，所以，，所?以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，所以，，則，令，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：.14.18世紀(jì)末，挪威測量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如，即復(fù)數(shù)z的模的幾何意義為z對應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離．設(shè)復(fù)數(shù)，且，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合圓的性質(zhì)求解.【詳解】為，表示復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，因此點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離，而，則，所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)（1）若復(fù)數(shù)是方程的一個復(fù)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若復(fù)數(shù)滿足，求．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件，即可列方程求解，（2）由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，即可由模長公式求解.【小問1詳解】，所以，【小問2詳解】由可得故16.已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，求與的夾角；（3）若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)式求出值，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律計算即可；（2）由求出值，再利用向量夾角的坐標(biāo)公式求解即得；（3）由題意推出和與不共線，列出不等式求解即得.【小問1詳解】由可得，則，于是，；【小問2詳解】由，可得，解得，則，于是，設(shè)與的夾角為，則，因，故，即與夾角為；【小問3詳解】由與的夾角是鈍角，可得，解得且，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是.17.記的內(nèi)角，，的對邊分別，，，已知．（1）求；（2）設(shè)是邊中點(diǎn)，若，求．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式及輔助角公式求解.（2）利用和角的正弦公式求出，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及正弦定理求解.【小問1詳解】在中，由正弦定理及，得，又，則，而，化簡得，即，而，因此，所以.【小問2詳解】在中，由，得，，由正弦定理，得，由是邊中點(diǎn)，得，則，因此，在中，由正弦定理，得.18.如圖，中，，，，是的中點(diǎn)，延長交于點(diǎn).（1）用，表示；（2）設(shè)，求的值；（3）若，，求面積的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)幾何關(guān)系，表示向量；（2）根據(jù)幾何關(guān)系，表示向量；設(shè)，，，，再利用平面向量基本定理表示，即可求解；（3）結(jié)合（2）和，以及基本不等式，三角形面積公式，即可求解.【小問1詳解】由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得.【小問2詳解】設(shè)，，，，則，①又，②所以對比①②得，得，所以；【小問3詳解】由（2）得，即，因，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時面積最大，為.19.我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸，構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“@未來坐標(biāo)系”如圖所示，，兩分別為，正方向上的單位向量若向量，則把實(shí)數(shù)對叫做向量的“@未來坐標(biāo)”，記，已知分別為向量的@未來坐標(biāo)．（1）證明：（2）若向量的“@未來坐標(biāo)”分別為，已知，，求函數(shù)的最值．【答案】（1）證明見解析（2）的最小值為，最大值為.【解析】【分析】（1）根據(jù)@未來坐標(biāo)的定義和向量數(shù)量積的運(yùn)算律證明即可；（2）由題意可得，令，則轉(zhuǎn)化為（），然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)的最值.【小問1詳