試卷第=page184184頁，共=sectionpages190190頁專題九解答壓軸題第16講一次函數(shù)壓軸題（思維導(dǎo)圖+2考點+8種題型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u考點一、一次函數(shù)與幾何圖形的壓軸問題題型01、一次函數(shù)與三角形題型02、一次函數(shù)與四邊形題型03、一次函數(shù)與圓考點二、一次函數(shù)?？級狠S問題題型01、一次函數(shù)中的分段函數(shù)問題題型02、一次函數(shù)自定義問題題型03、一次函數(shù)與圖形面積題型04、一次函數(shù)與角度問題題型05、一次函數(shù)實際應(yīng)用問題考點一、一次函數(shù)與幾何圖形的壓軸問題題型01、一次函數(shù)與三角形的綜合問題1．（2023·浙江溫州·三模）如圖，在直角坐標(biāo)系有一等腰直角三角形，，，點在軸的負(fù)半軸上，點在一次函數(shù)的圖象上，且點在第二象限，點在第四象限，一次函數(shù)圖象交軸于點，交軸于點，．

(1)求證：．(2)求出點的坐標(biāo)及的長．(3)點從勻速運動到時，點恰好從勻速運動到，記，①求出關(guān)于的函數(shù)表達式．②連結(jié)，點關(guān)于直線對稱點為，連結(jié)．若直線與中某條邊所在的直線平行時（不重合），求出滿足條件的所有的值．2．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，，且、滿足．(1)求、兩點的坐標(biāo)；(2)如圖2，點在線段上（不與端點、重合），點在線段上（不與端點、重合），連，過作的垂線交于，若，設(shè)點橫坐標(biāo)為，求點橫坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）．(3)如圖3，在（2）的條件下，連，點是中點，，交于點，連，若，求的長．3．（2023·浙江紹興·中考真題）如果兩點到一條直線的距離相等，則稱該直線為“兩點的等距線”．(1)如圖1，直線經(jīng)過線段的中點P，試說明直線是點A，B的一條等距線．(2)如圖2，是正方形網(wǎng)格中的三個格點，請在網(wǎng)格中作出所有的直線m，使直線m過點C且直線m是“兩點的等距線”．(3)如圖3，中，，則在坐標(biāo)軸上是否存在點P，使？若存在，試求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．（2025·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸交點分別為點和點，與直線交于點，點是線段的中點，點分別是直線軸、軸上的動點．(1)求直線的解析式以及線段的長度．(2)求當(dāng)周長最小時，使得的值最大的點的坐標(biāo)．(3)如圖，將沿直線翻折，得到點的對應(yīng)點，再將繞點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中直線分別與直線，和直線，交于點和點，直線分別與直線和直線，交于點和點，是否存在點與四點中不同時在直線或直線上的兩點組成的三角形是等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．5．（2023·浙江金華·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點、的坐標(biāo)分別為，，過點作直線軸，設(shè)直線上的動點的坐標(biāo)為，連接，將線段繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上取點，構(gòu)造，使得．

(1)當(dāng)時，求直線的函數(shù)表達式．(2)當(dāng)點C落在坐標(biāo)軸上時，求的面積．(3)已知點B關(guān)于原點O的對稱點是點D，在點A的運動過程中，是否存在某一位置，使以A，C，D為頂點的三角形與相似？若存在，求出點A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．（23-24九年級上·浙江金華·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點B、E的坐標(biāo)分別為，，過點E作直線軸，設(shè)直線l上的動點A的坐標(biāo)為，連接，將線段繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上取點C，構(gòu)造，使得．

(1)如圖1，當(dāng)時，求直線的函數(shù)表達式．(2)當(dāng)點C落在x軸上如圖2的位置時，求點C的坐標(biāo)．(3)已知點B關(guān)于原點O的對稱點是點D，在點A的運動過程中，是否存在某一位置，使與相似（包括全等）？若存在，請直接寫出點A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．（22-23九年級下·浙江金華·階段練習(xí)）對于坐標(biāo)平面內(nèi)的點，現(xiàn)將該點向右平移1個單位，再向上平移2個單位，這種點的運動稱為點A的斜平移，如點經(jīng)1次斜平移后的點的坐標(biāo)為，已知點A的坐標(biāo)為．

(1)分別寫出點A經(jīng)1次，2次斜平移后得到的點的坐標(biāo)．(2)如圖，點M是直線l上的一點，點A關(guān)于點M的對稱點為點B，點B關(guān)于直線l的對稱點為點C．①若A、B、C三點不在同一條直線上，判斷是否是直角三角形？請說明理由．②若點B由點A經(jīng)n次斜平移后得到，且點C的坐標(biāo)為，求出點B的坐標(biāo)及n的值．8．（24-25八年級下·上?！るA段練習(xí)）一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，以為邊在第二象限內(nèi)作等邊．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)在直線上有一點，求的面積．(3)在x軸上是否存在點M，使為等腰三角形？若存在，請寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．9．（2025·廣東清遠(yuǎn)·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，與過點的直線交于點．(1)求點的坐標(biāo)和直線的表達式；(2)在直線上存在一點，使得的面積是的面積的4倍，求點的坐標(biāo)；(3)如圖2，點是直線在第二象限圖象上的一點，且點在點的下方，作射線，把射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到射線，在射線上取一點，連接，使得，當(dāng)為等腰直角三角形時，求出此時的長度．10．（2025九年級下·全國·學(xué)業(yè)考試）已知直線與x軸和y軸分別交于B，A兩點，另一直線經(jīng)過點B和點．(1)求，的長度，并證明是直角三角形．(2)在x軸上找一點C，使是以為底邊的等腰三角形，求出C點坐標(biāo)．(3)一動點P速度為1個單位/秒，沿運動到D點停止，另有一動點Q從D點出發(fā)，以相同的速度沿運動到A點停止，兩點同時出發(fā)，的長度為y（單位長），運動時間為t（秒），求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．題型02、一次函數(shù)與四邊形11．（24-25九年級下·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊在軸的負(fù)半軸上，將正方形沿著軸向右平移個單位，得到正方形，且點與原點重合，直線′交軸于點．(1)求正方形的邊長；(2)求直線的函數(shù)表達式；(3)在線段上是否存在點，使的面積等于，若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．12．（2024·浙江寧波·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，是軸負(fù)半軸上一點，連結(jié)，將線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)交軸于點，若點橫坐標(biāo)為3．(1)求直線的解析式；(2)求點坐標(biāo)；(3)在軸和直線上分別找點，，使得、、、構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，直接寫出點坐標(biāo)．13．（黑龍江省牡丹江市2024~2025學(xué)年下學(xué)期九年級綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的一個頂點在原點處，頂點在軸正半軸上，且點的橫，縱坐標(biāo)是方程的兩個實數(shù)根（橫坐標(biāo)大于縱坐標(biāo)），將菱形繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到菱形，點，，的對應(yīng)點分別為，，．(1)求點的坐標(biāo)；(2)動點從點出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿折線運動，設(shè)運動時間為秒，的面積為，求與的關(guān)系式；(3)為直線上一點，在直線上是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．14．（2023八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸相交于A、B兩點，動點C在線段上，將線段繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，此時點D恰好落在直線上時，過點D作軸于點E．(1)求證：；(2)求點D的坐標(biāo)；(3)若點P在y軸上，點Q在直線上，是否存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．15．（24-25九年級上·四川成都·期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸，軸交于點，，點在軸正半軸上，以，為鄰邊作平行四邊形，點的坐標(biāo)為．(1)求點D的坐標(biāo)；(2)為線段上一點，其橫坐標(biāo)為，過點作的垂線，交軸于點，交直線于點①如圖2，若，求的面積；②若以C，F(xiàn)，G為頂點的三角形與相似，求a的值．16．（2023·浙江金華·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，若圖形與圖形中，分別存在點關(guān)于直線對稱，則稱這兩個圖形“軸對稱”．如圖，正方形各頂點的坐標(biāo)分別是，，，．

(1)在點，，中，哪些點與正方形“軸對稱”？若是，求k的值．(2)若點與點為“軸對稱”，求點的坐標(biāo)．(3)直線與兩坐標(biāo)軸的交點為，若線段與正方形“軸對稱”，求的范圍．17．（2025·黑龍江七臺河·一模）如圖，矩形的邊、的長分別是方程的兩個根（），折疊矩形，使邊落在x軸上，點B與點E重合．(1)求折痕所在直線解析式．(2)將直線沿x軸負(fù)方向以每秒1個單位長度的速度平移，直接寫出直線掃過矩形的面積S與運動的時間t的關(guān)系式．(3)點P是直線上一點，試在平面內(nèi)確定一點M，使得以A、B、P、M為頂點的四邊形是菱形，直接寫出點M的坐標(biāo)．18．（24-25九年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，、，點E從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度沿y軸負(fù)方向運動，點F從原點O出發(fā)，以每秒個單位長度沿x軸正方向運動，運動時間為t秒．以、為一組鄰邊作平行四邊形，點N在點F右側(cè)2個單位，以為對角線作正方形，（F、P、N、M為順時針順序）．(1)時，求的值；(2)當(dāng)時，求最小值；(3)當(dāng)時，點P關(guān)于所在直線的對稱點為Q，當(dāng)點Q在上時，求t的值；(4)如圖2，當(dāng)時，連接、、、，在點E運動的過程中，若點M、P中恰好有且只有一個點在四邊形內(nèi)部時，求t的取值范圍．19．（24-25九年級上·四川達州·期末）在矩形中，．分別以邊所在的直線為軸，軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．(1)如圖1，將沿對角線翻折，交于點，點的對應(yīng)點為，求點的坐標(biāo)；(2)如圖2，已知是上一點，且于點，交于點F，求四邊形的面積；(3)如圖3，點，點是上一點，且，是直線上的一個動點，在軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個點，使以，為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．20．（24-25九年級上·四川宜賓·階段練習(xí)）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點．將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得（點A與點C對應(yīng)，點B與點D對應(yīng)）．(1)直接寫出直線的表達式；(2)E為線段上一點，過點E作軸交直線于點F，作軸交直線于點G．當(dāng)時，求點E的坐標(biāo)；(3)如圖②，若M為線段的中點，N為直線上一點，P為坐標(biāo)系內(nèi)一點，且以O(shè)，M，N，P為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)，并寫出其中一種求解點N坐標(biāo)的過程．21．（24-25九年級上·四川巴中·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)（）的圖象與，軸分別交于、兩點．點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點在線段上．動點從點出發(fā)，沿運動，當(dāng)點運動到點時，停止運動．已知點在上的速度為個單位長度每秒，在上的速度為個單位長度每秒．

(1)求直線的解析式；(2)設(shè)點的運動時間為，求當(dāng)最小時的坐標(biāo)及的值；(3)在（2）的條件下，點在軸上，點在軸的右側(cè)，是否存在點使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形．若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22．（24-25九年級上·江蘇泰州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點，直線與y軸交于點P，與交于點點D為x軸上正半軸一動點，過點D作x軸的垂線與直線，分別相交于E，F(xiàn)兩點，過點E作軸的直線交于點．(1)求a的值及的函數(shù)表達式；(2)當(dāng)，求D點的坐標(biāo)；(3)平面內(nèi)存在一直線，對于的任意一個數(shù)值均可以滿足，請直接寫出k的取值范圍；(4)以，為邊作長方形，當(dāng)點D在運動過程中，試探究M的運動軌跡是否為一條直線中的一部分？若是，求出該直線解析式；若不是，請說明理由．題型03、一次函數(shù)與圓的綜合23．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）對于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點，，給出如下定義：點與點的“直角距離”為：．例如：若點，點，則點與點的“直角距離”為：．根據(jù)以上定義，解決下列問題：(1)已知點．①若點，則；②若點，且，則；③已知點是直線上的一個動點，且，求的取值范圍；(2)已知點，為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，且滿足，①若點在圖象上，求點的坐標(biāo)；②若點在直線上，求的取值范圍．(3)在平面直角坐標(biāo)系中，為動點，且，的圓心為，半徑為1．若上存在點使得，求的取值范圍．24．（23-24九年級上·北京西城·期中）對于平面直角坐標(biāo)系中的點P和圖形W、給出如下定義：若圖形W上存在點Q，使得點P繞著點Q旋轉(zhuǎn)得到的對應(yīng)點在圖形W上，則稱點P為圖形W的“關(guān)聯(lián)點”．(1)圖形W是線段，其中點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，①如圖1，在點，，，中，線段的“關(guān)聯(lián)點”是；②如圖2，若直線上存在點P，使點P為線段的“關(guān)聯(lián)點”，求b的取值范圍；(2)圖形W是以為圓心，1為半徑的．已知點，．若線段上存在點P，使點P為的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出t的取值范圍．25．（23-24九年級上·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖，直線經(jīng)過點，與軸交于，為軸負(fù)半軸上的一點，且，以為直徑作，連結(jié)．(1)求出b的值及直線的函數(shù)表達式．(2)在線段上取點，連結(jié)并延長交于點，連結(jié)交于點，①若，求證：．②當(dāng)?shù)扔谥械哪骋粋€角時，求的長．(3)點P關(guān)于直線的對稱點P′恰好落在上時，請直接寫出四邊形的面積為______．26．（24-25九年級下·廣東中山·階段練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸和軸于點．(1)如圖1，已知經(jīng)過點，且與直線相切于點，求的直徑長；(2)如圖2，已知直線分別交軸和軸于點和點，點是直線上的一個動點，以點為圓心，為半徑畫圓．①當(dāng)點與點重合時，求證：直線與相切；②設(shè)與直線相交于兩點，連結(jié)．問：是否存在這樣的點，使得是等腰直角三角形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．27．（24-25九年級下·北京西城·階段練習(xí)）如圖1，對于外的線段（線段上的各點均在外）和直線上的點，給出如下定義：若線段繞點旋轉(zhuǎn)某一角度得到的線段恰好是的弦，則稱點為線段關(guān)于的“割圓點”，在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1．(1)如圖2，已知點，，，．在線段，，中，存在關(guān)于的“割圓點”的線段是，該“割圓點”的坐標(biāo)是；(2)直線經(jīng)過點，與軸的交點為點．點，點都在線段上，且．若線段關(guān)于的“割圓點”為點，寫出點的橫坐標(biāo)的取值范圍；(3)直線經(jīng)過點，不重合的四個點都在直線上，且點既是線段關(guān)于的“割圓點”，又是線段關(guān)于的“割圓點”，線段，的中點分別為點，，記線段的長為d．請直接寫出d的取值范圍．28．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）定義：當(dāng)點在射線上時，把的值叫做點在射線上的射影值；當(dāng)點不在射線上時，把射線上與點最近點的射影值，叫做點在射線上的射影值．例如：如圖（1），三個頂點均在格點上，是邊上的高，則點和點在射線上的射影值均為．(1)在中，下列說法：①點在射線上的射影值小于1時，則是銳角三角形；②點在射線上的射影值等于1時，則是直角三角形；③點在射線上的射影值大于1時，則是鈍角三角形．其中，正確說法的序號是___________．(2)是射線上一點，，以為圓心，為半徑畫圓，是上任意點．①如圖（2），點在射線上的射影值為，求證：直線是的切線．②如圖（3），已知為線段的中點，設(shè)點在射線上的射影值為，點在射線上的射影值為，直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式．

29．（24-25九年級上·北京通州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑是3．對于點P和，給出如下定義：過點C的直線與交于不同的點M，N，如果點P為線段的中點，我們把這樣的點P叫做關(guān)于的“弦中點”．(1)如圖1，已知點；①點，，中是關(guān)于的“弦中點”的是______；②若一次函數(shù)的圖象上只存在一個關(guān)于的“弦中點”，求b的值；(2)如圖2，若，一次函數(shù)的圖象上存在關(guān)于的“弦中點”，直接寫出m的取值范圍．30．（24-25九年級上·福建廈門·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，N；對于點P給出如下定義：將點P向右或向左平移個單位長度，再向上（）或向下（）平移個單位長度，得到點，點關(guān)于點N的對稱點為Q，稱點Q為點P的“對應(yīng)點”．(1)如圖，點，點N在線段的延長線上，若點，點Q為點P的“對應(yīng)點”．①當(dāng)N坐標(biāo)為，在圖中畫出點Q，連接，交線段于點T，求的值；②當(dāng)N為線段延長線上任意一點，連接，交線段于點T，是否為定值？(2)的半徑為t，M是上一點，點N在線段上，若點N與點O重合，P為外一定點，點Q為點P的“對應(yīng)點”．當(dāng)點M在上運動時，直接寫出點Q所構(gòu)成的圖形的面積（用含t的式子表示）．考點二、一次函數(shù)?？級狠S問題題型01、一次函數(shù)中的分段函數(shù)問題31．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，某個函數(shù)圖象上任意兩點的坐標(biāo)分別為和（其中t為常數(shù)且），將的部分沿直線翻折，翻折后的圖象記為；將的部分沿直線翻折，翻折后的圖象記為，將和及原函數(shù)圖象剩余的部分組成新的圖象G．例如：如圖，當(dāng)時，原函數(shù)，圖象G所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．(1)當(dāng)時，原函數(shù)為，圖象G與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)是．(2)對應(yīng)函數(shù)（n為常數(shù)）．①時，若圖象G與直線恰好有兩個交點，求t的取值范圍．②當(dāng)時，若圖象G在上的函數(shù)值y隨x的增大而減小，直接寫出n的取值范圍．32．（2022·浙江金華·模擬預(yù)測）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線，對于任意一個函數(shù)，作該函數(shù)自變量大于的部分關(guān)于直線的軸對稱圖形，與原函數(shù)中自變量大于或等于的部分共同構(gòu)成一個新的函數(shù)圖象，則這個新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”．例如：圖①是函數(shù)的圖象，則它關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面函數(shù)”的解析式為，也可以寫成．(1)在圖③中畫出函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”的圖象．(2)函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”與直線有三個公共點，求的值．(3)已知，，，，函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”圖象與矩形的邊恰好有4個交點，求n的取值范圍．33．（24-25八年級上·江蘇揚州·期末）把一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，）在x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，與原來在x軸上方的圖象組合，得到一個新的圖象，我們稱之為一次函數(shù)的“V”形圖象，例如，如圖1就是函數(shù)的“V”形圖象．(1)請在圖2中畫出一次函數(shù)的“V”形圖象，并直接寫出該“V”形圖象的函數(shù)表達式及自變量x的取值范圍；(2)在（1）的條件下，若一次函數(shù)的“V”形圖象與x軸交于點A，與直線相交于B，C兩點，求的面積；(3)一次函數(shù)（k為常數(shù)）的“V”形圖象經(jīng)過，兩點，且，求k的取值范圍．34．（24-25八年級上·江蘇揚州·期末）【定義1】對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量的一個值，當(dāng)時，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等；當(dāng)時，它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)．我們稱這樣的兩個函數(shù)互為“友好函數(shù)”．例如：一次函數(shù)，它的“友好函數(shù)”為；【定義2】平面直角坐標(biāo)系中將經(jīng)過點且垂直于軸的直線記為直線．已知一次函數(shù)，請回答下列問題：(1)該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”為；(2)已知點在該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的圖像上，求的值；(3)當(dāng)時，求該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的最大值和最小值；(4)已知直線與該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的圖像只有一個交點時，直接寫出的取值范圍．35．（24-25九年級下·北京海淀·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意兩點與的“非常距離”，給出如下定義：若，則點與點的“非常距離”為；若，則點與點的“非常距離”為．例如：點，點，因為，所以點與點的“非常距離”為，也就是圖1中線段與線段長度的較大值（點Q為垂直于y軸的直線與垂直于x軸的直線的交點）．(1)已知點，B為y軸上的一個動點，①若點A與點B的“非常距離”為4，寫出一個滿足條件的點B的坐標(biāo)；②直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值；(2)已知C是直線上的一個動點，①如圖2，若，點D的坐標(biāo)是，求點C與點D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點C的坐標(biāo)；②如圖3，若E是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，點C與點E的“非常距離”的最小值為1，直接寫出點E的坐標(biāo)和b的值．36．（24-25九年級上·四川成都·期末）函數(shù)某數(shù)學(xué)興趣小組一起研究函數(shù)的性質(zhì)，組員甲說：“可以用列表描點連線的方法畫一畫函數(shù)圖象，然后通過觀察函數(shù)圖象分析函數(shù)性質(zhì)”；組員乙說：“這個函數(shù)含有絕對值，可以分類討論化簡，因此這個函數(shù)也可以寫成”；組員丙說：“因為，所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值”；組員丁說：“我已經(jīng)畫出了函數(shù)的草圖，是個“”字形，隨著的增大，函數(shù)值先減小后增大”；組員戊說：“函數(shù)圖象是軸對稱圖形”．他們說的都有道理，請根據(jù)幾位同學(xué)的觀點，解決下列問題．(1)在如圖所示的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，每個小正方形邊長都是，若，請在此坐標(biāo)系中作出函數(shù)圖象，并標(biāo)記圖象與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下，當(dāng)，設(shè)函數(shù)最大值為，最小值為，求的取值范圍；(3)將函數(shù)圖象向上平移后與軸有唯一交點A，與軸交于點，點為函數(shù)圖象上的點，若以、、為頂點的三角形與相似，求所有滿足條件的點坐標(biāo)．

題型02、一次函數(shù)自定義問題37．（24-25八年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）【概念學(xué)習(xí)】對于平面直角坐標(biāo)系中的圖形K和圖形W，給出如下定義：R，S分別為圖形K和圖形W上任意一點，將R，S兩點間距離的最小值稱為圖形K和圖形W之間的“關(guān)聯(lián)距離”，記作．例如，如圖1，點與y軸之間的“關(guān)聯(lián)距離”．【理解概念】（1）如圖1，點在邊長為5的正方形內(nèi)，則d（T，正方形）=________；【深入探索】（2）如圖2，一次函數(shù)圖象與y軸交于點E，與x軸交于點F，若點和一次函數(shù)的圖象之間的“關(guān)聯(lián)距離”，求m的值；（3）如圖3，在等邊中，點A的坐標(biāo)是，點B，C在y軸上，點H是x軸上一點，若，請直接寫出點H的坐標(biāo)．【拓展延伸】（4）在中，，，，當(dāng)時，對于每一個n，若和一次函數(shù)（k是常數(shù)，）的圖象之間的“關(guān)聯(lián)距離”，請直接寫出k的取值范圍．38．（2025·湖南長沙·一模）為全面貫徹落實“雙減”政策，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，提高學(xué)生思維能力，數(shù)學(xué)學(xué)科命名一種“雙減點”，定義如下：已知y是x的函數(shù)，若函數(shù)圖象上存在一點，則稱點P為函數(shù)圖象上的“雙減點”．(1)判斷直線上是否有“雙減點”？若有，直接寫出其坐標(biāo)；若沒有，請說明理由．(2)若反比例函數(shù)的圖象上存在兩個“雙減點”C、D，且，請求出k的值．(3)已知拋物線上存在唯一的“雙減點”，且當(dāng)時，n的最小值為t，求t值．39．（24-25九年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點P，點Q，若，，其中t為常數(shù)，則稱點Q是點P的“t級變換點”．例如：點是點的“級變換點”．若圖形A與圖形B上存在“t級變換點”，則稱這兩個圖形是“t級變換圖形”．(1)下列屬于“1級變換點”的是．（填寫序號）與，與，與(2)已知矩形的頂點A，B，C，D．若在圖像上存在點M與矩形中頂點C是“0級變換點”，求k的值．若直線與矩形是“t級變換圖形”，求t的取值范圍．若拋物線與矩形是“t級變換圖形”，且恰存在4對“t級變換點”，求t的取值范圍．題型03、一次函數(shù)與圖形面積40．（2024·浙江臺州·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是，在x軸上任取一點M，完成以下作圖步驟：①連接，過點A作的垂線，過點M作x軸的垂線，記，的交點為P；②在x軸上多次改變M點的位置，用①的方法得到相應(yīng)的點P．(1)小明按要求已完成了①的作圖，并確定了，，…的位置，請你根據(jù)小明步驟，描出對應(yīng)的，，…并把這些點用平滑的曲線連接起來，觀察畫出的曲線L，猜想它是我們學(xué)過的哪一種曲線；(2)對于曲線L上的任意一點P，設(shè)點P的坐標(biāo)是，試求出x，y滿足的函數(shù)關(guān)系式；(3)連，若的面積不超過面積的一半，設(shè)P點的橫坐標(biāo)為a，請直接寫出a的取值范圍．41．（2023·遼寧沈陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象交軸于點，交軸于點直線與軸交于點，與直線交于點點是線段上的一個動點（點不與點重合），過點作軸的垂線交直線于點設(shè)點的橫坐標(biāo)為．

(1)求的值和直線的函數(shù)表達式；(2)以線段，為鄰邊作?，直線與軸交于點．①當(dāng)時，設(shè)線段的長度為，求與之間的關(guān)系式；②連接，，當(dāng)?shù)拿娣e為時，請直接寫出的值．42．（2023·浙江溫州·三模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線過點，，與軸交于點．點，分別為線段，上的一點（不含端點），且．

(1)求和的值；(2)當(dāng)與中的一個角相等時，求線段的長；(3)如圖2，連接交于點，將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至點，若點到軸的距離恰好等于的長，求的面積．43．（24-25九年級上·四川達州·階段練習(xí)）如圖直線l的解析式為，它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，平行于直線l的直線m從原點O出發(fā)，沿x軸的正方向以每秒1個單位長度的速度運動，它與x軸、y軸分別相交于M、N兩點，運動時間為t秒（）．(1)填空：點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，；(2)以為對角線作矩形，記的面積為，記和的重合部分的面積為；①嘗試用含t的代數(shù)式分別表示、；②在直線m的運動過程中，當(dāng)t為何值時，．題型04、一次函數(shù)與角度問題44．（2025·浙江寧波·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點A，交y軸于點B，點C的坐標(biāo)為，(1)求直線的函數(shù)表達式．(2)點D是x軸上一動點，連接，當(dāng)?shù)拿娣e是面積的時，求點D的坐標(biāo)．(3)點E坐標(biāo)為連接，點P為直線上一點，若，求點P坐標(biāo)．45．（2022·浙江紹興·一模）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，4），B（5，0），D（3，0），點P從點A出發(fā)，沿y軸負(fù)方向在y軸上以每秒1個單位長度的速度勻速運動，過點P作軸交直線AD于點E．(1)設(shè)點P的運動時間為t（s），DE的單位長度為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；(2)當(dāng)t為何值時，以EP為半徑的⊙E恰好與x軸相切？并求此時⊙E的半徑；(3)在點P的運動過程中，當(dāng)以D，E，P三點為頂點的三角形是等腰三角形時，求此時t的值；(4)如圖2，將△ABD沿直線AD翻折，得到，連結(jié)，如果，求t值．（直接寫出答案，不要求解答過程）．46．（24-25八年級上·福建漳州·期中）如圖，點，分別是一次函數(shù)與軸，軸的交點，為線段的中點，點是直線：上一點，連接，，且軸．(1)求，兩點的坐標(biāo)；(2)若，求的值；(3)連接，是否存在值，使得，若存在，求出值；若不存在，請說明理由．47．（24-25九年級上·重慶萬州·階段練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交坐標(biāo)軸于A、B兩點，其中，，直線分別交坐標(biāo)軸于C、D兩點，直線l1與l2的交點為E．已知，且．(1)求直線的解析式和點E坐標(biāo)；(2)如圖2，若點P為線段上的一個動點（不與C、E兩點重合），點R為x軸上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，當(dāng)四邊形的面積最小時，求出周長的最小值；(3)如圖3，在（2）的條件下，將直線繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，與直線交于點F，連接，若在直線上存在點M，使得，請直接寫出滿足條件的點M的坐標(biāo)．48．（24-25九年級上·四川達州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，C為的中點，點D在線段上（），連接，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為（），連接，．(1)求的值；(2)如圖，當(dāng)點恰好落在y軸上時，交y軸于點E，求證：；(3)當(dāng)點D的坐標(biāo)為，且時，求點的坐標(biāo)．題型05、一次函數(shù)實際應(yīng)用問題49．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）慢車從甲地出發(fā)勻速駛往乙地，出發(fā)后快車也從甲地出發(fā)，勻速行駛，到達乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快車速度是慢車速度的倍．在整個行程中，慢車離甲地的距離（單位：）與時間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)在圖中畫出快車離甲地的距離（單位：）與時間之間的函數(shù)圖像；(2)若慢車出發(fā)時與快車第次相遇．①求快車從出發(fā)到返回甲地所用的時間；②當(dāng)兩車第次相遇的地點距離乙地時，的值為___________．50．（2024·浙江杭州·一模）如圖是某興趣小組自制的畫圓工具的側(cè)面示意圖．【工具組成】一個裝滿細(xì)沙并直立于水平面的圓柱鐵桶，截面示意圖為矩形，桶高．兩根直木棍分別長和，木棍EF直立于水平面，木棍沿桶壁插在桶內(nèi)．用一條長的細(xì)繩連接P，E并拉直．【工具使用】移動木棍，使點F繞點C旋轉(zhuǎn)一周畫圓．經(jīng)多次操作發(fā)現(xiàn)，為使木棍能穩(wěn)定直立于細(xì)沙中，需滿足．問題1：當(dāng)長為多少時，畫出的圓的半徑為？問題2：設(shè)為x，畫出的圓的半徑為r，求r關(guān)于x的函數(shù)表達式與r的最大值．問題3：以下是兩位組員的對話，請根據(jù)對話解決問題．51．（2023·浙江溫州·三模）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何確定酒精噴霧機的有效殺菌距離?素材1圖1是一款電動酒精噴霧機、其上下噴孔相距、L是一豎直放置的平面．噴霧機正對平面噴霧時（如圖2）、平面上會形成兩個半徑為的圓形痕跡（如圖3），噴灑后酒精均勻分布、當(dāng)點與平面的水平距離時，（取3）

素材2不考慮噴灑過程中酒精在空氣中的損耗，噴霧機兩孔一次共可噴出酒精．查詢資料可知，殺菌百分比和噴灑密度的關(guān)系如圖4所示．

素材3經(jīng)過一次噴灑，當(dāng)被噴灑平面的殺菌百分比達到70%及以上時，殺菌有效問題解決任務(wù)1當(dāng)被噴灑平面經(jīng)過點時，確定此時的值．任務(wù)2①當(dāng)被噴灑平面上痕跡未有重疊部分時，為保證殺菌有效，請確定的范圍②當(dāng)被噴灑平面上痕跡有重疊部分時，重疊部分密度是未重疊部分的2倍、為了使有效殺菌面積最大，______．

52．（2025·河南信陽·一模）某中學(xué)附近的文具店新購進了一批初中專用套尺，每套進價為20元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，周銷量y（套）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．所獲的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：銷售單價x（元）…2030405060…周銷量y（套）…403020100…所獲利潤w（元）…03004003000…(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)①請在下面的平面直角坐標(biāo)系中，先描出二次函數(shù)圖象上的三個格點，再畫出二次例函數(shù)的圖象；②在接下來的銷售中，文具店打算銷售單價不能高于進價的倍，請結(jié)合二次函數(shù)圖象思考，該文具店把初中專用套尺銷售單價定為多少元，每周出售這種套尺所獲利潤最大？最大周利潤為多少元？53．（2025·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測）2020年新冠肺炎疫情期間，部分藥店趁機將口罩漲價，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)某藥店某月（按30天計）前5天的某型號口罩銷售價格P（元/只）和銷量q（只）與第x天的關(guān)系如下表：第x天銷售價格（元/只）銷量（只）物價部門發(fā)現(xiàn)這種亂象后，統(tǒng)一規(guī)定各藥店該型號口罩的銷售價格不得高于元只，該藥店從第天起將該型號口罩的價格調(diào)整為元只．據(jù)統(tǒng)計，該藥店從第天起銷量（只）與第天的關(guān)系為（，且為整數(shù)），已知該型號口罩的進貨價格為元/只．(1)請你先描述與的變化規(guī)律，并直接寫出該藥店該月前天的銷售價格與和銷量與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該藥店該月銷售該型號口罩獲得的利潤（元）