試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages158158頁(yè)第19講四邊形壓軸題（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+11種題型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u考點(diǎn)一、平行四邊形性質(zhì)與判定的應(yīng)用題型01、四邊形的作圖問(wèn)題題型02、平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用題型03、矩形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用題型04、菱形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用題型05、正方形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用考點(diǎn)二、平行四邊形性質(zhì)與判定的應(yīng)用題型01、多種四邊形的綜合問(wèn)題題型02、平面直角坐標(biāo)系背景四邊形題型03、四邊形背景下的最值問(wèn)題題型04、四邊形背景下的旋轉(zhuǎn)變換問(wèn)題題型05、四邊形背景下的折疊變換問(wèn)題題型06、四邊形背景下的折動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)圖問(wèn)題考點(diǎn)一、平行四邊形性質(zhì)與判定的應(yīng)用題型01、四邊形的作圖問(wèn)題1．（24-25九年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖所示，的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)（圖中網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，請(qǐng)借助網(wǎng)格和一把無(wú)刻度直尺按要求作圖．(1)圖①中，在邊上找一點(diǎn)，連接，使得面積為面積的；(2)圖②中，在邊上找一點(diǎn)，連接，使得面積為面積的．2．（24-25九年級(jí)上·浙江溫州·開(kāi)學(xué)考試）在如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．(1)在圖1中作一個(gè)以A，B，C，D為頂點(diǎn)的平行四邊形，使點(diǎn)D落在格點(diǎn)上．(2)在圖2中，僅用無(wú)刻度的直尺作邊上的中線．3．（2024·浙江溫州·三模）如圖，在的方格紙中，請(qǐng)按要求畫(huà)格點(diǎn)線段（端點(diǎn)在格點(diǎn)上），且線段的端點(diǎn)均不與點(diǎn)A，B，C，D重合．(1)在圖1中畫(huà)一條格點(diǎn)線段，使G，H分別落在邊上，且與互相平分；(2)在圖2上畫(huà)一條格點(diǎn)線段，使M，N分別落在邊上，且要求分為兩部分．4．（2025·湖北武漢·一模）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫(huà)圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的畫(huà)線不得超過(guò)三條．(1)在圖1中，先畫(huà)將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的線段，再在上畫(huà)點(diǎn)E，使；(2)在圖2中，先畫(huà)將線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的線段，再畫(huà)交于點(diǎn)H．5．（22-23九年級(jí)下·浙江寧波·階段練習(xí)）定義：由一個(gè)三角形的三條中線圍成的三角形稱為原三角形的中線三角形．問(wèn)題：設(shè)中線三角形的面積為，原三角形的面積為．求的值．特例探索：（1）正三角形的邊長(zhǎng)為2，則中線長(zhǎng)為_(kāi)_________，所以________．（2）如圖1，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)均在網(wǎng)格點(diǎn)上．①__________的中線三角形．（填“是”或“不是”）②__________，__________，所以__________．一般情形：如圖2，的三條中線分別是，將平移至，連接．（3）求證：是的中線三角形；（4）猜想的值，并說(shuō)明理由．題型02、平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用6．（2025·浙江寧波·一模）已知平行四邊形中，點(diǎn)是對(duì)角線上的等分點(diǎn)．連結(jié)，分別交線段于點(diǎn)，連結(jié)．(1)若，則應(yīng)該滿足什么條件？(2)若，四邊形的面積為，的面積為，求的值．7．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖（1），在和中，點(diǎn)在上，，求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖（2），在（1）的條件下，連結(jié)．若，求的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）如圖（3），在中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，，連結(jié)交于點(diǎn)，線段與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，，求平行四邊形的面積．8．（2024·浙江杭州·一模）【背景】如圖（1），點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方形的邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)P，連接．同學(xué)們?cè)谘芯繄D形時(shí)，作交CE于點(diǎn)H，發(fā)現(xiàn)：．他們通過(guò)作三角形的中位線，構(gòu)造全等三角形，找到與線段相等的線段，得到了多種方法證明成立．【猜想】（1）若把正方形改成平行四邊形，其余條件不變，如圖（2），結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．【延伸】（2）在圖（2）的條件下連接，那么四邊形的面積和的面積有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，已知，點(diǎn)在射線上，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位沿方向向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，以、為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．．(1)求的值；(2)求點(diǎn)F落在邊上時(shí)t的值；(3)連接平行四邊形的對(duì)角線，設(shè)與交于點(diǎn)N，連接，當(dāng)與的邊平行（不重合）或垂直時(shí)，求出t的值．題型03、矩形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用10．（2025·河北唐山·一模）如圖，在矩形中，，．點(diǎn)F在邊上，點(diǎn)E在射線上，，設(shè)．(1)的長(zhǎng)為_(kāi)_______，最小時(shí)d的值為_(kāi)_______；(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)．①在圖中利用尺規(guī)作圖作出，分別交，于點(diǎn)P和點(diǎn)Q（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法），并求的長(zhǎng)度（用含d的式子表示）；②若以E，Q，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出的值；(3)當(dāng)點(diǎn)F關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在直線上時(shí)，直接寫(xiě)出E，F(xiàn)之間的距離．11．（24-25九年級(jí)下·廣東梅州·期中）如圖1，四邊形是一張矩形紙片，小明用該紙片玩折紙游戲．游戲1

折出對(duì)角線，將點(diǎn)A沿過(guò)點(diǎn)B的直線翻折到上，折痕BE交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E．展開(kāi)后如圖2所示．（1）若E恰好為的中點(diǎn)，證明：，并求與之間的數(shù)量關(guān)系．游戲2

在游戲1的基礎(chǔ)上，將翻折至與重合，折痕為，展開(kāi)后將點(diǎn)A沿過(guò)點(diǎn)E的直線翻折到上的點(diǎn)G處，展開(kāi)后如圖3所示．（2）在（1）的條件下，連接，求的度數(shù)．游戲3

在游戲1的基礎(chǔ)上，將翻折至與先重合，展開(kāi)后得到新折痕交于點(diǎn)N，如圖4所示，Q是的中點(diǎn)，連接．（3）設(shè)，，的面積分別為，若，，求的長(zhǎng)．12．（24-25九年級(jí)下·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）已知矩形，．點(diǎn)是上一點(diǎn)．(1)【操作判斷】如圖①，若射線平分交于點(diǎn)，根據(jù)題意在圖①中畫(huà)出（不寫(xiě)作法，但保留作圖痕跡），圖中的度數(shù)為_(kāi)__________度；(2)【問(wèn)題探究】如圖②，在（1）的條件下連接交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)；(3)【拓展延伸】如圖③，若，，，將所在的直線，圍繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得射線交于，求的長(zhǎng)．13．（2025·山西·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)課上，張老師提出了一個(gè)生活中常見(jiàn)的問(wèn)題，如何將物品搬過(guò)直角過(guò)道？下課后，數(shù)學(xué)興趣小組的成員們就這個(gè)問(wèn)題展開(kāi)了一系列探究實(shí)踐，具體如下：【問(wèn)題】如何將物品搬過(guò)直角過(guò)道？【情境】如圖是一直角過(guò)道示意圖，、為直角頂點(diǎn)，過(guò)道寬度都是，矩形是某物品經(jīng)過(guò)該過(guò)道時(shí)的俯視圖，寬為．【操作】：步驟動(dòng)作目標(biāo)靠邊將如圖中矩形的一邊靠在上推移矩形沿方向推移一定距離，使點(diǎn)在邊上轉(zhuǎn)彎如圖，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)線段、線段長(zhǎng)度都不大于過(guò)道寬度時(shí)，可以順利轉(zhuǎn)彎．推移將矩形沿方向繼續(xù)推移【探究】：(1)如圖，若，，則______．(2)在的條件下，思思同學(xué)認(rèn)為該物品可以順利轉(zhuǎn)過(guò)這條直角過(guò)道，你贊同思思同學(xué)的結(jié)論嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．(3)如圖，物品轉(zhuǎn)彎時(shí)被卡住、分別在墻面與上，若，求的長(zhǎng)．(4)請(qǐng)直接寫(xiě)出過(guò)道可以通過(guò)的物品最大長(zhǎng)度，即求的最大值______結(jié)果保留根號(hào)題型04、菱形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用14．（23-24九年級(jí)下·江西撫州·階段練習(xí)）定義：在等腰三角形的外部，以一條腰為斜邊作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形組成一個(gè)四邊形，我們就稱這個(gè)四邊形是“等對(duì)鄰直角四邊形”．概念理解如圖，在四邊形中，若，，則四邊形______“等對(duì)鄰直角四邊形”；A．是

B．不是問(wèn)題探究(1)如圖，在“等對(duì)鄰直角四邊形”中，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖，在（）的條件下，平分，，問(wèn)四邊形為何種特殊四邊形，并說(shuō)明理由；拓展探究：(3)在中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．，，以為直角邊作等腰直角，且，求以為頂點(diǎn)的四邊形的面積．

15．（2023·湖南婁底·三模）已知四邊形是矩形，連接．(1)如圖1，的平分線交于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．的平分線交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．①求證：；②求證：四邊形為菱形；(2)在（1）的條件下，如圖2，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求的值．16．（2023·浙江寧波·一模）【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1，在中，D為上一點(diǎn)，連結(jié)，E為上一點(diǎn)，連結(jié)，若，求證：．【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2，在平行四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，E為上一點(diǎn)，連結(jié)，若，求的長(zhǎng)．【拓展提升】(3)如圖3，在菱形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連結(jié)，若，，求菱形的邊長(zhǎng)．17．（2023·浙江杭州·二模）如圖，在平行四邊形中，P是線段中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，連接．

(1)如果．①求證：平行四邊形為菱形；②若，求線段的長(zhǎng)．(2)分別以為半徑，點(diǎn)A，B為圓心作圓，兩圓交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)F恰好在射線上，如果，求的值．題型05、正方形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用18．（2021·山東濟(jì)南·一模）某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作如下探究：(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，連接AP，以為邊作等邊，連接，與的數(shù)量關(guān)系是；(2)變式探究：如圖2，在等腰中，，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)解決問(wèn)題：如圖3，在正方形中，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，Q是正方形的中心，連接．若正方形的邊長(zhǎng)為5，，求正方形的邊長(zhǎng)．19．（2024·廣東惠州·一模）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出如下問(wèn)題：已知正方形，E為對(duì)角線上一點(diǎn)．【感知】（1）如圖1，連接，．求證：；【探究】（2）如圖2，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)G．①求證：；②若G為的中點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．【應(yīng)用】（3）如圖3，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)G，．求證：．20．（2025·遼寧葫蘆島·一模）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)操作判斷操作一：對(duì)折正方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；操作二：點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿折疊，使點(diǎn)落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)處，把紙片展平，連接，．如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，連接，求證：為等邊三角形；(2)遷移探究小明繼續(xù)探究，過(guò)程如下：將正方形紙片按照（1）中的方式操作，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．①改變點(diǎn)在上的位置（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），如圖2，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求證：；(3)拓展應(yīng)用已知正方形紙片的邊長(zhǎng)為，在（2）的探究中，再將沿繼續(xù)折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，如圖4，當(dāng)點(diǎn)的位置不同時(shí)點(diǎn)的位置也隨之改變，若點(diǎn)恰好落在的邊上時(shí)，求的長(zhǎng)．21．（24-25九年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期中）在中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，猜想和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，將沿折疊，在變化的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合時(shí)，連接．①求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；②若，求的面積．考點(diǎn)二、四邊形性質(zhì)的綜合問(wèn)題題型01、多種四邊形的綜合問(wèn)題22．（23-24九年級(jí)上·浙江溫州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在矩形中，，，E為中點(diǎn)，連接，F(xiàn)，G分別為線段，上的點(diǎn)，，連接，．

【探索發(fā)現(xiàn)】通過(guò)觀察和測(cè)量，猜想與的數(shù)量關(guān)系：________；【特例計(jì)算】當(dāng)F為線段的中點(diǎn)時(shí)，求與的長(zhǎng)；【推理證明】請(qǐng)通過(guò)推理驗(yàn)證【探索發(fā)現(xiàn)】中的猜想；【拓展運(yùn)用】點(diǎn)G關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，以，為鄰邊構(gòu)造平行四邊形．若點(diǎn)H到的距離是的2倍，求的長(zhǎng)．23．（24-25九年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】如圖，在正方形中，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段上，且始終滿足連接，將線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到線段（點(diǎn)G是點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），并使點(diǎn)G落在線段上，與交于點(diǎn)H．【初步分析】（1）線段與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．【深入分析】（2）如圖②，再將線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段（點(diǎn)M是點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），連接，請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．（3）如圖③，若點(diǎn)G落在BC的延長(zhǎng)線上，且當(dāng)點(diǎn)H恰好為的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)N，，求的長(zhǎng)．

24．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形的頂點(diǎn)，分別在矩形的邊，上，與交于點(diǎn)，連接．(1)求的度數(shù)．(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)．(3)如圖，若正方形的頂點(diǎn)在矩形的邊上，頂點(diǎn)在矩形的邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)為，的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，設(shè)，，，求證：．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題：如圖1，在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)G，求的值．經(jīng)過(guò)思考，小明同學(xué)和小慧同學(xué)分別給出如下解題思路：小明：可以過(guò)中點(diǎn)作平行線，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)H，如圖2所示，或者過(guò)點(diǎn)F作交AB于點(diǎn)K，交于點(diǎn)Q，如圖3所示…小慧：還可以延長(zhǎng)中點(diǎn)所在的線段，如圖4，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P…（1）請(qǐng)根據(jù)上述兩位同學(xué)的思路，直接寫(xiě)出的值：．【類比分析】（2）老師發(fā)現(xiàn)兩位同學(xué)都利用了轉(zhuǎn)化思想，為了幫助同學(xué)們更好地利用轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題，老師改變題中的條件，如圖5，將圖1中的矩形改成菱形，其余條件不變，那么的值是否改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．【學(xué)以致用】（3）如圖6，已知正方形中心為點(diǎn)O，邊長(zhǎng)為4，另一邊長(zhǎng)為的正方形的中心與點(diǎn)B重合，連接，設(shè)的中點(diǎn)為M，將正方形繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)恰好在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．圖4題型02、平面直角坐標(biāo)系背景四四邊形26．（23-24九年級(jí)上·廣西南寧·開(kāi)學(xué)考試）如圖，直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，，以為邊在y軸的右側(cè)作正方形．(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)如圖，點(diǎn)D是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在的右側(cè)，，．如圖1，問(wèn)點(diǎn)E是否在定直線上，若是，求該直線的解析式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如圖2，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，另一動(dòng)點(diǎn)H在直線上，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo)．27．（2025·黑龍江牡丹江·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)處，頂點(diǎn)在軸正半軸上，且點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（橫坐標(biāo)大于縱坐標(biāo)），將菱形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為，求與的關(guān)系式；(3)為直線上一點(diǎn)，在直線上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．28．（2025·天津·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，，點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限．(1)如圖①，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)___________，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)___________；(2)將矩形沿軸平移，得到矩形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為．設(shè)，矩形與重疊部分面積為．①如圖②，當(dāng)交于點(diǎn)，分別交于點(diǎn)，且重疊部分是五邊形，試用含的式子表示，并直接寫(xiě)出的范圍；②當(dāng)時(shí)，求的范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．29．（24-25九年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）在矩形中，．分別以邊所在的直線為軸，軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．(1)如圖1，將沿對(duì)角線翻折，交于點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2，已知是上一點(diǎn)，且于點(diǎn)，交于點(diǎn)F，求四邊形的面積；(3)如圖3，點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)，使以，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型03、四邊形背景下的最值問(wèn)題30．（24-25九年級(jí)上·浙江寧波·階段練習(xí)）（1）如圖1，在三角形中，是中點(diǎn)，連接是上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作別交于點(diǎn)，求證：是中點(diǎn)；（2）如圖2，在四邊形中，與不平行，，，連接對(duì)角線交于點(diǎn)是上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)于點(diǎn)，求的值；（3）如圖3，在菱形中，，，分別取菱形各邊的中點(diǎn)，，，并順次連接得到四邊形，連接交于點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直交于點(diǎn)，連接，求的最小值．31．（24-25九年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）【問(wèn)題背景】如圖1，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，把沿直線對(duì)折后，點(diǎn)落在點(diǎn)處．【問(wèn)題探究】（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，與正方形另一條對(duì)角線相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交線段于點(diǎn)．①證明點(diǎn)是的中點(diǎn)；②試探究與有怎樣的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展延伸】（2）如圖3，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，連接、．在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，求的最小值．32．（24-25九年級(jí)下·重慶開(kāi)州·階段練習(xí)）在中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)M，在線段上截取一點(diǎn)N，使得，連接．(1)如圖1，若，，，求線段的長(zhǎng)度；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖3，若，，平行四邊形的周長(zhǎng)為36，在平行四邊形內(nèi)部存在一點(diǎn)Q，線段存在一點(diǎn)P，連接，，，直接寫(xiě)出的最小值．33．（24-25九年級(jí)下·廣西桂林·階段練習(xí)）已知四邊形是矩形，．(1)如圖①，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，連接、、，判定的形狀，并說(shuō)明理由；(2)如圖②，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（）得到矩形，點(diǎn)恰好落在的延長(zhǎng)線上，與相交于點(diǎn)，求的面積；(3)如圖③，在（2）條件下，連接，取的中點(diǎn)，連接，求線段長(zhǎng)度的最大值和最小值．34．（24-25九年級(jí)上·福建莆田·期末）已知正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接，把沿直線對(duì)折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處．(1)如圖1，若點(diǎn)F剛好落在對(duì)角線上，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)，交線段于點(diǎn)與交于點(diǎn)M．當(dāng)時(shí)，求證：．(3)如圖3，點(diǎn)H是線段上的一點(diǎn)，且，連接．在點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，最??？題型04、四邊形背景下的旋轉(zhuǎn)變換問(wèn)題35．（2023·浙江紹興·一模）如圖，在矩形中，，，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，E為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（）得到.(1)求的面積.(2)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在α使得與的面積相等？若存在，求出α的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求的長(zhǎng).36．（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·開(kāi)學(xué)考試）綜合與實(shí)踐：開(kāi)展“矩形的旋轉(zhuǎn)”數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，同學(xué)們用矩形紙片操作實(shí)踐并探索發(fā)現(xiàn)．在矩形紙片中，，．．【數(shù)學(xué)思考】如圖1，圓圓將矩形繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，使得點(diǎn)落在邊上，點(diǎn)作．求證：；【解決問(wèn)題】如圖2，連結(jié)，求線段的長(zhǎng)．【拓展研究】從圖2開(kāi)始，圓圓將矩形繞著點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周，若直線恰好經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)，，直接寫(xiě)出的面積是37．（24-25九年級(jí)上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）閱讀以下材料：【問(wèn)題情境】如圖1，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．（1）與之間有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【類比遷移】（2）如圖2，在矩形中是邊上一點(diǎn)，將沿翻折得到，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．線段與具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想；【拓展提升】（3）如圖3，在菱形中，是上一點(diǎn)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積．點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖（）的位置，為和的交點(diǎn)，①求的值；②當(dāng)，其中旋轉(zhuǎn)角為，且，連接，求的最大面積．39．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與A，D重合），連接，以為邊在直線的右側(cè)作矩形，使得矩形矩形，交直線于點(diǎn)H．(1)在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求證：．(2)若，隨著E點(diǎn)位置的變化，H點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)H是線段中點(diǎn)時(shí)，求的值．(3)連接，，當(dāng)是以為腰時(shí)等腰三角形時(shí)，求的值（用含n的代數(shù)式表示）．題型05、四邊形背景下的折疊變換問(wèn)題40．（23-24八年級(jí)下·遼寧鐵嶺·期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，，垂足為E，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，，求證：．①小芳同學(xué)由已知條件中點(diǎn)想到了如圖2的輔助線．②小琳同學(xué)由已知條件中點(diǎn)想到了如圖3的方法．（1）請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫(xiě)出證明過(guò)程；【類別分析】（2）小迪同學(xué)受此問(wèn)題啟發(fā)，將沿著（F為的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖4，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，在此基礎(chǔ)上，小芮同學(xué)想：線段與之間會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?請(qǐng)你判斷，并證明；【學(xué)以致用】（3）小怡同學(xué)突發(fā)奇想，將沿著過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，如圖5，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)使于點(diǎn)H，折痕交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．小怡提出一個(gè)問(wèn)題：若的面積為20，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積與的面積的比．41．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）折紙中蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)知識(shí)如果想要做一個(gè)漂亮的星星收納盒，必須先折出一個(gè)正五邊形取一張正方形卡紙，按如下步驟可以近似折出從而制作出五角星．第步：對(duì)折正方形，折痕為，如圖；第步：將和重合對(duì)折，折痕為，將與重合對(duì)折，折痕為，交于點(diǎn)，如圖；第步：將與重合對(duì)折，折痕為，交于點(diǎn)，如圖；第步：過(guò)點(diǎn)、向后折疊，再將與重合對(duì)折，如圖，圖．最后沿虛線剪開(kāi)鋪平就可以得到五邊形．請(qǐng)參考圖，回答下列問(wèn)題：(1)______；(2)若，則______．42．（2024·浙江·一模）【問(wèn)題背景】如圖1，數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動(dòng)，分別以點(diǎn)為圓心，以大于為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線交于點(diǎn)，連接；②將沿翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)P處，作射線交于點(diǎn)．【問(wèn)題提出】在矩形中，，求線段的長(zhǎng)．【問(wèn)題解決】（1）經(jīng)過(guò)小組合作、探究、展示，其中的兩個(gè)方案如下：方案一：連結(jié)，如圖2．經(jīng)過(guò)推理、計(jì)算可求出線段的長(zhǎng)．方案二：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，如圖3．經(jīng)過(guò)推理、計(jì)算可求出線段的長(zhǎng)．請(qǐng)你任選其中一種方案求線段的長(zhǎng)．【問(wèn)題反思】（2）在前面的已知條件及解決方法下繼續(xù)探究，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)H，求的長(zhǎng)．43．（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知矩形的對(duì)角線的垂直平分線與邊，分別交于點(diǎn)E、F．求證：四邊形是菱形；（2）【類比應(yīng)用】如圖②，直線分別交矩形的邊、于點(diǎn)E、F，將矩形沿翻折，使點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為，若，，求四邊形的周長(zhǎng)；（3）【拓展延伸】如圖③，直線分別交平行四邊形的邊、于點(diǎn)E、F，將平行四邊形沿翻折，使點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為，若，，，求的長(zhǎng)．44．（23-24九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】如圖1，小華將矩形紙片先沿對(duì)角線折疊，展開(kāi)后再折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，折痕與邊，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．【活動(dòng)猜想】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)D重合時(shí)，四邊形是哪種特殊的四邊形？并給予證明．【問(wèn)題解決】（2）如圖1，當(dāng)，，時(shí)，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【深入探究】（3）如圖3，請(qǐng)直接寫(xiě)出與滿足什么關(guān)系時(shí)，始終有與對(duì)角線平行？題型06、四邊形背景下的折動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)圖問(wèn)題45．（2025·山東青島·一模）如圖，在中，，，．動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；動(dòng)點(diǎn)M同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為．過(guò)點(diǎn)M作，分別交，于點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求t的值；(2)設(shè)五邊形的面積為，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．46．（2025·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）已知：如圖，在菱形中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若四邊形是平行四邊形，求的值；(2)當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的垂直平分線上？(3)設(shè)四邊形的