（共6（共6頁(yè)第1頁(yè)）吉林大學(xué)2015-2016學(xué)年第一學(xué)期《高等數(shù)學(xué)BI》試卷2015年1月6日一二三四總 分得分一、單項(xiàng)選擇題（共6道小題，每小題3分，滿(mǎn)分18分）得分y2x3sinxcosx

的水平漸近線是（ B ）（A）y0. （B）y2. （C）y3. （D）y4.設(shè)yx2arctan1，則x0為函數(shù)的（ A ）x（A）跳躍間斷點(diǎn). （B）可去間斷點(diǎn).（C）無(wú)窮間斷點(diǎn). （D）振蕩間斷點(diǎn).函數(shù)y4(x2的單調(diào)增加且為下凸的區(qū)間是（ C ）x2（A）(,

（B）(3,

（C）(2,

（D）(0,).d2ydx2設(shè)方程eyxyeyd2ydx2

x0=（ C ）（A）1. （B）1. （C）1e2

. （D）1.e2f(xxa的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且limf(xf(a)1f(x)xa處xa (xa)2（ D ）（A）不可導(dǎo). （B）可導(dǎo)且f(a)0.（C）取得極小值. （D）取得極大值.下列反常積分發(fā)散的是（ A ）（A）

11dx. （B）

1 dx.（C）

1x2

1x21dx.1x2

1(lnx)31 d(lnx)3x32 2x3得分二、填空題（共6道小題，每小題3分，滿(mǎn)分18分）.得分設(shè)limtanxsinx1，則k 3 .x0 xk 2設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且limf(x)1，則f(0) 1 .x0 xF(x)x2eu2u，則F(x)2xex4dx.0 由曲線yx2與直線y2x3圍成圖形的面積是 32/3 .x1t35.曲線yln(2

在對(duì)應(yīng)t1處的切線方程是y2x5.6. 過(guò)點(diǎn)2,

且與平面2x3yz4

垂直的直線方程是x12

y2z4.3 1得分三、解答題（共6道小題，每小題8分，滿(mǎn)分48分）.得分1．lim(1 1 )x0x

ex1=lim

ex1xx

3分x0

x(e1)=limx0

ex1xx2

2分=x0=12

ex12x

21yx2xln(x

x24),

求dy .dxx0x24解：dy2xx2xln2 x24

4分dydxdydxx0 2

4分x2y2z24a2求曲線x2y22ax

關(guān)于Oxy面的投影柱面方程以及在Oxy面上的投影曲線方程.解：曲線關(guān)于Oxy面的投影柱面方程是x2y22ax

4分在Oxy面上的投影曲線方程是x2y22ax,z0.

4分x xex4.

)dx.1x211x21x21x2

dx

xexdx1ex(令t

1exxln(t2d1ex21x2d(121x2

2tt21

dt)

2ln(t21)dt

4分1x222tln(t21)1x22t211x22tln(t21)4t1x21ex11ex1ex11ex1

3分1x21ex1x21ex

4 2ln

C...1分xex2,1 5.設(shè)f(x)1 ,1cosx解：令x2t，則

x0,1x

求1f(x2)dx.44 f(x2)dx44

f(t)dt

1 dt2xex2

03分01

11cost 00sec2xdx12ex2d(x2)

2分

2 200tanx0

1ex2

2分221 2 02tan11e42 2

1分x16.(1)x1

的切線L，求切線L的方程；x1xx1生成的旋轉(zhuǎn)體體積．

及切線L圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所解：(1)設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0)，則過(guò)切點(diǎn)的切線方程為100 yy 1 (xx100

2分2x01x0,y0

2,y

1Ly1

2分則旋轉(zhuǎn)體體積為

0 0V1122x 3

221(x)dx222x2.2

4分 x3 2 6得分得分四、按要求解答下列各題（共2道小題，每題8分，滿(mǎn)分16分）.1．設(shè)函數(shù)f(x)的[2,4]上連續(xù)，在(2,4)內(nèi)可導(dǎo)，且滿(mǎn)足f(2) 4(xf(x)dx，3證明在(2,4)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使(1)f()2f()．證：f(x)在[3,4]上連續(xù)，在(3,4)內(nèi)至少存在一點(diǎn)1，使4(x1)2f(x)dx(1)2f()

4分3 1 1F(x)(xf(xF(x的[2,]上連續(xù)，在(2,)內(nèi)可導(dǎo)，1F(2)f(2)F

12分Rolle(2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)F0，即在(2,4)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使)2ff，即)f)2f

2分2.（1）證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，不等式

ln(11)1

成立；n1 n n（2）x1111ln

(n，證明lim

存在．n 2 3

nn（1）ft)n1t)ft)在[0,xLagrangef'()即有

f(x)f(0)x0由于0x，則有

11

ln(1x)xx1x

ln(1x)x取x1(n1,2,)，則有n1 ln(11)

4分n1 n n（2）先證單調(diào)性：n1

1nln(nln

=1n

ln(11)0n故數(shù)列{xn}單調(diào)減少.再證有界性：x111