第二章

函數(shù)第4節(jié)函數(shù)的對稱性及應(yīng)用INNOVATIVEDESIGN1.能通過平移,分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論.

2.會(huì)利用對稱公式解決問題.目

錄CONTENTS知識(shí)診斷自測01考點(diǎn)聚焦突破02課時(shí)對點(diǎn)精練03知識(shí)診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的對稱性 (1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于______對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于______對稱. (2)若f(x-2)是偶函數(shù),則函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為_____;若f(x-2)是奇函數(shù),則函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心為______.2.若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱,則f(a-x)=f(a+x);

若函數(shù)y=f(x)滿足f(a-x)=-f(a+x),則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)______對稱.原點(diǎn)y軸x=-2(-2,0)(a,0)3.兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱 (1)函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)關(guān)于______對稱; (2)函數(shù)y=f(x)與y=-f(x)關(guān)于______對稱; (3)函數(shù)y=f(x)與y=-f(-x)關(guān)于______對稱.y軸x軸原點(diǎn)常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

√1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.(

)(2)函數(shù)y=f(x-1)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱.(

)(3)若函數(shù)f(x)滿足f(x-1)+f(x+1)=0,則f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.(

)(4)若函數(shù)f(x)滿足f(2+x)=f(2-x),則f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.(

)解析

(2)函數(shù)y=f(x-1)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對稱.(3)由函數(shù)f(x)滿足f(x-1)+f(x+1)=0可得f(x-1)=-f(x+1),所以f(x+2)=-f(x),所以f(-x)≠f(x),故f(x)的圖象不關(guān)于y軸對稱.××√B

43.已知函數(shù)y=f(x+2)-3是奇函數(shù),且f(4)=2,則f(0)=

.

解析

法一由y=f(x+2)-3是奇函數(shù),∴f(-x+2)-3=-f(x+2)+3,令x=2,f(0)-3=-f(4)+3,得f(0)=4.法二由y=f(x+2)-3是奇函數(shù),得f(x)關(guān)于(2,3)對稱,故f(0)+f(4)=6,即f(0)=4.54.若偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,且當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)=2x-1,則

f(-1)=

.

解析

∵f(x)為偶函數(shù),∴f(-1)=f(1),由f(x)的圖象關(guān)于x=2對稱,可得f(1)=f(3)=2×3-1=5,∴f(-1)=5.考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一

函數(shù)的對稱性

思維建模

考點(diǎn)二

對稱性與周期性A

BD

思維建模1.若函數(shù)y=f(x)的對稱軸為x=a,x=b,則其周期為T=2|b-a|.2.若函數(shù)y=f(x)的對稱中心為(a,0),(b,0),則其周期為T=2|b-a|.3.若函數(shù)y=f(x)的對稱軸為x=a,對稱中心為(b,0),則其周期為T=4|b-a|.

B(2)(多選)(2025·保定質(zhì)檢)已知f(x+1)是奇函數(shù),f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱,則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)是周期為4的周期函數(shù) B.f(x-5)為偶函數(shù)C.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-3,0)對稱 D.f(5)=0解析

對于A,法一由題知f(x+1)為奇函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,則f(-x)+f(2+x)=0,①因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱,所以f(-x)=f(-2+x),②將②代入①可得f(-2+x)+f(2+x)=0,將x換為2+x代入上式有f(x)+f(x+4)=0,③再將x換為x+4代入③式有f(x+4)+f(x+8)=0,④所以f(x)是周期為8的周期函數(shù).BCD法二由f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,且關(guān)于直線x=-1對稱,則f(x)的周期T=4|-1-1|=8,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對于B,因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱且周期為8,所以f(-x-5)=f(3+x)=f(x-5),所以f(x-5)為偶函數(shù),故選項(xiàng)B正確;對于C,由f(-x+1)=-f(x+1)及f(x)的周期為8,可知f(-x-3)=-f(x+5)=-f(x-3),所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-3,0)對稱,故選項(xiàng)C正確;對于D,因?yàn)閒(x+1)+f(-x+1)=0,取x=0可得f(1)=0,所以f(5)=f(-3)=f(1)=0,故選項(xiàng)D正確.考點(diǎn)三

對稱性、周期性與單調(diào)性例3

(多選)(2025·杭州調(diào)考)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在(-1,0]上單調(diào)遞增,f(1+x)=f(1-x),且圖象關(guān)于(2,0)對稱,則(

) A.f(0)=f(-2) B.f(x)的周期T=2 C.f(x)在(2,3)上單調(diào)遞減 D.f(x)滿足f(2

025)>f(2

026)>f(2

027)

解析

由f(1+x)=f(1-x),可得f(x)圖象的對稱軸方程為x=1,所以f(0)=f(2),

又由f(1+x)=f(1-x),

可知f(2+x)=f(-x).

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于(2,0)對稱,

即f(2+x)=-f(2-x),故f(4+x)=-f(-x),AC所以-f(2+x)=f(4+x),即-f(x)=f(2+x),所以f(x)=f(x+4),所以f(x)的周期為4,所以f(-2)=f(2),所以f(0)=f(-2),故A正確,B錯(cuò)誤.因?yàn)閒(x)在(-1,0]上單調(diào)遞增,且周期為4,所以f(x)在(3,4]上單調(diào)遞增,又f(x)的圖象關(guān)于(2,0)對稱,所以f(x)在[0,1)上單調(diào)遞增,因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,所以f(x)在(1,2]上單調(diào)遞減,則函數(shù)f(x)在(2,3)上單調(diào)遞減,故C正確.根據(jù)f(x)的周期為4,可得f(2

025)=f(1),f(2

026)=f(2),f(2

027)=f(3),因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,所以f(2)=f(0)且f(3)=f(-1),即f(2

025)=f(1),f(2

026)=f(0),f(2

027)=f(-1),由C選項(xiàng)的分析可知,函數(shù)f(x)在[0,1)上單調(diào)遞增,在(-1,0]上單調(diào)遞增,確定的單調(diào)區(qū)間內(nèi)均不包含x=±1,若f(-1)=f(1)=0,則f(2

025)>f(2

026)>f(2

027)不成立,故D錯(cuò)誤.思維建模解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問題,一般要利用周期性與對稱性縮小自變量的值或轉(zhuǎn)換自變量所在的區(qū)間,然后利用單調(diào)性比較大小或解不等式.訓(xùn)練3

(多選)(2025·齊魯名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(2x+1)為奇函數(shù),f(4-x)=f(x),f(0)=2,且f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,則(

) A.f(1)=0 B.f(8)=2 C.f(x)在[6,8]上單調(diào)遞減 D.f(x)在[0,100]上有50個(gè)零點(diǎn)

解析

對于A,因?yàn)閒(2x+1)為奇函數(shù),所以當(dāng)x=0時(shí),f(2×0+1)=0,

即f(1)=0,故A正確;

對于B,因?yàn)閒(2x+1)為奇函數(shù),所以f(-2x+1)+f(2x+1)=0,

所以f(-x+1)+f(x+1)=0,

所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,

即f(2-x)=-f(x),因?yàn)閒(4-x)=f(x),ABD所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,所以f(x+4)=f(-x)=-f(2+x)=-f(2-x)=f(x),所以f(x)是周期為4的周期函數(shù),則f(8)=f(0)=2.故B正確;對于C,因?yàn)閒(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,所以f(x)在[2,4]上單調(diào)遞增,所以f(x)在[6,8]上單調(diào)遞增,故C錯(cuò)誤;對于D,f(x)在[0,4]上的零點(diǎn)為1和3,所以f(x)在[0,100]上有50個(gè)零點(diǎn),故D正確.微點(diǎn)突破

抽象函數(shù)1.我們把不給出具體解析式,只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù),解決抽象函數(shù)問題的兩種常用方法有:函數(shù)性質(zhì)法和特殊值法.2.常見的抽象函數(shù)模型(1)f(x+y)=f(x)+f(y)可看作f(x)=kx的抽象表達(dá)式;(2)f(x+y)=f(x)f(y)可看作f(x)=ax的抽象表達(dá)式(a>0,且a≠1);(3)f(xy)=f(x)+f(y)可看作f(x)=logax的抽象表達(dá)式(a>0,且a≠1);(4)f(xy)=f(x)f(y)可看作f(x)=xα的抽象表達(dá)式.一、抽象函數(shù)求值例1

(2025·南京部分學(xué)校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x),對任意x,y∈R,滿足f(x+y)f(x-y)

=f2(x)-f2(y),且f(1)=2,f(2)=0,則f(1)+f(2)+…+f(90)的值為(

) A.-2 B.0 C.2

D.4

解析

在f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)中,

令x=2,y=1,得f(3)f(1)=f2(2)-f2(1),

因?yàn)閒(1)=2,f(2)=0,所以f(3)=-2;

令x=3,y=2,得f(5)f(1)=f2(3)-f2(2)=4,所以f(5)=2;

令x=4,y=1,得f(5)f(3)=f2(4)-f2(1),所以f(4)=0.C在f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)中,令y=2,得f(x+2)f(x-2)=f2(x),所以令x=5,得f(7)=-2,令x=7,得f(9)=2.在f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)中,令x=6,y=1,得f(7)f(5)=f2(6)-f2(1),所以f(6)=0;令x=8,y=1,得f(9)f(7)=f2(8)-f2(1),所以f(8)=0.依此類推,可得f(2k-1)=(-1)k+1·2,f(2k)=0(k∈N*),且f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)=0(k∈N*).所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(90)=22×0+f(89)+f(90)=0+2+0=2.

ACD

A

(3,4]又∵f(x)是定義在區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù),

課時(shí)對點(diǎn)精練3KESHIDUIDIANJINGLIAN一、單選題1.(2025·聊城檢測)函數(shù)y=2-x與y=-2x的圖象(

) A.關(guān)于x軸對稱 B.關(guān)于y軸對稱 C.關(guān)于原點(diǎn)對稱 D.關(guān)于直線y=x軸對稱

解析

令f(x)=2x,

則-f(-x)=-2-x,

∵y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,

∴y=2-x與y=-2x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.C2.已知函數(shù)f(x)=2|x-a|的圖象關(guān)于直線x=2對稱,則a等于(

) A.1 B.2 C.0 D.-2

解析

函數(shù)f(x)=2|x-a|的圖象關(guān)于直線x=2對稱,可得f(2+x)=f(2-x),

即為2|2+x-a|=2|2-x-a|,

即有|2+x-a|=|2-x-a|(*)恒成立,

可得2+x-a=2-x-a或2+x-a+2-x-a=0,解得x=0或a=2,

檢驗(yàn)可得a=2時(shí)(*)式恒成立.B

B4.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+b的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,則b=(

) A.-3 B.-1 C.1

D.3

解析

∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,

∴f(x)+f(2-x)=0,即x3+ax2+x+b+(2-x)3+a(2-x)2+(2-x)+b=(2a+6)x2-(4a+12)x+10+4a+2b=0,C

B

A因?yàn)楫?dāng)x2>x1≥1時(shí),[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)>0,所以f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減.因?yàn)閤2+2x+3=(x+1)2+2>0,所以f(x)(x2+2x+3)>0,等價(jià)于f(x)>0.當(dāng)x≥1時(shí),f(x)>0=f(2),結(jié)合單調(diào)性可知x>2;當(dāng)x<1時(shí),f(x)>0=f(0),結(jié)合單調(diào)性可知x<0.故f(x)(x2+2x+3)>0的解集為(-∞,0)∪(2,+∞).

C又f(x+1)+f(x-1)=2,所以f(1)+f(3)=2,f(2)+f(4)=2,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4.又f(0)+f(2)=2,f(0)=2,所以f(2)=0,

C對于C,因?yàn)閒(x)的一個(gè)周期為4,所以f(2

027)=f(4×507-1)=f(-1)=-f(1),又f(-2x+1)=-f(2x+1),令x=0,得f(1)=0,所以f(2

027)=0,故C正確.對于D,f(x)的定義域?yàn)镽,因?yàn)閒(-1)=0,f(x)的一個(gè)周期為4,所以f(4k+3)=0(k∈Z),f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,作出一個(gè)符合上述條件的圖象,如圖所示,此時(shí)f(x)的圖象不關(guān)于直線x=2對稱,故D錯(cuò)誤.二、多選題9.定義在R上的函數(shù)f(x),f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對稱,恒有f(x-1)=f(3-x),且f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,則下列結(jié)論正確的是(

) A.直線x=1是f(x)的圖象的對稱軸 B.周期T=2 C.函數(shù)f(x)在[4,5]上單調(diào)遞增 D.f(5)=0

解析

因?yàn)閒(x-1)=f(3-x),

所以直線x=1是f(x)的圖象的對稱軸,故A正確;

因?yàn)閒(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對稱,

所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱,AC又因?yàn)閒(x)的對稱軸為x=1,所以f(x)的周期T=4,故B錯(cuò)誤;直線x=1是f(x)的對稱軸,且函數(shù)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,又f(x)的周期T=4,所以函數(shù)f(x)在[4,5]上單調(diào)遞增,故C正確;因?yàn)閒(x)的周期T=4,f(4)=f(0)=0,則f(5)>f(4)=0,故D錯(cuò)誤.10.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足f(x+3)+f(x+1)=0,且f(x+1)為偶函數(shù),則(

) A.f(2)=0 B.f(x)為偶函數(shù) C.f(x)為周期函數(shù)

D.f(x+4)為偶函數(shù)

解析

因?yàn)閒(x+1)為偶函數(shù),所以f(x+1)=f(-x+1),

又f(x+3)+f(x+1)=0,所以f(x+3)+f(-x+1)=0,

令x=-1,得f(2)+f(2)=0,所以f(2)=0,故A正確;

因?yàn)閒(x+3)+f(x+1)=0,所以f(x)=-f(x+2), f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期是4,

又f(x+3)+f(-x+1)=0,所以f(x+4)=-f(-x)=f(x),AC所以f(x)為奇函數(shù),故B錯(cuò)誤,C正確;因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),且f(x)的周期是4,所以(4,0)是f(x)的圖象的對稱中心,f(x+4)=-f(-x+4),f(x+4)為奇函數(shù),故D錯(cuò)誤.11.(2024·云南三校聯(lián)考)函數(shù)f(x)與g(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)g(x+2)=4,f(x)·g(-x)=4.若f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,2)對稱,則(

)AC

所以f(x-4)+f(x-2)=4,則f(x)=f(x-4),所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為4,因?yàn)閒(x-2)+f(x)=4,所以f(1)+f(3)=4,f(2)+f(4)=4,三、填空題12.寫出一個(gè)同時(shí)具有性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)=

.

①f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù);②f(1+x)=f(1-x);③f(1)=2.

6

14.已知函數(shù)f(x)對?x∈R滿足f(x+2)·f(x)=2f(1),且f(x)>0.若y=f(x-1)的圖象關(guān)于x=1對稱,f(0)=1,則f(2

026)=