第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第3節(jié)導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)構(gòu)造問題INNOVATIVEDESIGN函數(shù)中的構(gòu)造問題是高考考查的一個熱點(diǎn)內(nèi)容,經(jīng)常以客觀題出現(xiàn),同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)也在解答題中出現(xiàn),通過已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造新函數(shù),解決比較大小、解不等式、恒成立等問題.目

錄CONTENTS課時對點(diǎn)精練題型一通過導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則構(gòu)造

A思維建模

BC

思維建模

BD

思維建模

B(1,+∞)(2)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若xf'(x)-1<0,f(e)=2,則關(guān)于x的不等式f(ex)<x+1的解集為

.

a<b<c

題型二

通過變量構(gòu)造具體函數(shù)C

思維建模若題目所給的條件含有兩個變量,可通過變形使兩個變量分別置于等號或不等號兩邊,即可構(gòu)造函數(shù),并且利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

BCD

題型三

通過數(shù)值構(gòu)造具體函數(shù)

C

思維建模當(dāng)要比較的各數(shù)為某些函數(shù)的函數(shù)值時,要仔細(xì)觀察這些數(shù)值的共同之處,構(gòu)造一個或兩個函數(shù),使要比較的數(shù)成為該函數(shù)的函數(shù)值,然后利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.訓(xùn)練3

實數(shù)e3,3π,π3的大小關(guān)系為

.

e3<π3<3π

課時對點(diǎn)精練KESHIDUIDIANJINGLIAN一、單選題1.(2025·廣州質(zhì)檢)若函數(shù)y=f(x)滿足xf'(x)>-f(x)在R上恒成立,且a>b,則(

) A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b) C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a)

解析

由題意,設(shè)g(x)=xf(x),

則g'(x)=xf'(x)+f(x)>0,

所以g(x)在R上是增函數(shù),

又a>b,所以g(a)>g(b),

即af(a)>bf(b),故選B.B2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),對任意x∈R,滿足f(x)+f'(x)<0,則下列結(jié)論一定正確的是(

) A.e2f(2)>e3f(3) B.e2f(2)<e3f(3) C.e3f(2)>e2f(3) D.e3f(2)<e2f(3)

解析

構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x),

則g'(x)=ex[f'(x)+f(x)],

∵f(x)+f'(x)<0,故g'(x)<0,

可得g(x)在R上單調(diào)遞減,故g(2)>g(3),

∴e2f(2)>e3f(3).無法判斷C,D的正誤.A

D4.函數(shù)f(x)的定義域為R,f(-1)=2,對任意x∈R,f'(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為(

) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)

解析

∵f(x)>2x+4,∴f(x)-2x-4>0,

令g(x)=f(x)-2x-4,

則g'(x)=f'(x)-2>0,

∴g(x)為R上的增函數(shù),

又∵g(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0.

∴由g(x)>g(-1)=0得x>-1.B5.已知f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x).若對任意x∈R,有f'(x)>1,f(1+x)+f(1-x)=0,且f(0)=-2,則不等式f(x-1)>x-1的解集為(

) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(2,+∞) D.(3,+∞)

解析

法一

∵f(1+x)+f(1-x)=0,f(0)=-2,∴令x=1得f(2)=2.

設(shè)g(x)=f(x)-x,則g'(x)=f'(x)-1>0,

∴g(x)在R上單調(diào)遞增,

且g(2)=f(2)-2=0,

∴不等式f(x-1)>x-1可化為g(x-1)>0=g(2),

∴x-1>2,解得x>3.D法二設(shè)g(x)=f(x)-x,則g'(x)=f'(x)-1>0,∴g(x)在R上單調(diào)遞增.∵g(1+x)+g(1-x)=f(1+x)+f(1-x)-(1+x)-(1-x)=-2,∴g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對稱,又g(0)=f(0)-0=-2,∵g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對稱,∴g(2)=0,∴不等式f(x-1)>x-1可化為g(x-1)>0=g(2),∴x-1>2,解得x>3.

A

C

C

BC

CD

AC

三、填空題12.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足xf'(x)+f(x)>0,且f(1)=1,則xf(x)>1的解集為

.

(1,+∞)解析

令g(x)=x