專題33圓中的重要模型之圓冪定理模型

圓冪定理是一個總結(jié)性的定理，是對相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理

以及它們推論的統(tǒng)一與歸納?？赡苁窃?9世紀(jì)由德國數(shù)學(xué)家施泰納（Steiner）或者法國數(shù)學(xué)家普朗克雷

（Poncelet）提出的。圓冪定理的用法：可以利用圓冪定理求解與圓有關(guān)的線段比例、角度、面積等問題。

模型1.相交弦模型

條件：在圓O中，弦AB與弦CD交于點E，點E在圓O內(nèi)。

ECEA

結(jié)論：CAEBDET=TEC×ED=EB×EA。

EBED

例1．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）如圖，點A，C，D，B在O上，ACBC，ACB90．若CD4，

1

tanCBD，則AD的長是．

3

例2．（2023·山東濟(jì)寧一模）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點D為AC上的動點（點A、

C除外），BD的延長線交⊙O于點E，連接CE．(1)求證△CED∽△BAD；(2)當(dāng)DC2AD時，求CE的長．

例3．（2023·江西宜春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）閱讀與思考：九年級學(xué)生小剛喜歡看書，他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突

然看到某本數(shù)學(xué)書上居然還有一個相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等），

下面是書上的證明過程，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．

圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等．

已知：如圖1，O的兩弦AB，CD相交于點P．求證：APBPCPDP．

證明：如圖1，連接AC，BD．

∵CB，AD．∴△APC∽△DPB，（根據(jù)）

AP

∴@，∴APBPCPDP，

DP

∴兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等．

任務(wù)：(1)請將上述證明過程補充完整．根據(jù)：____________；@：____________．

(2)小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2，AB是O的弦，P是AB上一點，AB10cm，PA4cm，OP5cm，

求O的半徑．

模型2.雙割線模型

條件：如圖，割線CH與弦CF交圓O于點E和點G。

ECCG

結(jié)論：CEGCHFT=TEC×FC=GC×HC

CHCF

例1．（2023·遼寧葫蘆島·一模）已知：如圖，PAB、PCD是⊙O的割線，PA4cm，AB6cm，CD3cm.

則PD=cm.

例2．（2023·四川成都·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，PAB為O的割線，且PAAB3，PO交O于點C，

若PC2，則O的半徑的長為．

例3．（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）我們知道，直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．當(dāng)直線與圓有

兩個公共點（即直線與圓相交）時，這條直線就叫做圓的割線．割線也有一些相關(guān)的定理．比如，割線定

理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等．下面給出了不完整的定理“證

明一”，請補充完整．

已知：如圖①，過O外一點P作O的兩條割線，一條交O于A、B點，另一條交O于C、D點．

求證：PAPBPCPD．

證明一：連接AD、BC，∵A和C為BD所對的圓周角，∴______．

又∵PP，∴______，∴______．即PAPBPCPD．

研究后發(fā)現(xiàn)，如圖②，如果連接AC、BD，即可得到學(xué)習(xí)過的圓內(nèi)接四邊形ABDC．那么或許割線定理也

可以用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來證明．請根據(jù)提示，獨立完成證明二．

證明二：連接AC、BD，

模型3.切割線模型

條件：如圖，CB是圓O的切線，CA是圓O的割線。

CBCD2

結(jié)論：CBDCABT=TCB=CD×CA

CACB

例1．（2023·江蘇南通·中考模擬）如圖，已知PA是O的切線，A為切點，PC與O相交于B．C兩點，

PB2cm，BC8cm，則PA的長等于（)

A．4cmB．16cmC．20cmD．25cm

例2．（2023·河南鄭州·一模）復(fù)習(xí)鞏固，切線：直線和圓只有一個公共點，這時這條直線和圓相切，我們把

這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點．

割線：直線和圓有兩個公共點，這時這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線．

切線長：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長．

閱讀材料：《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作．它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面

幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書．其中第三卷命題36﹣2圓冪定

理（切割線定理）內(nèi)容如下：

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．

為了說明材料中定理的正確性，需要對其進(jìn)行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，

并寫出證明過程．

已知：如圖，A是⊙O外一點，．求證：．

例3．（2022·河南駐馬店·校考二模）在數(shù)學(xué)課上，當(dāng)老師講到直線與圓的位置關(guān)系時，張明同學(xué)突發(fā)奇想，

特殊線與圓在不同的位置情況下會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？于是在課下他查閱了老師推薦他的《幾何原本》，

這本書是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作．它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，

被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書．其中第三卷命題36-2圓冪定理（切割線定理）

內(nèi)容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長比例

中項．（比例中項的定義：如果a、b、c三個量成連比例即a:bb:c，則b叫做a和c的比例中項）

(1)為了說明材料中定理的正確性，需要對其進(jìn)行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，

并寫出證明過程．已知：如圖，A是圓O外一點，AB是圓O的切線，直線ACD為圓O的割線．

求證：證明：．

(2)已知AC2，CD4，則AB的長度是．

模型4.弦切角模型

條件：如圖，CB是圓O的切線，AB是圓O的直徑。

CBCD2

結(jié)論：1）CBDCABT=TCB=CD×CA；

CACB

BDCD2BADA2

2）CBDBADT=TBD=AD×CD；3）BADCABT=TBA=AD×AC。

ADBDCABA

例1．（2023·河南三門峽·統(tǒng)考二模）小銳同學(xué)是一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愛好者，他在一本數(shù)學(xué)課外讀物上看到一個課

本上沒有的與圓相關(guān)的角---弦切角（弦切角的定義：把頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊和圓相交的角叫

做弦切角），并嘗試用所學(xué)的知識研究弦切角的有關(guān)性質(zhì)．

（1）如圖，直線AB與⊙O相切于C點，D，E為⊙O上不同于C的兩點，連接CE，DE，CD．請你寫

出圖中的兩個弦切角______；（不添加新的字母和線段）

（2）小銳目測DCB和DEC可能相等，并通過測量的方法驗證了他的結(jié)論，你能幫小銳用幾何推理的方

法證明結(jié)論的正確性嗎？

已知：如圖，直線AB與⊙O相切于C點，D，E為圓上不同于C的兩點，連接CE，DE，CD．

求證：DCBDEC．（3）如果我們把上述結(jié)論稱為弦切角定理，請你用一句話概括弦切角定理______．

例2．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考三模）人類會作圓并且真正了解圓的性質(zhì)是在2000多年前，由我國的墨子給出

圓的概念：“圓，一中同長也．”意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等，這個定義比古希臘數(shù)學(xué)

家歐幾里得給圓下的定義要早100多年．與圓有關(guān)的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我們把頂點

在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對

的圓周角度數(shù)．

(1)如圖1，AB是O的切線．點C，D在O上．求證：ADCCAB；(2)如圖2，CE是O的切線．連

接AE交O于點D，AB為O的直徑．若CEAD，BC2，O的半徑為5，求DE的長．

例3．（2023·四川綿陽·九年級統(tǒng)考期中）定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切

角．如圖1，AC為O的切線，點A為切點，AB為O內(nèi)一條弦，CAB即為弦切角．

(1)古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學(xué)巨著，全書共13卷，以第1卷的23個定義、5

個公設(shè)和5個公理作為基本出發(fā)點，給出了119個定義和465個命題及證明．第三卷中命題32一弦切角定

理的內(nèi)容是：“弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)．”

如下給出了弦切角定理不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出“證明”過程．

已知：如圖2，AC為O的切線，點A為切點，AB為O內(nèi)一條弦，點D在O上，連接OA，OB，BD，

AD．求證：BACBDA．證明：

(2)如圖3，AB為O的切線，A為切點，點C是O上一動點，過點C作CDAB于點D，CD交O于E，

連接OE，OC，AE．若AD10，AE229，求弦CE的長．

模型5.托勒密定理模型

條件：如圖，AB、CD是圓O的兩條弦；結(jié)論：AB×CD+AD×BC=AC×BD

例1．（2023·山西晉中·九年級統(tǒng)考期末）閱讀以下材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：托勒密（Ptolemy）（公元90年～

公元168年），希臘著名的天文學(xué)家，他的著作《天文學(xué)大成》被后人稱為“偉大的數(shù)學(xué)書”，托勒密有時把

它叫作《數(shù)學(xué)文集》，托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．

托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和．

已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于O．求證：ABCDBCADACBD

下面是該結(jié)論的證明過程：證明：如圖2，作BAECAD，交BD于點E．

ABBE

∵ADAD∴ABEACD（依據(jù)1）∴△ABE∽△ACD（依據(jù)2）∴∴ABCDACBE

ACCD

∵ABAB∴ACBADE

∵BAECAD∴BAEEACCADEAC即BACEAD∴△ABC∽△AED

∴ADBCACED∴ABCDADBCAC(BEED)

∴ABCDADBCACBD

任務(wù)：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1：________________________________．依據(jù)2：________________________________．

3

（2）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AC為O的直徑，AD5，tanACB，點D為AC的中點，

4

求BD的長．

例2．（2023·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）【舊知再現(xiàn)】圓內(nèi)接四邊形的對角.

如圖①，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，若ABBD,ABD40，則BCD.

【問題創(chuàng)新】圓內(nèi)接四邊形的邊會有特殊性質(zhì)嗎？

如圖②，某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行深入研究發(fā)現(xiàn)：AB?CDBC?DAAC?BD

證明：如圖③，作BAECAD，交BD于點E.

∵BAECAD,ABDACD，∴ABE∽ACD，

ABBE

∴即AB?CDAC?BE（請按他們的思路繼續(xù)完成證明）

ACCD

【應(yīng)用遷移】如圖④，已知等邊ABC外接圓O，點P為BC上一點，且PB3，PC1，求PA的長.

課后專項訓(xùn)練

1．（2023山東九年級課時練習(xí)）如圖AB與圓O相切于A，D是圓O內(nèi)一點，DB與圓相交于C．已知BC

＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，則圓的半徑為．

2．（2022秋·浙江寧波·九年級?？计谥校┤鐖D，兩個同心圓，過大圓上一點A作小圓的割線，交小圓于B、

C兩點，且圖中圓環(huán)的面積為4，則ABAC．

4．（2023·重慶九年級期末）如圖，從圓外一點P引圓的切線PA，點A為切點，割線PDB交O于點D、B．已

知PA12，PD8，則SABP:SDAP．

4．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，過點P引圓的兩條割線PAB和PCD，分別交圓于點A,B和C,D，連

PAPCPAPCPAPD

結(jié)AC,BD，則在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把

PBPDPDPBACBD

你認(rèn)為成立的比例式的序號都填上）．

5．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）四邊形ABDC內(nèi)接于圓，對角線交點為E，ABAC4,AE2，若BE、CE

都是整數(shù)，則BE的值為．

6．（2023·廣東珠海·統(tǒng)考一模）如圖，O為正ABC的外接圓，P為劣弧BC上任一點，CP的延長線和AB

的延長線交于點D．(1)求BPC；(2)求證：AC2CPCD．

7．（2023·廣東汕頭·?？家荒＃┤鐖D，AB是O的直徑，點C，D在O上，AD平分CAB，過點D作AC

的垂線交AC的延長線于點E，交AB的延長線于點F，連接BD．

(1)求證：EF是O的切線；(2)求證：ABABAEACBF(3)若AB10，AC6，求AD的長．

8．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）如圖，P是以O(shè)為圓心的兩個同心圓外一點，過P點的兩條直線分別與大圓

O交于A、B、C、D四個點，其中一條直線交小圓O于F點，F(xiàn)為線段CD的中點，PADP，CEPA，

AE2

垂足為E．(1)求證：PD為小圓O的切線；(2)若，AB10，求大圓O的半徑．

CE3

9．（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考一模）歐幾里德，古希臘著名數(shù)學(xué)家．被稱為“幾何之父”．他最著名的著作《幾何

原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上最成功的教科書．他在第三

卷中提出這樣一個命題：“由已知點作直線切于已知圓”．

如圖1，設(shè)點P是已知點，圓O是已知圓，對于上述命題，我們可以進(jìn)行如下尺規(guī)作圖：

①連接OP，作線段OP的中點A；②以A為圓心，以AO為半徑作圓A，與圓O交于兩點Q和R；

③連接PQ、PR，則PQ、PR是圓O的切線．(1)按照上述作圖步驟在圖1中補全圖形；

(2)為了說明上述作圖的正確性，需要對其證明，請寫出證明“PQ、PR是圓O的切線”的過程；

(3)如圖2，連接QO并延長交圓O于點B，連接BR，已知BR2，PQ25，求圓O的半徑．

10．（2023·山東聊城·九年級統(tǒng)考期中）頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如

圖①所示：PA切⊙O于點A，AB是⊙O的一條弦，∠PAB就是⊙O的一個弦切角．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：弦切角等

于它夾弧所對的圓周角．根據(jù)下面的“已知”和“求證”，寫出“證明”過程，并回答后面的問題．

（1）如圖1，PA是⊙O的切線，A為切點，AC為直徑，∠PAB夾弧所對的圓周角為∠C．求證：∠PAB＝

∠C．（2）如圖2，PA是⊙O的切線，A為切點，∠PAB夾弧所對的圓周角為∠D．求證：∠PAB＝∠D．

（3）如圖3，AB為半⊙O的直徑，O為圓心，C，D為半⊙O上兩點，過點C作半⊙O的切線CE交AD

的延長線于點E，若CE⊥AD，且BC＝1，AB＝3，求DE的長．

11．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，MN為⊙O的直徑，且MN15，MC與ND為圓內(nèi)的一組平

?

行弦，弦AB交MC于點H．點A在M?C上，點B在NC上，ONDAHM90．

(1)求證：MHCHAHBH．(2)求證：ACBC．(3)在⊙O中，沿弦ND所在的直線作劣弧ND的軸對稱

3

圖形，使其交直徑MN于點G．若sinCMN，求NG的長．

5

12．（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，對角線AC，BD相交于點E，點F

在邊AD上，連接EF．(1)求證：△ABE∽△DCE；

AEDEAFFE

(2)當(dāng)DCCB，DFE2CDB時，則___________；___________；

BECEABAD

111

___________．（直接將結(jié)果填寫在相應(yīng)的橫線上）

ABADAF

S,S,S

(3)①記四邊形ABCD，△ABE，△CDE的面積依次為12，若滿足SS1S2，試判斷，△ABE，△CDE

的形狀，并說明理由．②當(dāng)DCCB，ABm，ADn，CDp時，試用含m，n，p的式子表示AECE．

13．（2023春·北京通州·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）在與圓有關(guān)的比例線段探究學(xué)習(xí)中，某興趣小組發(fā)現(xiàn)有三種

不同情況，并完成了情況一的證明．請你選擇情況二或者情況三中的一種情況進(jìn)行證明．A，B，C，D為O

上的點，直線AB，CD相交于點P．

證明

情況一點P在⊙O內(nèi)時，連接AC，BD（如圖1）：

情況二點P在⊙O外時情況三當(dāng)點A和點B重合時

AD，APCDPB∴△APC∽△DPB

（如圖）：（如圖）

APCP23

∴，即APBPCPDP

DPBP

14．（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測）如圖1，ABC內(nèi)接于O，點D為圓外AB上方一點，連接AD，若CBAD．

1

(1)求證：AD是O的切線；(2)如圖2，連接OB．若tanABO，AC65，BC8，求O的半徑．（注：

2

本題不允許使用弦切角定理）

15．（2023秋·山西呂梁·九年級?？计谀╅喿x與思考：閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．

米勒定理

米勒（14361476）是德國的數(shù)學(xué)家，是歐洲最有影響的數(shù)學(xué)家之一，米勒發(fā)表的《三角全書》，是使得三角

學(xué)在歐洲取得獨立地位的第一部系統(tǒng)性著作．下面是米勒定理（又稱切割線定理）的證明過程

已知：如圖1，PA與O相切于點A，PB與O相交于點B，C．

求證：PA2PBPC．

證明：如圖2，連接AC，OA，OC．

∵PA為O的切線，∴OAPA，∴1290．

∵OAOC，∴23．

∵O23180，∴O22180．

∵，∴D=D，∴，

ACACO2B2B22180

∴B290，∴1B，……

任務(wù)：(1)請完成剩余的證明過程(2)應(yīng)用：如圖3，PA是O的切線，PC經(jīng)過O的圓心O，且PBOB2，

割線PDE交O于點D，E，PE5，求PD的長．

16．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：

弗朗索瓦?韋達(dá)，法國杰出數(shù)學(xué)家．第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶

來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步，在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”．他還發(fā)現(xiàn)從圓外一點引圓的切線和割線，

切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項（切割線定理）．

如圖1，P是O外一點，PC是O的切線，PA是O的一條割線，與O的另一個交點為B，則PC2PAPB．

證明：如圖2，連接AC、BC，過點C作O的直徑CD，連接AD．

∵PC是O的切線，∴PCCD，∴PCD90，即PCBBCD90．……

任務(wù)：(1)請按照上面證明思路寫出該證明的剩余部分．

(2)如圖3，PA與O相切于點A，連接PO并延長與O交于點B、C，PBAD，BC8，AP3BP，

連接CD．①CD與AP的位置關(guān)系是．②求BD的長．

17．（2022·山西·三模）閱讀與思考：請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．

人們在研究圓與直線的位置和數(shù)量關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)存在這樣一個關(guān)系：從圓外一點引圓的切線和割線，切線

長是這點到割線與圓交點構(gòu)成的兩條線段長的比例中項．這個幾何關(guān)系也叫圓的切割線定理．喜歡探究的

小明嘗試給出了該定理的如下證明：

已知：如圖1，P為⊙O外一點，切線PA與圓相切于點A，割線PBC與圓相交于點B，C．

求證：PA2PBPC．證明：如圖2，連接AB，AC，BO，AO．

∵PA切⊙O于點A，∴PAAO，即PABOAB90．

∵OAOB，∴OABOBA．

∵OABOBAO180，∴2OABO180．……

任務(wù)：(1)請幫助小明補充完成以上證明過程．(2)如圖，割線PDE與圓交于點D，E，且PBBC4，PD5，

連接BE，過點C向下作CF∥BE交PE的延長線于點F，求EF的長．

18．（2023·河南周口·校考三模）閱讀與思考

學(xué)習(xí)了圓的相關(guān)知識后，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們進(jìn)行了如下探究活動，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．

割線定理

如圖，A是O外一點，過點A作直線AC，AE分別交O于點B，C，D，E，則有ABACADAE．

證明：如圖，連接BE，DC．

∵BCD=BED（依據(jù)：①________________），CADEAB，

AD

∴VACD:VAEB．∴②_________________．

AB

∴ABACADAE．

任務(wù)：(1)上述閱讀材料中①處應(yīng)填的內(nèi)容是________，②處應(yīng)填的內(nèi)容是_______．

(2)興趣小組的同學(xué)們繼續(xù)思考，當(dāng)直線AE與圓相切時，是否仍有類似的結(jié)論．請將下列已知、求證補充完

整，并給出證明．

已知：如圖，A是O外一點，過點A的直線交O于點B，C，__________．求證：AE2＝___________．

19．（2023·廣東九年級期中）探究問題：

(1)閱讀理解：①如圖A，在ABC所在平面上存在一點P，若它到ABC三個頂點的距離之和最小，則稱點

P為ABC的費馬點，此時PAPBPC的值為ABC的費馬距離．

②如圖B，若四邊形ABCD的四個頂點在同一個圓上，則有ABCDBCDAACBD，此為托勒密定理．

知識遷移：①請你利用托勒密定理解決如下問題：如圖C，已知點P為等邊ABC外接圓的BC上任意一

點．求證：PBPC