第1頁/共1頁2025北京初三一模數(shù)學匯編代數(shù)綜合（第26題）一、解答題1．（2025北京初三一模）在平面直角坐標系中，點，點在拋物線上．設拋物線的對稱軸為直線．(1)若，求t的值；(2)點在該拋物線上，若對于都有，求t的取值范圍．2．（2025北京初三一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線（a，b為常數(shù)且）．(1)若，，求拋物線的頂點坐標；(2)已知，和是拋物線上的兩點．對于，都有，求的取值范圍．3．（2025北京海淀初三一模）在平面直角坐標系中，點，在拋物線上，設拋物線的對稱軸為．(1)當，時，求的值；(2)當時，若對于，都有，求的取值范圍．4．（2025北京房山初三一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線．(1)當時，求拋物線的對稱軸；(2)已知，是拋物線上的兩點．若對于，都有，求a的取值范圍．5．（2025北京通州初三一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線上有兩點．(1)對于，有，求該拋物線的頂點坐標；(2)對于任意實數(shù)，若，都有，求的值．6．（2025北京大興初三一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線．(1)當時，求該拋物線與軸交點坐標；(2)已知，為該拋物線上的兩點，若對于，，都有，求的取值范圍．7．（2025北京初三一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線．(1)求該拋物線的對稱軸；(2)已知點，在拋物線上．對于，，都有，求a的取值范圍．8．（2025北京豐臺初三一模）在平面直角坐標系中，是拋物線上的兩點．(1)若對于，有，求拋物線的對稱軸；(2)若對于，都有，求的取值范圍．9．（2025北京西城初三一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線，設該拋物線的對稱軸為．(1)當時，求的值；(2)點是該拋物線上兩個點，當時，對于的每一個值，總存在，使得，，且成立，求的取值范圍．10．（2025北京平谷初三一模）在平面直角坐標系中，點是拋物線上的兩個不同點．(1)當時，有，求的值；(2)當時，都有，求的取值范圍．11．（2025北京海淀初三一模）已知拋物線，(1)若拋物線過點，求拋物線的對稱軸；(2)已知點在拋物線上，其中，若存在使，試比較的大小關系．12．（2025北京朝陽初三一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線．(1)求拋物線的頂點坐標（用含的式子表示）；(2)和是拋物線上的兩點，若對于，都有，求的取值范圍．13．（2025北京石景山初三一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線．(1)當時，求拋物線的頂點坐標；(2)點，，在拋物線上．若對于，都有，求t的取值范圍．

參考答案1．(1)(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)性質，熟悉相關結論是解題關鍵．（1）由題意得，據(jù)此即可求解；（2）分類討論①當時，②當時，兩種情況即可求解；【詳解】（1）解：點，點在拋物線上，且，拋物線的對稱軸為，，．（2）解：點，點，點在拋物線上，，，．且．①當時，有，②當時，有，．．．．綜上：．2．(1)(2)或【分析】（1）將，，代入化成頂點式即可直接得解；（2）由進而得到拋物線的對稱軸為，分類討論，和，再根據(jù)增減性和對稱性求解即可；本題主要考查了二次函數(shù)的頂點坐標、二次函數(shù)的增減性、二次函數(shù)的對稱性以及二次函數(shù)與直線的交點問題等內容，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】（1）解：將，，代入，得，頂點的橫坐標為，代入縱坐標為∴頂點坐標為；（2）∵，∴拋物線的對稱軸為，①當時，，則在對稱軸右側，其關于對稱軸對稱點為，∵開口向上，在拋物線對稱軸左側，y隨x的增大而減小，在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，∴當有，可得，解得；②當時，，則在對稱軸左側，其關于對稱軸對稱點為，∵開口向下，在拋物線對稱軸左側，y隨x的增大而增大，在對稱軸右側，y隨x的增大而減小，∴當有，可得或，，解得；綜上，或；3．(1)(2)【分析】本題考查了拋物線的圖象和性質，熟練掌握拋物線的性質是解題的關鍵．（1）當時，點的坐標為，根據(jù)拋物線上點的坐標特征得出，，根據(jù)題意求得，根據(jù)拋物線的性質即可求出；（2）分為拋物線的對稱軸在點的左側和右側兩種情況進行分析，當拋物線的對稱軸在點的左側時，即時，根據(jù)拋物線的對稱性求出點關于對稱的點為，結合拋物線的性質得出點在的左側，即，結合題意列出不等式，即可求出的取值范圍是；當拋物線的對稱軸在點的右側時，即時，結合拋物線的性質得出點在的左側，點在的左側，結合題意列出不等式，即可求出的取值范圍是；即可求解．【詳解】（1）解：當時，點的坐標為，∵點，在拋物線上，∴，．又∵，∴．即，∵拋物線的對稱軸為，故．（2）解：分兩種情況：情況1：當拋物線的對稱軸在點的左側時，即時，點關于對稱的點為，根據(jù)拋物線的對稱性可得點也在拋物線上，則；∵，∴拋物線開口向上，故當時，隨的增大而減小．∵，∴點在的左側，即，∵時，都有成立，∴，解得；又∵，故的取值范圍是；情況2：當拋物線的對稱軸在點的右側時，即時，，∴拋物線開口向上，故當時，隨的增大而減小，∵，∴點在的左側，即，∵時，都有成立，∴，解得，又∵，故的取值范圍是．綜上，的取值范圍是．4．(1)(2)或．【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，是解題的關鍵：（1）根據(jù)對稱軸公式進行計算即可；（2）分和兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質進行求解即可．【詳解】（1）解：當時，則：，∴對稱軸為直線；（2）∵，∴拋物線的對稱軸為：，當時，拋物線開口向上，拋物線上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，∵，是拋物線上的兩點，且對于，都有，∴；當時，拋物線的開口向下，拋物線上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越小，∵拋物線的對稱軸為直線，∴關于的對稱點為：，∵，是拋物線上的兩點，且對于，都有，∴，∴，綜上：或．5．(1)(2)【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，拋物線的對稱性，熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵：（1）根據(jù)對稱性，求出的值，根據(jù)頂點式的性質，求出頂點坐標即可；（2）設點關于對稱軸的對稱點為，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出，進而得到，增減性得到時，，待定系數(shù)法求出的值即可．【詳解】（1）解：，拋物線的頂點坐標為，，有該拋物線的頂點坐標為．（2）拋物線的對稱軸是直線，點在對稱軸的左側，點在對稱軸的右側，設點關于對稱軸的對稱點為，拋物線的對稱軸是直線，．點在對稱軸右側，且，當時，根據(jù)二次函數(shù)的性質，時，隨的增大而增大，．，．當時，．把代入函數(shù)表達式中，，．6．(1)(2)或【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．（1）令，求得，則該拋物線與軸交點坐標為；（2）根據(jù)題意得出且，求解即可．【詳解】（1）解：當時，則拋物線為．令，則，∴該拋物線與軸交點坐標為；（2）解：∵拋物線，對于，，都有，∴且，則，即，，解得：或；，即，，解得：或；綜上，或．7．(1)直線(2)或【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的性質成為解題的關鍵．（1）根據(jù)函數(shù)解析式確定對稱軸即可；（2）根據(jù)題意得出，再分兩種情況，分別求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)拋物線的解析式可得拋物線對稱軸為直線．（2）解：∵點，是拋物線上的兩點，，，又∵，，當時，又∵，，，，又∵，，；當時，又∵，，，，又∵，∴；綜上所述，a的取值范圍是或．8．(1)對稱軸為直線；(2)或【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)的性質等等．（1）利用軸對稱的性質求解即可；（2）直接代入得到整理得，推出或，再分別求解即可．【詳解】（1）解：∵，有，∴這兩點關于軸對稱，拋物線的對稱軸為直線；（2）解：∵，，又，∴，整理得，∴或，①若，即，∵，∴且，∴且，∴；②若，同理且，∴且，∴；綜上，或．9．(1)；(2)的取值范圍是或．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質，掌握分類討論思想成為解題的關鍵．（1）當時，拋物線，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質即可解答；（2）由二次函數(shù)的性質可得拋物線的對稱軸為，且．然后分和兩種情況，分別根據(jù)二次函數(shù)的性質求解即可．【詳解】（1）解：當時，拋物線．所以該拋物線的對稱軸為，即．（2）解：∵拋物線，∴拋物線的對稱軸為，且．當時，對于的每一個值，總存在，使得，，且成立；①若，此時，則當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減?。á。┊敃r，，成立．（ⅱ）當時，點關于對稱軸的對稱點為．．．當時，成立．（ⅲ）當時，不合題意，舍去．②若，此時，則當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大．滿足題意．綜上所述，的取值范圍是或．10．(1)(2)或【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)與不等式，掌握二次函數(shù)的圖象和性質是求解本題的關鍵．（1）由題意，根據(jù)，得出點關于直線對稱，再由中點坐標公式可得解．（2）根據(jù)題意得到即在時恒成立，分兩種情況當時，當時分別進行解答即可．【詳解】（1）解：當時，，對稱軸為直線∵，∴點關于直線對稱.∴，∵；（2）∵點是拋物線上的兩個不同點．∴，，∵當時，都有∴即在時恒成立，當時，不等式化簡為，則，解得，∴，解得，當時，不等式化簡為，解得或，∴，解得，∴，綜上可知，的取值范圍是或．11．(1)；(2)．【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，拋物線與軸的交點問題，掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．（1）拋物線過點，可知關于對稱軸對稱，即可求解；（2）設拋物線的對稱軸為，先求出的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)的增減性即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，∴關于對稱軸對稱，∴拋物線的對稱軸是．（2）解：設拋物線的對稱軸為，由題知，在的右側，在的左側，∵，存在，∴點到大于點到的距離，∴到的距離為：，點到的距離為：，∴，∴，∵，∴，∴，∴都在函數(shù)的左側，∴，∴拋物線開口向上，在對稱軸左側函數(shù)隨著的增大而減小，∵，∴．12．(1)(2)或【分析】本題主要考查二次函數(shù)綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質、解不等式等知識點是解題關鍵．（1）將二次函數(shù)一般式化為頂點式即可求出拋物線的頂點坐標；（2）由題意可分為當時及當時，兩種情況分類討論，求出實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）解：，∴拋物線的頂點坐標為．（2）解：拋物線對稱軸為，①若，則當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小，，，設點M關于對稱軸的對稱點為，則，，，（i）當時，有，，，符合題意；（ii）當時，令，，，，不符合題意；（iii）當時，令，，，不符合題意；②若，則當時，y隨x的增大而減小；當時，y隨x的增大而增大，（i）當時，令，，，，不符合題意；（ii）當時，令，，，