2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中卷(湘教版2019)

(考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：湘教版2019選擇性必修第二冊(cè)第一章至第二章。

5.難度系數(shù)：0.7。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.己知函數(shù)〃x)=3/'⑴X-/+1nx+；,則/⑴=()

A.1B.2C.；D.—

22

【答案】C

【詳解】因?yàn)椤o(wú))=3/'⑴尤-/+hu+g,

所以r(x)=3/(l)-2x+J

所以/，⑴=3/⑴-2+1,

所以/'(1)=]

故選：C

2.如圖所示，在三棱柱-44G中，M為4G的中點(diǎn).若方=原前=在，函=3,則兩可表示為

B.-ci—b+c

22

1一1一一

C.——a——b+cD.—a——b+c

2222

【答案】B

【詳解】在三棱柱ABC-4月G中，M為4G的中點(diǎn)，

BM=BB.+B^M=BB,+-B^A,+-B^C.=-BA+-BC+BB,=-a+-b+c.

111222222

故選:B

3.若直線y二?與曲線y=e2,相切，則。=()

A.2B.eC.2eD.e2

【答案】C

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為尸卜。1用),則對(duì)尸e2,求導(dǎo)有y'=2e2x,

故在P處切線的斜率為q=2e2'。，則由P在直線『=◎上可得e?'。=2/'。/，

解得x(,=g,故a=2e.

故選：C

4.若函數(shù)〃力=/一吐+1在［1,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的最大值為()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【詳解】/(x)=x2-alnx+l,求導(dǎo)得/，(X)=2X-￡,

由/(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增，^x>l,f'(x)>Ooa<2x2,

又當(dāng)xe［l,+8),2/22,則。42,

又a=2時(shí)，/''（%）=21一￡|20,〃%）在[1,+8）上單調(diào)遞增，

所以實(shí)數(shù)。的最大值為2.

故選：D.

5.如圖，在平行六面體/BCD-44G2中，以頂點(diǎn)/為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6,且它們彼此的夾角都是

60°,在下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.AQ=AB+AD+A^B.AC、=6屈

C.BD1AAtD,向量而與羽的夾角是60。

【答案】D

【詳解】對(duì)于A,在平行六面體中，根據(jù)向量加法的三角形法則，ACX=AB+BC+CCX,

由于數(shù)=7萬(wàn)，西=7彳，所以苑=萬(wàn)+25+刀"選項(xiàng)A正確.

對(duì)于B,已知以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6,且它們彼此的夾角都是60°.

AC,=AB+AD+AAt,貝I]|去"=+15+五。

=|A8|2+1ZD|2+1|2+2AB-AD+2AB-A^+2AD-Z^

=62+62+62+2x6x6xcos60+2x6x6xcos60+2x6x6xcos60

=3x36+3x2x6x6x；=216.所以||=6a,選項(xiàng)B正確.

對(duì)于C,而=而-萬(wàn)，BD-AAX={AD-AB}-AAX=AD-AAX-AB-AAt

=6x6xcos60°—6x6xcos60=0,

因?yàn)辂?7%=（）,所以50^/4,選項(xiàng)C正確.

對(duì)于D,B^C=BC-BBX=AD-AAX,設(shè)向量配與您的夾角為。

配.石=（詬_卸.而=疝五口誦2

=6x6xcos60-62=18—36=—18,

\B^C\=yl\J5^+\AA^-2AD-AA,

=V62+62-2X6X6XCOS60°=J36+36-36=6,

麻.麴-18_1

cos9=

I麻口怒I6^6--2

所以8=120°,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：D.

6.函數(shù)=的大致圖象是()

【詳解】解：/(x)=e'(2"l),定義域?yàn)閧x|xwl},

p（2x-l）+2e':］（x-l）-ex（2x-l）eT（2x2-3x）

=di

令_f(x)>0,得xe(f0)u]|■，+e],

令/(x)<0,得xe(0,l)u(l,|),

所以“X)在(-8,0)和上單調(diào)遞增，在(0,1),11,上單調(diào)遞減，排除A、C,

當(dāng)x<0時(shí)，2x-l<0,x-l<0,e'>0>所以/（x）>0,排除B,

只有D中圖象符合題意;

故選：D

7.已知函數(shù)/(x)=ae*--(aeR)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A?心]B.,，3C[o守D.收

【答案】A

2

【詳解】令/(》)=加工一/=0,可得"二，

ex

2

構(gòu)建g(x)=!?，

若函數(shù)y=/(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)，即y=g(x)與了=。有三個(gè)不同交點(diǎn)，

因?yàn)間，(x)=￡」，

令g'(x)>0,解得0cx<2；令g'(x)<0,解得xvO或x>2；

可知g(x)在(-叫0),(2,+")內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增，

則g(x)有極小值g(O)=O，極大值g⑵=|,

且當(dāng)X趨近于-CO,g(x)趨近于+8;當(dāng)X趨近于+s,g(x)趨近于0,

可得g(x)圖象，如圖所示:

由函數(shù)y=g(x)圖象可得0<。<4.

e

故選：A.

8.已知底面邊長(zhǎng)為。，高為Ga的正三棱柱43C-44G的頂點(diǎn)均在球。的表面上，則球心O到平面/AG

的距離為()

AV2RA/5「y/l5n

A.aD.aC.---aD.a

333015

【答案】C

【詳解】設(shè)A/BC外接圓圓心為E,△44。外接圓圓心為尸，則正三棱柱48c-44G的外接球球心。為

防中點(diǎn),

C

由題意，以。為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)椤?BC邊長(zhǎng)為。，高為Ga,

所以BD-a，故DE=—xa--a，

2326

,01,010,^,

~^,y/3a

6J

-a,y/3a,o\,BiCl--o--6------Q1

2''2J

設(shè)平面/4G的法向量為而=(x,y,z),

m-AC1=-ax+y/iay=0

則_—ay/3a令z=l,貝ijx=-獨(dú)尸-1,

m-C.=——x------z=0

1122

所以，平面44G的法向量為成=卜百J-1),

旦X1+苴

-73x0+

所以O(shè)到平面/8G的距離23

---------L=-----a

\m\J3+1+130

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知向量2=(14,T),b=(1,-1,1),則()

A.allb

B.同=網(wǎng)

C.向量或分的夾角的余弦值為-g

D.若向量比二（2,0,0）=%+誣（XJ為實(shí)數(shù)），則盯=-1

【答案】BC

11_1

【詳解】對(duì)于A,由:工吃二一，可知之與刃不共線，故A錯(cuò)誤；

1—11

對(duì)于B,由5=（11,—1）,6=（1-1,1）,可得同二|可=6，故B正確；

一/a-b-11

對(duì)于C,因小1-1，故3凡公府二員國(guó)=一3,故C正確；

對(duì)于D,由帚=Z+B且而=+,可得X=l,y=l,故肛=1,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.已知函數(shù)〃無(wú)）=加一3/+1-"，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若/（力的增區(qū)間為（TO）,則。=-2

B.若“X）在（0,2）上單調(diào)遞減，則0＜“41

C.若/（X）的極大值為0,則。=3

D.若a=l,則曲線.=/（x）的對(duì)稱中心為（1,-4）

【答案】ACD

【詳解】函數(shù)/（尤）=&一3/+1-,定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得：f'（x）^3ax2-6x^3x（ax-2）,

對(duì)于A,若/（無(wú)）的增區(qū)間為（TO）,則/'（x）=3x（辦-2）＞0的解集為

所以ax（-1）-2=0,解得〃=—2,正確；

對(duì)于B,若/（x）在（0,2）上單調(diào)遞減,則/3=3如-2）=0在（0,2）上恒成立,

a＞0

所以＜2或Q＜0,解得0＜。41或QVO,錯(cuò)誤；

2W一

、a

22

對(duì)于C,當(dāng)。＜0時(shí)，令/'（x）＞0得一＜x＜0,令/'（乃＜0得％＜—或x＞0,

aa

因此/（x）在（-8,2）,（0,+8）上單調(diào)遞減，在［2,o］上單調(diào)遞增，

ayaJ

3

所以函數(shù)〃x）在％=0處有極大值，則1--=0,解得。=3,與。＜0矛盾；

a

當(dāng)。>0時(shí)，令/'(幻<0得0<x<24,令/'(x)〉0得x<0或2

aa

因此〃x)在(-叫0),(2,+/)上單調(diào)遞增，在(0,2］上單調(diào)遞減，

ava)

,3

所以函數(shù)〃%)在％=0處有極大值，則1--=0,解得。=3,正確；

a

對(duì)于D,若Q=1,貝11/(%)二/一3%2一2,

因?yàn)椤▁)+〃2-x)=x3_3、2_2+(2_司3_3(2r)2_2=_8,

所以曲線歹=/("的對(duì)稱中心為(L-4),正確.

故選：ACD

11.函數(shù)/(司=^一生--1在(0,+8)上有唯一零點(diǎn)飛,則()

C.k=2D.k>2

【答案】AB

【詳解】由/"(x)=0得，xe*-(lnx+k)-x=0,即4=xe*—Inx—x=xe*-ln(xe"),

由題意得，直線y=左與函數(shù)丁二年工-足卜/卜工〉。)圖象有唯一交點(diǎn).

令“(X)=xe*(x>0),則“(x)=e*(x+l)>0,

u(x)在(0,+(?)上為增函數(shù)，則u(x)>w(0)=0.

令g(f)="hU(”0),貝母(/)=1,=」.

tt

當(dāng)fe(0,l)時(shí)，g'?)<0,g⑺為減函數(shù)，

當(dāng)/e(l,y)時(shí)，g'(/)>0,g?)為增函數(shù)，

?”(On1m=g(l)=l-lnl=l.

記〃(加)=me"‘=1,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)了=猶”-111卜6*)卜>0)在(0,加)上為減函數(shù)，在(加,+e)上

為增函數(shù)，且小"L

當(dāng)xrO時(shí)，yf+s,當(dāng)Xf+8時(shí)，yf+co,了=猶”一111何*)(%>0)的圖象如下:

???直線y=左與函數(shù)》=疑"—ln（%e，）（x>0）圖象有唯一交點(diǎn)，.?.后=1,選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤.

x

由分析得，x0=m,gpw（xo）=xoe°=1,選項(xiàng)A正確.

Ii/(l)=e>1,

u<i/(x)<w(l),

I0

由“（X）在（0,+8）上為增函數(shù)得:<Xo<1,選項(xiàng)B正確.

故選：AB.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

1jrjr

12.已知函數(shù)/(X)=DX-COSX,xe,則〃龍)的最小值為.

【答案】一口71

212

1I717171

【詳解】因?yàn)閥'=彳+sinx,令y'=0,可得sinx=-彳，而xe,

2222」6

所以，函數(shù)單調(diào)遞減一十/

xe/Uy>o,函數(shù)單調(diào)遞增,

711

所以戶-泮函數(shù)最小為值于

所以函數(shù)在無(wú)€1】謂］的最小值分別為一且兀

122」212

故答案為：一先」.

212

13.空間中4(l,0,0),8(0,l,0),C(l,l,2),D(0,0,l),E(l,a,b),其中a,beR,且DEL平面4BC,則a+6的值

為一

3

【答案】1/1.5

【詳解】因?yàn)椋??！?),5(0,1,O),C(1,1,2),。(0,0,1),,

所以荏=(-1,1,0),就=(0,1,2),歷=(1,見6-1),

設(shè)平面ABC的法向量為“2=(x/,z),

m-AB=-x+y=0

所以<令y=2,則無(wú)=2,z=_l,

m-AC=y+2z=0

所以蔡=(2,2,-1)

因?yàn)閆)E_L平面/8C,

所以瓦〃碗，^m=WE，(XwO),

4=24=2

所以"=2,解得a=l,

4(bT)=T-

I2

3

所以Q+6=],

3

故答案為：—.

14.已知〃力為實(shí)數(shù)，/(x)=(lnax-l)(e%-Z>),xG(0,+oo),若〃x)20恒成立，則ab的最小值為

【答案】e2

【詳解】依題意，函數(shù)了=lnG-l與>=e，-6在(0,+s)上單調(diào)遞增,

且函數(shù)V=lnax-l的值域?yàn)镽,Vx>0,不等式(inax-1乂e*-6)20恒成立,

當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù))=lnax-l與y=e、-6有相同的零點(diǎn)，因止匕6>0,

由Inux—1—0得1x=—,。>0,由e"-b=0得b=e",于是b=e。Q>0，

e“e

則成=ae了，。〉0,令一=，>0,

a

e"iez+1(Z-l)

g(/)=「g'(f)=^2

當(dāng)0<1<1時(shí)，g'⑺<0,當(dāng)t>l時(shí)，g'(/)〉0

因此函數(shù)g（。在（0,1）上遞減，在（1,+8）上遞增，

1e2

當(dāng)人時(shí),g（0mi?=^（）=>

從而得成的最小值為e?.

故答案為：e2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

15.（13分）已知函數(shù)/（x）=/—QX+21nx,其中a$R.

⑴若曲線V=/（x）在點(diǎn)（1J⑴）處的切線垂直于直線2%+尸0,求。的值；

⑵討論函數(shù)的單調(diào)性.

2

【詳解】（1）函數(shù)/（%）=工2一ax+21nx,求導(dǎo)得/'（%）=2、一。+—,（2分）

x

由曲線y=在點(diǎn)（1J（1））處的切線垂直于直線2x+y=0,得r（l）=2-a+2=g,（3分）

7

所以（4分）

+2

（2）函數(shù)八>）=/-"+21nx的定義域?yàn)椋?,+8）,f\x^—~-,（6分）

當(dāng)a40時(shí),/'（x）>0恒成立,函數(shù)/（x）在（0,+功上單調(diào)遞增；（7分）

當(dāng)。>0時(shí)，方程2/-辦+2=0中，△="一16,（8分）

若0<。44,則。VO,r（x）>0,函數(shù)/（x）在（0,+功上單調(diào)遞增；（9分）

若a>4,則A>0,關(guān)于x的方程2f_ax+2=0有兩個(gè)正根，毛=紇包近，包工，（11分）

1424

當(dāng)0<x<玉或X>X2時(shí)，/'（X）〉0;當(dāng)再<X</時(shí)，/'（%）<0，

因此函數(shù)“X）在。石）,（工2,3）上單調(diào)遞增，在（不々）上單調(diào)遞減，（12分）

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)/（X）的遞增區(qū)間是Q+8）；

當(dāng)。>4時(shí)，函數(shù)/（X）的遞增區(qū)間是0,佇f,”“：T6,+s,遞減區(qū)間是

44

\7\7

a—Ja~—16a+-16八

—44.⑴分）

16.（15分）如圖，在幾何體4BDC-431G中，平面4片￡〃平面四邊形44cq和/&X;是全等

的菱形，且平面4ZCG，平面/皿C,△同qG是正三角形，AB=2,NA/C=NB4C=60°.

(1)求該幾何體的體積；

(2)求平面AXABBX與平面B"夾角的余弦值.

【詳解】(1)取NC的中點(diǎn)0,連接4。，B0,

則40_L4C,BO±AC.(1分)

因?yàn)槠矫?ZCG~L平面N8DC,且交于NC,

所以4。，平面/ADC.(2分)

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0B，OC,西的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則/(0,-1,0),5(V3,0,0),C(0,l,0),。(6,2,0),4(0,0,6),5,(73,1,73),。(0,2，道).(4分)

連接BC.因?yàn)镾AABC=x2x2x=^3,OAX=V3,

所以JBC.ABC=.04=3.

因?yàn)榍岸?-6,1,0),=(0,1,73),

BC-BBt_1

所以cos〈能，函>=國(guó)畫|4

設(shè)平面48CG的法向量為為=(x/,z),

n?BC=-y/ix+y=0,ir\

則一「令X=l,得元=1,6,-1,（7分）

方出用=y+j3z=0,'）

因?yàn)辂?（0,-2,0）,

所以點(diǎn)。到平面48CG的距離d=半可=￥，（8分）

\n\V5

所以VD-B、BCC1=5s四邊形B|BCC1,d=2，

所以該幾何體的體積曠=%4G-/3C+VD—BIBCG=5.（9分）

（2）設(shè)平面4N34的法向量為萬(wàn)=（再,加zj,

因?yàn)榉?（6,1,0）,24；=（0,1,73）,

p?AB=VJx,+y,=0,l

所以1一r令%=1,則力=（1,一6,1）.（11分）

p?AA1=必+A/3Z]=0,

設(shè)平面耳G。的法向量為，=（%2，%/2）,

因?yàn)槎?（一右,1,0）,麗=（0,1,-6）,

所以「J二"所以4=（1,6,1）.（13分）

）出。=%—J3Z2=0,

設(shè)平面AXABBX與平面BGD的夾角為氏

則cos0=|cos{p,q)\=|,

所以平面耳與平面與G。夾角的余弦值為、(15分)

17.(15分)函數(shù)/(x)=lnx-ax(aeR),g(x)=^ax2-x.

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)。>0時(shí)，若不等式”x)+：Vg(x)恒成立，求。的取值范圍.

【詳解】(1)由題意得了'(》)=:一。=:竺，xe(O,+s),(2分)

當(dāng)a40時(shí)，貝U/(x)=T>0,.??/(x)在(0,奉⑹上單增,

???/(X)的遞增區(qū)間為(0,+8)；(4分)

當(dāng)a>0時(shí)，令/'(x)<0,貝i]x>」；令/'(x)>0,貝i]O<x<L.

aa

??j(x)的遞增區(qū)間為"￡|,遞減區(qū)間為1,+(!.(6分)

(2)當(dāng)Q〉0時(shí)，令〃(%)=g(x)—/(%)—；,X?0,+。)，

則/1（X）=ga/+（Qxe（0,+oo）,（8分）

72

由題意，得〃(力:20.(9分)

因?yàn)榱?(％)="+(。一1)一!=++("T)l=(辦-1>+1),(I。分)

XXX

令/z'(x)<0,貝!JO<x<L；令/z'(x)>0,貝

aa

在]0,￡|上遞減，在B，+J上遞增，(10分)

+lna>0（12分）

22a

=；-；+Ina在（0,+8）上遞增,

又/（1）=0,（13分）

/.6Z>1,

實(shí)數(shù)。的取值范圍為［1,+8).(15分)

18.(17分)如圖，在正三棱柱48C-4耳G中，BC=cq,M為C。的中點(diǎn).

(1)證明：/4，平面4人出；

⑵若點(diǎn)N為線段叫上一點(diǎn)，且直線與平面第四所成角的正弦值為嚕'

求平面MBN與平面AMB

夾角的余弦值.

【詳解】（1）取線段的中點(diǎn)。，連接OC,

在正三棱柱中，ZUBC為等邊三角形，且幺4,平面Z3C,

則OC（1分）

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，灰、OA＞石的方向分別為x、V、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

設(shè)5C=CG=2,貝/（0,1,0）、（0-1,2）,4（0,1,2）、5（0,-1,0）,

所以，慈=（0,-2,2）,54=（0,2,2）,W=（V3,1,1）,（3分）

所以，ABl-BAl=0-4+4=0,AB^BM=0-2+2=0,（4分）

所以，AB.LA.B,AB^IBM,（5分）

因?yàn)?Bn8M=8,4出、3Nu平面&BM,所以，/用J.平面48M.（6分）

（2）設(shè)點(diǎn)N（0,l,“），其中0W2,加=卜5^,1,a-1）,（7分）

由（1）可知，平面48M的一個(gè)法向量為福=（0,-2,2）,

因?yàn)榫€與平面4MB所成角的正弦值為嚕，

3^/34、

則*，（9分）

整理可得8a2-50a+23=0,即（2a-1）（4。-23）=0,

因?yàn)?WaV2,解得。=；,（11分）

則而=[一6,1,一g],W=（V3,1,1）,（12分）

設(shè)平面8MV的一個(gè)法向量為比=(x,y,z),

m-MN=-0x+y——z=0Ei取k1可得比=(mT)，(14分)

則2,可得.

m?BM=y/3x+y+z=0

一\AB^m10VlO

M4)=1---_________________—_________，(16分)

/1福卜網(wǎng)272x2754

所以，平面與平面4兒出夾角的余弦值為巫.(17分)

4

19.(17分)對(duì)于函數(shù)y=/(x),xel,若存在豌e/,使得/(Xo)=x°,則稱X。為函數(shù)/(X)的一階不動(dòng)點(diǎn);

若存在與€/,使得/(/(%))=%,則稱％為函數(shù)f(x)的二階不動(dòng)點(diǎn)，一階不動(dòng)點(diǎn)簡(jiǎn)稱不動(dòng)點(diǎn)，二階不動(dòng)點(diǎn)

也稱為穩(wěn)定點(diǎn).

(1)已知/(x)=2'+2x-3,求的不動(dòng)點(diǎn);

(2)已知函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)嚴(yán)格增，求證："升為函數(shù)/(無(wú))的不動(dòng)點(diǎn)”是“%為函數(shù)/(x)的穩(wěn)定點(diǎn)”的充分

必要條件；

21

⑶已知.>-1,討論函數(shù)/X=二向+a+1x——的穩(wěn)定點(diǎn)個(gè)數(shù).

ex

【詳解】(1)設(shè)g(x)=/(x)-x=2'+x-3,則g'(x)=2'ln2+l>0恒成立，

故函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，(1分)

又g⑴=0,故函數(shù)g(x)在R上有唯一零點(diǎn)，(23分)

即/(x)有唯一不動(dòng)點(diǎn)1.(3分)

(2)證明：充分性：設(shè)/為函數(shù)/(x)的不動(dòng)點(diǎn)，則/(%)=%，

則/(/(%))=/伉)=%,即%為函數(shù)〃尤)的穩(wěn)定點(diǎn)，充分性成立；(5分)

必要性：設(shè)/為函數(shù)〃x)的穩(wěn)定點(diǎn)，即/(〃%))=%.

假設(shè)/(%)=%，而“X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

若比>/，則/(>(%))=/(%)>/(%)=%>/，與/(>(%))=/矛盾;

若為<%,則/(/(/))=/(%)</(%)=%<x°,與/(/伉))=%矛盾；

故必有為=%,即/==/(%)=%=%

即/（xo）=%=Xo，故/為函數(shù)/（X）的不動(dòng)點(diǎn)，

綜上，“無(wú)。為函數(shù)/（無(wú)）的