微專題7帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)

EI知識(shí)聚焦

帶1.當(dāng)帶電粒子速度/方向與磁場B方向平行時(shí)--

電

粒勻速直線運(yùn)動(dòng)

子

在2.當(dāng)帶電粒子速度.-多解問題

磁qB

場-%方向與勻強(qiáng)磁場:、一一

丁2Fm

中8方向垂直時(shí)SqB臨界問題

的

運(yùn)

動(dòng)3.帶電粒子在直線邊界

L有界勻強(qiáng)磁場-r-諭縮同

-2多邊界

L旋轉(zhuǎn)圓

中的運(yùn)動(dòng)L3.弧(圓)形邊界刀公

EI核心精講

一、有界磁場中臨界問題解題方法

1.動(dòng)態(tài)放縮法

(1)適用條件：速度方向一定、大小不同

(2)特點(diǎn)：

①粒子源發(fā)射速度方向一定、大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓

周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨速度大小的變化而變化。

②軌跡圓圓心共線

如圖甲所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v越大，軌跡半徑也越大，可以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子

射入磁場后，它們運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線CO上。

(3)界定方法

以入射點(diǎn)。為定點(diǎn)，圓心位于直線CO上，將半徑放縮并作出軌跡，從而探索出臨界條件。

2.定圓旋轉(zhuǎn)法

(1)適用條件：速度大小一定、方向不同

⑵特點(diǎn)：

①粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓

2

周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若粒子入射初速度為w，由/03=等得圓周運(yùn)動(dòng)半徑半徑R不變。

RqB

②軌跡圓圓心共圓

如圖乙所示（圖中只畫出粒子帶正電的情景），帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以入射點(diǎn)O

為圓心、半徑的圓（這個(gè)圓在下面的敘述中稱為“軌跡圓心圓”）上。

（3）界定方法：

將半徑為7?=儂的圓的圓心沿著“軌跡圓心圓”平移，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“定圓旋

qB

轉(zhuǎn)法”。

二、磁聚焦與磁發(fā)散

1.帶電粒子的會(huì)聚

如圖丙所示，大量的同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場區(qū)域，如果軌跡圓半徑

與磁場圓半徑相等便=r），則所有的帶電粒子將從磁場圓的最低點(diǎn)8點(diǎn)射出。

2.帶電粒子的發(fā)散

如圖丁所示，有界圓形磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為團(tuán)圓心為O,從P點(diǎn)有大量質(zhì)量為機(jī)、電荷量為4的帶

正電粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場，不計(jì)粒子的重力，如果粒子軌跡圓半徑與

有界圓形磁場

半徑相等（尺=r），則所有粒子射出磁場的方向平行。

三、帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的多解問題成因

1.磁場方向不確定;

2.帶電粒子電性不確定;

3.速度不確定;

4.運(yùn)動(dòng)的周期性。

El高頻考點(diǎn)練

考點(diǎn)一帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)分析

1.（2024?廣西卷?5）0孫坐標(biāo)平面內(nèi)一有界勻強(qiáng)磁場區(qū)域如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3,方向垂直

紙面向里。質(zhì)量為小，電荷量為+q的粒子，以初速度v從。點(diǎn)沿x軸正向開始運(yùn)動(dòng)，粒子過y軸

時(shí)速度與y軸正向夾角為45。，交點(diǎn)為P。不計(jì)粒子重力，則P點(diǎn)至O點(diǎn)的距離為：

卜V

P

XXXXXX

B

XXXXVXX

XX。XXX

,mv

A.—B.—

qB2qB

「V2.mv

D0+三）市

2.（2024?遼寧遼陽市二模）如圖所示，空間存在范圍足夠大、沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場（圖中未畫出）,

一質(zhì)量為根、帶電荷量為-q（q>0）的帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)。沿y軸正方向以速度vo射出，帶電粒子

恰好經(jīng)過點(diǎn)A（〃，V3A）,不計(jì)粒子受到的重力及空氣阻力。

（1）（4分）求勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小E-,

（2）（4分）若將勻強(qiáng)電場換為垂直xQy平面向里的勻強(qiáng)磁場，帶電粒子仍恰好經(jīng)過A點(diǎn)，求勻強(qiáng)磁場

的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小及

3.（2024?重慶卷.14）有人設(shè)計(jì)了一粒子收集裝置。如圖所示，比荷為*的帶正電的粒子，由固定于〃

點(diǎn)的發(fā)射槍，以不同的速率射出后，沿射線方向運(yùn)動(dòng)，能收集各方向粒子的收集器固定在

上方的K點(diǎn)，O在上，且KO垂直于MN。若打開磁場開關(guān)，空間將充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3,

方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，速率為vo的粒子運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，打開磁場開關(guān)，該粒子全被收

集，不計(jì)粒子重力，忽略磁場突變的影響。

（1）（2分）求OK間的距離；

（2）（3分）速率為4團(tuán)的粒子射出瞬間打開磁場開關(guān)，該粒子仍被收集，求間的距離；

（3）（5分）速率為4no的粒子射出后，運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間再打開磁場開關(guān)，該粒子也能被收集。以粒子射

出的時(shí)刻為計(jì)時(shí)。點(diǎn)。求打開磁場的那一時(shí)刻。

【點(diǎn)撥?提煉】

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法

畫軌跡--**確定圓心O

.①軌道半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、運(yùn)動(dòng)速度相聯(lián)

系，即R嘴。

②由幾何方法------般由數(shù)學(xué)知識(shí)（勾股定

找聯(lián)系

理、三角函數(shù)等）來計(jì)算確定半徑。

③偏轉(zhuǎn)角度與圓心角、運(yùn)動(dòng)時(shí)間相聯(lián)系。

④粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間與周期相聯(lián)系。

牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律等，特別

（*L是周期公式、半徑公式。

考點(diǎn)二帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動(dòng)

4.（多選）（2024?四川眉山市模擬）如圖所示為某速度選擇器的主要工作區(qū)域，圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙

面向外的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），O點(diǎn)為磁場的圓心，水平虛線為圓的一條直徑。S點(diǎn)有一粒子發(fā)

射源能在紙面內(nèi)沿SO向外發(fā)射一系列比荷均為左的正粒子，M.N為水平虛線下方半圓的三等分

點(diǎn)，P為水平虛線下方半圓的一個(gè)四等分點(diǎn)。粒子發(fā)射速率為no時(shí)，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ft）

并從Af點(diǎn)離開磁場，粒子初速度范圍為（Mvo~lOvo,可連續(xù)變化，且不同速度的粒子數(shù)量相同。

下列說法正確的是：

：%O\

pV/

M-N

A磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為荒

B.從P點(diǎn)射出的粒子的速率為舊vosin22.5°

C.粒子的速度越小，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短

D.從弧射出的粒子數(shù)小于從弧MN射出的

5.（多選）（2024?安徽合肥市模擬）磁聚焦技術(shù)常用于電子透鏡等高科技儀器中，如圖所示，半徑為R

的半圓的圓心為O,AC為直徑，E為AO的中點(diǎn)，/為OC的中點(diǎn)，平行直線A3和CD與半圓圍

成的區(qū)域內(nèi)沒有磁場，成為電子的入射通道。入射通道的外側(cè)足夠大空間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)

磁場。平行電子束的速度方向與一致，速度大小為v,電子的質(zhì)量為相，電何量為e,這些電

子經(jīng)過磁場的偏轉(zhuǎn)后將會(huì)聚于一點(diǎn)。下列說法正確的是：

“

X，/E

/

O

XF

、

、

」

A.磁聚焦的會(huì)聚點(diǎn)為A點(diǎn)

B.要實(shí)現(xiàn)磁聚焦，磁感應(yīng)強(qiáng)度必須

eR

C.經(jīng)過E點(diǎn)的電子在磁場中運(yùn)動(dòng)”的時(shí)間后到達(dá)會(huì)聚點(diǎn)

3v

D.經(jīng)過/點(diǎn)的電子在磁場中運(yùn)動(dòng)辿的時(shí)間后到達(dá)會(huì)聚點(diǎn)

【點(diǎn)撥?提煉】

1.處理動(dòng)態(tài)圓問題首先要明確題目中是放縮圓還是旋轉(zhuǎn)圓。

2.對(duì)于磁聚焦和磁發(fā)散問題可以理解為旋轉(zhuǎn)圓問題，即以會(huì)聚點(diǎn)為定點(diǎn)，以磁場區(qū)域半徑為半徑的旋

轉(zhuǎn)圓問題。

考點(diǎn)三帶電粒子在有界磁場中的臨界和多解問題

6.（多選）（2024.江西上饒市模擬）如圖所示的等腰梯形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫

出），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3,等腰梯形中NP=45。，PQ=2MN=4L,一帶電粒子由Af點(diǎn)垂直PW射入

勻強(qiáng)磁場，帶電粒子剛好不從PQ邊界射出磁場，已知粒子的比荷為匕粒子的重力忽略不計(jì)。則

下列說法正確的是：

A.粒子的軌道半徑可能為（2+VI）L

B.粒子的速度一定為（2-J^）8H

C.粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能小于三

2kB

D.粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一定為:

7.（2024?山東省模擬）如圖所示，在直線邊界MNPQ的上方存在垂直紙面向里磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B

的勻強(qiáng)磁場，A點(diǎn)在PQ上?，F(xiàn)從A點(diǎn)垂直PQ在紙面內(nèi)向上發(fā)射速度大小不同、質(zhì)量均為根、電

荷量均為q（q>0）的粒子，已知PN=a,不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用，則粒子在

磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為：

XX^

XXXx

MZX/X

A--

Q

7urn4nmbum

B.-----C.-----D.-----

6qB3qB3qB

El補(bǔ)償強(qiáng)化練

1.（多選）（2024?廣西柳州市三模）如圖所示，上方存在勻強(qiáng)磁場，同種粒子a、b從O點(diǎn)射入勻強(qiáng)

磁場中，兩粒子的入射方向與磁場邊界的夾角分別為30。和60。，且均由P點(diǎn)射出磁場，則a、

b兩粒子：

XXXXXXX

L』

、

XXXX、XX

>xc\

XXX\X

x

X'

XxXX

bXx;!

a義

慮/XxX

/、乂

\，

8()Xx，X

o尸N

A7

A.運(yùn)動(dòng)半徑之比為,：1B.初速率之比為1：V3

C.運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為5：2D.運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為6：5

2.（多選）（2023?湖南岳陽市三模）如圖，長度為a的豎直薄擋板處在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場中

（磁場空間足夠大，圖中未畫出），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3。擋板左側(cè)O點(diǎn)有一粒子源在紙面內(nèi)向各方

向均勻發(fā)射電荷量為+4、質(zhì)量為根的帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知圖中初速度與

ON夾角為60。發(fā)射的粒子恰好經(jīng)過N點(diǎn)，ON用a,ONLMN。不計(jì)粒子重力，不考慮粒子的反

彈和粒子間的相互作用。貝心

O\V-------?N

\60°

A.粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為條

B.擋板左側(cè)能被粒子擊中的豎直長度為。

c.能擊中擋板右側(cè)的粒子數(shù)占粒子總數(shù)的;

6

D.擋板右側(cè)能被粒子擊中的豎直長度為。

3.（2024?湖北卷-7）如圖所示，在以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁

場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為瓦圓形區(qū)域外有大小相等、方向相反、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場。一質(zhì)量

為機(jī)、電荷量為q（q>0）的帶電粒子沿直徑AC方向從A點(diǎn)射入圓形區(qū)域。不計(jì)重力，下列說法正

確的是：

A.粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可能經(jīng)過。點(diǎn)

B.粒子射出圓形區(qū)域時(shí)的速度方向不一定沿該區(qū)域的半徑方向

C.粒子連續(xù)兩次由A點(diǎn)沿AC方向射入圓形區(qū)域的最小時(shí)間間隔為厘

3qB

D.若粒子從A點(diǎn)射入到從C點(diǎn)射出圓形區(qū)域用時(shí)最短，粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為或避

3m

4.（2024.天津市河西區(qū)三模）一種圓柱形粒子探測(cè)裝置的橫截面如圖所示，內(nèi)圓區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向

里的勻強(qiáng)磁場，外圓是探測(cè)器，和分別為內(nèi)圓的兩條相互垂直的直徑，兩個(gè)粒子先后從P

點(diǎn)沿射入磁場。粒子1經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后打在探測(cè)器上的Q點(diǎn)，粒子2經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后從磁場邊界

C點(diǎn)離開，最后打在探測(cè)器上的N點(diǎn)，PC圓弧恰好為內(nèi)圓周長的三分之一，粒子2在磁場中運(yùn)動(dòng)

的時(shí)間為上裝置內(nèi)部為真空狀態(tài)，忽略粒子所受重力及粒子間相互作用力。求：

金粒引

Q

（1）（2分）粒子1在P點(diǎn)的受力方向和電性；

（2）（3分）若兩粒子的入射速率相等，比較粒子1與粒子2的比荷大??；

（3）（5分）改變粒子2入射方向，速率變?yōu)樵瓉淼捏?，則粒子2在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間。

答案精析

高頻考點(diǎn)練

1.C［粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

在磁場中，根據(jù)洛倫茲力提供向心力有q4=槨，

可得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑T,

根據(jù)幾何關(guān)系可得P點(diǎn)至。點(diǎn)的距離小。寸+七=（1+四）黃，故選C。］

2?⑴瞎⑵黑

解析（1）由題意可知，帶電粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)經(jīng)過A點(diǎn)，粒子加速度為

m

由類平拋知識(shí)可知y=V3h=vot

x=h=-at2

2

聯(lián)立解得必陪

2

（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力,結(jié)合幾何關(guān)系有"03=冽子

(V3/Z)2+(/?-/Z)2=7?2

聯(lián)立解得5嗡。

2⑴2nw()2V3mv0

?(qBqB

解析（1）當(dāng)粒子到達(dá)。點(diǎn)時(shí)打開磁場開關(guān)，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)軌跡半徑為n,如圖中①所

示

由洛倫茲力提供向心力得

v2

qvoB=m-^-

其中0拄2廠1=網(wǎng)型

qB

(2)速率為4w)的粒子射出瞬間打開磁場開關(guān)，則該粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑

n—4n

如圖中②所示，由幾何關(guān)系有

(4n-2n)2+MO2=(4n)2

解得衛(wèi)皿

qB

(3)設(shè)速率為4Vo的粒子射出一段時(shí)間?到達(dá)N點(diǎn)時(shí)打開磁場開關(guān)，要使粒子仍然經(jīng)過K點(diǎn)，則N

點(diǎn)在。點(diǎn)右側(cè)，如圖中③所示

由幾何關(guān)系有

(4n-2ri)2+(9^2=(4n)2

解得ON=2V^尸出理

qB

粒子在打開磁場開關(guān)前運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

MO+ON

t=-----------

4%

解得仁回。

qB

4.AD［當(dāng)粒子從M點(diǎn)離開磁場時(shí)，軌跡如圖所示，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為to=^—,所以

360qB

，故人正確；當(dāng)粒子從〃點(diǎn)射出時(shí)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力qV0B=n^,土tan30°,

3Qtg3fctg丁1R

2_

當(dāng)粒子從P點(diǎn)射出時(shí)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力引1=加工,>tan22.5°,聯(lián)立解得巧=V^otan

丁2A

22.5°，故B錯(cuò)誤；粒子的速度越小，軌跡半徑越小，圓心角越大，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長，

2

故C錯(cuò)誤；若粒子從N點(diǎn)射出,則qv2B=4,Jtan60°,所以v2=3vo,從弧SAf射出的粒子的

丁3R

速度大小為O.IVOTO,從弧AfN射出的粒子速度大小為vo~3vo,由此可知，從弧SM射出的粒子數(shù)

小于從弧MN射出的粒子數(shù)，故D正確。］

5.AB［根據(jù)磁聚焦原理結(jié)合左手定則可知，磁聚焦的會(huì)聚點(diǎn)為A點(diǎn)，故A正確；要實(shí)現(xiàn)磁聚焦，

2

軌跡圓的半徑與區(qū)域圓的半徑相等，由,解得8=詈，故B正確；經(jīng)過E點(diǎn)的電子在磁

場中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，01=60°,軌跡的圓心角為300。=|兀，經(jīng)過E點(diǎn)的電子在磁場中運(yùn)動(dòng)

5

/尸二><9=辿后到達(dá)會(huì)聚點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；經(jīng)過廠點(diǎn)的電子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示,仇=120。,

2TIv3v

4

軌跡的圓心角為240。=黑，經(jīng)過/點(diǎn)的電子在磁場中運(yùn)動(dòng)/2=^x空也陋后到達(dá)會(huì)聚點(diǎn)，故D錯(cuò)

32ITv3v

誤。］

甲

6.AC［若粒子帶正電，粒子的軌跡如圖中軌跡1所示，設(shè)粒子的軌道半徑為Ry,由幾何關(guān)系得

OiP+OiM=y/2L,即/小+尺產(chǎn)魚乙,解得Ri=(2-a)L,根據(jù)洛倫茲力提供向心力qviB=rr^,解得

vi=(2-V2)B^L,粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)周期為7=署=魯，粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度為180°,則粒子

在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為Zi=|=^；若粒子帶負(fù)電,粒子的軌跡如圖中2所示,軌跡與上邊界PQ相

2

切,設(shè)粒子的軌道半徑為Ri,由幾何關(guān)系得及=/(凡區(qū)),解得及=(2+/江,qv2B=4,解得

R2

v尸Q+也BkL,粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度為45°，小于90。,則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為念小于

白，故選A、C。］

7.C［根據(jù)題意可知，當(dāng)粒子由N點(diǎn)飛出時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)粒子做圓

周運(yùn)動(dòng)的半徑為R,由幾何關(guān)系有&-(舊a-R)2=",解得氏上紇，由cosNPON=^U,聯(lián)立解得

3R

cosZPON=l,則NPON=6。。,則粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為匚煞督=黑，故選C。］

XXXxXX產(chǎn)

XxxyTxXX

XXX,XXXXX]XX

xxxax汗。AQ

XXXX*/

MN

補(bǔ)償強(qiáng)化練

1.AC［設(shè)OP=2d,則由幾何關(guān)系可知n=-^—=2d,年,可知a、b的運(yùn)動(dòng)半徑之比為8：

sin30°sin60°V3

1,選項(xiàng)A正確；根據(jù)qvB=n^,可得v=^-r,初速率之比為,：1,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)

Vm

T=—,t=—T^3,a、b兩粒子轉(zhuǎn)過的角度之比為300°：120°=5：2,則運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為5：2,選

qB2TI

項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。］

2.CD［如圖中軌跡1,

由幾何關(guān)系可知

2Rsin60°=V3c?

可得R=a,故A錯(cuò)誤；

當(dāng)軌跡剛好與MN相切時(shí)，粒子打到擋板左側(cè)的位置最高,如圖中軌跡2,設(shè)初速度方向與ON夾

角為0,由幾何關(guān)系可得Rsind+R=V^z

可得sin0=V3-1

則擋板左側(cè)能被粒子擊中的豎直長度為

Reos0=aj2V3-3,故B錯(cuò)誤；

要使粒子打在擋板右側(cè)，有