熱點題型?選填題攻略

專題03抽象函數(shù)的定義域、求值、解析式、單調(diào)性、奇偶性

的應(yīng)用

o------------題型歸納?定方向----------?>

目錄

題型01抽象函數(shù)的定義域.......................................................................1

題型02抽象函數(shù)求值...........................................................................2

題型03抽象函數(shù)的解析式.......................................................................3

題型04抽象函數(shù)的單調(diào)性.......................................................................5

題型05抽象函數(shù)的奇偶性.......................................................................7

?>----------題型探析,明規(guī)律-----------?>

題型01抽象函數(shù)的定義域

【解題規(guī)律?提分快招】

抽象函數(shù)定義域的確定

所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是

注意對應(yīng)法則。在同一對應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致

的，都在同一取值范圍內(nèi)。

抽象函數(shù)的定義域的求法

(1)若已知函數(shù)/(x)的定義域為[a,b],則復(fù)合函數(shù)/(g(x))的定義域由a空(x)@求出.

⑵若已知函數(shù)/(g(x))的定義域為[a,b],則/(x)的定義域為g(x)在加時的值域.

注：求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用

集合或區(qū)間來表示.

【典例訓練】

一、單選題

1.(24-25高三上?貴州六盤水?期末)已知函數(shù)的定義域為[-1,3],則函數(shù)/(2x-1)的定義域為()

A.[-3,5]B.[-1,1]C.[0,4]D.[0,2]

已知函數(shù)y=/（3x+2）的定義域為則函數(shù)y=冷的定義域為

2.（24-25高三上?陜西咸陽?期中）

()

A.（1,5]B.[1,5]C.[-1,1]D.（2,5]

3.（24-25高三上?云南昆明?期中）已知函數(shù)〃x-3）的定義域是卜2,4],則函數(shù)〃2工-1）的定義域是（）

A.B.[―5,7]C.[—9,1]D.[—2,1]

4.（24-25高三上?上海?階段練習）已知函數(shù)的定義域為[0,3],則函數(shù)/（2工-1）的定義域為（）.

A.[1,4]B.[0,2]C.[0,4]D.[1,2]

5.（24-25高三上?陜西咸陽?階段練習）已知函數(shù)/（x-l）的定義域為（-8,3],則函數(shù)/[工J定義域為（）

A.[1,2]B.[1,2)

C.(-co,+8)D.(-w,l]U(2,+(?)

題型02抽象函數(shù)求值

【解題規(guī)律?提分快招】

一般采用賦值法，0』，尤,-尤是常見的賦值手段

【典例訓練】

一、單選題

1.（24-25高三上?福建泉州?階段練習）若對任意的x,yeR,函數(shù)滿足=+則/⑴=

()

A.6B.4C.2D.0

2.（24-25高三上?廣東深圳?期中）已知函數(shù)/（%）的定義域為（。,+8）,Vx,ye（0,+o））,都有

U=/(x)-/(y)+l,且=則/(512)=()

A.-6B.-7C.-8D.-9

3.（24-25高三上?廣東江門?階段練習）函數(shù)/（x）滿足對任意的實數(shù)無,＞，均有/(x-y)"(y)=/(x)w0,

且了⑴=；，/(2)1/(3)?/(4)??“2025).

)

/(I)/(2)/(3)/(2024)一

A.1014B.1012C.2024D.2025

4.（24-25高三上?山東濰坊?期中）已知定義在R上的函數(shù)〃%）滿足"％-y+1）-〃%+y+l）=〃%）〃y）,

且/(1)=2,則/(2)+/(3)+/(4)=()

A.2B.0C.-2D.-4

5.(24-25高三上?黑龍江?階段練習)已知“X)是定義在R上的函數(shù)，且〃龍+1)-/(力=1+〃尤+1)〃力,

"1)=2,貝1]〃2024)=()

A.-2B.-3C.-D.1

32

6.(24-25高三上?湖南?階段練習)定義在(0,+")上的函數(shù)滿足條件①Vxe(O,”)，〃工)片0,②

VX,JG(0,-KO),/(xy)=1/(x)/(y),仆+N)=：])，則的值為()

題型03抽象函數(shù)的解析式

【解題規(guī)律?提分快招】

抽象函數(shù)的模型

【反比例函數(shù)模型】

反比例函數(shù)：小+.前管，則/"邛，卜)均不列

【一次函數(shù)模型】

模型1：若/(X土y)=/(x)±/(y),則=/⑴X；

模型2：若/(x±y)=/(x)±/(y),則/(幻為奇函數(shù)；

模型3：若于(x+y)=/(型+/(y)+m,則f(x)=[/(1)+m\x-m；

模型4：若/(%-y)=f(x)-f(y)+私則模型="⑴一河x+m；

【指數(shù)函數(shù)模型】

模型1：若/(x+y)=/(%)/(?則"X)="⑴]'；/U)>0

模型2：若/(尤7)=04,則F(x)=[/W；/W>0

f(y)

模型3：若f(x+y)=,則于。)=[，⑴向；

m

模型4：若/(x-y)=m~~，則/(x)=m'°)；

/(y)Lm

【對數(shù)函數(shù)模型】

模型1：若/(x")=W(x),貝！|/(x)=/(a)logaX(a>CLS.wL%>0)

模型2：若/(取)=/(%)+/(y),則/(x)=/(a)log“x(a>(LliLwLx,y>0)

Y

模型3：若/(])=/(%)—/(>),則/0)=/(。)108°%(。>0且/1,羽丁>0)

模型4：若/(知)=/(x)+/(y)+m,則/(x)=[/(a)+加]log°x—加(a>0且一l,x,y>0)

模型5：若/(二)=/(x)—/(y)+〃z,則/(x)=[〃a)-/"]log“x+Ma>(KwL],y>0)

【幕函數(shù)模型】

模型1：若/(取)=/(%)/(丁)，則/(%)=/(。產(chǎn)、(。>0且wl)

模型2：若/申=緇，則〃x)=〃a產(chǎn)”(。>。且工1，"。，/320)

代入則可化簡為累函數(shù)；

【余弦函數(shù)模型】

模型1：f(x+y)+f(x-y)=2/(x)/(y)(/(x)^[H^J0),則/(x)=coswx

模型2：若/(x)+/(y)=2/(W4/■(三馬(/⑴不恒為0),貝」a)=coswx

【正切函數(shù)模型】

模型：若/(X土y)=譽:霽(/W3豐1)，則/(xQtanwx

1+JVX)JJ

一2

模型3：若/(x+y)+/(x—y)=4(x)/(y)(/(x"P^M)),則/(x)=%coswx

K

【典例訓練】

一、填空題

1.(23-24高三上.江西南昌?階段練習)已知函數(shù)“X)滿足〃x+2)=〃x)+l,則〃x)的解析式可以是一

(寫出滿足條件的一個解析式即可).

2.(23-24高三上?遼寧遼陽?期中)已知“X)是定義在(。,+e)上的單調(diào)函數(shù)，且以e(0,-),

/=⑴-《)=6,貝1]/(100)=.

3.(23-24高三上?湖北?期末)函數(shù)〃x)滿足/(x)+U=。，請寫出一個符合題意的函數(shù)〃x)的解析

式.

4.(24-25高三上?北京?期中)寫出同時滿足以下兩個條件的一個函數(shù)/(%)=—.

①Vx,yeR,/(xy)=/(x)/(y).

②Vx,'<0,+?)且中>,

5.(2025高三?全國?專題練習)設(shè)是定義在R上的函數(shù)，且滿足對任意x,九等式

/(2y-力=-2/(x)+3y(4x-y+3)恒成立，則”尤)的解析式為.

6.(23-24高三上.浙江杭州?期末)寫出一個同時具有性質(zhì)①對任意。<花<9，都有/'(不)>/(%)；②

f(xy)=/(x)/(y)的函數(shù)〃x)=.

7.(23-24高三上海南?？?期末)已知函數(shù)八%)的定義域為區(qū),且/(彳+,)+/(》7)=2〃力/(日，〃0)=1,

請寫出滿足條件的一個/(尤)=(答案不唯一).

8.(2024.陜西銅川.三模)已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，且/(x+1)為奇函數(shù)，寫出函數(shù)/(X)的

一個解析式為〃x)=.

題型04抽象函數(shù)的單調(diào)性

【解題規(guī)律?提分快招】

抽象函數(shù)的性質(zhì)

1.周期性：f(x+a)=f(x)=>T=a；f(x+a)=-f(x)=>T=2a；

/(x+a)==T=2a；(左為常數(shù))；f(x+a)=f(x+b)=^T=|a-/?|

J\x)

2.對稱性：

對稱軸：f(a-x)=/>(a+x)或者f(2a-x)=/(x)nf(x)關(guān)于x=a對稱；

對稱中心：f(a-x)+f(a+x)=2bf(2a-x)+f[x)=2bn/(x)關(guān)于(a,b)對稱;

3.如果/'(x)同時關(guān)于x=a對稱，又關(guān)于(b,c)對稱，則/'(x)的周期T=|a—4

4.單調(diào)性與對稱性(或奇偶性)結(jié)合解不等式問題

①/'(X)在R上是奇函數(shù)，且/'(X)單調(diào)遞增n若解不等式/(%1)+/(%2)>0,則有

%1+X2>0;

f(x)在R上是奇函數(shù)，且/'(x)單調(diào)遞減n若解不等式/(%；)+/(%2)>0,則有

再+/<°；

②f(x)在R上是偶函數(shù)，且/'(x)在(0,”)單調(diào)遞增n若解不等式/(%1)>則有國>同(不

變號加絕對值)；

y(x)在R上是偶函數(shù)，且/'(x)在(0,內(nèi))單調(diào)遞減n若解不等式/(%1)>/(x2),則有閭<岡(變號

加絕對值)；

③/'(x)關(guān)于(。乃)對稱，且/>(X)單調(diào)遞增n若解不等式/(XJ+/(X2)>2&,則有

再+工2>2。；

y(x)關(guān)于對稱，且/>(X)單調(diào)遞減n若解不等式/(X1)+/(X2)>2Z?,則有

%]+九2<2〃；

④/(X)關(guān)于X=a對稱，且f(x)在(a,4w)單調(diào)遞增n若解不等式/(再)>/'卜)，則有歸—a|>|x2-a|

(不變號加絕對值)；

/(X)關(guān)于x=a對稱，且/'(x)在(a,+8)單調(diào)遞減n若解不等式/(x1)>/(x2),則有,—《<卜一

(不變號加絕對值)；

【典例訓練】

1.(24-25高三上?河北石家莊?階段練習)已知是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且

〃尤)+g(x)=q二+2/一3,則不等式〃3—2x)>/(x+2)的解集是()

兒[得B."C.U(iD.

2.(湖北省武漢市問津教育聯(lián)合體2024-2025學年高三上學期12月月考數(shù)學試題)已知函數(shù)/(x)是定義在

[T4]上的偶函數(shù)，在[yo]上單調(diào)遞增.若/■(x+l)<〃-2),則實數(shù)尤的取值范圍是()

A.(^o,-3)U(l,+oo)B.(-3,1)C.[-3,1)U(3,5]D.[-5,-3)U(l,3]

3.(24-25高三上?福建泉州?期中)已知函數(shù)/(x)=ei—e3T+x,則滿足〃2加-2)+〃加-1)>6的實數(shù)加

的取值范圍是()

A.緊)B.[|,+8

C.D.(3,+oo)

4.(23-24高三上.浙江杭州.期末)若定義在R上的奇函數(shù)/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，且/(3)=0,則滿足

4(x-2”。的天的取值范圍是()

A.[-l,0]U[5,+?)B.[-2,-l]U[0,5]

C.[-2,0]U[5,+a))D.[-l,0]U[2,5]

5.(24-25高三上?河北邢臺?期末)已知函數(shù)是定義在R上的減函數(shù)，且為奇函數(shù)，對任意

的。目-2,3],不等式〃4—)+/(/一1卜4恒成立，則實數(shù)f的取值范圍是()

6.(24-25高三上?甘肅天水?期末)函數(shù)“X)的定義域為。，若對于任意的王,當國〈龍2時，都有

)(%)4/(9),則稱函數(shù)在。上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)在[0』上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件:

①〃0)=0；②=③=l-.則/,]+[1等于()

A.—B.—C.—D.-

1282565124

7.(24-25高三上?江蘇?期末)已知“X)是定義在R上的偶函數(shù)，若%,當＜0,笆)且再彳々時,

>3(司+々)恒成立,41)=3,則滿足了(/+尤卜3(/+村的實數(shù)x的取值范圍為()

-1-y/s—1+5/5r-I—1+5/5r-I

A.二一，1—B.[-1,1]C.0，1—D.[0,1]

題型05抽象函數(shù)的奇偶性

【典例訓練】

1.(24-25高三上?江蘇揚州?期中)已知函數(shù)y=〃x)對任意實數(shù)x,y都滿足

2/(x)f(y)=/(x+y)+f(x-y),且/⑴=-1,〃0)口0,則函數(shù)“力是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.既奇又偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)

2.(24-25高三上?山東濟寧?期中)已知函數(shù)〃x)的定義域為R,滿足〃x+y)-"(尤)+〃y)]=2024,則

下列說法正確的是()

A./(x)是偶函數(shù)B./(尤)是奇函數(shù)

C./(x)+2024是奇函數(shù)D./(力+2024是偶函數(shù)

3.已知對任意x,yeR,都有/(“+/(丫)=2/('口(牙)，且/■⑼W0,那么()

A.是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

C.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)D.是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)

4.(23-24高三下?河南洛陽?期末)已知函數(shù)“X)的定義域為R,f(a)f(b)-f(a)=ab-b,貝I]()

A.40)=0B.41)=2C.〃同一1為偶函數(shù)D.〃尤)-1為奇函數(shù)

5.(多選)(24-25高三上?廣東?階段練習)已知函數(shù)“X)滿足/(x+l)〃y+l)=〃x)〃y)+/(x)+〃y)+l,

且/(0)=0,/(1)>0,則()

A.f(-l)=-lB./(^+l)=/(x)+l

C.不可能是奇函數(shù)D.在［0』上單調(diào)遞增

6.(24-25高三上?安徽宿州?期中)己知定義在(-8,0)U(。，+s)上的函數(shù)〃x),滿足〃w)+2="x)+"y),

且當尤>1時，/(x)>2,則下列說法錯誤的是()

A."-1)=2B./(尤)為偶函數(shù)

C.f(-2025)</(-2024)D.若/(x+2)<2,則—3<x<—l

o-----------題型通關(guān)?沖高考-----------?>

一、單選題

1.(2024.山西.一模)己知函數(shù)"尤)是定義在｛x|"0｝上不恒為零的函數(shù)，若〃⑹=羋+^^，則()

A.f(l)=lB.=1

C./(X)為偶函數(shù)D.f(x)為奇函數(shù)

3?.

2.(24-25高三上?遼寧丹東?期中)已知函數(shù)〃同=(尤.2?+1，對于任意的，er[T，2],不等式

〃2f)+〃a+r)42恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-co,-2]B.(f,-10]C.[-3,+oo)D.[7,+co)

3.(2024?河南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)的定義域為R,對于任意實數(shù)x,y滿足

f^+y)+f(x-y)=f(x)f(y),且/(1)=1,則下列結(jié)論錯誤的是()

A./(O)=2B.〃尤)為偶函數(shù)

C./(X)為奇函數(shù)D.〃2)=-1

4.(24-25高三上?天津北辰?階段練習汨知“X)為R上的奇函數(shù)，〃2)=2,若對V%,9e他,+CO),當外>/

時，都有(西則不等式(x+l)/(x+l)>4的解集為()

A.(-3,1)B.(-3,-l)U(-l,l)C.D.(f,—3)U(l,+8)

5.(24-25高三上.河南駐馬店.期末)設(shè)函數(shù)〃x)=ln(l+W)則使〃x)<〃2x-1)成立的龍的范圍

是()

-00,jo(l,+00)

B.

6.(23-24高三下?黑龍江大慶?開學考試)已知函數(shù)〃x)的定義域為R,且/0,若

f(x+y)+/(x)/(y)=4肛，則下列結(jié)論錯誤的是()

A.OB.叫=-2

C.函數(shù)/卜-￡|是偶函數(shù)D.函數(shù)/1+是減函數(shù)

7.(24-25高三上?新疆?階段練習)已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足〃x+y)</(x)+/(y)-1,且當x>0時,

/(%)<1,設(shè)a=/(e'-l),人=/(1!1(尤+1)),則()

A.a>bB.a<bC.a>bD.a<b

8.(2024.遼寧撫順.一模)已知定義域為｛尤|XRO｝的函數(shù)滿足〃x+y)"(x)+/(y)]=/(x)〃y),

f(l)=2,且當無?0,內(nèi))時，〃x)>0恒成立，則下列結(jié)論正確的是()

A.H=6B./(2x)=2/(x)

C.為奇函數(shù)D.〃尤)在區(qū)間(。,+巧是單調(diào)遞增函數(shù)

二、多選題

9.(24-25高三上?江蘇常州?階段練習)已知函數(shù)/(元)的定義域為R,對任意的實數(shù)x,y滿足

/(x+y)=/(x)+/(y)+l,且/(1)=0,則下列結(jié)論正確的是()

A./(0)=-1B./(-1)=-2

C.為R上的減函數(shù)D./(刈+1為奇函數(shù)

10.(24-25高三上?河北滄州?階段練習)已知定義在(F,O)U(O，Y)上的函數(shù)/(尤)滿足

且當cl時，f(x)<0,則下列結(jié)論正確的是()

A./(X)是偶函數(shù)B./W+/Q)=0

C.〃4)+〃6)=2〃助D.〃x)在(-8,0)上單調(diào)遞增

11.(24-25高三上?遼寧大連?階段練習)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且若對都有

/(x+y)+/(x)/(y)=16xy,則()

2

C.函數(shù)/為奇函數(shù)D.函數(shù)為增函數(shù)

12.(24-25高三上?江蘇泰州?階段練習)已知函數(shù)的定義域為(e,O)U(O，—)，

+=且當尤<0時，fW<0；當北1時，“X)單調(diào)遞增，則()

A.f(l)=2B./W+/Q)=0

C.是奇函數(shù)D./(X2)>2(/(X)-1)

13.(24-25高三上?江蘇?階段練習)歐拉對函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻，除特殊符號、概念名稱的界定外,

歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，下面對于定義在R上的函數(shù)y=f(x),滿足Vx,yeR,有

/(x+y)=/(x-y)+2/(y)co&x,則下面判斷一定正確的是()

A.4兀是“尤)的一個周期B.“X)是奇函數(shù)

C.是偶函數(shù)D.f(x)=f^\sinx

三、填空題

14.(23-24高三上?江蘇揚州?開學考試)寫出滿足/(x-y)=/(x)+/(y)-2初的函數(shù)的解析式________

15.(22-23高三上?河南?開學考試)已知函數(shù)/(無)滿足：①對Vm,n>0,f(m)+fQn)=f(nm);②

=T.請寫出一個符合上述條件的函數(shù)/(x)=.

16.(22-23高三上?河南開封?階段練習)已知函數(shù)/'(X)為定義在R上的函數(shù)滿足以下兩個條件：

(1)對于任意的實數(shù)無，y恒有/(x+y)=/(x)+/(y)+l；

(2)〃x)在R上單調(diào)遞減.

請寫出滿足條件的一個〃尤)=.

熱點題型?選填題攻略

專題03抽象函數(shù)的定義域、求值、解析式、單調(diào)性、奇偶性

的應(yīng)用

*>-----------題型歸納?定方向-----------*>

目錄(Ctrl并單擊鼠標可跟蹤鏈接)

題型01抽象函數(shù)的定義域......................................................................11

題型02抽象函數(shù)求值..........................................................................13

題型03抽象函數(shù)的解析式......................................................................16

題型04抽象函數(shù)的單調(diào)性......................................................................20

題型05抽象函數(shù)的奇偶性......................................................................25

o-------------題型探析?明規(guī)律------------O

題型01抽象函數(shù)的定義域

【解題規(guī)律?提分快招】

抽象函數(shù)定義域的確定

所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是

注意對應(yīng)法則。在同一對應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致

的，都在同一取值范圍內(nèi)。

抽象函數(shù)的定義域的求法

⑴若已知函數(shù)/(x)的定義域為[a,b],則復(fù)合函數(shù)/(g(x))的定義域由求出.

⑵若已知函數(shù)/(g(x))的定義域為[a,b],則/(x)的定義域為g(x)在加時的值域.

注：求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用

集合或區(qū)間來表示.

【典例訓練】

一、單選題

1.(24-25高三上?貴州六盤水?期末)已知函數(shù)/■(》)的定義域為則函數(shù)1)的定義域為()

A.[-3,5]B.[-1,1]C.[0,4]D.[0,2]

11/38

【答案】D

【分析】由抽象函數(shù)的定義域列不等式即可得解.

【詳解】函數(shù)/⑺的定義域為定，3],

所以-lW2x-1至3,

解不等式得0VXV2,

即函數(shù)/（2x-l）的定義域為[0,2],

故選：D

2.（24-25高三上?陜西咸陽?期中）已知函數(shù)>=/（3%+2）的定義域為[-不1],則函數(shù),=半"的定義域為

3Vx-1

（）

A.（1,5]B.[1,5]C.[-|,1]D.（2,5]

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用抽象函數(shù)的定義域，結(jié)合復(fù)合函數(shù)定義域列式求解即得.

【詳解】由函數(shù)'="3尤+2）的定義域為[—,1],得則—3W3X+2W5,

即>=/（尤）的定義域為-3,5],在函數(shù)丫=步?中，由廣3了：5,解得]<x<5,

y/x-1[%-1>0

所以所求函數(shù)的定義域為（1,5].

故選：A

3.（24-25高三上?云南昆明?期中）已知函數(shù)/（x-3）的定義域是[-2,4],則函數(shù)〃2尤-1）的定義域是（）

A.B.[-5,7]C.[—9,1]D.[—2,1]

【答案】D

【分析】由函數(shù)/（x-3）的定義域求出/（x）的定義域，進而求出函數(shù)〃2x-l）的定義域.

【詳解】因為函數(shù)〃x-3）的定義域是[-2,4],

所以函數(shù)〃x）的定義域是[-5』，

令一5V2x—lVl,所以

所以函數(shù)/■（2》-1）的定義域是[-2』.

故選：D.

4.（24-25高三上?上海?階段練習）已知函數(shù)〃尤）的定義域為[0,3],則函數(shù)/（2'-1）的定義域為（）.

A.[1,4]B.[0,2]C.[0,4]D.[1,2]

【答案】B

12/38

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為函數(shù)“X）的定義域為[0,3],

所以0W2K3,解得0VxV2,

則函數(shù)/（2。1）的定義域為[0,2].

故選：B.

5.（24-25高三上?陜西咸陽?階段練習）已知函數(shù)的定義域為則函數(shù)/[3）定義域為（）

A.[1,2]B.[1,2)

C.(-oo,l]u[2,+oo)D.(-CO,1]U(2,-H?)

【答案】D

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求法列不等式得到2,然后解不等式即可.

2-x

【詳解】/（xT）中，令xW3,則x—142,

所以似）中蕓"二—，

解得E或x>2.

故選：D.

題型02抽象函數(shù)求值

【解題規(guī)律?提分快招】

一般采用賦值法，0,1,乂-尤是常見的賦值手段

【典例訓練】

一、單選題

1.（24-25高三上?福建泉州?階段練習）若對任意的XyeR,函數(shù)滿足今應(yīng)=〃x）+則/⑴=

（）

A.6B.4C.2D.0

【答案】D

【分析】利用賦值法即可求解.

【詳解】令x=y=o,則?=〃0）+〃0），解得〃0）=。，

令x=l,y=0,貝！]?=〃1）+〃0）,故/⑴=0,

故選：D

13/38

2.(24-25高三上?廣東深圳?期中)已知函數(shù)/Q)的定義域為(0,+8),Vx,ye(0,+?),都有

C=/(x)-/(y)+l,且=則/(512)=()

A.-6B.-7C.-8D.-9

【答案】C

【分析】令*=>=1可得〃1),令y=2x可得〃2),代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】當x=i,y=i時，/(1)=/(1)一/(1)+1,所以/⑴=1；

令y=2x得/(2x)=/(x)—1,所以f(2)=/(l)-l=0；

f(22)=/(2)-l=-l,/(23)=/(22)-1=-2,

/(24)=/(23)-1=-3,

/(512)=/(29)=/(28)-l=-8.

故選：C.

3.(24-25高三上?廣東江門?階段練習)函數(shù)/(x)滿足對任意的實數(shù)x,y,均有f(尤-y)-〃y)=/(x)w0,

且了⑴=：，/(2)1/(3)?/(4)1?/(2025)

/(I)/(2)/(3)/(2024)

A.1014B.1012C.2024D.2025

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件,利用賦值法可得騎⑴，由此計算得解.

【詳解】依題意，對于V〃￡N*,?。?〃+1,尸1,得/⑺"⑴=/(〃+1),而，5)。。,

因哈?⑴/所以瑞號瑞…儡H~

故選：B

4.(24-25高三上?山東濰坊?期中)已知定義在R上的函數(shù)“X)滿足/'(x-y+l)-〃x+y+l)=〃x)〃y),

且/(1)=2,則〃2)+/(3)+〃4)=()

A.2B.0C.-2D.-4

【答案】C

【分析】分別對X、y賦值，結(jié)合已知條件分別求出7(3)、/(2),/(4)的值，即可得解.

【詳解】令x=y=l可得/⑴-/⑶=/(1)?/⑴,即2T(3)=22,解得〃3)=_2,

令x=I,y=0可得〃1)/(0)=〃2)—"2)=0,貝!|/(0)=0,

令x=0,y=l可得了(0)-〃2)=/(0)7?⑴=0,則八2)"(0)=0,

令尤=2,y=I可得/(2)-〃4)=/(2)〃1)=0,可得〃4)=〃2)=0,

14/38

因此，/（2）+/（3）+/（4）=-2.

故選：C.

5.（24-25高三上?黑龍江?階段練習）已知“X）是定義在R上的函數(shù)，且〃龍+l）-〃x）=l+〃x+l）〃x）,

/⑴=2,貝1]〃2024)=()

A.-2B.-3C.-D.1

32

【答案】c

【分析】借助賦值法令X=O可得/（o）=g,即可得〃無+i）=m，

再借助賦值法計算可得函數(shù)周期,

i-八町

利用所得周期計算即可得解.

【詳解】因為〃尤+l)-/(x)=l+〃x+l)〃x),

所以當元=0時，f(l)-/(o)=l+/(l)/(o),又/⑴=2,所以〃o)=g.

又由/(x+1)—/(x)=l+/(x+l)/(x),可得〃元+1)=^^，

1J+

所以小+"M+i）+＞詈曷1

]l+/(x)

1-/(司

〃x+4)=〃(x+2)+2)=_/1+2)=---卜=〃x)

〃x)

故函數(shù)〃尤）是以4為周期的函數(shù)，所以〃2024）=/（0）=g.

故選：C.

6.（24-25高三上?湖南?階段練習）定義在（0,+“）上的函數(shù)〃x）滿足條件①Vxe（O,4w）,〃x）w0,②

Vx,ye（0,-Ko）,〃孫）=,小+笠：））,則的值為（）

A'?B-7c-iD-I

【答案】B

【分析】令x=V=l求出”1）,即可求出“2）,再令x=y=g求出最后根據(jù)12=（2+￡|計

算可得.

【詳解】VVx,jG(0,4w),/(xy)=1/(x)/(y),

15/38

令元=y=l,得〃1)=#⑴，又〃1)肛.?"⑴=2,

/⑴?/⑴

.■./(2)=/(1+1)==1,

再H令A(yù)X=y=/1,

故選：B

題型03抽象函數(shù)的解析式

【解題規(guī)律?提分快招】

抽象函數(shù)的模型

【反比例函數(shù)模型】

反比例函數(shù):3)=看端,則.=R[M(x)")"(x+y)均不軻

【一次函數(shù)模型】

模型1：若/(%土y)=/(x)±/(y),則/(?=/⑴%；

模型2：若/(x士y)=/(x)±/(y),則/(x)為奇函數(shù)；

模型3：若f(x+y)=/(型+/(y)+m,則/(x)=[/(1)+m\x-m；

模型4：若/(%-y)=f(x)-f(y)+私則f(x)=[/(l)-m]x+m；

【指數(shù)函數(shù)模型】

模型1：若/(x+y)=/(%)/(?則/5)="⑴]'；/(x)>0

模型2：若/(x—y)=04,則/(x)=LAl)『；/W>0

f(y)

模型3：若/(x+y)=以x)f(y)m,則/⑴=[/⑴問；

m

模型4：若/(x-y)=m,則/(x)=m''；

f(y)m

16/38

【對數(shù)函數(shù)模型】

模型1：若/(x")=W(x),貝i|/(x)=/(a)logaX(a>CdiLwLx>0)

模型2：若/(取)=/(%)+f(y),則/(x)=/(a)log°x(a>(Li.wl,x,y>0)

X

模型3：若/(一)=/(%)-/(>),則/(x)=/(a)log〃x(a>CLi.wLx,y>。)

模型4：若/(盯)=/(x)+/(y)+m,則/(x)=[/(a)+nz]logaX-m(a>0且wl,x,y>0)

模型5：若/(：)=/(x)—/(y)+〃z,則/㈤=[/(a)-司logaX+Ma>0且wl,x,y>0)

【幕函數(shù)模型】

模型1：若/(孫)=/(x)/(y),則/(%)=/(。產(chǎn)小(?！?且wl)

模型2：若/日)=端，則〃x)=〃a產(chǎn)"<。>0且Hl,yHO,〃y)HO)

代入/(a)則可化簡為幕函數(shù)；

【余弦函數(shù)模型】

模型1：若/(X+丁)+/0-丁)=2/0?(丁)(/0：)不恒為0),貝ij/(x)=coswa

模型2：若/(x)+/(y)=2/(三)/(三不恒為0),貝U/(x)=coswx

【正切函數(shù)模型】

模型：若小±y)=曹(:優(yōu)(/WG)豐°，則/⑴=tanwx

L+J\x)J(川J

一2

模型3：若/(x+y)+/(x-丁)=硝?/(?/)(/(%)不值為0)，貝I/(x)=%coswx

K

【典例訓練】

一、填空題

1.(23-24高三上?江西南昌?階段練習)已知函數(shù)/(X)滿足〃x+2)=〃x)+l,則的解析式可以是

(寫出滿足條件的一個解析式即可).

【答案】=(答案不唯一)

【分析】利用待定系數(shù)法求解即可，若設(shè)/(力=依，然后代入化簡求出”即可.

【詳解】設(shè)/(%)=依，由〃x+2)=〃x)+l,

代入可得，a(x+2)=6+1,解得a=；,

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，〃尤）=/.

故答案為：〃X）=g尤.（答案不唯一只要正確即可）

2.（23-24高三上?遼寧遼陽?期中）已知“X）是定義在（0,+8）上的單調(diào)函數(shù)，且V尤e（0,-）,

/（仆）一4）=6,貝1］/（100）=.

【答案】14

【分析】由單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，可得-4為定值，可以設(shè)r=〃x）-?,貝！1/（%）="?,又由/。）=6,

可得了（X）的解析式求“100）.

【詳解】Vxe（O,田），/（〃司-?）=6,/（%）是定義在（0,+向上的單調(diào)函數(shù)，

則/㈤-6為定值,設(shè)￡=/（力-?,則f（x）=/+?,

f（t^=t+\/t=6,解得f=4,得/（x）=4+^/^,

所以/'（100）=4+A/I53=14.

故答案為：14.

3.（23-24高三上?湖北?期末）函數(shù)〃x）滿足/（x）+（￡|=0,請寫出一個符合題意的函數(shù)的解析

式■

【答案】/（^）=log2X（答案不唯一）

【詳解】＜/（x）=log2x,

則“X）+/L=log2x+log21=log2，曰=log?1=°，滿足題意.

故答案為：/（x）=log2X（答案不唯一）

4.（24-25高三上?北京?期中）寫出同時滿足以下兩個條件的一個函數(shù)/（?=—.

①Vx,yeR,/3）=/（x）/（y）；

@\/x,、＜0收）且無二丁，/.

【答案】V（答案不唯一）

【分析】根據(jù)條件可知二次函數(shù)可以滿足其要求.

【詳解】令〃力=無2,則〃孫）=（孫7二//=/⑴八封，滿足條件①；

vx,好［0,田）且中幾〃x）+"y）=:+，2＞/+/+2孫/蟲口/一］,滿

足條件②;

18/38

故答案為：丁(答案不唯一)

5.(2025高三?全國?專題練習)設(shè)是定義在R上的函數(shù)，且滿足對任意無，兒等式

/(2y-力=-2/⑴+3y(4x-y+3)恒成立,貝f(x)的解析式為.

【答案】/(x)=3x(x+l)

【分析】通過令y=x代入即可求解

【詳解】?."(X)是定