第一學期期末考試九年級數(shù)學試卷

考生注意：

1.本試卷共25題.

2.試卷滿分150分.考試時間100分鐘.

3.答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一

律無效.

4.除第一、二大題外，其余各題如無特殊說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出證明或

計算的主要步驟.

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題

紙的相應位置上】

1.在比例尺為1：500的圖紙上，量得一座塔的高是2.2厘米，那么它實際的高度是（▲）

(A)11米；(B)110米；(C)22米；(D)220米

ZC=90°,如果sinA=1,那么cosB的值是（▲）

2.在RtAABC中，

2

(A)叵:

(B)(C)—；(D)省.

223

3.下列圖形，相似的一組是（▲）

（A）兩個直角三角形；（B）兩個等腰三角形；

（C）有一個內(nèi)角為80°的兩個菱形；（D）邊長分別是2厘米和3厘米的兩個菱形.

4.在平面直角坐標系xOy中，如果點（L山、6）、（2,c）都在拋物線y=上，

323

那么(▲)

(A)a<b<c\(B)c<a<b\(C)b<c<a；(D)b<a<c.

5.如圖1,在梯形A3CQ中，AD//BC,AB=CD=ADfZB=60?°，設AB=a,AD=b,

1_________________D

用向量3、石的線性組合表示向量皮，結(jié)果正確的是(▲.

(A)DC=ci—b；(B)DC=ci+b；

BC

DC—ci-\—h

22

<41s

6.如圖2,己知△ABC,ZACB=90°,BC=2AC,延長AC至點r>,

、BE,BD交f彳B

使AD=AB,以CD為邊作正方形CDEF,聯(lián)結(jié)BD

EF于點G.某同學得到以下兩個結(jié)論：LX/

D

圖2

①G是線段EF的黃金分割點；②相些=隆醫(yī).

SMDESADEG

關于結(jié)論①和②，下列說法氐郵的是（▲）

（A）①正確②錯誤；（B）①錯誤②正確；（C）①和②都錯誤；（D）①和②都正確.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應位置上】

7.已知g=2=￡,那么生土2的值是▲.

345c

一1一-

8.計算：a+-（b-d）=A

"行?2…2sin60°.cc。▲

9o.計臬sin"45°----------卜sin30°=▲.

cot30°

10.如果二次函數(shù)y=+〃?的圖像開口向下，那么燒的取值范圍是▲.

11.如圖3,。是四邊形ABCD內(nèi)一點，點F、G、H分別在線段A。、BO、CO、DOh,

如果E尸〃4B,FG//BC,GH//CD,S.EF=2,AB=5,AD=6,那么EH的長是▲.

12.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=（x-1尸+2關于y軸對稱的拋物線的表達式為

13.在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y=a（x-m）2+左先向左平移3個單位，再向上平

移4個單位，所得到的新拋物線的對稱軸方程是x=7,那么原拋物線的頂點的橫坐標

是▲.

14.如圖4,在RtZkABC中，ZACB=90°,。、E分別是邊AB、AC的中點，如果8C=4,

△AD￡的面積是5,那么ZACD的正切值是▲.

15.如圖5,在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=6,tan3=—,。是斜邊A5上任意一點，

4

聯(lián)結(jié)CD,點從廠分別是△AC。，ABCD的重心，那么四邊形CEDF的面積是▲,

16.在數(shù)學活動課上，需要用三角形紙片裁剪出一張正方形紙片.如圖6,現(xiàn)有三角形紙片

(△ABC),已知/ACB=90°,AC=40cm,BC=30cm.裁剪出的正方形的

一個頂點是直角頂點C,其余三個頂點。、E、尸分別在邊AC、AB,BC上,那么正方

形的邊長是▲cm.

17.一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點G,0),則稱f的值是這個函數(shù)的“零點”.例如：二次

函數(shù)y=a(x-3)(x+2)(a/0),無論a取何值，這個函數(shù)的圖像總經(jīng)過點(3,0)和

點(-2,0),所以3和-2是這個函數(shù)的“零點”.如果一個二次函數(shù)有且只有一個“零

點”7,那么這個二次函數(shù)的解析式可以是▲.(寫出一個符合要求的函數(shù)解析

式即可)

18.如圖7,已知△A8C,AB=AC=4,ZB=30°,。是邊8c的中點，線段繞點。順

時針旋轉(zhuǎn)得到對應線段上山，線段夕與邊AC、BC分別交于點￡F.如果

是直角三角形，那么AE的長是▲.

三、解答題(本大題共7題，滿分78分)

19.(本題滿分10分，第⑴小題滿分3分，第⑵小題滿分7分)

一副三角尺由兩塊直角三角尺組成，其中一塊是含30。角的直角三角形，另一塊是含

45°角的直角三角形.用這兩塊三角尺可以拼成一個四邊形ABC。(如圖8),設=

(1)用含a的代數(shù)式直接表示：AD=▲；

(2)求的正切值.

D

圖8

20.（本題滿分10分，第⑴小題滿分7分，第⑵小題滿分3分）

為了方便居民出入小區(qū)，小區(qū)業(yè)委會決定對大門口的一段斜坡進行改造.原坡面是矩形

ABCD（如圖9）,AB=4米，4。=2米，斜坡A3的坡角為30°.計劃將斜坡A3改造成

坡比為1：2.5的斜坡AE（如圖10所示），坡面的寬度不變.

（1）求改造后斜面底部延伸出來的部分（BE）的長度;

（2）改建這條斜坡需要多少立方米的混凝土材料?

21.（本題滿分10分，第⑴小題滿分2分，第⑵小題滿分8分）

在平面直角坐標系無0y中，已知A（-l,ri）,8（5,“）是拋物線y=a（x-附？+左（。＞0）

上的兩點.

（1）m-▲；

（2）如果該拋物線與x軸交于點C、D（點C在點。的右側(cè)），且CQ=4,四邊形A8CQ

的面積是25,求這個拋物線的表達式.

22.（本題滿分10分，第⑴小題滿分4分，第⑵小題滿分6分）

如圖11,正方形ABC。的邊長是3,點分別在邊A。、C￡＞上，ZEBF=45°,BE、

8尸分別與對角線AC交于點G、H.

（1）當NABE=▲°時，AG=CH,先補全條件，再說明理由；

（2）如果8=也，求BG的長.

23.（本題滿分12分，每小題滿分各6分）

學完“相似三角形”之后，小明和同學嘗試探索相似四邊形的判定與性質(zhì)，以下是他們

的思考，請你和他們一起完成探究過程.

【定義】如果兩個四邊形的四個角對應相等，四條邊對應成比例，那么這兩個四邊形相似.

兩個相似四邊形的對應邊的比，叫做這兩個四邊形的相似比.

【思考】類比相似三角形，對相似四邊形的判定與性質(zhì)提出了許多猜測，如：

①四條邊對應成比例，且有一組角對應相等的兩個四邊形相似；

②四個角對應相等，且有兩條相鄰的邊對應成比例的兩個四邊形相似；

③相似四邊形的面積的比等于相似比的平方.

【探究】請完成上述猜測中第③個結(jié)論的證明.

【運用】同學們通過討論，證明了上述猜測都是正確的.試運用這些結(jié)論，解決問題:

如圖12,已知矩形ABC。，尸分別是邊A。、AB上的點，AE=-AB>

2

AF=-AD^聯(lián)結(jié)3￡、。尸交于點G,試求四邊形人前產(chǎn)的值.

2S四邊形865

B

圖12

24.(本題滿分12分，第⑴小題滿分4分，第⑵①小題滿分4分，第⑵②小題滿分4分)

如圖13,在平面直角坐標系xOy中，己知拋物線y=a/+4的頂點為。，點A、B在

拋物線上，且都在y軸右側(cè)，橫坐標分別是根、〃?+1.

(1)聯(lián)結(jié)A。、BD,求cot/ODA-cot/ODB的值(結(jié)果用含a的代數(shù)式表示)；

(2)如果y軸上存在點C,使得ACL8C,且AC=BC,

①求拋物線的表達式；

②若43=而■，點E在y軸上，且△AOE與△A8C相似，求點E的坐標.

圖13備用圖

25.(本題滿分14分，第⑴小題滿分4分，第⑵小題滿分4分，第⑶小題滿分6分)

如圖14,己知△ABC中，ZACB=90°,BC=2,AC=3,點、E、尸分別在邊AC、AB

上(不與端點重合)，BELCF,垂足為點D.

(1)當CE=1時，求4尸的長；

(2)當BE=C尸時，求tan/CBE值；

(3)聯(lián)結(jié)ER如果是直角三角形，求這時四邊形的面積.

參考答案

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.A；2.B；3.C；4.A；5.B；6.D.

二、填空題：（本大題共12題,每題4分,滿分48分）

2-1一

7.2；8.-6Z+-&；9.0；10.m<1U12.y=(%+1)+2；

33f

2

13.2；14.15.8；16y=(x+l)2等;18.6+1或2.

5-v

三、解答題:（本大題共7題，滿分78分）

19.解:

3分

（2）延長。C,過點B作BE上DC,垂足為點E.1分

VZACZ)=90°,ZACB=45°,

???ZBCE=45°,1分

9：BELDC,BC=a,

:.BE=BC?sin/BCE=旦展

1分

2

V2

EC=BC?cosZBCE=----a?1分

2

VZACD=90°,ZDAC=30°,AD=^_a>

3

：.8=凡,1分

3

在RtABED中，tanZBDC=股1分

DE

V2

—a

tanZBDC=2=273-3-1分

23

20.解：（1）延長EB,過點A作AFLEB,垂足為點F.1分

在RtABED中,ZABF=30。，AB=2,

2~~F一51

BF=AB-cos30°=2百，.......................................2分

:在放△AEF中，4f=J_,

EF2.5

：.EF=2.5AF=5,.............................................2分

BE=EF-BF=5-2瓜.....................................1分

答：改造后斜面底部延伸出來的部分(BE)的長度(5-2杼米.……1分

(2)7昆7疑土材料：g§E.A尸.AO=gx(5_2V5)x2x2=]0_4后?..........2分

答：改建這條斜坡需要(10-4g)立方米的混凝土材料...........1分

21.解：(1)m=2；...........................2分

(2)由m=2,可知拋物線的對稱軸是直線x=2,

而拋物線與x軸交于點C、D,

可得C(4,0),D(0,0),CD=4,..........1分

由A(-l,"),B(5,n),可知四邊形ABC。是梯形，

AB=6,.....................................1分

于是梟BCL"(A8+8)=25,即巡上9=25,..........................I分

角畢得〃=5,............................................................1分

將。(0,0),B(5,5),分別代入y=a(x—2)2+3得4i+左=0,1分

9〃+左=5,

a=lj

解得2分

k=-4,

所以，拋物線的表達式是y=(尤-2)2-4.1分

22.(1)當NA8E=22.5°時，AG=CH；......................................................................1分

證明：：在正方形ABC。中，

：.AB=BC,ZBAD=ZBCD=90°,ZBAG=ZEAG=-ABAD,NBCH’NBCD,

22

：.ZBAG=ZBCH=45°,...................................................................................1分

VZABC=90°,ZEBF=45°,/ABE=22.5°,：.ZCBH=22.5°,

VZABG=22.5°,AZABG=ZCBH,..............................................................1分

:.MABG冬MBH,..................................................................................1分

：.AG=CH.

(2)解：過點〃作垂足為點M.

在RtZXffiWC中，sinNBCH=^~，cosZBCH=—

CHCH

?；NBCH=45°,CH=42,

：.HM^CHsm45°=1,CM=C〃-cos45°=1,...............1分

：.BM=BC-CM=3~]=2,sinzHBM=-=-^........................1分

BM2

*/SRt/\BCFsinZ.FBC=—=-，?*-CF=->..........................................1分

BC22

,/ZBCH=ZEBF=45°,ZAGE=ZBGH,；.△8GHs△CFH,.............................1分

?BGBH.BG75

,,=,,?=1分

CFCH

2

“一3M

D\J-1分

4

23.(1)證明：連接B'D'...............................................................................................1分

四邊形ABCD與四邊形A"，CD'相似，

AZA=ZA',幽=AP_=k，......................................................................................1分

A?

?^AABD_心2

??——IX

SAA'B'D，

同理SkBCD二女2

^AB'C'D"

M心，

S"BP+SCD=1分

SAA?OTS"'CD'

S四邊形A5CD_J^2

分

q一—1

u四邊形ABC'。

(2)解：??,在正方形A5C。中,

AZA=ZC=90°,AD//BC,AB//CDfAD=BC,AB=CD,

：?NAEG=/CBG,ZAFG=ZCDG,.....................................1分

,?*AE=-AB^AF=-AD^

22

.??絲="=l，即空="，VZA=ZA,

ABAD2AFAD

：.AABE^AADF.：.ZAEG=NAFG,.................................1分

:?/AEG=/CDG,ZAFG=ZCBG,

??-=A-E----AF，

ABAD

???絲=竺，...................................1分

CDBC

?：/EGF=/DGB,

???四邊形AEG尸s四邊形CDGB,...........................................................................1分

1分

24.解：（1）過點A作軸，垂足為點G.

根據(jù)題意可得D(0,4),A(相，W+4)，G(0,cw?+4)1分

/.AG=m,DG=—am2,

在此△AG。中，cotNOZM=型，

AG

cotNODA=-am,....................1分

同理cotNODB=-〃(m+1),......1分

/.cotZODA-cotZODB=a,…1分

（2）①過點A作軸，垂足為點”，過點B作3NJ_y軸，垂足為點N.

AZAMC=ZBNC=90°,AZACM+ZCAM=90°

VACXBC,AZACM+ZBCN=90°,

：.ZCAM=ZBCN,

'：AC=BC,:,△AMCQXBNC,........................1分

:?AM=CN=m,CM=BN=m+1,*.MN=2m+l,

由A(m,am2+4),B(m+La(jn+1)2+4),

MN=am2+4—a(m+1)2—4=—2am—a——a(2m+1),

??-a(2m+1)=2m+L...............................................................................1分

'?a--L............................................................................................1分

所以，拋物線的表達式是y=r2+4.........................1分y

22

②由A(m,-m+4),B(m+1,-(m+1)+4)?EI-i

?*-AB=712+(2m+l)2?E'/\

*/AB=V10,AI2+(2/71+1)2=10,_

T、3

解得根=1(負值不合題意舍去)，............1分

/.A(1,3),8(2,0),C(1,0),cotZODA=i,.................................1分

AT)=V2,AC=45,ZODA=45°,

由△AOE與△ABC相似,

當/AEZ)=90°時，匹="，DE41,DE=1,￡(o,3)；........1分

ACAB75TH)

當/ZME=90°時，匹=四，些=顯，DE=2,E(0,2)；........1分

ABAC710V5

所以，點E的坐標是(0,3)或(0,2).

25.(1)解：過點尸作EGLAC軸，垂足為點G.

/.Z1+Z3=90°,同理Nl+/2=90°,AZI=Z3,

:FGLAC,ZACB=90°,：.ZFGC=ZECB,

：.^FGC^/\ECB,：.FG_CE、

GCBC

,?CE=1,BC=2,=L

GC2

分

設尸G=尤，則GC=2x,AG=3-2r,1

在MZkABC中，BC=2,AC=3,AB=』展S=而，

VZA=ZA,ZAGF=ZACB=90°,

：./\AFG^/\ACB,.,.空=絲=竺，............................1分

BCACAB

/1x=3-2x=AF；解得彳=9,.................................1分

23vB'7

AAF=^-....................................................................1分

7

解：(2)