§3.1.3空間向量的數(shù)量積運算◆優(yōu)效預習學習目標1.掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；2.掌握兩個向量的數(shù)量積的計算方法，并能利用兩個向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡單問題．（二）重點難點：重點：兩個向量的數(shù)量積的計算方法及其應用。難點：.向量運算在幾何證明與計算中的應用（三）自主預習：（主要給出學生要掌握的概念與知識點）1：什么是平面向量與的數(shù)量積？2：在邊長為1的正三角形⊿ABC中，求.3.已知兩非零向量，在空間一點，作，則叫做向量與的夾角，記作.4.已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即.5.⑴兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量還是向量？⑵（選0還是）⑶你能說出的幾何意義嗎？6.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：（1）設單位向量，則．（2）_______.（3）_____＝____.7.空間向量數(shù)量積運算律：8.⑴嗎？舉例說明.⑵若，則嗎？舉例說明.⑶若，則嗎？為什么？◆高效課堂◎典例精析例1已知：如圖3.1.6，PO，PA分別是平面的垂線、斜線，AO是PA在平面內(nèi)的攝影，且，求證：圖3.1.6三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直?！镒兪?已知：如圖3.1.6，PO，PA分別是平面的垂線、斜線，AO是PA在平面內(nèi)的攝影，且，求證：三垂線的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。★變式2用向量方法證明：已知：是平面內(nèi)的兩條相交直線，直線與平面的交點為，且.求證：．圖3.1.7例2如圖3.1.8，在空間四邊形中，，，，，，，求與的夾角的余弦值圖3.1.8變式：如圖3.1.9，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,則AB與CB所成的角為（）A.60°B.90°C.105°D.75°圖3.1.9圖3.1.10例3如圖3.1.10，在平行四邊形ABCD-ABCD中，,,,==60°,求的長.小結(jié)：（自己小結(jié)）◎隨堂練習1.下列命題中：①若，則，中至少一個為②若且，則③④正確有個數(shù)為（）A.0個B.1個C.2個D.3個2.已知和是兩個單位向量，夾角為，則下面向量中與垂直的是（）A.B.C.D.3.已知向量滿足，，，則____.4.,則的夾角大小為_____.5.已知中，所對的邊為，且,,則=6已知，，且和不共線，當與的夾角是銳角時，的取值范圍是.7.已知向量滿足，，，則____§3.1.3空間向量的數(shù)量積運算—增效作業(yè)◆基礎鞏固一、選擇題1．若A、B、C、D為空間四個不同的點，則下列各式為零向量的是(）①②③④A．①②B．②③C．②④D．①④2.已知向量a和向量b的數(shù)量積為-3，且|a|=1，|b|=2，則向量a和向量b的夾角（）A．30°B．60°C．120°D．150°3.已知空間向量a，b滿足條件：（a+3b）⊥（7a-5b），且（a-4b）⊥（7a-2b），則空間向量a，b的夾角＜a，b＞（）A．等于30°B．等于45°C．等于60°D．不確定4.若a，b為非零向量，則a·b=|a|·|b|是a與b平行的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.若a與b是垂直的，則a·b的值一定是()A.大于0B.等于零C.小于0D.不能確定EMBEDEquation.36.a、b是非零向量，則〈a，b〉的范圍是()A.(0，)B.［0，］C.(0，π)D.［0，π］7.已知|a|＝2，|b|＝，a.b＝-，則a、b所夾的角為（）A.0B.C.D.8.設A、B、C、D是空間不共面的四點，，則BCD是（） A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不確定二、填空題9.已知空間向量a、b、c滿足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a的值為________．10.若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CE,\s\up6(→))的位置關(guān)系為11.在空間四邊形ABCD中，Aeq\o(B,\s\up6(→))·Ceq\o(D,\s\up6(→))＋Beq\o(C,\s\up6(→))·Aeq\o(D,\s\up6(→))＋Ceq\o(A,\s\up6(→))·Beq\o(D,\s\up6(→))＝________.12.已知|a|＝3eq\r(2)，|b|＝4，a與b的夾角為135°，m＝a＋b，n＝a＋λb，則m⊥n，則λ＝________.三、解答題13..正方體ABCD—A1B1C1D1中，求證：BD1⊥平面ACB1.\圖3.1.11◆能力提升2.已知線段AB、BD在平面內(nèi),BD⊥AB,線段,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D間的距離.圖3.1.12§3.1.4空間向量的正交分解及其坐標表示◆優(yōu)效預習（一）學習目標：1.掌握空間向量的正交分解及空間向量基本定理和坐標表示；2.掌握空間向量的坐標運算的規(guī)律；（二）重點難點：重點：空間向量的坐標表示及坐標運算法則。難點：坐標判斷兩個空間向量平行。（三）自主預習：（主要給出學生要掌握的概念與知識點）空間向量的正交分解：空間的任意向量，均可分解為不共面的三個向量、、，使.如果兩兩，這種分解就是空間向量的正交分解?？臻g向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得。如果三個向量不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是這個集合可看作是由向量生成的，我們把___________叫做空間的一個基底，______________都叫做基向量?？臻g任何________________都可構(gòu)成空間的一個基底。設為有公共起點的三個兩兩垂直的單位向量（我們稱為他們?yōu)閱挝徽换祝缘墓财瘘c為原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間§3.1.5空間向量運算的坐標表示◆優(yōu)效預習（一）學習目標1.掌握空間向量加、減法和數(shù)乘的坐標表示；2.掌握數(shù)量積的坐標表示；3.能夠應用空間向量的坐標表示求向量的模及夾角（二）重點難點：重點：向量的坐標運算；空間向量加減法和數(shù)乘的坐標表示。難點：應用向量的坐標表示求向量長度及夾角。（三）自主預習：（主要給出學生要掌握的概念與知識點）復習1.向量在平面直角坐標系中的坐標的求法：設，則＝______________，＝________________________2.已知，則有：(1)=_____________(2)=____________(3)=______________(4)=_____________||==______________________cos〈,〉==______________________.(7)∥______________(8)⊥_______________預習1空間向量的坐標表示:向量在空間直角坐標系中的坐標的求法：設A，B，則＝______________，＝___________________。即：向量的坐標等于向量終點坐標減去起點坐標。=_____________________=，這就是空間兩點間的距離公式。特別地，___________________線段AB的中點坐標公式為_____________________歸納總結(jié)：用向量的思想和方法推出兩點間的距離公式。2.向量的直角坐標運算：設＝，＝，則⑴＝_______________；⑵＝_______________；⑶λ＝_______________；⑷___________________3.兩個向量共線或垂直的判定：若則________________________⊥________________________________4.向量的模長及夾角的坐標公式設＝,＝,則||==___________;cos〈,〉==___________.思考：當0＜cos〈,〉＜1時，夾角〈,〉的范圍____________________當-1＜cos〈,〉＜0時，夾角〈,〉的范圍___________________當cos〈,〉=0時，夾角〈,〉等于____________歸納總結(jié)：通過與平面向量類比，仔細體會公式推導過程，近而和余弦函數(shù)的值域建立聯(lián)系，得到空間兩向量的夾角范圍?！舾咝дn堂例1、設若∥，求k★變式1已知且，求實數(shù)k的值例2、如圖3.1.13，在正方體中，點分別是的一個四等分點，求與所成角的余弦值；思路啟迪：根據(jù)圖形特點建立空間直角坐標系，再利用空間向量所成角的余弦公式。解：圖3.1.13★變式2:E是A1B1的一個四等分點，求證：AE∥DF1.★變式3:F是AA1的一個四等分點，求證：BF⊥DF1.★變式4:G是BB1的一個四等分點，H為AA1上的一點，若GH⊥DF1，試確定H點的位置.◎隨堂練習1.與共線，且滿足=-18的________2.，，,則=________3.三點，共線，則________________=__________________4.已知則的面積______________。5.且的夾角為鈍角，則X的取值范圍為_______________.6.正方體的棱長為2，分別是的中點，求點到直線的距離。§3.1.5空間向量運算的坐標表示—增效作業(yè)◆基礎鞏固一、選擇題1.在空間直角坐標系中，已知點，那么下列說法正確的是（）點關(guān)于軸對稱的坐標是點關(guān)于平面對稱的坐標是點關(guān)于軸對稱點的坐標是D.點關(guān)于原點對稱點的坐標是2.下列命題是真命題的是（）A.分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量.B.若，則的長度相等而方向相同或相反.C.若向量滿足，且同向，則.D.若兩個非零向量滿足,則‖.3.已知點，且該點在三個坐標平面平面，平面，平面上的射影的坐標依次為，和，則（）AB.C.D.以上結(jié)論都不對4.已知則的取值范圍是（）A.B.C.D.5.設OABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點，且OG=3GG1，若=x+y+z，則（x，y，z）為()A.（，，）B.（，，） C.（，，） D.（，，）6.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實數(shù)λ等于()A.eq\f(62,7) B.eq\f(63,7)C.eq\f(60,7)D.eq\f(65,7)二、填空題7.已知為單位正交基，且，則向量與向量的坐標分別是_________