專題17.4勾股定理的應(yīng)用（12類題型）（知識(shí)梳理與題型分

類講解）

第一部分【題型目錄】

【類型1］求梯子滑落高度

【類型2】求旗桿高度

【類型3】求小鳥飛行距離

【類型4】求大樹折斷前的高度

【類型5】解決水杯中筷子問題

【類型6】解決航海問題

【類型7】求河寬

【類型8】求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度

【類型9】判斷汽車是否超速

【類型101判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響

【類型11】選址使到兩地距離相等

【類型12】求最短路徑

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【類型1】求梯子滑落高度

【例1】（24-25八年級(jí)上?福建寧德?階段練習(xí)）

1.【綜合實(shí)踐】

【問題情境】消防云梯的作用是用于高層建筑火災(zāi)等救援任務(wù)，它能讓消防員快速到達(dá)高層

救援現(xiàn)場(chǎng)，如圖，已知一架云梯長(zhǎng)25m斜靠在一面墻上，這時(shí)云梯底端距墻角的距離

【獨(dú)立思考】（1）求這架云梯頂部距離地面。/的長(zhǎng)度.

試卷第1頁(yè)，共14頁(yè)

【深入探究】（2）消防員接到命令，按要求將云梯從頂部A下滑到H位置上（云梯長(zhǎng)度不

改變），則底部B沿水平方向向前滑動(dòng)到夕位置上，若44'=8m,求的長(zhǎng)度.

【變式1］（24-25八年級(jí)上?四川樂山?期末）

2.如圖，一根長(zhǎng)5米的竹竿斜靠在豎直的墻上，這時(shí)40為4米，若竹竿的頂端A沿墻

下滑2米至C處，則竹竿底端8外移的距離皿（）

A.小于2米B.等于2米C.大于2米D.無法判斷

【變式2】（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?期中）

3.如圖，一架2.5米長(zhǎng)的梯子N8斜靠在豎直的墻/C上，這時(shí)3到墻底端C的距離為0.7

米.當(dāng)梯子的頂端沿墻面下滑米后，梯子處于4片位置，恰與原位置關(guān)于墻角

ZACB的角平分線所在的直線軸對(duì)稱.

【類型2】求旗桿高度

【例2】（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末）

4.某校八年級(jí)（1）班的小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得圖中風(fēng)箏的高度

CE,

他們進(jìn)行了如下操作：

①測(cè)得的長(zhǎng)為15米（注BDLCE）；

②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為25米；

③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.7米.

試卷第2頁(yè)，共14頁(yè)

（1）求風(fēng)箏的高度CE.

（2）過點(diǎn)。作垂足為“，求?！ǖ拈L(zhǎng)度.

【變式1】（23-24八年級(jí)下?北京西城,期中）

5.如圖，在離水面點(diǎn)/高度為8m的岸上點(diǎn)。處，有人用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子BC的

長(zhǎng)為17m,此人以1rrls的速度收繩，7s后船移動(dòng)到點(diǎn)。的位置，則船向岸邊移動(dòng)了（）

（假設(shè)繩子是直的）

A.9mB.8mC.7mD.6m

【變式2】（24-25八年級(jí)上?廣東深圳?期中）

6.如圖，一天傍晚，小方和家人去小區(qū)遛狗，小方觀察發(fā)現(xiàn)，她站直身體時(shí)，牽繩的手離

地面高度為58=1.3米，小狗的高CD=0.3米，小狗與小方的距離/C=2.4米.（繩子一直

是直的）牽狗繩2。的長(zhǎng).

【類型3】求小鳥飛行距離

【例3】（23-24八年級(jí)下?廣西賀州?期中）

7.姑婆山國(guó)家森林公園古窯沖猴趣園，調(diào)皮可愛的猴子隨處可見.如圖：有兩只猴子爬到一

棵樹。上的點(diǎn)3處，且8C=2m,突然發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)方/處有好吃的東西，其中一只猴子沿樹爬

下走到離樹6m處的池塘/處，另一只猴子先爬到樹頂D處后再沿纜繩線段W滑到A處，

試卷第3頁(yè)，共14頁(yè)

已知兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，設(shè)即為xm.

（1）請(qǐng)用含有x的整式表示線段的長(zhǎng)為_m；

（2）求這棵樹高有多少米？

【變式1］（23-24八年級(jí)下?河北邯鄲?期末）

8.如圖，一段斜坡上有兩棵樹，兩棵樹之間的水平距離為12m,豎直距離為5m,樹的高度

都是2m.一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，至少要飛（）

A.12mB.13mC.14mD.15m

【變式2］（23-24八年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期末）

9.某醫(yī)院入口的正上方N處裝有紅外線激光測(cè)溫儀（如圖所示），測(cè)溫儀離地面的距離

48=2.4米，當(dāng)（身高1.2m）人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)（即BC=1.6米），測(cè)溫儀自動(dòng)顯示體

溫，則人頭頂離測(cè)溫儀的距離的長(zhǎng)為米.

【類型4】求大樹折斷前的高度

【例4】（24-25八年級(jí)上?河南平頂山?期中）

10.如圖，一棵垂直于地面且高度為12m的大樹被大風(fēng)吹折，折斷處A與地面的距離

試卷第4頁(yè)，共14頁(yè)

AC=4.5m,樹尖3恰好碰到地面.在大樹倒下的方向上的點(diǎn)。處停著一輛小轎車,

CD=6.5m,樹枝落地時(shí)是否會(huì)砸著小轎車并說明理由.

【變式1](23-24八年級(jí)下?廣西南寧?期末)

11.《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，問折者高

幾何？”意思是：現(xiàn)有竹子高20尺，折后竹尖抵地與竹子底部距離為4尺，間折處高幾尺?

如圖所示，設(shè)竹子折斷處離地x尺，由題意可列方程為()

/////////

A.x2+42=2()2B.(x-4)2+x~—20"

C.x2-42=(20-x)2D.X2+42=(20-X)2

【變式2】(24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期中)

12.如圖，臺(tái)風(fēng)過后，一旗桿在8處斷裂，旗桿頂部/點(diǎn)落在離旗桿底部C點(diǎn)10m處，Q

知旗桿原長(zhǎng)20m,則旗桿在離底部米的位置斷裂.

【類型5】解決水杯中筷子問題

【例5】(23-24八年級(jí)下?北京朝陽(yáng)?期末)

13.《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸,

適與岸齊，問水深、葭長(zhǎng)各幾何.大意是：如圖，水池底面的寬=1丈，蘆葦OC生長(zhǎng)在

的中點(diǎn)。處，高出水面的部分8=1尺.將蘆葦向池岸牽引，尖端達(dá)到岸邊時(shí)恰好與水

試卷第5頁(yè)，共14頁(yè)

面平齊，即OC=OE,求水池的深度和蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度（1丈等于10尺）.

（1）求水池的深度8;

（2）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注解時(shí)，更進(jìn)一步給出了這類問題的一般解

法.他的解法用現(xiàn)代符號(hào)語(yǔ)言可以表示為：若己知水池寬43=2.,蘆葦高出水面的部分

CD=n（n<a）,則水池的深度（。。=為可以通過公式6=巴二。計(jì)算得到.請(qǐng)證明劉徽

2n

解法的正確性.

【變式1】（24-25七年級(jí)上?山東東營(yíng)?期中）

14.一只17cm的鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒內(nèi)部底面直徑是5cm,內(nèi)壁高12cm,那么這

根鉛筆需在筆筒外的部分長(zhǎng)度h的范圍是（）

A.2<h<5cmB.4<h<5cmC.2<h<4cmD.4</z<6cm

【變式2］（24-25九年級(jí)上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）

15.水池中有一根蘆葦，長(zhǎng)在離岸邊L5m遠(yuǎn)的水底，直立時(shí)，蘆葦高出水面0.5m,如果把

這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水的深度為m.

【類型6】解決航海問題

【例6】（24-25八年級(jí)上?四川達(dá)州?期末）

試卷第6頁(yè)，共14頁(yè)

16.如圖，在海平面上有A,B,C三個(gè)標(biāo)記點(diǎn)，其中A在C的北偏西52。方向上，與C的

距漓是40海里，B在C的南偏西38。方向上，與C的距離是30海里.

⑴求點(diǎn)A與點(diǎn)8之間的距離;

（2）若在點(diǎn)C處有一燈塔，燈塔的信號(hào)有效覆蓋半徑為25海里，此時(shí)在點(diǎn)3處有一艘輪船準(zhǔn)

備沿直線向點(diǎn)A處航行，輪船航行的速度為每小時(shí)20海里.輪船在駛向A處的過程中，有

多少小時(shí)可以接收到信號(hào)？

【變式1】（2024八年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）

17.如圖，在燈塔。的北偏東40。方向8nmile處有一輪船在燈塔。的南偏東50。方向

6nmile處有一漁船8,則8間的距離為（）

A.9nmileB.lOnmileC.1InmileD.12nmile

【變式2］（23-24八年級(jí)下?河南開封?期末）

18.一艘小船上午7點(diǎn)從某港口出發(fā)，它以10海里/時(shí)的速度向北航行，1小時(shí)后另一艘小

船也從該港口出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向西航行，9點(diǎn)時(shí)兩艘小船相距海里.

【類型7】求河寬

【例7】（24-25八年級(jí)上?四川成都?期中）

19.四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰擴(kuò)灌工程之一，也是四川省建成的

第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之稱.現(xiàn)為擴(kuò)建開挖某段干渠，如圖，欲從干渠

某處/向C地、。地、2地分流（點(diǎn)C,D,3位于同一條直線上），修三條筆直的支渠

AC,AD,AB,且再?gòu)?。地修了一條筆直的水渠與支渠在點(diǎn)〃處連

接，且水渠DH和支渠48互相垂直，已知NC=6km,4B=10km,BD=5km.

試卷第7頁(yè)，共14頁(yè)

（1）求支渠的長(zhǎng)度.（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）若修水渠DH每千米的費(fèi)用是0.7萬元，那么修完水渠D"需要多少萬元？

【變式1】（23-24八年級(jí)下?天津河西?期中）

20.如圖，池塘邊有兩點(diǎn)43,點(diǎn)C是與切方向成直角的/C方向上一點(diǎn)，測(cè)得

CB=50m,AC=20m,則48兩點(diǎn)間的距離是（）m.

A.loV21B.10V29C.30D.70

【變式2］（22-23九年級(jí)下?四川綿陽(yáng)?階段練習(xí)）

21.如圖，河岸力。，8c互相平行，橋N2垂直于兩岸，從C處看橋的兩端A,B,夾角

ZBCA=60°,測(cè)得BC=14m,則橋長(zhǎng)A8=m（結(jié)果精確到1m）.

BC

【類型8】求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度

【例8】（18-19八年級(jí)下?浙江臺(tái)州?期末）

22.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，每級(jí)臺(tái)階都是長(zhǎng)、寬和高分別等于90c加，25c〃?和15c〃？的長(zhǎng)方

體，/和3是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn).在工點(diǎn)處有一只螞蟻，想到5點(diǎn)去吃可口的食

物，請(qǐng)你算一算，這只螞蟻從/點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到8點(diǎn)，最短路程是多少？

試卷第8頁(yè)，共14頁(yè)

【變式1］（23-24八年級(jí)上?陜西西安?期中）

23.如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為20m,寬為16m的長(zhǎng)方形草地上放著一根長(zhǎng)方體木塊，已知該木塊

的較長(zhǎng)邊和場(chǎng)地寬平行，橫截面是邊長(zhǎng)為2m的正方形，若點(diǎn)/處有一只螞蟻，它從點(diǎn)N

處爬過木塊到達(dá)點(diǎn)C處去吃面包碎，則它需要走的最短路程是（）

A.24mB.8VHmC.16&mD.16m

【變式2］（24-25九年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí)）

24.如圖所示，為了安全起見，要為一段高5米，斜邊長(zhǎng)13米的樓梯鋪上紅地毯，則紅地

毯至少需要米長(zhǎng).

【類型9］判斷汽車是否超速

【例9】（24-25八年級(jí)上?四川宜賓?期末）

25.如圖，一條東西向的公路/旁有一所中學(xué)/，在中學(xué)M的大門前有兩條長(zhǎng)度均為200

米的通道朋4兒必通往公路/旁的兩個(gè)公交站點(diǎn)/、B,且/、8兩站點(diǎn)相距320米.

（1）現(xiàn)要在學(xué)校到公路/修一條新路，把/、2兩個(gè)站點(diǎn)合為一個(gè)站點(diǎn)。（在公路/旁），使得

學(xué)生從學(xué)校走到公路/的距離最短，求新路的距離；

⑵為了行車安全，在公路/旁的點(diǎn)3和點(diǎn)C設(shè)置區(qū)間測(cè)速裝置，其中點(diǎn)C在點(diǎn)2的東側(cè)，

試卷第9頁(yè)，共14頁(yè)

且與中學(xué)M相距312米，公路/限速30千米/小時(shí)（約8.33米/秒）.一輛汽車經(jīng)過區(qū)間

用時(shí)16秒，試判斷該車是否超速，并說明理由.

【變式1】（20-21八年級(jí)下?廣東廣州?期中）

26.如圖，有兩條公路加、ON相交成30。角，沿公路?！狈较螂x。點(diǎn)160米處有一所學(xué)

校當(dāng)重型運(yùn)輸卡車尸沿道路ON方向行駛時(shí)，在以尸為圓心，100米為半徑的圓形區(qū)域

內(nèi)都會(huì)受到卡車噪聲的影響，且卡車尸與學(xué)校/的距離越近噪聲影響越大.若已知重型運(yùn)

輸卡車p沿道路ON方向行駛的速度為36千米/時(shí)，則對(duì)學(xué)校/的噪聲影響最大時(shí)卡車P與

學(xué)校/的距離是一米；重型運(yùn)輸卡車尸沿道路ON方向行駛一次給學(xué)校/帶來噪聲影響的

【變式2】（24-25八年級(jí)上?甘肅蘭州?期中）

27.某條道路的限速規(guī)定：轎車速度不得超過70km/h.如圖，一輛轎車在該道路上沿直線

行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到距離路面檢測(cè)儀/正前方30nl的點(diǎn)C處.2s后，測(cè)得轎車行駛

這輛轎車是否違章？請(qǐng)說明理由.

［類型10］判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響

【例10】（2024八年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）

28.我國(guó)大部分東部地區(qū)屬于亞熱帶季風(fēng)氣候，夏季炎熱多雨.如圖，/城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)

中心在N城正西方向320km的8處，以每小時(shí)40km的速度向北偏東60。的3尸方向移動(dòng)，距

離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域.

試卷第10頁(yè)，共14頁(yè)

北

（1）/城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？

（2）若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，那么A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間？

【變式1】（23-24八年級(jí)下?廣東廣州?期中）

29.如圖，鐵路和公路尸。在點(diǎn)。處交匯，ZQON=30°.公路尸。上A處距。點(diǎn)240米,

如果火車行駛時(shí)，周圍200米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響.那么火車在鐵路上沿ON方向以

20米/秒的速度行駛時(shí)，A處受噪音影響的時(shí)間為（）

A.12秒B.16秒C.20秒D.30秒

【變式2］（24-25八年級(jí)上?福建漳州?階段練習(xí)）

30.如圖，某城市接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向260km的8處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BC方向

以15km/h的速度移動(dòng)，已知城市/到8c的距離40=100km.已知在距臺(tái)風(fēng)中心30km的

圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到不同程度的影響，若在點(diǎn)。的工作人員早上6:00接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，臺(tái)風(fēng)

開始影響到臺(tái)風(fēng)結(jié)束影響要做預(yù)防工作，則他們要在時(shí)間段內(nèi)做預(yù)防工作.

【類型11】選址使到兩地距離相等

【例11】（22-23八年級(jí)上?寧夏銀川?期末）

31.如圖，鐵路上，，8兩點(diǎn)相距25km,C,。為兩村莊，4。2AB于點(diǎn)N,于

點(diǎn)、B,已知15km,3C=10km,現(xiàn)在要在鐵路N8旁建一個(gè)貨運(yùn)站E,使得C,。兩村

試卷第11頁(yè)，共14頁(yè)

到E站距離相等，問E站應(yīng)建在離A地多遠(yuǎn)的地方?

D

【變式1］（2024八年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）

32.如圖，高速公路上有A、8兩點(diǎn)相距10曲?，C、。為兩村莊，已知'=4hn,

CB=6km.ZM_L4B于A,CB工4B于B,現(xiàn)要在上建一個(gè)服務(wù)站E,使得C、。兩

村莊到E站的距離相等，則功的長(zhǎng)是（）km.

AEB

3c

4km\

\6km

一、

D\

C

A.4B.5C.6D.V20

【變式2】（24-25八年級(jí)上?江蘇常州?期中）

33.為保護(hù)河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部門準(zhǔn)備在河流旁設(shè)置防汛監(jiān)控器.如左

圖所示，監(jiān)控布設(shè)線/距離河流300m,最大旋轉(zhuǎn)角度90。；村落位于河流南側(cè)，與河流鄰接

長(zhǎng)度5000m；任意兩個(gè)監(jiān)控器布設(shè)點(diǎn)之間的距離相等.小張?jiān)O(shè)計(jì)了如右圖所示的方案，AB

為監(jiān)控器血；監(jiān)測(cè)范圍，8c為監(jiān)控器加2監(jiān)測(cè)范圍，AMXLBMX,BM21CM2,此時(shí)

5M1=CM2=375m;若按此方案進(jìn)行布設(shè)，該水利部門至少需要布設(shè)個(gè)監(jiān)控器.

河流南岸

河流三

監(jiān)控工

布設(shè)點(diǎn)

【類型12】求最短路徑

【例12】（24-25七年級(jí)上?山東威海?期末）

34.【問題情境】

數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別

試卷第12頁(yè)，共14頁(yè)

為20、3、2,A和3是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn).

【探究實(shí)踐】

老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到8點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿

著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？

（1）同學(xué)們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級(jí)臺(tái)階展開成平面圖形，可得到長(zhǎng)

為20.寬為15的長(zhǎng)方形，連接月8,經(jīng)過計(jì)算得到長(zhǎng)度為,就是最短路程.

【變式探究】

（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長(zhǎng)是30cm,高是8cm,若螞蟻從

點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)8,則螞蟻爬行的最短距離為.-

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖④，圓柱形玻璃杯的高9cm,底面周長(zhǎng)為16cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處

有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞

蟻從外壁8處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計(jì)）（畫出示意圖并進(jìn)行

計(jì)算）

【變式1】（24-25八年級(jí)上?陜西西安?期末）

35.小迅家有一個(gè)長(zhǎng)6dm,寬3dm,高4dm的長(zhǎng)方體無蓋魚缸，一天他喂魚時(shí)，不小心將

一粒饅頭屑掉在了魚缸頂部的點(diǎn)8處，一只螞蟻從魚缸底部的點(diǎn)A處出發(fā)，想吃到魚缸頂部

B處的饅頭屑，它爬行的最短路程是（）

6dm

A.V97dmB.（2舊+3）dmC.13dmD.9dm

【變式2】（24-25八年級(jí)上?山西晉城?期末）

36.春節(jié)是中國(guó)人最盛大、最熱鬧、最重要的傳統(tǒng)節(jié)日.在春節(jié)期間為了增添節(jié)日氣氛，小

試卷第13頁(yè)，共14頁(yè)

剛家計(jì)劃購(gòu)買一條彩帶，按如圖所示的方式從圓柱體的A處纏繞到圓柱體的B處（點(diǎn)N在

下底面，點(diǎn)B在上底面，點(diǎn)8在點(diǎn)”的正上方），若圓柱體底面周長(zhǎng)為4dm，高為5dm，則

需要購(gòu)買彩帶的長(zhǎng)度最短為dm.

試卷第14頁(yè)，共14頁(yè)

1.(1)15m；(2)88'的長(zhǎng)度為4m

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)勾股定理即可求出；

(2)先求出OH,根據(jù)勾股定理求出03',進(jìn)一步即可求出33'；

【詳解】解：(1)在中，0A=4AB2-0B2=7252-202=15m>

答：0/長(zhǎng)為15m；

(2)■.-OA=15m,AA'=8m,

.?.CM'=CM-/4=15-8=7m,

在火a4。3'中，OB'=yjA'B'-OA'=7252-72=24m>

:.BB'=0B'-OB=24-20=4m,

答：88'的長(zhǎng)度為4m.

2.A

【分析】先根據(jù)勾股定理分別求出QD和08的長(zhǎng)度，進(jìn)而表示出2。長(zhǎng)度，利用無理數(shù)的

估算方法即可估算出8D大小.

【詳解】解：：斜靠在豎直的墻上，AB=5,AO=4,

在必A/08中，OB=JAB2-AO2=A/52-42=3.

???竹竿的頂端A沿墻下滑2米至C處，

OC=AO-AC=4-2^2,CD=AB=5,

.?.在Rt^OCD中，OD=yjCD--OC2=752-22=而■

BD=OD-OB=^-3.

???4<V21<5-

???l<V21-3<2.

的長(zhǎng)度小于2米.

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，無理數(shù)的估算方法，解題的關(guān)鍵在于理解題意，清楚知道

CD=AC,熟練掌握無理數(shù)的估算方法.

3.1.7

答案第1頁(yè)，共19頁(yè)

【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，正確求出/C的長(zhǎng)是關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理可得NC的長(zhǎng)，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得4c=8。，再用/c減去4c可得答

案.

【詳解】解：由題意得：AC=飛AB?-BC?=飛25?-0.T=2.4（米）,

,??梯子處于4與位置，恰與原位置關(guān)于墻角//C8的角平分線所在的直線軸對(duì)稱，

.?"=80=0.7米，

AC-4c=2.4-0.7=1.7（米），

即當(dāng)梯子的頂端沿墻面下滑1.7米后，梯子處于4鳥位置，恰與原位置A8關(guān)于墻角//C8

的角平分線所在的直線軸對(duì)稱.

故答案為：1.7.

4.（1）21.7米

（2）12米

【分析】本題主要考查了勾股定理、三角形面積公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握勾股定理是解題的

關(guān)鍵.

（1）利用勾股定理求出。的長(zhǎng)，再加上OE的長(zhǎng)度，即可求出CE的高度；

（2）根據(jù)三角形的面積公式求解即可.

【詳解】（1）解：在RtaCDB中，由勾股定理，得：

CD7cB2-BD?=J25?—152=20（米），

所以。石=8+。石=20+1.7=21.7（米）.

答：風(fēng)箏的高度CE為21.7米.

（2）解：由等積法知：^BDxDC=^BCxDH,

解得：DH=^^-=12（米）.

答：。，的長(zhǎng)度為12米.

5.A

【分析】本題考查勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握勾股定理，求出和的長(zhǎng)是解題的關(guān)

鍵.由勾股定理求出48=15m,再由勾股定理求出40=6m,即可解決問題.

【詳解】解：在RtZ\48C中，ZCAB=90°,BC=llm,AC=8m,

答案第2頁(yè)，共19頁(yè)

^5=V172-82=15(m),

???此人以1ms的速度收繩，7s后船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置,

.-.CZ)=17-lx7=10(m),

在RtA^CD中，由勾股定理得：AD=VC￡>2-AC2=7102-82=6(m),

:.BD=AB-AD=15-6=9(m),

即船向岸邊移動(dòng)了9m,

故選：A.

6.2.6米

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，理解并掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵.過點(diǎn)。作

DEJ.AB于點(diǎn)、E,可得。E=/C=2.4,AE=CD=0.3,DE=\,再根據(jù)勾股定理求解即可

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作于點(diǎn)

B

則4E=CD=0.3米，OE=/C=2.4米，

:.BE=AB-AE=\^,

BD=ylBE1+DE2=Vl2+2-42=2.6(米).

所以此時(shí)牽狗繩AD的長(zhǎng)為2.6米.

故答案為：2.6米.

7.(1)(8-x)

(2)這棵樹高3.2米

【分析】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，考查了直角三角形的構(gòu)建，本題中正確

的找出+3。=3C+/C的等量關(guān)系，并根據(jù)RtA^CZ)求BD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

(1)AD+BD=BC+AC,計(jì)算即可；

(2)在Rt^NCD中，由勾股定理，列出方程求解即可.

【詳解】(1)■：AD+BD=BC+AC,

AD+%=2+6,

=(8-x)m.

答案第3頁(yè)，共19頁(yè)

故答案為：（8-x）.

（2）解:由題意知NC=90。，則在Rt^NCD中，

AD2=AC2+CD2,

=6?+（2+x1,

解得：尤=1.2,

.-.CZ）=2+1.2=3.2（m）.

答：這棵樹高有3.2米

8.B

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用.如圖，根據(jù)題意得：

ZABC=90°,AB=12m,BC=5m,利用勾股定理即可求出結(jié)果.

12m

根據(jù)題意得：^ABC=90°,AB=12m,BC=5m,

AC=NAB?BC?=13m，

，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，至少要飛13m,

故選：B.

9.2

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線、構(gòu)造直角三角形、利用勾股定理求得線

段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

如圖：過點(diǎn)。作。于點(diǎn)￡,構(gòu)造RtA/DE,再利用勾股定理求得的長(zhǎng)度即可.

【詳解】解：如圖：過點(diǎn)。作DE2AB于點(diǎn)E,則DE=2C=L6米，BE=CD=L2m

答案第4頁(yè)，共19頁(yè)

???48=2.4米，BE=CD=L2m

.-.AE=AB-BE=2.4-l.2=l.2（米），

在RM/DE中，由勾股定理得到：AD=JDE?+AE?=電.2）2+（1.6?=2（米），

故答案為：2.

10.樹枝砸不到小車

【分析】本題考查勾股定理.大樹折斷后，剩余部分的樹干、折斷的樹干部分和地面之間構(gòu)

成了一個(gè)直角三角形，利用勾股定理計(jì)算出落地后樹尖與樹干的距離為BC=6m,比較3c

和CD的大小，可知大樹砸不到小車.

在Rt2\/8C中，AC=4.5m,48=12-4.5=7.5tn,

BC=yjAB2-AC2=j7.52-4.52=6m，

,/CD=6.5m,CD>BC,

?二樹枝砸不到小車.

11.D

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，設(shè)竹子折斷處離地X尺,則折斷部分的竹子長(zhǎng)（20-X）

尺，運(yùn)用勾股定理即可列出方程，利用題目信息構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理求解是解題

的關(guān)鍵.

答案第5頁(yè)，共19頁(yè)

【詳解】解：設(shè)竹子折斷處離地X尺，則折斷部分的竹子長(zhǎng)(20-X)尺，依題意得：

X2+42=(20-X)2,

故選：D.

12.7.5

【分析】本題考查勾股定理實(shí)際應(yīng)用.根據(jù)題意設(shè)8C=x,則/8=20-x,利用勾股定理

列式計(jì)算即可得到本題答案.

【詳解】解：???旗桿頂部/點(diǎn)落在離旗桿底部C點(diǎn)10m處，

AC=10m,

,?,旗桿原長(zhǎng)20m,

AB+BC=20m,

???設(shè)=貝(MB=20-x,

.-.x2+102=(20-x)2,解得:x=I5,

???旗桿在離底部7.5m的位置斷裂，

故答案為：7.5.

13.(1)12尺

(2)見解析

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用；

(1)設(shè)水池深度為x尺，則得蘆葦高度為(x+1)尺，在Rt△及40中，利用勾股定理建立方

程即可求解；

(2)由水池深度。。=6,則得蘆葦高度為。C=OO+Cr>=6+力，由題意有：OE=OC=b+n；

由勾股定理即可得證.

【詳解】(1)解：設(shè)水池深度為x尺，則蘆葦高度為OC=OD+CD=(x+l)尺，

由題意有：OE=OC=(x+l)尺；

?.,O為48中點(diǎn)，且48=1丈=10尺，

.,.CM=g/8=gxlO=5(尺)；

在RtAE/。中，由勾股定理得：AE2+OA2=OE2,

即x2+52=(x+1)2,

解得：x=12；

答案第6頁(yè)，共19頁(yè)

即OD=12尺；

答：水池的深度。。為12尺；

(2)證明：水池深度則蘆葦高度為6+

由題意有：OE=OC=b+n；

???O為48中點(diǎn)，且/8=2a,

/.OA=—AB=a；

2

在Rt△瓦40中，由勾股定理得：AE2+OA2=OE2,

BPb2+a2=(b+〃)2,

2_2

整理得：6=巴二巴；

2n

表明劉徽解法是正確的.

14.B

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，首先根據(jù)問題的條件可得到當(dāng)鉛筆與筆筒底垂直

時(shí)x最大，此時(shí)x最大值為鉛筆的高減去筆筒內(nèi)壁的高；分析可知，當(dāng)鉛筆如圖放置時(shí)場(chǎng)最

小，在RtZi/3C中，運(yùn)用勾股定理即可得到答案.

【詳解】解：當(dāng)鉛筆與筆筒底垂直時(shí)x最大，x最大=17-12=5(cm).

當(dāng)鉛筆如圖放置時(shí)x最小.

在R1AA8C中，AC2=AB2+BC2=U2+52=132，

.■.AC=13,

.-.x=17-13=4（cm）.

?1.x的取值范圍：4cm<x<5cm.

故選：B.

15.2

答案第7頁(yè)，共19頁(yè)

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，設(shè)水的深度為xm,則蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為(x+0.5)m,根

據(jù)題意，可得方程x?+1.5?=(x+0.5))解方程即可求解，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：設(shè)水的深度為xm,則蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為(x+0.5)m,

由題意可得，x2+1.52=(x+0,5)2,

解得x=2,

水的深度為2m,

故答案為：2.

16.(1)點(diǎn)A與點(diǎn)8之間的距離為50海里

(2)有0.7小時(shí)可以接收到信號(hào)

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用-航海問題，方向角的應(yīng)用，路程、速度、時(shí)間的關(guān)系,

熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵.

(1)由題意易得/NC8是直角，由勾股定理即可求得點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離；

(2)過點(diǎn)C作48交48于點(diǎn)在上取點(diǎn)M,N,使得CN=CM=25海里，分

別求得的長(zhǎng)，可求得此時(shí)輪船過九W時(shí)的時(shí)間，從而可求得最多能收到的信號(hào)次

數(shù).

【詳解】(1)解：由題意，得:NNCA=52°,NSC8=38。；

:.ZACB=900

?.?/C=40海里，8C=30海里;

AB=y]AC2+BC2=V402+302=50（海里）,

即：點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為50海里;

(2)解：過點(diǎn)C作交N2于點(diǎn)在上取點(diǎn)N,使得CN=CN=25海里.

CHLAB

NCHB=90°；

答案第8頁(yè)，共19頁(yè)

；

???S△TAiKocr=-2AC-BC=-2AB-CH、

.??5=24海里；

,.?CN=CM=25海里；

NH=MH=4cM2-CH2=7^B；

行駛時(shí)間為7x2+20=0.7(小時(shí)).

答：有0.7小時(shí)可以接收到信號(hào).

17.B

【分析】該題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意.

根據(jù)題意得出//O8=90。，/O=8nmile,2O=6nmile,再根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：ZAOB=l80°-50°-40°=90°,NO=8nmile,8O=6nmile,

?1?AB=ylAO2+BO2=A/82+62=10nmile，

故選：B.

18.25

【分析】本題考查了方向角，勾股定理的應(yīng)用.熟練掌握方向角，勾股定理的應(yīng)用是解題的

關(guān)鍵.

如圖，為9點(diǎn)時(shí)兩艘小船的距離，由題意知，

04=10x2=20,05=15x1=15,408=90。，由勾股定理得，AB=<0個(gè)+OB?，計(jì)算求

解即可.

【詳解】解：如圖，為9點(diǎn)時(shí)兩艘小船的距離，

北

由勾股定理得，AB=y]OA2+OB2=25>

故答案為：25.

19.(1)3如km

答案第9頁(yè)，共19頁(yè)

(2)2.1萬元

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)

鍵.

(1)由勾股定理求出8c=8km,貝|CD=3km,再由勾股定理求出AD的長(zhǎng)即可;

(2)由的面積求出的長(zhǎng)，即可解決問題.

【詳解】(1)解：由題意可知：AC1CB,

.-.ZC=90°,

vAC=6km,4S=10km,

BC=yjAB2-AC2=>/102-62=8km，

:.CD=BC-BD^S-5=3km,

.-.AD=ylAC2+CD2=A/62+32=3限m，

答：公路/。的長(zhǎng)度為3、6km;

(2)???AC1BC,DH1AB,

△AtfLf=-2BD-AC=-2ABDH，

:.BDAC^ABDH,

，修建林蔭小道ZW需要的費(fèi)用為3x0.7=2.1萬元.

20.A

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成勾股定理問題成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意直接運(yùn)用勾股定理進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：在中，根據(jù)勾股定理得：AB=s)BC2-AC2=V502-202=IOA/21.

故選：A.

21.24

【分析】由含30。角的直角三角形的性質(zhì)得/C=2BC=28(m),再由勾股定理求出月8的長(zhǎng)即

可.

【詳解】解：,??48,BC,

:.AABC^9Q°,AA8C為直角三角形.

???ZBCA=60°,

答案第10頁(yè)，共19頁(yè)

:.ZBAC=30°,

AC=2BC=28(m),

AB=yjAC2-BC2=4282-14〃=14V3(m)?24(m),

故答案為：24.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，由含30。角的直角三角形的

性質(zhì)求出AC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

22.最短路程是150cm.

【分析】展開后得到下圖的直角△/C8,根據(jù)題意求出NC、BC,根據(jù)勾股定理求出N8即

可.

【詳解】展開后由題意得：ZC=9O°,/C=3x25+3xl5=120,5C=90,

由勾股定理得：AB=ylAC2+BC2=A/1202+902=150cm,

答：最短路程是150cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，解決這類問題的基本思路是化曲面問題為平

面問題，再用所學(xué)的知識(shí)解決.

23.B

【分析】本題主要考查平面展開?最短路徑問題，兩點(diǎn)之間線段最短，有一定的難度，要注

意培養(yǎng)空間想象能力，將木塊展開，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答，解題的關(guān)鍵是能將側(cè)

面展開成長(zhǎng)方形，從而用勾股定理求解.

【詳解】解：由題意可知，將木塊展開，相當(dāng)于是N5+2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，

長(zhǎng)為20+2x2=24米；寬為16米.

于是最短路徑為：歷而=8而米.

故選：B.

答案第11頁(yè)，共19頁(yè)

DMFC

ANEB

24.17

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，是一道實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出

直角三角形，利用平移性質(zhì)，把地毯長(zhǎng)度分割為直角三角形的直角邊.

地毯的長(zhǎng)度實(shí)際是所有臺(tái)階的寬加上臺(tái)階的高，平移可得，臺(tái)階的寬之和與高之和構(gòu)成了直

角三角形的兩條直角邊，因此利用勾股定理求出水平距離即可.

【詳解】解：根據(jù)勾股定理和平移可得，樓梯水平長(zhǎng)度為：而寸=12米，

則紅地毯至少要12+5=17米.

故答案為：17

25.⑴新路"D長(zhǎng)度是120米

（2）該車沒有超速，理由見解析

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，勾股定理表示了直角三角形三邊

長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.當(dāng)題目中出現(xiàn)直角三角

形，且該直角三角形的一邊為待求量時(shí)，常使用勾股定理進(jìn)行求解.

（1）根據(jù)垂線段最短可畫出圖形，根據(jù)三線合一可求出N〃=160m,然后利用勾股定理可

求出新路長(zhǎng)度；

（2）先根據(jù)勾股定理求出。C的長(zhǎng)，再求出8c的長(zhǎng)，然后計(jì)算出速度判斷即可.

【詳解】（1）解：過點(diǎn)M作"交/于點(diǎn)D即是新路.

M

，沁、

/

/;\'、、、、、MA=MB=200m,MDVI,AB=320m,

/?\、、

l/in'、'、

ADBC

AD=-AB=-x32Q^160m,ZADM=90°,

22

在中，NADM=9Q°,

由勾股定理得/獷+虺？=/“2,

0.,AM=200m,AD=160m,

答案第12頁(yè)，共19頁(yè)

..A/Z）=120m,

新路〃D長(zhǎng)度是120米.

（2）解：該車沒有超速.理由如下:

在RhCMD中,ZCDM=90°,

由勾股定理得1f2,

CM=312m,A/D=120m,

:.CD=A/3122-1202=288m，

8C=OC-8C=288-160=128m,

???該車經(jīng)過8c區(qū)間用時(shí)16秒，

1oo

該車的速度為；h=8m/s,

16

?/8m/s<8.33m/s,

.??該車沒有超速.

26.8012

【分析】作4O_LCW于。，求出力。的長(zhǎng)即可解決問題，如圖以A為圓心50m為半徑畫圓,

路程、工館日m

交ON于5、。兩點(diǎn)，求出5。的長(zhǎng)，利用時(shí)間=氤計(jì)算即可.

【詳解】解：作4DLON于。,

vZMON=30°,ZO=160m,

/.AD=gOA=80m,

即對(duì)學(xué)校A的噪聲影響最大時(shí)卡車?與學(xué)校A的距離80m.

如圖以A為圓心100m為半徑畫圓，交ON于8、C兩點(diǎn)，

?/ADLBC,

;.BD=CD=-BC,

2

在RtA4BD中，BD=^AB2-AD2=V1002-802=60m,

5C=120m,

???重型運(yùn)輸卡車的速度為36千米/時(shí)=10米/秒，

:?重型運(yùn)輸卡車經(jīng)過8c的時(shí)間=120+10=12（:秒），

故卡車P沿道路ON方向行駛一次給學(xué)校A帶來噪聲影響的時(shí)間為12秒.

故答案為：80,12.

答案第13頁(yè)，共19頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用、解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添

加常用輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

27.這輛轎車違章，理由見解析

【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，先利用勾股定理求出8c的長(zhǎng)，進(jìn)而求出汽

車的速度，再與70比較即可得到結(jié)論.

【詳解】解：這輛轎車違章，理由如下：

由題意得，/C=30m,AB=50m,AACB=90°,

???BC=^AB2-AC2=40m，

40

汽車的速度為一=20m/s=72km/h,

2

???72>70,

.?.這輛轎車違章.

28.（1）受影響，理由見解析

（2）6小時(shí)

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用、含30度直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

（1）如圖：過N作尸，垂足為C,若40200,則/城不受影響，否則受影響；

（2）點(diǎn)/到直線B尸的長(zhǎng)為200千米的點(diǎn)有兩點(diǎn)，分別設(shè)為G,則△NOG是等腰三角

形，由于則。是。G的中點(diǎn)，在Rt"DC中，解出CO的長(zhǎng)，則可求。G長(zhǎng)，在。G

長(zhǎng)的范圍內(nèi)都是受臺(tái)風(fēng)影響，最后根據(jù)速度與距離的關(guān)系則可求時(shí)間即可.

【詳解】（1）解：/城會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響，理由如下：

如圖：過/作8尸，垂足為C,則/48C=30。，

在RtZk/BC中，AB=320fan,

.-.TIC=-T15=160km,

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答案第14頁(yè)，共19頁(yè)

?1?160<200,

??/城會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響.

北

（2）解：設(shè)3尸上點(diǎn)。,G,使4）=NG=2OO千米，

.?.△NOG是等腰三角形，

ACLBF,

,/C是DG的垂直平分線，

CD=GC,

在Rt“DC中，D4=200千米，/C=160千米，

???CD=ylAD2-AC2=V2002-1602=120（千米），

.?.OG=2OC=240千米，

???遭受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間是：1=240+40=6（小時(shí)）.

29.B

【分析】本題考查的是點(diǎn)勾股定理的應(yīng)用，過點(diǎn)A作/C_LON,利用直角三角形的性質(zhì)求

出NC的長(zhǎng)與200m相比較，發(fā)現(xiàn)受到影響，然后過點(diǎn)A作48=200m,求出8。的長(zhǎng)

即可得出受噪音影響的時(shí)間.

【詳解】解：如圖：過點(diǎn)A作/CLON,AB=AD=200^,

VZQON=30°,CM=240米，

4c=120米，

當(dāng)火車到B點(diǎn)時(shí)對(duì)A處產(chǎn)生噪音影響,此時(shí)AB=200米，

?."=200米，4C=120米，

，由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即80=320米，

火車在鐵路"N上沿ON方向以20米/秒的速度行駛，

...影響時(shí)間應(yīng)是：320+20=16秒.

故選：B.

答案第15頁(yè)，共19頁(yè)

30.20:00-24:00

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意是解答的關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理求得8。的長(zhǎng),

進(jìn)而分別求得臺(tái)風(fēng)開始影響到臺(tái)風(fēng)結(jié)束影響時(shí)的時(shí)間，然后可求解.

【詳解】解：由題意，=260km,=100km,AADB