第4講零點(diǎn)問題

典型例題

運(yùn)用分離參數(shù)法求解含參數(shù)的零點(diǎn)問題

【例1】已知函數(shù)〃x)=e;/.

(1)若a=l,求證：當(dāng)x..0時(shí)，

(2)若/(x)在(0,+巧上只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值.

【分析】第(1)問是一個(gè)恒成立問題，即證明當(dāng)X..0時(shí)，-/..I恒成立.只需證明函

數(shù)〃x)=e，-d在區(qū)間[o,+巧上的最小值是1.這樣把恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)在區(qū)

間上的最值問題,利用導(dǎo)數(shù)可以解決這個(gè)問題.本題/'(x)=e'-2x,并不能直接求出

函數(shù)的零點(diǎn)，此時(shí)可以通過了'(x)的導(dǎo)數(shù)，先研究尸(x)=e，-2%的單調(diào)性，再解決

/(x)=e=好的最值問題.

解決恒成立問題的另一個(gè)思路是對(duì)原函數(shù)進(jìn)行整理變形,構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù),通過研

究新函數(shù)的圖像性質(zhì)，解決原函數(shù)的問題.構(gòu)造新函數(shù)的方式有很多,作差、作商等,

需要根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)選擇合適的方法.觀察到xe[0,+”)，且(ef)=-e—￡<0,我們

可以將/(x)?.1轉(zhuǎn)化成1+1)「-L,0,研究函數(shù)g(x)=(V+l)e--l的性質(zhì)解決問

題.

第⑵問是函數(shù)的含參零點(diǎn)問題,常見的解法有：①分離參數(shù)法,將/(x)=0轉(zhuǎn)化為

1222

,然后利用函數(shù)/7(x)=0的單調(diào)性得到力⑺的大致圖像再根據(jù)曲線y=j

aeee

與直線y=!只有一個(gè)公共點(diǎn),利用函數(shù)與方程的關(guān)系得到a的值.②帶參討論法，

a

根據(jù)已知條件，/(x)在(0,+oo)上只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于=1-ax2e~x在(0,+“)上

只有一個(gè)零點(diǎn),然后研究〃(%)的單調(diào)性,再根據(jù)〃(x)的最小值分類討論,排除不符

合題意的參數(shù)。的范圍,進(jìn)而得到a的值.

【解析】(1)解法一當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=e*-x2,貝1J尸(x)=eX-2x.

令g(x)=r(x)=e*-2x,則g,(x)=eA-2,令g，(x)=e*-2=0,貝！Jx=ln2.

當(dāng)xe(^x?,ln2)時(shí)，g，(x)=e*-2<0,當(dāng)xe(ln2,+oo)時(shí)，g<x)=e*-2>0,所以

g⑴=f\x)=s'1-2x在(e,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+功上單調(diào)遞增.因此

g(%)=/'(無)=e*-2x..f(ln2)-2-21n2>0.

故函數(shù)=e'-d在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x..0時(shí)，

/(x)=e'-x2../(O)=l.

解法二當(dāng)a=l時(shí)，〃％)..1等價(jià)于卜2+1”*-1?0.

設(shè)函數(shù)g(x)=+1)右一1,則g，(x)=-—2x+1)「=-(x-l)2e-x.

當(dāng)xwl時(shí)，g<x)<0,所以g(x)在(0,+力)上單調(diào)遞減.而g⑼=0,故當(dāng)x..0時(shí)，

g(x),,0,即/(%)..1.

⑵解法一分離參數(shù)法.

當(dāng)a=0時(shí)，〃耳=3在(0,+")上沒有零點(diǎn),所以"0.

1V2r2

由〃%)=0得：=],所以〃x)在(0,+動(dòng)上只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于曲線y='與直

線y=：在(0,+”)上只有一個(gè)公共點(diǎn).

2_2

fXX

令//(%)=—,貝uh(x)=x(%>0),所以//⑵=0.

當(dāng)％?0,2)時(shí),“(%)>0,旗兄)在(0,2)上單調(diào)遞增;當(dāng)％?2,+8)時(shí)，”(%)v0,4⑺

在(2,+8)上單調(diào)遞減.所以/z(x)在(0,+8)上的最大值為力⑵=金.

6

Y2一

因?yàn)?z（O）=O,且當(dāng)Xf+8時(shí)，=0.所以在（0,+8）上只有一個(gè)零點(diǎn)

e

時(shí)，CZ=—.

4

解法二等價(jià)轉(zhuǎn)化后帶參討論.

設(shè)函數(shù)〃（x）=l-依2e：則當(dāng)且僅當(dāng)〃（%）在（0,+”）上只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)在

（0,+力）上只有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)④0時(shí),/?（%）＞0,則丸（x）沒有零點(diǎn),不合題意.

當(dāng)a＞0時(shí)，=av（x-2）eT.于是,當(dāng)xe（0,2）時(shí)，/?/（%）＜0；當(dāng)xe（2,+oo）時(shí),

〃（x）＞0.所以〃⑺在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2,+功上單調(diào)遞增.故。（2）=1-t；

e

/z（x）在［0,+8）上的最小值.

e2

①當(dāng)〃（2）＞0,即a＜?時(shí)，/?（%）在（0,+力）上沒有零點(diǎn).

2

②當(dāng)〃（2）=0,即。=,e時(shí)，/?（%）在（0,+⑹上只有一個(gè)零點(diǎn).

2

e

③當(dāng)〃（2）＜0,即a＞］時(shí)，因?yàn)橥瑁?）=1,所以丸（x）在（0,2）上有一個(gè)零點(diǎn)，由⑴知,

當(dāng)%＞0時(shí)，e"＞/，所以

7人\116。316〃

VI2(2a)4a

故〃（%）在（2,4a）上有一個(gè)零點(diǎn)，因此/?（%）在（0,+力）上有兩個(gè)零點(diǎn).

2

綜上所述,當(dāng)了⑺在（0,+動(dòng)上只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a=}e

【點(diǎn)睛】第(2)問的兩種解法分別從分離參數(shù)和分類討論來研究已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)

數(shù),進(jìn)而求解參數(shù)(范圍)，這也是我們解決此類問題的常用方法.在應(yīng)用的過程中，我

們需要注意以下幾點(diǎn)：

⑴分離參數(shù)法可以將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,但這需要我們掌握一些簡(jiǎn)單的極限知識(shí),特

別是對(duì)想要在壓軸題上有所發(fā)揮的學(xué)生非常有必要.比如解法一中要注意說明當(dāng)

x—時(shí)，=■->0,否則欠嚴(yán)謹(jǐn).

⑵利用分類討論的方法，難點(diǎn)在于對(duì)分類討論時(shí)機(jī)的把握和分類時(shí)分界點(diǎn)位置的準(zhǔn)

確判斷.這不僅要考慮導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)號(hào),而且要兼顧題目中的參數(shù),必要時(shí)還要對(duì)參

數(shù)值進(jìn)行放縮.

(3)函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.遇到函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合問題時(shí)，我們要了解

由幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)兩兩組合的新函數(shù),熟悉掌握它們的圖像和性質(zhì).

分類討論判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

【例2】已知函數(shù)/(x)=e=x,設(shè)g(x)=〃x)-依，當(dāng)函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零

點(diǎn)時(shí),求。的取值范圍.

【分析】

函數(shù)g(x)的零點(diǎn)問題可以轉(zhuǎn)化為方程g(x)=0的解的問題，還可以從圖形上看作函

數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)情況.當(dāng)方程比較復(fù)雜時(shí),又可以將方程適當(dāng)變形,轉(zhuǎn)化為其他

方程的解的問題,或者對(duì)應(yīng)的新函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)問題.當(dāng)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí),

對(duì)函數(shù)的研究往往要用到分類討論的思想方法.

【解析】解法一直接構(gòu)造差函數(shù),分類討論.

由^(%)=/(%)-av=ex-(l+a)x,得g'(x)=e*+

令g，(x)=0,得e<(l+a)=0.關(guān)于方程的零點(diǎn)情況可分以下幾種情況討論:

①當(dāng)l+a=O,即。=一1時(shí)，函數(shù)g(x)=e*>0,無零點(diǎn).

②當(dāng)l+a<0,即。<一1時(shí)，g'(x)>0,貝(J函數(shù)g⑺=e，一(l+a)x在(一oo,+oo)上單調(diào)

遞增.因?yàn)間(0)=l>0,g|￡^=e""

-1<0,所以函數(shù)g(x)在上有且僅有

一?個(gè)I零X占八、、?

③當(dāng)1+〃>0,即a>—1時(shí),令g<%)=0,得％=ln(l+a).

當(dāng)x變化時(shí)，g'(九)與g(九)在上的變化情況見表4.1.

表4.1

(ln(l+a),+8)

Xln(l+tz)

g'(x)—0+

g(x)極小值/

由表可知，g(%)遍=g(ln(l+a))=eE(i+")_(l+a)ln(l+a)=(l+Q)[l-ln(l+a)].

當(dāng)g(ln(l+a))=0時(shí),函數(shù)g(x)有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)?+〃>。，則l-ln(l+〃)=0,所以

a=e—1.

當(dāng)g(ln(l+a))>0時(shí)，g(x)>0恒成立,無零點(diǎn).

當(dāng)g(ln(l+a))v0時(shí)，因?yàn)?+々>0,所以l—ln(a+l)v0,則〃>e—1.此時(shí)極小值點(diǎn)

%=ln(Q+l)>1.因?yàn)間(0)=l>0,所以g(x)在(0,ln(l+a))上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

g(21n(l+a))=(1+a)2-2(l+a)ln(l+a)=(l+a)[(l+a)-21n(l+a)].

下證(1+a)-21n(l+a)>0.

設(shè)1=l+a,則(1+a)—21n(1+a)=.—21n/">e).

2r-2

令力⑺=%—21n，Q>e),貝U/?)=1—：=—^―>0,

所以/z⑺在(e,+“)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?z(e)=e-2>0,所以>/i(e)>0,即(l+fl)-21n(l+?)>0.又因?yàn)閘+a>0,

所以g(21n(a+l))>0,所以g(x)在(ln(l+a),21n(1+a))上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).由

g(x)的單調(diào)性知，g(x)在上有兩個(gè)零點(diǎn),不合題意.

綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是。<-1或a=6-1.

解法二分類討論,參變分離構(gòu)造新函數(shù).

由題意，g(x)-f[^x)-ax=€c-(l+a)龍,令g(x)=0,貝(Je，-x-ax=0.

當(dāng)x=0時(shí)，g(x)w0,函數(shù)g(x)無零點(diǎn).

當(dāng)xwO時(shí)，el-x-ax=0,BPa=-——1.令T(x)=^——1,貝UT'(x\=^令

XXX

T[x)=O,得x=l.

當(dāng)X變化時(shí)，r(x),r(x)在上的變化情況見表4.2.

表4.2

X(-8,0)(0,1)1(1,+°0)

T'(x)——0+

T(x)極小值/

當(dāng)函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，直線y=a與y=T(x)有且只有一個(gè)公共點(diǎn).由

T(x)的單調(diào)性知，T(x)在(0,+")上有最小值7\l)=e-1,故當(dāng)a=e-1時(shí)滿足題意.

①當(dāng)x<0時(shí)，T(X)=_一1<-1,即。<—1,貝|]〃+1<0,—<0,所以

xa+1

11

0<efl+1<10(〃+1戶+1>a+l,

故1J=(a+l)e"i—I〉+=a

同理，由av—1,得2a<—2,則—〉—，所以

2a2

J--111-J-1

〉e2=——>一n2〃?<2a--=a,

近22

i

2ae2a-1<a-l<a.

所以當(dāng)。＜-1時(shí),直線y=a與y=T（x）在上有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

②下證在（0,+動(dòng)上,當(dāng)1.0時(shí)，T（x）+oo.

由于丁(九)在(0,+8)上有最小值m=e-l,所以對(duì)任意心e-l,取/=-j￡(0,l),

1

，['e"+i1

貝UT\—=--—1>--—i=〃+i—1=〃.

+11]]

M+1M+1

故對(duì)于任意M>e-Hje(0,1)，使得T(x())>“，得證.

③下證在(0,+力)上，當(dāng)X—>+oo時(shí)，T(x)f+oo.

首先證明當(dāng)x>0時(shí)，ev>x2.

設(shè)G(x)=eA-x2,則G(x)=ev-2x.

設(shè)H(x)=G(x)=e*-2x,貝ij"(x)=ex-2,令7T(x)=0,得x=ln2.

當(dāng)0<x<ln2時(shí),7T(x)<0,故〃(x)在(O,ln2)上單調(diào)遞減;當(dāng)x>ln2時(shí)，H'(x)>0,

故〃(x)在(ln2,+x)上單調(diào)遞增.所以H(x)^n=H(ln2)=2-21n2=2(1-ln2)>0,

所以H(x)=G(x)>0,故G(x)在(0,+”)上單調(diào)遞增.

因?yàn)镚(0)=1>0,所以G(x)>G(0)>0,故當(dāng)x>0時(shí)，e，>必恒成立.于是對(duì)于任意

e與九2

u>e-l,^x0=u+l>e,則有7(/)=----1>—-1=X0-1=M.

Xoxo"

故對(duì)于VM〉e-1,%=i/+l〉e,使得T(/)>〃，得證.

所以當(dāng)xc(0,l)時(shí),T(x)e(e—l,+oo)；當(dāng)xe(l,+oo)時(shí),T(x)e(e—l,+oo).則直線

y=a與y=T(x)在(0,1)和(l,+oo)上分別有1個(gè)交點(diǎn)，即直線y=a與y=T(x)在

(0,+oo)上有2個(gè)交點(diǎn),不合題意.

綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是。<-1或々=6-1.

【點(diǎn)睛】

一般情況下,對(duì)于含參數(shù)的問題,如果直接求解,往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,這種

分類討論通常會(huì)比較煩瑣;如果能用到參變分離,往往能起到化繁為簡(jiǎn)的效果,從而

避免煩瑣的分類討論，但是參變分離后的函數(shù)并不都是容易研究的,在函數(shù)的取值范

圍方面，中學(xué)范圍內(nèi)經(jīng)常會(huì)難以表述清楚.本題就參變分離后構(gòu)造的新函數(shù)T(x)在

和(0,+力)上的兩個(gè)不連續(xù)區(qū)間內(nèi)的變化情況做了嚴(yán)密的證明.

從證明過程中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x<0時(shí)，T(x)是單調(diào)遞減的，但是T(x)向上無限接近于

-1,向下無限減小的過程很難描述清楚.本題活用零點(diǎn)存在定理,在(y,0)上找到

兩個(gè)點(diǎn)和U，T使力工］〉."/］，這樣就證明了直

(a+1+\2a\2a))+\2a)

線y=a與y=T(x)在上有且只有一個(gè)公共點(diǎn).但是這兩個(gè)點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)本身

'，^+12a)

就是一個(gè)難點(diǎn)，利用不等式性質(zhì)、放縮法等證明直線y=a恰好卡在這兩個(gè)點(diǎn)之間也

不是一件輕而易舉的事情.

在(0,+8)上,當(dāng)xf0時(shí)，T(x).+”的過程以及當(dāng)xf時(shí)，T(x)—的過程，

這兩個(gè)變化的證明都用到了高等數(shù)學(xué)中的極限思想,如果不加證明，則如何說明對(duì)于

任意a>e-1,函數(shù)T(x)都與直線y=a有公共點(diǎn)?若加以證明，其難度可想而知.如

果高中學(xué)生遇到參數(shù)問題每次都選用參變分離的辦法解決問題，那么在某些題目上

往往能善始卻很難善終,結(jié)果是很難拿到滿分.

因此,任何一種方法有其優(yōu)越性，同樣也有其局限性,遇到問題還要善于選擇,靈活應(yīng)

變,方能游刃有余.

重組函數(shù)(導(dǎo)函數(shù))解析式,判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

【例】3已知函數(shù)/⑺=2e*-依2_2%—2,求證：當(dāng)④0時(shí)，函數(shù)/(x)有且只有一

個(gè)零點(diǎn).

【分析】

判斷函數(shù)“X)的零點(diǎn),重要的一步是判斷“X)的基本圖像,這主要借助導(dǎo)數(shù)的符號(hào)

來確定，因此對(duì)于導(dǎo)數(shù)的研究就顯得尤為重要.當(dāng)觀察導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，注意到參數(shù)

④0,因此可首先考慮將導(dǎo)數(shù)的解析式重組,利用不等式性質(zhì)來判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào),這

是較為直接的一種方法.

證法一重組導(dǎo)數(shù)解析式，充分利用不等式性質(zhì).

對(duì)函數(shù)/(x)求導(dǎo)，得

/'(X)=2(e*-ox-1)=2[(e*—

因?yàn)榘?)=040,所以當(dāng)x>0時(shí)，e、>l,則e*-1〉0,-ax..O,所以/'(x)>0.同理,

當(dāng)x<0時(shí)，r(x)<0.故〃x)在(-",0)上單調(diào)遞減,在(0,+功上單調(diào)遞增.因此函

數(shù)〃x)的最小值為/(0)=0,故“X)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

證法二將導(dǎo)數(shù)構(gòu)造為新函數(shù).

當(dāng)4,0時(shí),令g(x)=f'^x)-2ex—2ax—2,則=2e*-2a>0,故g(x)在R上是增

函數(shù).

因?yàn)間(O)=O,故當(dāng)x<0時(shí)，g(x)<0;當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0.即當(dāng)x<0時(shí)，/,(x)<0;

當(dāng)x>0時(shí)，r(x)>0.故“X)在(7,0)上單調(diào)遞減，在(0,+功上單調(diào)遞增.因此函

數(shù)/(x)的最小值為f(O)=O,故/(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

證法三參變分離構(gòu)造新函數(shù).

由f(x)=2e*—加一2x—2=0,ax2=2ex-2x-2.當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=0.

x

2(e-x-1^

當(dāng)xw0時(shí)，x?>0,則a=—......-------.設(shè)h^x)-ex-x-1,則"(x)=e*-1,令

"(x)=0,得x=0.

當(dāng)x變化時(shí)，”(無)/(尤)在(-七,+”)上的變化情況見表4.3.

表4.3

X(-°0,o)0(0,+oo)

"(%)—0+

/z(x)極小值/

所以/z(x)1nto=無⑼=0,因?yàn)閤w0,所以丸⑺>0.

2(x-x-l'l2(ex-x-1^

因?yàn)閐〉0,所以」~e~^〉0,而④0,故直線y=a與y~—^無公共點(diǎn).

x-x-

所以當(dāng)x/0時(shí)，/(x)無零點(diǎn).

所以當(dāng)6,0時(shí)，函數(shù)/(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

重組導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)的解析式,充分利用不等式性質(zhì)判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào),或者判斷原函數(shù)的

取值范圍，一般會(huì)比較直接，比構(gòu)造新函數(shù)更為便捷,這時(shí)要仔細(xì)觀察導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)

的結(jié)構(gòu),將解析式合理恰當(dāng)?shù)刂匦陆M合,結(jié)合不等式性質(zhì)、定義域以及相關(guān)不等式的

證明技巧等，以達(dá)到簡(jiǎn)化解題過程的目的.

零點(diǎn)問題與兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化

【例4】已知函數(shù)〃x)=xcosx+a(aeR),判斷方程尸(x)=0(尸(x)為的導(dǎo)數(shù))

在區(qū)間(0,1)內(nèi)的根的個(gè)數(shù),說明理由.

【分析】

方程的根即對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)從圖形上看，就是函數(shù)圖像與X軸的交點(diǎn)，

于是等價(jià)轉(zhuǎn)化是必不可少的,研究零點(diǎn)問題本質(zhì)上是在研究函數(shù)的圖像和性質(zhì).本題

可將/'(%)作為新函數(shù)研究其零點(diǎn)；也可將方程/(%)=0等價(jià)變形,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)

的交點(diǎn)問題.

【解析】解法一將導(dǎo)數(shù)構(gòu)造為新函數(shù).

對(duì)求導(dǎo),得/=cosx-xsinx.設(shè)g(x)=/〈x),則

g'(x)=-sinx一(sinx+xcosx)=-2sinx-xcosx.

當(dāng)xe(O,l)時(shí),sinx>0,cosx>0,所以g'(x)<0,則函數(shù)g(x)在(0,1)上為減函數(shù).又

因?yàn)間(0)=1>0,g(1)=cosl—sinl<0,所以有且只有一個(gè)/e(0,1),使g(與)=0成

立.

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程/(力=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有

且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

解法二零點(diǎn)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題L

令/f(x)=cosx-xsinx=0,得cosx=xsinx.設(shè)〃(x)=jsinx,則/i'(x)=sinr+xcosx.

當(dāng)xc(0,l)時(shí),sin%>0,cosx>0,則”(x)>0,所以丸(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.

因?yàn)閥=cosx在(0,1)上單調(diào)遞減，且cosl<cosx<1,0<xsinx<sinl,又因?yàn)?/p>

sinl>sin—=cos—>cosl,所以3x0e(0,l),使得cosx0=x0sin%0,且當(dāng)x￡(O,/)時(shí)，

cosx>cosx0=xosinxo>xsiwc;當(dāng)xw(y,1)時(shí)，cos%<cosx0=xosinxo<xsinx.故函數(shù)

y=cosx與/z(x)在(0,1)上有且僅有一個(gè)交點(diǎn).所以方程cos%=%sinx在區(qū)間(0,1)上

有且僅有一個(gè)解，即方程/(%)=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

解法三零點(diǎn)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題H.

令/'（x）=cosx—鄧inx=O,得cos%=xsinx,當(dāng)xw（0,l）時(shí)，cosxwO,所以—=tanx.

因?yàn)閥=J■在（0,1）上單調(diào)遞減，丁=12.在（0,1）上單調(diào)遞增,又因?yàn)?gt;=工?1,+”）,

XX

tanxG（0,tanl）,.Btanl>tan—=1,tanl<tan—=A/3<2,所以當(dāng)％=-時(shí)，

v7432

iiii

—=2>tanl>tan—,故土°￡（0,1）,使一=tanx0.由單調(diào)性知，函數(shù)y=—與函數(shù)

x2x0x

y=tanx在（0,1）上有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

方程:=tanx在（0,1）內(nèi)有且僅有一個(gè)解，即方程/（%）=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)有且僅有一

個(gè)實(shí)數(shù)根.

【點(diǎn)睛】

有關(guān)函數(shù)的零點(diǎn)問題，通常可以考慮函數(shù)的零點(diǎn)、方程、圖像交點(diǎn)這三者之間的相

互轉(zhuǎn)化,而且這三者各具特點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)有“零點(diǎn)存在定理”作為理論基礎(chǔ)，可通

過區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)和函數(shù)的單調(diào)性確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù);方程的特點(diǎn)在于能夠進(jìn)行靈

活的變形,從而將等號(hào)兩邊的表達(dá)式分別構(gòu)造為兩個(gè)易于研究的函數(shù)；圖像的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)可以結(jié)合計(jì)算、零點(diǎn)存在定理以及圖像來判斷.這三者的巧妙轉(zhuǎn)化對(duì)于解決零點(diǎn)

問題勢(shì)必起到事半功倍的效果.

方程的解的問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，至于如何轉(zhuǎn)化,研究哪個(gè)函數(shù),這就要具

體問題具體分析.首先要保證是等價(jià)轉(zhuǎn)化;其次轉(zhuǎn)化后的函數(shù)要易于研究,其圖像和

性質(zhì)是可解、可知的;最后當(dāng)有多種轉(zhuǎn)化方式時(shí)，要預(yù)估一下運(yùn)算量，比較難度，設(shè)計(jì)

求解方案.

分析函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）結(jié)構(gòu),確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

［例5］已知函數(shù)f（x）=（x-l）ex+ar2,當(dāng)-g<a<0時(shí),判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【分析】

函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以通過函數(shù)的圖像來判斷，即判斷函數(shù)圖像與X軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù),

般先通過導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性,再通過求極值以及函數(shù)的取值范圍來確定

函數(shù)的基本圖像.但是，函數(shù)的極值、最值、取值范圍等往往不容易確定，尤其在含

參數(shù)的函數(shù)中難度更大,此時(shí),如果能通過函數(shù)的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)端倪,確定其正負(fù),往往能

達(dá)到避重就輕的效果.

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得/'(%)=xe*+2ax=%(e"+2〃).

當(dāng)一g<a<0時(shí)，0<—2a<l,令/(％)=0,解得為=0,々=ln(—2a)<0.

/(力,/(力在(-(?,+00)上隨工的變化情況見表4.4.

表4.4

In(—2(7)0(0,+力)

()

/'X+0—0+

/極大值極小值/

“X)

所以當(dāng)x=0時(shí)，有極小值〃0)=-1,且/(2)=e2+4a>e2-2>0,所以“X)在

(0,+“)上恰有一個(gè)零點(diǎn).

下證當(dāng)x<0時(shí)，/(x)<0.

【解析】證法一直接分析函數(shù)結(jié)構(gòu)，巧妙判斷函數(shù)值的符號(hào).

當(dāng)x<0時(shí)，X—1<0,因?yàn)?。>0,所以(x—1”<0.

由已知，-gcacO,得ax?<0,所以/(x)<0,故/(x)在(-oo,0)上無零點(diǎn).

證法二求極值，將極值函數(shù)式重新組合，再判斷函數(shù)值的符號(hào).

當(dāng)x=ln(-2a)時(shí)，/(%)有極大值

f(in(-2a))=-2a[ln(-2。)一1]+a[In

=[aln(-2a)][in(-2Q)-2]+2a,

由一；<a<0,得0<—2a<1,則ln(-2?)<0,從而aln(—2a)>0,ln(-2?)-2<0,因止匕

[aln(-2a)][in(-2a)-2]<0,故/(in(-2叫<0.

所以當(dāng)x<o時(shí)，/(%)<o,故y(x)在(—a,。)上無零點(diǎn).

證法三求極值，將極值函數(shù)式配方，再判斷函數(shù)值的符號(hào).

當(dāng)x=In(-2a)時(shí)，/(x)有極大值f(in(-2a))=-2a[ln(-2a)-1]+?[In(-2a)]2

=a|^ln2(-2a)-21n(-2a)+2]

=a{[In(-2a)-1]2+1).

所以/[ln(-2a)]<0,因止匕，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)<0,故在(—力,0)上無零點(diǎn).

綜上可知，/(x)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

在解題過程中，我們往往過于關(guān)注導(dǎo)數(shù)或者極值的情況,而忽視了對(duì)于原函數(shù)的研究.

而我們的目標(biāo)是研究原函數(shù)，因此在關(guān)注導(dǎo)數(shù)和極值的同時(shí)要注意對(duì)原函數(shù)的取值

情況的分析,解題方能游刃有余.

巧取特殊點(diǎn),證明零點(diǎn)的存在性

[例6]已知關(guān)于x的函數(shù)〃％)=與三("0).若函數(shù)/尤)=〃龍)+1沒有零點(diǎn)，

求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【分析】

函數(shù)的零點(diǎn)問題，通常可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與X軸的交點(diǎn)問題，這樣就可以直接利用導(dǎo)數(shù)

尸(“研究函數(shù)尸(x)的圖像;也可以將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程尸(x)=0的解的

問題,這樣可以將方程適當(dāng)變形,研究對(duì)應(yīng)的新函數(shù)與X軸的交點(diǎn)情況.在本題中，函

數(shù)尸(x)無零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)尸(x)與x軸無交點(diǎn)，即尸(x)>0恒成立或尸⑺<0恒

成立.具體應(yīng)當(dāng)是哪種情況,可以用特殊點(diǎn)驗(yàn)證.另外，當(dāng)證明某個(gè)范圍內(nèi)存在零點(diǎn)時(shí),

也需要用特殊點(diǎn)驗(yàn)證,而尋找特殊點(diǎn)常常不是一件容易的事情,本題提供了幾種取點(diǎn)

的方法，以供參考.

【解析】

解法一由題意,得網(wǎng)力=竺二+1,貝次白)=生上，令尸(￡)=0,得x=2.

CC

當(dāng)〃<0時(shí)，尸'(X)和F(x)在(-8,+8)上隨X的變化情況見表4.5.

表4.5

X(-"’2)2(2,+“)

廣(X)—0+

/(X)極小值/

所以以X■=/2)=0+1.

e

由于廣⑴=1>0,若使函數(shù)尸(x)沒有零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)2)=￡+1>0,解得a〉-e?,

所以此時(shí)-e?<a<0.

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)和F(x)在(y,+力)上隨x的變化情況見表4.6.

表4.6

X(-“’2)2(2,+oo)

產(chǎn)（無）+0—

尸（X）/極大值

所以當(dāng)x>l時(shí)，歹⑺=a（l）+］〉］〉O.

下證存在％<1,使/（%）<0.

證法一放縮法取點(diǎn).

一1——1—1H.

因?yàn)椤?gt;0,所以—<0,因此0<e"<1,—p>l,故一]-<—1.又因?yàn)閉-<0,所以

(\

故此時(shí)F（X）在上存在零點(diǎn)，不合題意.

證法二放縮法結(jié)合方程取點(diǎn).

由題意,得尸（耳=IJ-，

/1-2

則Id

ea

3i--（3

因?yàn)閍>0,則1—二<1,從而0<e〃<e<3,所以川1—<0.

aya

故此時(shí)尸（X）在［1-*1）上存在零點(diǎn)，不合題意.

證法三取點(diǎn)情況不確定,可分類討論.

由題意，得

當(dāng)0<a<1時(shí)，Ina<0,則尸(Ina)=―=Ina<0,

所以歹(x)在(Ina,1)上存在零點(diǎn)，不合題意.

當(dāng)a=l時(shí)，網(wǎng)力=三臂.因?yàn)槭?0)=0,所以尸(x)存在零點(diǎn)，不合題意.

當(dāng)a>l時(shí)，/⑼=1-a<0,所以尸(x)在(0,1)上存在零點(diǎn)，不合題意.

綜上所述,實(shí)數(shù)。的取值范圍是-e?<a<0.

解法二由題意，得尸(x)=竺詈至

令尸(x)=0,得ar-a+e"=0,即方程ar—a+e"=0在R上無解.

設(shè)g(x)=雙一〃+1,貝1Jg'(x)=a+e".當(dāng)a<。時(shí),令g'(x)=0,得e"=-a,x=ln(—a).

g\x)和g⑴在(T,+8)上隨X的變化情況見表4.7.

表4.7

X(-00,In(-a))ln(-6z)(in(-a),+oo)

g'(x)—0+

g(x)極小值/

所以gOOmin-S(in(-?))=aln[-a)-a+{-a)=aln(一Q)-2a,

由于4)=e>0,若使函數(shù)尸⑺沒有零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)g(ln(-a))>0,解得〃>-e2,所

以—c2<av0.

當(dāng)a>0時(shí),g'(x)>0,所以g(jr)在(-8,+功上單調(diào)遞增,且g(l)=e>0.

下證g@)存在零點(diǎn).

i

證法一令％=-工，得gea一]-Q.

a

因?yàn)閍>0,貝ij一，<0,從而ea<1,ea-l<0,所以g1B<0,故g(x)在[一L]

上存在零點(diǎn),不合題意.

證法二令x=l一。，則=e'a-3.

aya)

因?yàn)閍〉0,則1一。<1,從而e"<e<3,所以g“—aj<0,故g(x)在上存

在零點(diǎn),不合題意.

證法三因?yàn)間(l)=e>0,g(0)=l-a,所以當(dāng)a>l時(shí)，g⑼<0,則g(x)在(0,1)上存

在零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)a=l時(shí)，g(0)=0,則g(x)在(0,1)上存在零點(diǎn)0,不合題意；當(dāng)

0<a<l時(shí)，lna<0,g(lna)=alna<0,則g(x)在上存在零點(diǎn)，不合題意.

綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是-e?<a<0.

【點(diǎn)睛】

函數(shù)零點(diǎn)的存在性經(jīng)常需要取特殊點(diǎn)來證明，而特殊點(diǎn)的選取往往是導(dǎo)數(shù)部分的難

點(diǎn)所在.因此對(duì)于本部分的問題,可以不斷積累常見的取點(diǎn)辦法，以求臨陣不慌.下面

詳細(xì)介紹本題中取點(diǎn)的思維過程供大家參考.

解法一中七的選取分析思路如下：

證法一由于a>0,尸(力=竺+1-烏，又因?yàn)?烏<0,故只需使竺+L,0.考慮當(dāng)

7eeee

x<0時(shí)，0<e工<1,可以用放縮法取點(diǎn)：

當(dāng)x<0時(shí)，0<爐<1,則二〉1,所以當(dāng)a>0時(shí)，§>a,因止匕W<ax.所以止匕時(shí)可令

e"e'e"

ax=-l,得X=_工<0,即可取/=--<1.

aa

證法二由于E（X）=JxT）+e',當(dāng)時(shí)，e'<e<3,可令a（x—1）=—3,解得

x=l--<l,即可取％=1-±<1.

aa

本題利用了放縮法結(jié)合方程取點(diǎn).

,ax+\&x-a\

證法三由于F（x）=----------,當(dāng)x<0時(shí)，ax<0,故令ex-a=0,得x=lna，但

Ina符號(hào)不確定,進(jìn)而考慮對(duì)Ina分類討論.

解法二中的三種證法類似解法一中的三種證法,不再贅述.

利用不等式的相關(guān)技巧求解函數(shù)的零點(diǎn)問題

【例7】已知函數(shù)一。卜2+X+1）,求證：〃x）只有一個(gè)零點(diǎn).

【分析】

研究函數(shù)的零點(diǎn)問題,通?？梢赞D(zhuǎn)化為研究函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的解的問題,或者通過研究

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定原函數(shù)的大致圖像,判斷其零點(diǎn).具體問題需要靈活選擇.如果直接

求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為含參的二次函數(shù),則要注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,并且/（X）的極值符號(hào)

較難判斷，要注意充分利用極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0的等式分離出/=26+*以達(dá)

到將原函數(shù)中V降次的目的.

另外,注意到本題中/+大+1=仆+![+。..2,

于是可考慮將方程〃x）=0等價(jià)變

I2J44

形,或分離參數(shù).并且好+x+l又是三一1的一個(gè)因式,故變形后的方程可以運(yùn)用放縮

的技巧與分離常數(shù)的技巧等.

【解析】

解法一巧用降次的技巧.

已知/(x)=jX3-+X+1),貝|J廣(%)=/一2依一”.

令/"(%)=x2-2ax-a=Q,貝！J△=4(4+a).

①當(dāng)—啜上0時(shí)，△=4(/+a),,0,所以廣(力=_?—2依—a.O,

所以/(x)在(7,+")上單調(diào)遞增.

因?yàn)?3a..；〉0,/(-3)=_9_7④-9+7=-2<0,

所以存在唯一的xe(-3,l),使得/(x)=0,即/(力只有一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)〃<一1時(shí)，A=4(儲(chǔ)+a)>0,方程/'(%)=%2-2雙一々=0的兩個(gè)根記為西，x2,不

妨設(shè)玉</，當(dāng)不變化時(shí)，/'(x)"(x)在(-8,+e)上的變化情況見表4.8.

表4.8

X(玉，馬)x2(生+力)

/'(X)+0—0+

“X)/極大值極小值/

所以此時(shí)/(%2)=-+%2+1),

而/'(電)=埸-23一〃二0,

所以其=2ax?+a,/(4)———%；+4+1)

=；(2%+a)%2-+%2+1)

=——%2++3)>0.

因?yàn)?(%)在(七,元2)上單調(diào)遞減，在(x2,+8)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)"百時(shí)，/(x)>0,

又因?yàn)?(3a_l)=g(3a_l)3_a[(3a_l)2+(3q_l)+l]

2

化簡(jiǎn)得"3"1)=—6片+24—g=—6-1<0

6

因?yàn)椤▁）在（-”,石）上單調(diào)遞增，所以存在唯一的x?3a-l,石），使得〃力=0,即

“X）只有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)“〉0時(shí)，A=4（a1+a^>0,方程/'（%）=尤2-20^-〃=0的兩個(gè)根記為百,々，不

妨設(shè)項(xiàng)<%,當(dāng)x變化時(shí)，/'（力,/（力在上的變化情況見表4.9.

表4.9

X尤1)再%

/'（無）+0—0+

/（X）/極大值極小值/

所以此時(shí)/（玉）+項(xiàng)+1）,

又因?yàn)椤?）=片_2的=0,

2

所以片=2叼+即因此同②中，可降次求得/（x1）=-j（x1+2x1+3）<0,

因?yàn)椤癤）在（-8,%）上單調(diào)遞增，在（%,/）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)不，/時(shí)，/（X）V。，

又因?yàn)椤?a+l）=g（3a+l）3_a[（3a+l）2+（3a+l）+l],

化簡(jiǎn)得/（3?+1）=1>0.因?yàn)?（可在（9,+。）上單調(diào)遞增，所以存在唯一的

xe（%2,3a+l）,使得/（X）=0,即/（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，函數(shù)/（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

解法二巧用放縮的技巧.

v-3

因?yàn)槿?》+1>0,所以〃x）=0等價(jià)于/++]-3a=0.

/X2

設(shè)（）一，則（）..0,

gx=九r2+IT4-+I-L13aIg'X=—

僅當(dāng)犬=0時(shí)，/（工）=0,所以武九）在（-8,+8）上單調(diào)遞增，且至多有一個(gè)零點(diǎn)，故

/（九）至多有一個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)間（x）==x-l-3a+------->x-（3a+l）,

17公+x+iX2+X+1v7

所以g（3a+l）>（3a+l）—（3々+1）=0.

又因?yàn)椤挂?4

，，"T"

X+%+1X+；33

+—

4

4

所以g（冗）=%—1—3〃H—--------?X—

X+X+1?

1?

因止匕g（3“_l）?（3a-l）-3a+-=-j<0.

因?yàn)間（x）在（70,+8）上單調(diào)遞增,所以存在唯一的工￡（3々-1,3々+1）,使得g（x）=0,

即屋元）只有一個(gè)零點(diǎn)，所以〃元）只有一個(gè)零點(diǎn).

解法三分離常數(shù)與放縮的技巧.

由于％2+%+1>0,令/（力=0,得------------3Q=0,

X+X+1

X3

于是a=—^-

3（%

X3X2

設(shè)力⑺=,貝U”（%）..0,

3（爐+%+1

故M%）在（-8,+8）上單調(diào)遞增.

X3-1）+1（x-l）^x2+犬+1）+1

由于,（%）=

%?+X+1爐+X+1

1

X—1H------------

3X~+X+1

故/Z（3Q+1）+—=〃,

4IT，

故函數(shù)力⑴與直線y=a有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即函數(shù)〃x)在(y,+”)上只有一個(gè)

零y占八'、?

【點(diǎn)睛】

對(duì)于含參數(shù)的函數(shù),可以用分離參數(shù)法構(gòu)造新函數(shù),這樣避免了繁雜的分類討論.如

果分離參數(shù)法構(gòu)造的函數(shù)不易操作，可以直接求導(dǎo),研究導(dǎo)數(shù)的符號(hào).但需要注意的

是,對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論時(shí)，要耐心細(xì)致,不重不漏.對(duì)于三次函數(shù),可以利用導(dǎo)數(shù)的

零點(diǎn)方程將原函數(shù)進(jìn)行降次以簡(jiǎn)化計(jì)算.這個(gè)方法可以推廣,在研究較為復(fù)雜的函數(shù)

極值的符號(hào)時(shí),經(jīng)?？梢詫?dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的方程進(jìn)行變形,再代入原函數(shù)的解析式,起

到化簡(jiǎn)作用.其他如放縮法、配方法、因式分解分離常數(shù)法以及均值不等式法等，在

判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)、原函數(shù)值域、零點(diǎn)的存在性等問題時(shí)可能都會(huì)派上用場(chǎng)，要注意靈

活選用.

如果能巧用函數(shù)與方程思想，靈活構(gòu)造函數(shù),對(duì)方程或函數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)變形,熟練運(yùn)用

數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合導(dǎo)數(shù)深入研究函數(shù)的性質(zhì)，并能掌握分類討論的基本要領(lǐng)，函

數(shù)的零點(diǎn)問題基本都可以迎刃而解.

隱性零點(diǎn)及其應(yīng)用

【例8】(1)討論函數(shù)=的單調(diào)性，并證明：當(dāng)x>0時(shí)，

(x-2)ex+x+2>0.

⑵證明：當(dāng)ac[O,l)時(shí),函數(shù)g(x)=巴等*(x>0)有最小值.設(shè)g(x)的最小值為

h(a),求函數(shù)的值域.

【分析】

第⑴問是常規(guī)問題,利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而利用單調(diào)性在給定區(qū)間上證

明函數(shù)不等式.

第⑵問仍然以導(dǎo)數(shù)為工具，求函數(shù)g(x)的最小值，難度上升是因?yàn)間(x)含有參數(shù)

。，所以g(x)的最小值也將是參數(shù)0的函數(shù)，即〃.).自然的想法是求出函數(shù)〃(a)

的表達(dá)式,再進(jìn)一步求其值域.

【解析】

⑴已知“X)的定義域?yàn)楹螣o力-2},對(duì)求導(dǎo)，得

"心閭卜高F。’

僅當(dāng)x=0時(shí),等號(hào)成立.

故"X)在(-8,-2)上單調(diào)遞增，在(-2,+8)上也單調(diào)遞增.所以，當(dāng)x>0時(shí),

y—0

/(%)=--e">/(O)=-l,即(％—2)e*+x+2>0.

x+2

(2)證法一對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)，得

，/、(x—2)6%+a(x+2)

g'x=一―(x>0).

x

令0(x)=(x-2)e"+a(x+2)(x>0),貝！J

°(x)=(x-l)e"+a,°"(%)=%e>>0.

所以。⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增,又因?yàn)?⑼=〃-1<0,0⑴=〃>0,由零點(diǎn)存在定

理知，存在唯一的％0?0,1)使得。(%0)=0,當(dāng)0<%</時(shí)，0(x)v0;當(dāng)%>/時(shí)，

^(x)>0.則o(x)在(O,x0)上單調(diào)遞減，在國(guó),+“)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?(O)=2(a-l)vO,0(2)=4a.O,故由零點(diǎn)存在定理知,存在唯一的玉?0,2]使

得姒石)=0,即°(石)=(萬-2)eX1+々(石+2)=0,

①

當(dāng)0<x<不時(shí)，0(%)<0,即g[x)<0,則g(x)在(0,石)上單調(diào)遞減；當(dāng)X＞石時(shí),

°(x)>0,即g<x)>0,則g(x)在(xp+oo)上單調(diào)遞增.

于是，函數(shù)g(x)有最小值

―q(玉+1)

g(x)疝n=g(x)

X；

②

?(XT).a+l)e』

位手，則g(%)=e^1-a(x+l)_%+2

由式①得。=一t

玉+2%+2

又因?yàn)椤?_%+je*=_/(玉)，

則〃％)=_〃?T0]=(〃0)"(2)],結(jié)合〃尤)的單調(diào)性及正負(fù)情況知七?0,2].

設(shè)G(x)=工，當(dāng)xe(O,2]時(shí)，G(x)=e'(x+?〉0,則G(x)在(0,2]上單調(diào)遞增,則

x+2(%+2)

(1e2

㈤=G(止(G(0),G⑵]=、，4

g

即為函數(shù)M。)的值域.

證法二對(duì)函數(shù)匹力求導(dǎo)，得

x—2

x+2)------ex+a

(x-2)e"+〃(％+2)%+2

"-3

3

xJi

(x+2)[/(x)+a]

-97UJ.

X

令g.）=0,得〃x）=-ae（T0]=（〃0）"（2）],結(jié)合函數(shù)〃x）的單調(diào)性及正負(fù)情

況知,存在唯一的實(shí)數(shù)石?0,2]使得〃石）=-a，即g，a）=o.下同證法一.

【點(diǎn)睛】

第⑵問中“設(shè)g（x）的最小值為〃（a）,