/湖南省2024屆高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)模擬卷（一）一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．2．設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（

）A． B．C． D．3．若，則（

）A． B．C． D．4．已知定義在上的函數(shù)滿足，，，且，則（

）A．1 B．2 C． D．5．若的展開式存在常數(shù)項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B．35 C． D．216．吉林霧淞大橋，位于吉林市松花江上，連接霧淞高架橋，西起松江東路，東至濱江東路．霧淞大橋是吉林市第一座自錨式混凝土懸索橋，兩主塔左、右兩邊懸索的形狀均為拋物線（設(shè)該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為米）的一部分，左：右兩邊的懸索各連接著29根吊索，且同一邊的相鄰兩根吊索之間的距離均為米（將每根吊索視為線段）．已知最中間的吊索的長度（即圖中點(diǎn)到橋面的距離）為米，則最靠近前主塔的吊索的長度（即圖中點(diǎn)到橋面的距離）為（

）A．米 B．米C．米 D．米7．定義表示，，中的最小值．已知實(shí)數(shù)，，滿足，，則（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最小值是8．生命在于運(yùn)動(dòng)，某健身房為吸引會員來健身，推出打卡送積分活動(dòng)（積分可兌換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續(xù)打卡，每天所得積分都會比前一天多2分．若某天未打卡，則當(dāng)天沒有積分，且第二天打卡須從1積分重新開始．某會員參與打卡活動(dòng)，從3月1日開始，到3月20日他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天是（

）A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日二、多選題9．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．10．某彗星的運(yùn)行軌道是以太陽為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.測得軌道的近日點(diǎn)（距離太陽最近的點(diǎn)）與太陽中心的距離為，遠(yuǎn)日點(diǎn)（距離太陽最遠(yuǎn)的點(diǎn)）與太陽中心的距離為，并且近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)及太陽中心在同一條直線上，則（

）A．軌道的焦距為 B．軌道的離心率為C．軌道的短軸長為 D．當(dāng)越大時(shí)，軌道越扁11．設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，且為數(shù)列的唯一最大項(xiàng)，則D．若，且，則使得成立的的最大值為20三、填空題12．已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且，則不等式的解集為.13．已知，，，若在圓（）上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．已知正四棱錐的頂點(diǎn)均在球的表面上.若正四棱錐的體積為1，則球體積的最小值為.四、解答題15．在①，②外接圓面積為，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并作答.在銳角中，，，的對邊分別為，，，若，且______.(1)求；(2)若的面積為，求的周長.16．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，等比數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和17．如圖，在三棱柱中，，，，二面角的大小為.(1)求四邊形的面積；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.18．已知定義在上的兩個(gè)函數(shù)，.(1)若，求的最小值；(2)設(shè)直線與曲線，分別交于，兩點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求的值.19．已知是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與直線垂直，垂足A位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限.若四邊形（為原點(diǎn)）的面積為.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與，分別相交于，兩點(diǎn)，和的面積分別為和，若，試判斷除點(diǎn)外，直線與是否有其它公共點(diǎn)？并說明理由.參考答案：1．A【分析】先化簡集合N,再求并集.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：A2．C【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡即可求解.【詳解】依題意得，所以，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為．故選：C3．C【分析】利用和角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解.【詳解】.故選：C4．B【分析】對于抽象函數(shù)的關(guān)系式，可考慮對進(jìn)行賦值，借助于建立方程組，求解即得.【詳解】令，得，即①因②，聯(lián)立①②解得：或，又，所以．故選：B.5．C【分析】先確定n值，再利用通項(xiàng)公式求解.【詳解】若的展開式存在常數(shù)項(xiàng)，則，且常數(shù)項(xiàng)為．故選：C6．A【分析】建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)B橫坐標(biāo)，代入拋物線即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對稱軸為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的單位均為米），依題意可得拋物線的方程為．因?yàn)橥贿叺膽宜鬟B接著29根吊索，且相鄰兩根吊索之間的距離均為米，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，所以點(diǎn)到橋面的距離為米．故選：A.7．B【分析】由題先分析出實(shí)數(shù)，，一負(fù)兩正，然后利用基本不等式放縮求出最小值的最大值即可.【詳解】因?yàn)?，所以在，，中，?fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為1或3，又，所以在，，中，1個(gè)為負(fù)數(shù)，2個(gè)為正數(shù)，不妨設(shè)，則．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，故的最大值是，無最小值．故選：B.8．D【分析】利用等差數(shù)列求和公式列方程求解.【詳解】若他連續(xù)打卡，則從打卡第1天開始，逐日所得積分依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為2，第天所得積分為．假設(shè)他連續(xù)打卡天，第天中斷了，則他所得積分之和為，化簡得，解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，注意審題“一天中斷”兩次求和公式的應(yīng)用.9．ACD【分析】由奇函數(shù)定義逐一判斷即可.【詳解】對于A，的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，故A滿足題意；對于B，若，則，故B不滿足題意；對于C，的定義域?yàn)?，它關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，故C滿足題意；對于D，的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，故D滿足題意.故選：ACD.10．BC【分析】根據(jù)條件得到，，再對各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】由題知，解得，，對于選項(xiàng)A，因?yàn)檐壍赖慕咕酁椋赃x項(xiàng)A錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)B，因?yàn)殡x心率為，所以選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C，因?yàn)檐壍赖亩梯S長為，所以選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，因?yàn)椋瑒t越大時(shí)，離心率越小，則軌道越圓，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：BC.11．BCD【分析】根據(jù)前項(xiàng)積的定義和性質(zhì)即可結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可逐一求解.【詳解】若，則，可得，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；而，即選項(xiàng)B正確.若，且是數(shù)列的唯一最大項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，可得，即，解得，即選項(xiàng)C正確.若，當(dāng)時(shí)，，又，不滿足，不合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，，，所以，，則為單調(diào)遞減數(shù)列，因此當(dāng)時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，故，因此當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，又，，，所以使得成立的的最大值為20，即選項(xiàng)D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：由首項(xiàng)和公比確定等比數(shù)列的單調(diào)性的幾種情況：（1），時(shí)，等比數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，（2），時(shí)，等比數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，（3），時(shí)，等比數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，（4），時(shí)，等比數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，（5）時(shí)，等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，（6）時(shí)，等比數(shù)列為常數(shù)列，12．【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后得，由在上為增函數(shù)，所以，從而在上為增函數(shù)，又由，從而可求解.【詳解】由題意知在上為增函數(shù)，所以恒成立，構(gòu)造函數(shù)，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，即，所以的解集為.故答案為：.13．【分析】設(shè)，求出點(diǎn)的軌跡為，從而轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點(diǎn)，利用圓與圓的位置關(guān)系從而可求解.【詳解】設(shè)，將坐標(biāo)代入式子，可得，即，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.依題意，兩圓有公共點(diǎn)，則，解得.故答案為：.14．/【分析】由底面外接圓的半徑、正四棱錐的高以及外接球的半徑的關(guān)系，結(jié)合已知條件可得，故只需求出外接球半徑的最小值即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，正四棱錐的高、底面外接圓的半徑分別為，.如圖，球心在正四棱錐內(nèi)時(shí)，由，可得，即（*）.

球心在正四棱錐外時(shí)，亦能得到（*）式.又正四棱錐的體積為，則，代入（*）式可得.通過對關(guān)于的函數(shù)求導(dǎo)，即，易得函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則.從而，球的體積的最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是首先得到，從而通過導(dǎo)數(shù)求得外接球半徑的最小值即可順利得解.15．(1)(2)8【分析】（1）選①或選②都可借助正弦定理得到，即可得；（2）借助余弦定理與三角形面積公式計(jì)算即可得.【詳解】（1）由得，若選①：由正弦定理得，所以，則，又因?yàn)?，故；若選②：外接圓半徑，由正弦定理，所以，則，又因?yàn)?，故；?）由（1）知，所以，因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，因?yàn)?，所以，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以的周長為8.16．(1)證明見解析，(2)【分析】（1）利用定義法判斷等比數(shù)列并求解通項(xiàng)公式即可.（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以（2）因?yàn)?，所以，故，所以，令，則，所以，，所以，，所以17．(1)；(2)存在，.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，由給定條件結(jié)合余弦定理求出，再推證即可求出四邊形面積.（2）由已知可得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求解即得.【詳解】（1）在三棱柱中，取的中點(diǎn)，連接，在中，由，，得，，在中，由，，得，，則為二面角的平面角，即，在中，由余弦定理得，解得，又，平面，則平面，而平面，于是，顯然，則，所以平行四邊形的面積.（2）由（1）知，有，則，同理，又，，即，則，以為原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，不妨設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，解得，此時(shí)，所以存在點(diǎn)滿足題意，且的長為.18．(1)(2)2【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值即可.（2）翻譯條件，利用導(dǎo)數(shù)求解關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，再求值即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.（2）設(shè)，，則于是，分設(shè)，則.設(shè)，則有在有解，由,，故在上有解，且在上，，在上，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，其中，即，所以，即，設(shè)，其導(dǎo)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，結(jié)合，知.所以，于是.所以當(dāng)取最小值時(shí)，，所以，設(shè)，其導(dǎo)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為.所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建3個(gè)變量之間的等量關(guān)系；（2）合理構(gòu)元，轉(zhuǎn)化為含參的零點(diǎn)問題；（3）利用隱零點(diǎn)求參數(shù)的值.19．(1)(2)除點(diǎn)，直線與曲線沒有其它公共點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意分析可知為的中點(diǎn)，可得直線的斜率，與曲線的方程聯(lián)立結(jié)合判別式分析判斷，注意討論直線的斜率斜率是否存在.【詳解】（1）設(shè)，則，，