/搶分專練01概率統(tǒng)計一、單選題1．（2024·四川成都·三模）甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機地到達，則這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r必須等待的概率為（）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）陪伴是最好的親情．某地政府倡議年輕人平時多陪伴父母，多措并舉，創(chuàng)造就業(yè)機會，盡量讓年輕人在家附近工作．一年后，該地政府對在家附近工作的年輕人進行了調查，得到他們一年能在家陪伴父母的天數(shù)，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則樣本中位數(shù)為（

）

A．150.5 B．152.5 C．154.5 D．156.53．（2024·全國·模擬預測）某項競賽活動需要完成某項任務，天涯隊、諦聽隊、洪荒隊參加競賽，天涯隊、諦聽隊、洪荒隊完成該項任務的概率分別為，，，且3隊是否完成任務相互獨立，則恰有2隊完成任務的概率為（

）A． B． C． D．4．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）針對2025年第九屆亞冬會在哈爾濱舉辦，校團委對“是否喜歡冰雪運動與學生性別的關系”進行了一次調查，其中被調查的男、女生人數(shù)相同，男生中喜歡冰雪運動的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡冰雪運動的人數(shù)占女生人數(shù)的，若依據(jù)的獨立性檢驗，認為是否喜歡冰雪運動與學生性別有關，則被調查的學生中男生的人數(shù)不可能是（

）附:.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．48 B．54 C．60 D．665．（2024·寧夏石嘴山·三模）某班有學生人，現(xiàn)將所有學生按，，，，隨機編號，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為的樣本（等距抽樣），已知編號為，，，，號學生在樣本中，則（

）A． B． C．14 D．6．（2024·河北·二模）已知隨機變量服從正態(tài)分布，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2024·河南信陽·模擬預測）從0，1，2，5中取三個不同的數(shù)字，組成能被5整除的三位數(shù)，則不同三位數(shù)有（

）A．12個 B．10個 C．8個 D．7個8．（2024·北京東城·一模）已知，若，則的取值可以為（

）A．2 B．1 C． D．二、多選題9．（2024·全國·模擬預測）2023年10月26日，神舟十七號載人飛船成功發(fā)射，我國在航天事業(yè)中取得舉世矚目的成就．為了普及航天知識，某校舉行了航天知識競賽，競賽中設置了多選題目（每題4個選項中有2個或3個正確選項），每題全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．已知某一道多選題甲完全不會，他隨機選擇2個或3個選項，該題有2個正確選項的概率為．記表示甲的得分，則（

）A．甲得2分的概率為 B．若甲選擇2個選項，則C．若甲選擇3個選項，則 D．甲得5分的概率為10．（2024·河北·二模）已知，，其中，．若，則（

）A． B．C． D．11．（23-24高二下·陜西西安·階段練習）現(xiàn)有一款闖關游戲，共有4關，規(guī)則如下：在第n關要拋擲骰子n次，每次觀察向上面的點數(shù)并做記錄，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于，則算闖過第n關，，2，3，4．假定每次闖關互不影響，則（

）A．直接挑戰(zhàn)第2關并過關的概率為B．連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關并過關的概率為C．若直接挑戰(zhàn)第3關，設“三個點數(shù)之和等于15”，“至少出現(xiàn)一個5點”，則D．若直接挑戰(zhàn)第4關，則過關的概率是12．（22-23高二下·江西南昌·期中）甲罐中有5個紅球，2個白球，3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一個球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．13．（23-24高二下·浙江·期中）盒中有編號為1，2，3，4的四個紅球和編號為1，2，3，4的四個白球，從盒中不放回的依次取球，每次取一個球，用事件表示“第次首次取出紅球”，用事件表示“第次取出編號為1的紅球”，用事件表示“第次取出編號為1的白球”，則（

）A． B．C． D．14．（2023·全國·模擬預測）玻璃缸中裝有2個黑球和4個白球，現(xiàn)從中先后無放回地取2個球．記“第一次取得黑球”為，“第一次取得白球”為，“第二次取得黑球”為，“第二次取得白球”為，則（

）A． B．C． D．15．（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習）甲箱中有2個白球和4個黑球，乙箱中有4個白球和2個黑球先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，以分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再從乙箱中隨機取出一球，以表示從乙箱中取出的是白球，則下列結論正確的是（

）A． B．C．互斥 D．16．（2024·湖南邵陽·模擬預測）有關數(shù)據(jù)顯示，年輕一代的父母更加重視親子陪伴，以往“以孩子為中心”的觀念正逐步向與孩子玩在一起、學在一起的方向轉變．如圖為2023年中國父母參與過的各類親子活動人數(shù)在參與調查總人數(shù)中的占比，根據(jù)該圖，下列說法正確的是（

）A．在參與調查的總人數(shù)中父母參與過的親子活動最多的是親子閱讀B．在參與調查的總人數(shù)中同時參與過親子閱讀與親子運動會的父母不少于C．圖中各類親子活動占比的中位數(shù)為D．圖中10類親子活動占比的極差為17．（2024·全國·模擬預測）下列說法中正確的是（

）A．用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則個體m被抽到的概率是12%B．，當不變時，σ越大，該正態(tài)分布對應的正態(tài)密度曲線越矮胖C．數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23D．若樣本數(shù)據(jù)的標準差為1，則數(shù)據(jù)的標準差為32三、填空題18．（2024·廣東深圳·二模）已知樣本，，的平均數(shù)為2，方差為1，則，，的平均數(shù)為．19．（2024·全國·模擬預測）已知在矩形ABCD中，，，在矩形ABCD內（不包含邊界）隨機取一點E，若直線AE與直線CD交于點M，則的概率為．20．（2024·全國·模擬預測）記樣本數(shù)據(jù)10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位數(shù)為a，平均數(shù)為b，則=．21．（2024·全國·模擬預測）小明同學進行射箭訓練，每次射擊是否中靶相互獨立，根據(jù)以往訓練情況可知小明射擊一次中靶的概率為，則小明射擊3次恰好有2次中靶的概率為．22．（2024·全國·模擬預測）某市高三年級男生的身高X（單位：）近似服從正態(tài)分布，隨機選擇一名本市高三年級的同學，則．四、解答題23．（21-22高二下·全國·期末）為提升學生身體素質，鼓勵學生參加體育運動，某高中學校學生發(fā)展中心隨機抽查了100名學生，統(tǒng)計他們在暑假期間每天參加體育運動的時間，并把每天參加體育運動時間超過30分鐘的記為“運動達標”，時間不超過30分鐘的記為“運動欠佳”，運動達標與運動欠佳的人數(shù)比為，運動達標的女生與男生的人數(shù)比為，運動欠佳的男生有5人.(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成下面2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析“運動達標情況”與“性別”是否有關?性別運動達標情況合計運動達標運動欠佳男生女生合計(2)現(xiàn)從“運動達標”的學生中按性別用分層隨機抽樣的方法抽取6人，再從這6人中任選2人進行體能測試，求選中的2人中恰有一人是女生的概率.參考公式：，.0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.82824．（2024·寧夏石嘴山·三模）刷臉時代來了，人們?yōu)椤八⒛樦Ц丁苯o生活帶來的便捷感到高興，但“刷臉支付”的安全性也引起了人們的擔憂.某調查機構為了解人們對“刷臉支付”的接受程度，通過安全感問卷進行調查（問卷得分在分之間），并從參與者中隨機抽取人.根據(jù)調查結果繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.(1)據(jù)此估計這人滿意度的平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表；(2)某大型超市引入“刷臉支付”后，在推廣“刷臉支付”期間，推出兩種付款方案：方案一：不采用“刷臉支付”，無任何優(yōu)惠，但可參加超市的抽獎返現(xiàn)金活動.活動方案為：從裝有個形狀、大小完全相同的小球其中紅球個，黑球個的抽獎盒中，一次性摸出個球，若摸到個紅球，返消費金額的；若摸到個紅球，返消費金額的，除此之外不返現(xiàn)金．方案二：采用“刷臉支付”，此時對購物的顧客隨機優(yōu)惠，但不參加超市的抽獎返現(xiàn)金活動，根據(jù)統(tǒng)計結果得知，使用“刷臉支付”時有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠.現(xiàn)小張在該超市購買了總價為元的商品．①求小張選擇方案一付款時實際付款額的分布列與數(shù)學期望；②試從期望角度，比較小張選擇方案一與方案二付款，哪個方案更劃算？（注：結果精確到）25．（2024高三下·全國·專題練習）“九子游戲”是一種傳統(tǒng)的兒童游戲，它包括打彈子、滾圈子、踢毽子、頂核子、造房子、拉扯鈴子、刮片子、摜結子、抽陀子九種不同的游戲項目，某小學為豐富同學們的課外活動，舉辦了“九子游戲”比賽，所有的比賽項目均采用局勝的單敗淘汰制，即先贏下局比賽者獲勝.造房子游戲是同學們喜愛的項目之一，經過多輪淘汰后，甲、乙二人進入造房子游戲的決賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為.(1)若，，設比賽結束時比賽的局數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；(2)設采用3局2勝制時乙獲勝的概率為，采用5局3勝制時乙獲勝的概率為，若，求的取值范圍.26．（2024·全國·模擬預測）某農業(yè)大學組織部分學生進行作物栽培試驗，由于土壤相對貧瘠，前期作物生長較為緩慢，為了增加作物的生長速度，達到預期標準，小明對自己培育的一株作物使用了營養(yǎng)液，現(xiàn)統(tǒng)計了使用營養(yǎng)液十天之內該作物的高度變化天數(shù)x12345678910作物高度y/cm9101011121313141414(1)觀察散點圖可知，天數(shù)與作物高度之間具有較強的線性相關性，用最小二乘法求出作物高度關于天數(shù)的線性回歸方程（其中用分數(shù)表示）；(2)小明測得使用營養(yǎng)液后第22天該作物的高度為，請根據(jù)（1）中的結果預測第22天該作物的高度的殘差.參考公式：.參考數(shù)據(jù)：.27．（2024高三·全國·專題練習）近年來，隨著國家對新能源汽車產業(yè)的支持，很多國產新能源汽車迅速崛起，其因顏值高、動力充沛、提速快、空間大、用車成本低等特點得到民眾的追捧，但是充電難成為影響新能源汽車銷量的主要原因，國家為了加快新能源汽車的普及程度，在全國范圍內逐步增建充電樁．某地區(qū)2019－2023年的充電樁數(shù)量及新能源汽車的年銷量如表所示：年份20192020202120222023充電樁數(shù)量x/萬臺13579新能源汽車年銷量y/萬輛2537485872(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數(shù)加以說明（結果精確到0.001）；(2)求y關于x的線性回歸方程，預測當該地區(qū)充電樁數(shù)量為24萬臺時，新能源汽車的年銷量是多少萬輛？參考公式：相關系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．參考數(shù)據(jù)：，，，．28．（23-24高二下·江蘇·單元測試）某機構從某一電商的線上交易大數(shù)據(jù)中來跟蹤調查消費者的購買力，界定3至8月份購買商品在5000元及以上人群屬“購買力強人群”，購買商品在5000元以下人群屬“購買力弱人群”．現(xiàn)從電商平臺消費人群中隨機選出200人，發(fā)現(xiàn)這200人中屬購買力強的人數(shù)占80%，并將這200人按年齡分組，分組區(qū)間為，得到頻率直方圖（如圖）．

(1)求出頻率直方圖中a的值和這200人的平均年齡．(2)從第組中用分層抽樣的方法抽取5人，并再從這5人中隨機抽取2人進行電話回訪，求這兩人恰好屬于不同組別的概率．(3)把年齡在第組的居民稱為青少年組，年齡在第組的居民稱為中老年組．若選出的200人中“購買力弱人群”的中老年人有20人，問：是否有的把握認為，是否屬“購買力強人群”與年齡有關？0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82829．（2024·浙江臺州·二模）臺州是全國三大電動車生產基地之一，擁有完整的產業(yè)鏈和突出的設計優(yōu)勢.某電動車公司為了搶占更多的市場份額，計劃加大廣告投入、該公司近5年的年廣告費（單位：百萬元）和年銷售量（單位：百萬輛）關系如圖所示：令，數(shù)據(jù)經過初步處理得：

444.81040.31.61219.58.06現(xiàn)有①和②兩種方案作為年銷售量y關于年廣告費x的回歸分析模型，其中a，b，m，n均為常數(shù).(1)請從相關系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好?(2)根據(jù)（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數(shù)據(jù)，求出y關于x的回歸方程，并預測年廣告費為6（百萬元）時，產品的年銷售量是多少?(3)該公司生產的電動車毛利潤為每輛200元（不含廣告費、研發(fā)經費）.該公司在加大廣告投入的同時也加大研發(fā)經費的投入，年研發(fā)經費為年廣告費的199倍.電動車的年凈利潤受年廣告費和年研發(fā)經費影響外還受隨機變量影響，設隨機變量服從正態(tài)分布，且滿足.在（2）的條件下，求該公司年凈利潤的最大值大于1000（百萬元）的概率.（年凈利潤=毛利潤×年銷售量-年廣告費-年研發(fā)經費-隨機變量）.附：①相關系數(shù)，回歸直線中公式分別為，；②參考數(shù)據(jù)：，，，.30．（2024·全國·模擬預測）為提高居家養(yǎng)老服務質量，某機構組織調查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)抽取了500位老年人，統(tǒng)計結果如下：性別需要志愿者不需要志愿者男40160女30270(1)估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的比例；(2)能否有的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？(3)根據(jù)（2）中的結論，能否提出更好的調查方法來估計該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的比例？說明理由．附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828

搶分專練01概率統(tǒng)計一、單選題1．（2024·四川成都·三模）甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機地到達，則這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r必須等待的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設甲船到達泊位的時間為，乙船到達泊位的時間為，則，這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r必須等待，則，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中的陰影部分，，則這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r必須等待的概率為.故選：C2．（2024·全國·模擬預測）陪伴是最好的親情．某地政府倡議年輕人平時多陪伴父母，多措并舉，創(chuàng)造就業(yè)機會，盡量讓年輕人在家附近工作．一年后，該地政府對在家附近工作的年輕人進行了調查，得到他們一年能在家陪伴父母的天數(shù)，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則樣本中位數(shù)為（

）

A．150.5 B．152.5 C．154.5 D．156.5【答案】B【詳解】由條件可得，故.因為，，所以樣本中位數(shù)為.故選：B.3．（2024·全國·模擬預測）某項競賽活動需要完成某項任務，天涯隊、諦聽隊、洪荒隊參加競賽，天涯隊、諦聽隊、洪荒隊完成該項任務的概率分別為，，，且3隊是否完成任務相互獨立，則恰有2隊完成任務的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設事件A為“恰有2隊完成任務”，有三類：“天涯隊、諦聽隊”或“諦聽隊、洪荒隊”或“天涯隊、洪荒隊”，且相互互斥，則，故選：B．4．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）針對2025年第九屆亞冬會在哈爾濱舉辦，校團委對“是否喜歡冰雪運動與學生性別的關系”進行了一次調查，其中被調查的男、女生人數(shù)相同，男生中喜歡冰雪運動的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡冰雪運動的人數(shù)占女生人數(shù)的，若依據(jù)的獨立性檢驗，認為是否喜歡冰雪運動與學生性別有關，則被調查的學生中男生的人數(shù)不可能是（

）附:.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．48 B．54 C．60 D．66【答案】A【詳解】設男生人數(shù)為，因為被調查的男、女生人數(shù)相同，所以女生人數(shù)也為，根據(jù)題意列出列聯(lián)表：男生女生合計喜歡冰雪運動不喜歡冰雪運動合計則，因為依據(jù)的獨立性檢驗，認為是否喜歡冰雪運動與學生性別有關，所以，即，解得，又，所以B、C、D正確，A錯誤.故選：A5．（2024·寧夏石嘴山·三模）某班有學生人，現(xiàn)將所有學生按，，，，隨機編號，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為的樣本（等距抽樣），已知編號為，，，，號學生在樣本中，則（

）A． B． C．14 D．【答案】A【詳解】因為，所以組距為10，因為第一個被抽取的編號為4，所以，所以.故選：A6．（2024·河北·二模）已知隨機變量服從正態(tài)分布，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】因為，則，，若則，即，故充分性成立，若，則，解得或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A7．（2024·河南信陽·模擬預測）從0，1，2，5中取三個不同的數(shù)字，組成能被5整除的三位數(shù)，則不同三位數(shù)有（

）A．12個 B．10個 C．8個 D．7個【答案】B【詳解】能被5整除的三位數(shù)末位數(shù)字得是0或5，當末位數(shù)字為0時，此時有個符合條件的三位數(shù)，當末位數(shù)字為5時，此時有個符合條件的三位數(shù)，因此一共有個，故選：B8．（2024·北京東城·一模）已知，若，則的取值可以為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【詳解】令，有，即或.故選：A.二、多選題9．（2024·全國·模擬預測）2023年10月26日，神舟十七號載人飛船成功發(fā)射，我國在航天事業(yè)中取得舉世矚目的成就．為了普及航天知識，某校舉行了航天知識競賽，競賽中設置了多選題目（每題4個選項中有2個或3個正確選項），每題全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．已知某一道多選題甲完全不會，他隨機選擇2個或3個選項，該題有2個正確選項的概率為．記表示甲的得分，則（

）A．甲得2分的概率為 B．若甲選擇2個選項，則C．若甲選擇3個選項，則 D．甲得5分的概率為【答案】CD【詳解】由該題有2個正確選項的概率為，得該題有3個正確選項的概率為，對于A，若甲得2分，則該題有3個正確選項，甲選擇了2個正確選項，概率為，因此甲得2分的概率，A錯誤；對于B，若甲選擇2個選項，則的可能取值為，則，，則，B錯誤；對于C，若甲選擇3個選項，則的可能取值為0，5，則，，因此，C正確；對于D，由選項BC知，甲得5分的概率為，D正確．故選：CD10．（2024·河北·二模）已知，，其中，．若，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【詳解】二項式展開式的通項為（且），，所以，，因為，所以，解得（舍去）或，故A正確；由，令可得，故B正確；由，令可得，令可得，所以，故C錯誤；將兩邊對求導可得，，令可得，故D錯誤.故選：AB11．（23-24高二下·陜西西安·階段練習）現(xiàn)有一款闖關游戲，共有4關，規(guī)則如下：在第n關要拋擲骰子n次，每次觀察向上面的點數(shù)并做記錄，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于，則算闖過第n關，，2，3，4．假定每次闖關互不影響，則（

）A．直接挑戰(zhàn)第2關并過關的概率為B．連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關并過關的概率為C．若直接挑戰(zhàn)第3關，設“三個點數(shù)之和等于15”，“至少出現(xiàn)一個5點”，則D．若直接挑戰(zhàn)第4關，則過關的概率是【答案】ACD【詳解】對于A：，所以兩次點數(shù)之和應大于，點數(shù)之和大于的情況有種，拋擲兩次基本事件有種即直接挑戰(zhàn)第關并過關的概率為，A正確；對于B：，挑戰(zhàn)第一關通過的概率為，所以連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關并過關的概率為，B錯誤；對于C：拋擲三次基本事件有種，拋擲3次至少出現(xiàn)一個5點的事件共有種，故，而事件同時發(fā)生包含：的1種，的有種，共7種，故，所以，C正確；對于D：當時，，而“4次點數(shù)之和大于20”包含以下35種情況:含5，5，5，6的有4種，含5，5，6，6的有6種，含6，6，6，6的有1種，含4，6，6，6的有4種，含5，6，6，6的有4種，含4，5，6，6的有12種，含3，6，6，6的有4種所以，D正確.故選：ACD.12．（22-23高二下·江西南昌·期中）甲罐中有5個紅球，2個白球，3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一個球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】由題意知，是兩兩互斥的事件，,，則A正確；，則B正確；，則C錯誤；，則D正確.故選：ABD13．（23-24高二下·浙江·期中）盒中有編號為1，2，3，4的四個紅球和編號為1，2，3，4的四個白球，從盒中不放回的依次取球，每次取一個球，用事件表示“第次首次取出紅球”，用事件表示“第次取出編號為1的紅球”，用事件表示“第次取出編號為1的白球”，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】對于A：依題意，，，即，故A正確；對于B：，，所以，故B正確；對于C：，，所以，故C正確；對于D：，，所以，故D錯誤.故選：ABC14．（2023·全國·模擬預測）玻璃缸中裝有2個黑球和4個白球，現(xiàn)從中先后無放回地取2個球．記“第一次取得黑球”為，“第一次取得白球”為，“第二次取得黑球”為，“第二次取得白球”為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】對A，由題意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，第一次取得白球、第二次取得白球的概率，則，所以A錯誤；對B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，則，所以B正確；對C，由，得，所以C正確；對D，由，得，所以D正確．故選：BCD．15．（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習）甲箱中有2個白球和4個黑球，乙箱中有4個白球和2個黑球先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，以分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再從乙箱中隨機取出一球，以表示從乙箱中取出的是白球，則下列結論正確的是（

）A． B．C．互斥 D．【答案】BCD【詳解】由題意，，所以，A不正確；從甲箱中取出一個白球放入乙箱，則乙箱有5個白球和2個黑球，所以，B正確；由互斥事件的概念可知，互斥，C正確；，D正確.故選：BCD16．（2024·湖南邵陽·模擬預測）有關數(shù)據(jù)顯示，年輕一代的父母更加重視親子陪伴，以往“以孩子為中心”的觀念正逐步向與孩子玩在一起、學在一起的方向轉變．如圖為2023年中國父母參與過的各類親子活動人數(shù)在參與調查總人數(shù)中的占比，根據(jù)該圖，下列說法正確的是（

）A．在參與調查的總人數(shù)中父母參與過的親子活動最多的是親子閱讀B．在參與調查的總人數(shù)中同時參與過親子閱讀與親子運動會的父母不少于C．圖中各類親子活動占比的中位數(shù)為D．圖中10類親子活動占比的極差為【答案】AB【詳解】對于A，親子閱讀閱讀占比，為最大，A正確；對于B，由于，B正確；對于C，圖中各類親子活動占比的中位數(shù)為，C錯誤；對于D，圖中10類親子活動占比的極差為，D錯誤.故選：AB17．（2024·全國·模擬預測）下列說法中正確的是（

）A．用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則個體m被抽到的概率是12%B．，當不變時，σ越大，該正態(tài)分布對應的正態(tài)密度曲線越矮胖C．數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23D．若樣本數(shù)據(jù)的標準差為1，則數(shù)據(jù)的標準差為32【答案】AB【詳解】對于A中，用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則個體m被抽到的概率為，故選項A正確；對于B中，當不變時，σ越大，該正態(tài)分布對應的正態(tài)密度曲線越矮胖，所以B正確；對于C中，數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10個數(shù)，從小到大排列為12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，故選擇第7個和第8個數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即，所以第70百分位數(shù)是23.5，所以C錯誤；對于D中，若數(shù)據(jù)的標準差為1，所以的方差為1，則數(shù)據(jù)的方差為9，所以數(shù)據(jù)的標準差為3，所以D錯誤．故選：AB．三、填空題18．（2024·廣東深圳·二模）已知樣本，，的平均數(shù)為2，方差為1，則，，的平均數(shù)為．【答案】5【詳解】由題意知，，所以，由，得，所以.故答案為：519．（2024·全國·模擬預測）已知在矩形ABCD中，，，在矩形ABCD內（不包含邊界）隨機取一點E，若直線AE與直線CD交于點M，則的概率為．【答案】/【詳解】如圖，在CD上取一點F，使得，連接AF，則在中隨機取一點E，直線AE與直線CD的交點M始終滿足，故所求概率，故答案為：20．（2024·全國·模擬預測）記樣本數(shù)據(jù)10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位數(shù)為a，平均數(shù)為b，則=．【答案】【詳解】將樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得4，6，8，8，10，16，18，24，32，所以中位數(shù)，由平均數(shù)的計算公式得，所以.故答案為：.21．（2024·全國·模擬預測）小明同學進行射箭訓練，每次射擊是否中靶相互獨立，根據(jù)以往訓練情況可知小明射擊一次中靶的概率為，則小明射擊3次恰好有2次中靶的概率為．【答案】【詳解】由題可知小明同學射擊3次恰好有2次中靶的概率為.故答案為：.22．（2024·全國·模擬預測）某市高三年級男生的身高X（單位：）近似服從正態(tài)分布，隨機選擇一名本市高三年級的同學，則．【答案】0.5【詳解】由題意得，，所以．故答案為：．四、解答題23．（21-22高二下·全國·期末）為提升學生身體素質，鼓勵學生參加體育運動，某高中學校學生發(fā)展中心隨機抽查了100名學生，統(tǒng)計他們在暑假期間每天參加體育運動的時間，并把每天參加體育運動時間超過30分鐘的記為“運動達標”，時間不超過30分鐘的記為“運動欠佳”，運動達標與運動欠佳的人數(shù)比為，運動達標的女生與男生的人數(shù)比為，運動欠佳的男生有5人.(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成下面2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析“運動達標情況”與“性別”是否有關?性別運動達標情況合計運動達標運動欠佳男生女生合計(2)現(xiàn)從“運動達標”的學生中按性別用分層隨機抽樣的方法抽取6人，再從這6人中任選2人進行體能測試，求選中的2人中恰有一人是女生的概率.參考公式：，.0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)表格見解析，“運動達標情況”與“性別”無關.(2)【詳解】（1）2×2列聯(lián)表為：性別運動達標情況合計運動達標運動欠佳男生20525女生403575合計6040100假設：運動達標情況與性別無關..根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，即認為“運動達標情況”與“性別”無關.（2）已知“運動達標”的男生、女生分別有20人和40人，按分層隨機抽樣的方法從中抽取6人，則男生、女生分別抽到2人和4人，則選中2人中恰有一人是女生的概率為.24．（2024·寧夏石嘴山·三模）刷臉時代來了，人們?yōu)椤八⒛樦Ц丁苯o生活帶來的便捷感到高興，但“刷臉支付”的安全性也引起了人們的擔憂.某調查機構為了解人們對“刷臉支付”的接受程度，通過安全感問卷進行調查（問卷得分在分之間），并從參與者中隨機抽取人.根據(jù)調查結果繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.(1)據(jù)此估計這人滿意度的平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表；(2)某大型超市引入“刷臉支付”后，在推廣“刷臉支付”期間，推出兩種付款方案：方案一：不采用“刷臉支付”，無任何優(yōu)惠，但可參加超市的抽獎返現(xiàn)金活動.活動方案為：從裝有個形狀、大小完全相同的小球其中紅球個，黑球個的抽獎盒中，一次性摸出個球，若摸到個紅球，返消費金額的；若摸到個紅球，返消費金額的，除此之外不返現(xiàn)金．方案二：采用“刷臉支付”，此時對購物的顧客隨機優(yōu)惠，但不參加超市的抽獎返現(xiàn)金活動，根據(jù)統(tǒng)計結果得知，使用“刷臉支付”時有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠.現(xiàn)小張在該超市購買了總價為元的商品．①求小張選擇方案一付款時實際付款額的分布列與數(shù)學期望；②試從期望角度，比較小張選擇方案一與方案二付款，哪個方案更劃算？（注：結果精確到）【答案】(1)68(2)①分布列見詳解，；②選擇方案二更劃算.【詳解】（1）由直方圖可知，滿意度的平均數(shù)為：.（2）①摸到個紅球，返消費金額的，實際付款為；摸到個紅球，返消費金額的，實際付款為，所以的可能取值為，因為，所以，的分布列為：X8009001000P所以（元）.②若選擇方案二，記實際付款金額為Y，依題意，Y的可能取值為，因為，所以，Y的分布列為：Y800900950P所以，（元）因為，所以選擇方案二付款更劃算.25．（2024高三下·全國·專題練習）“九子游戲”是一種傳統(tǒng)的兒童游戲，它包括打彈子、滾圈子、踢毽子、頂核子、造房子、拉扯鈴子、刮片子、摜結子、抽陀子九種不同的游戲項目，某小學為豐富同學們的課外活動，舉辦了“九子游戲”比賽，所有的比賽項目均采用局勝的單敗淘汰制，即先贏下局比賽者獲勝.造房子游戲是同學們喜愛的項目之一，經過多輪淘汰后，甲、乙二人進入造房子游戲的決賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為.(1)若，，設比賽結束時比賽的局數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；(2)設采用3局2勝制時乙獲勝的概率為，采用5局3勝制時乙獲勝的概率為，若，求的取值范圍.【答案】(1)分布列見解析，(2)【詳解】（1）因為，所以比賽采用3局2勝制，的所有可能取值為2，3，，，的分布列為23所以.（2）由題意知，.由，得，且，則，可得，整理得，解得，所以的取值范圍為.26．（2024·全國·模擬預測）某農業(yè)大學組織部分學生進行作物栽培試驗，由于土壤相對貧瘠，前期作物生長較為緩慢，為了增加作物的生長速度，達到預期標準，小明對自己培育的一株作物使用了營養(yǎng)液，現(xiàn)統(tǒng)計了使用營養(yǎng)液十天之內該作物的高度變化天數(shù)x12345678910作物高度y/cm9101011121313141414(1)觀察散點圖可知，天數(shù)與作物高度之間具有較強的線性相關性，用最小二乘法求出作物高度關于天數(shù)的線性回歸方程（其中用分數(shù)表示）；(2)小明測得使用營養(yǎng)液后第22天該作物的高度為，請根據(jù)（1）中的結果預測第22天該作物的高度的殘差.參考公式：.參考數(shù)據(jù)：.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意，，，故，，故所求回歸直線方程為.（2）由（1）可知，當時，，故所求殘差為.27．（2024高三·全國·專題練習）近年來，隨著國家對新能源汽車產業(yè)的支持，很多國產新能源汽車迅速崛起，其因顏值高、動力充沛、提速快、空間大、用車成本低等特點得到民眾的追捧，但是充電難成為影響新能源汽車銷量的主要原因，國家為了加快新能源汽車的普及程度，在全國范圍內逐步增建充電樁．某地區(qū)2019－2023年的充電樁數(shù)量及新能源汽車的年銷量如表所示：年份20192020202120222023充電樁數(shù)量x/萬臺13579新能源汽車年銷量y/萬輛2537485872(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數(shù)加以說明（結果精確到0.001）；(2)求y關于x的線性回歸方程，預測當該地區(qū)充電樁數(shù)量為24萬臺時，新能源汽車的年銷量是多少萬輛？參考公式：相關系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．參考數(shù)據(jù)：，，，．【答案】(1)答案見解析(2)；157.25萬輛【詳解】（1）由題知，，又，，，所以，因為y與x的相關系數(shù)近似為0.999，非常接近1，所以y與x的線性相關程度很高，可以用線性回歸模型擬合y與x的關系．（2），，所以y關于x的線性回歸方程為．當時，，故當充電樁數(shù)量為24萬臺時，該地區(qū)新能源汽車的年銷量為157.25萬輛．28．（23-24高二下·江蘇·單元測試）某機構從某一電商的線上交易大數(shù)據(jù)中來跟蹤調查消費者的購買力，界定3至8月份購買商品在5000元及以上人群屬“購買力強人群”，購買商品在5000元以下人群屬“購買力弱人群”．現(xiàn)從電商平臺消費人群中隨機選出200人，發(fā)現(xiàn)這200人中屬購買力強的人數(shù)占80%，并將這200人按年齡分組，分組區(qū)間為，得到頻率直方圖（如圖）．

(1)求出頻率直方圖中a的值和這200人的平均年齡．(2)從第組中用分層抽樣的方法抽取5人，并再從這5人中隨機抽取2人進行電話回訪，求這兩人恰好屬于不同組別的概率．(3)把年齡在第組的居民稱為青少年組，年齡在第組的居民稱為中老年組．若選出的200人中“購買力弱人群”的中老年人有20人，問：是否有的把握認為，是否屬“購買力強人群”與年齡有關？0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)0.035，41.5歲(2)(3)沒有99%的把握【詳解】（1）由題意得，所以，平均數(shù)為，所以這200人的平均年齡為41.5歲．（2）由題意可知第組中人數(shù)的必為，故利用分層抽樣的方法抽取5人，從第一組抽取