第八章平面解析幾何第9節(jié)直線與圓錐曲線INNOVATIVEDESIGN1.理解直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法.

2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式.3.掌握直線與圓錐曲線相交的綜合問題.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點(diǎn)聚焦突破02課時(shí)對點(diǎn)精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 (1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有______、______、______;相交有兩個(gè)交點(diǎn)(特殊情況除外),相切有一個(gè)交點(diǎn),相離無交點(diǎn). (2)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí),通常將直線l的方程Ax+By+C=0代入圓錐曲線C的方程.消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).

①當(dāng)a≠0時(shí),可考慮一元二次方程的判別式Δ,有Δ>0時(shí),直線l與曲線C______;Δ=0時(shí),直線l與曲線C______;Δ<0時(shí),直線l與曲線C______.相交相切相離相交相切相離

②當(dāng)a=0時(shí),即得到一個(gè)一次方程,則l與C相交,且只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí),若C為雙曲線,則直線l與雙曲線的________平行;若C為拋物線,則直線l與拋物線的________平行或重合.漸近線對稱軸

√

√××C2.(北師大選修一P83T1原題)方程y(y-x)=2所表示的曲線(

) A.關(guān)于y軸對稱 B.關(guān)于直線x+y=0對稱 C.關(guān)于原點(diǎn)對稱 D.關(guān)于直線x-y=0對稱

解析

將(-x,y)代入原方程得y(y+x)=2,A錯(cuò)誤;

將(-y,-x)代入原方程得x(x-y)=2,B錯(cuò)誤;

將(-x,-y)代入原方程得y(y-x)=2,C正確;

將(y,x)代入原方程得x(x-y)=2,D錯(cuò)誤.C

考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

思維建模1.在判斷直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí),先聯(lián)立方程組,再消去x(或y),得到關(guān)于y(或x)的方程,如果是直線與圓或橢圓,則所得方程一定為一元二次方程;如果是直線與雙曲線或拋物線,則需討論二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零兩種情況,只有二次方程才有判別式,另外還應(yīng)注意斜率不存在的情形.2.雙曲線中與漸近線平行的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn);拋物線中與對稱軸平行的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).D

考點(diǎn)二

弦的有關(guān)問題

D

由雙曲線方程可得漸近方程為y=±3x,如圖.

x+2y-3=0

C思維建模1.弦及弦中點(diǎn)問題的解決方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系:直線與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立,消元,利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點(diǎn);(2)點(diǎn)差法:利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓或雙曲線方程,作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率間的關(guān)系.若已知弦的中點(diǎn)坐標(biāo),可求弦所在直線的斜率.2.弦長的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí),可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可利用弦長公式求解.

解析

由題意知,橢圓的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),直線AB的方程為y=2(x-1).

(1,-1)(2)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1,若拋物線C上存在關(guān)于直線l:x-y-2=0對稱的不同的兩點(diǎn)P和Q,則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為

.

考點(diǎn)三

直線與圓錐曲線的綜合

思維建模1.解答直線與圓錐曲線相交的題目時(shí),常用到“設(shè)而不求”的方法,即聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程,消去y(或x)得一元二次方程,然后借助根與系數(shù)的關(guān)系,并結(jié)合題設(shè)條件,建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系求解.2.涉及直線方程的設(shè)法時(shí),務(wù)必考慮全面,不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.

課時(shí)對點(diǎn)精練3KESHIDUIDIANJINGLIAN

A

D

C

B

B

A

D

B由題意知,直線l為線段AB的垂直平分線,所以可設(shè)直線AB:x-3y+m=0,A(x1,y1),B(x2,y2),

ACD

BCD

因此C上到l的距離為1的點(diǎn)只有3個(gè),D正確