專題07一次函數(shù)與反比例函數(shù)（解析版）

一、填空題

1.（2021?河南?統(tǒng)考中考真題）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的函數(shù)的解析式.

【答案】產(chǎn)無(wú)（答案不唯一）

【解析】

【詳解】過(guò)原點(diǎn)的圖象可以是一次函數(shù)，或者是二次函數(shù)

2.（2022?河南?統(tǒng)考中考真題）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)y隨x增大而增大的一次函數(shù)表達(dá)式.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】在此解析式中，當(dāng)X增大時(shí)，y也隨著增大，這樣的一次函數(shù)表達(dá)式有很多，根據(jù)題意寫(xiě)一個(gè)即可.

【詳解】解：如y=%,y隨x的增大而增大.

故答案為：y=x（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】此題屬于開(kāi)放型試題，答案不唯一，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的增減性是解題

關(guān)鍵.

二、解答題

3.（2021?河南?統(tǒng)考中考真題）如圖，大、小兩個(gè)正方形的中心均與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。重合，邊

分別與坐標(biāo)軸平行，反比例函數(shù)y=勺的圖象與大正方形的一邊交于點(diǎn)A（l,2）,且經(jīng)過(guò)小正方形的頂點(diǎn)8.

（1）求反比例函數(shù)的解析式;

（2）求圖中陰影部分的面積.

【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為y=工；（2）陰影部分的面積為8.

k

y——

【詳解】解：（1）..?反比例函數(shù)X的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（l,2）,

.\k=lX2=2

...反比例函數(shù)的解析式為y=|

（2）如右圖，?..反比例函數(shù)y=|的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)心

CB

D

正方形OCBD的面積為2

由圖可知，OE=2

，正方形OEFG的面積為2X2=4,

陰影部分的面積為4X（4-2）=8

4.（2022?河南?統(tǒng)考中考真題）如圖，反比例函數(shù)〉=：（》＞0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（2,4）和點(diǎn)8,點(diǎn)B在點(diǎn)

A的下方，AC平分NOAB,交x軸于點(diǎn)C.

Q

【答案】（1）y=—

x

【解析】

【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可得出答案；

【小問(wèn)1詳解】

解：?反比例函數(shù)y=＞。）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（2,4）,

k

，當(dāng)尤=2時(shí)，一二4,

2

k=8,

Q

工反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y二—；

x

【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式。

5.（2023?河南?統(tǒng)考中考真題）小軍借助反比例函數(shù)圖象設(shè)計(jì)“魚(yú)形”圖案，如圖，在平面直角坐標(biāo)系

中，以反比例函數(shù)y=幺圖象上的點(diǎn)A（百,1）和點(diǎn)8為頂點(diǎn)，分別作菱形AOCD和菱形O跳戶，點(diǎn)。，

E在無(wú)軸上，以點(diǎn)。為圓心，Q4長(zhǎng)為半徑作AC，連接班

【答案】（1）G

【解析】

【分析】（1）將A（e,1）代入y=月中即可求解;

【小問(wèn)1詳解】

解：將A（百,1）代入y=七中，

得1=耳’

解得：k=6；

6.（2024?河南?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，對(duì)角線AC,

0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.

（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式.

（2）請(qǐng)先描出這個(gè)反比例函數(shù)圖象上不同于點(diǎn)A的三個(gè)格點(diǎn)，再畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象.

（3）將矩形A6CD向左平移，當(dāng)點(diǎn)E落在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，平移的距離為

【答案】（1）y=-

X

（2）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析，畫(huà)反比例函數(shù)圖象，平移的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是：

（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）分別求出x=l,x=2,%=6對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，然后描點(diǎn)、連線畫(huà)出函數(shù)圖象即可；

（3）求出平移后點(diǎn)E對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平移前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相減即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：反比例函數(shù)丁=月的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（3,2）,

X

.2c—k—,

3

:.k=6,

這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-

X；

【小問(wèn)2詳解】

解：當(dāng)光=1時(shí)，y=6,

當(dāng)工=2時(shí)，y=3,

當(dāng)x=6時(shí)，y=L

...反比例函數(shù)y=9的圖象經(jīng)過(guò)（1,6）,（2,3）,（6,1）,

畫(huà)圖如下：

解：???E（6,4）向左平移后，E在反比例函數(shù)的圖象上,

...平移后點(diǎn)E對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,

當(dāng)y=4時(shí)，4=-,

X

3

解得元=大，

2

39

；?平移距禺為6———?

22

9

故答案為：2.

2

一年模擬新期N

一、單選題

1.（2024?河南安陽(yáng).模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知P,。分別是反比例函數(shù)y=&與y=&,且PQ〃x軸，點(diǎn)尸的

XX

坐標(biāo)為1-|，2],分別過(guò)點(diǎn)P,。作尸”，x軸于點(diǎn)M,軸于點(diǎn)N.若四邊形PMNQ的面積為2,則心

【答案】D

【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解答.

根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)（x?）的橫縱坐標(biāo)的積是定值也即孫=左.先求出過(guò)點(diǎn)P時(shí)，與坐標(biāo)軸圍成的

矩形的面積；再根據(jù)四邊形的面積，求出過(guò)點(diǎn)。時(shí)，心的值.

【詳解】???點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=&上的點(diǎn)

X

3

???過(guò)點(diǎn)P與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為閥=-]X2=3,

過(guò)點(diǎn)。與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為3-2=1,

:反比例函數(shù)在第二象限,

k2=.

故選：D.

k

2.（2024?河南三門(mén)峽?二模）如圖，矩形。4BC的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=—（無(wú)<0）的圖象上，頂點(diǎn)8,C在

2

第一象限，對(duì)角線AC〃x軸，交y軸于點(diǎn)D若矩形Q4BC的面積是6,cosNQAC=],則上的值為（）

B.-1

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)上的幾何意義，余弦的定義.根據(jù)cos/OAC=9可得要=要=2,

八AD2a4.

Q/7____=———48o

設(shè)">=2a,則AO=3a,代入可得AC=7,進(jìn)而可得AC9a9,推出25空”=弓*=.，根據(jù)

~293

左的幾何意義可得W=a>a4=2S.A8=8,再根據(jù)反比例函數(shù)圖象所在象限得出發(fā)<0,即可求解.

【詳解】解：AC〃x軸，四邊形04BC是矩形，

ZADO=ZAOC=90°,

cosZOAC=—,

設(shè)AD=2a,貝!JAO—3a，

/.AC=—

AD_2a4

AC-9￡-9，

T

44/8

-2sAAOD=§x2S^=-x6=一，

AOC93

8

\k\=OD-OA=2S=-，

I|AAUnDn3

???反比例函數(shù)y=￡（x<0）第二象限,

X

，k<0,

k=-8.

故選：D.

3.（2024?河南周口?一模）如圖，一次函數(shù)y=or+6與反比例函數(shù)尸勺上>0）的圖象交于點(diǎn)4（2,4）,

5（m,-2）,則關(guān)于x的不等式+的解集是（）

X

B.xv-2或。<無(wú)<4

C.%v-4或0<x<2D.一2<x<0或x>4

【答案】A

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，先求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)3的坐

標(biāo)，然后直接利用圖象法求解即可.

【詳解】解：??,及2,4）在反比例函數(shù)圖象上,

k=2x4=8,

Q

，反比例函數(shù)解析式為y二―,

X

???5（加一2）在反比例函數(shù)圖象上,

B(-4,-2),

k

由題意得關(guān)于尤的不等式“x+b>-的解集即為一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)自變量的取值范圍,

X

k

，關(guān)于x的不等式〃％+力>一的解集為T(mén)v九vO或x>2,

x

故選：A.

二、填空題

k

4.(2024.河南新鄉(xiāng).模擬預(yù)測(cè))如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=：(x>0)圖象上一點(diǎn)，軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C在

x軸上，連接AC,BC.若AABC面積為2,則％的值為

【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)七的幾何意義，連接AO,通過(guò)反比例函數(shù)系數(shù)％的幾何意義得出

k

S.ABC=5?即0=5=2,即可得出答案?

【詳解】解：連接49,

AB〃x軸，

k

.,S^ABC=S&ABO=5=2，

k=4.

故答案為：4.

5.(2024?河南商丘?模擬預(yù)測(cè))如圖，在AAOB中，AO=AB，點(diǎn)B在x軸上，C、。分別為。4、。8的中

點(diǎn)，連接。D,E為。上任意一點(diǎn)，連接A￡\BE,反比例函數(shù)y=—(x<0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.若△ABE的

面積為6,則上的值為

yt

BDO|x

【答案】-12

【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象、等腰三角形以及中位線的性質(zhì)、三角形面積，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)

用等腰三角形的性質(zhì).根據(jù)等腰AAOB,中位線CO得出AD,03,SAABE=SMD=4,應(yīng)用I左I的幾何意義求

k.

【詳解】解：如圖：連接A。，

△A03中，AO=AB,QB在x軸上，C、。分別為AB,的中點(diǎn),

BDa

:.ADLOB,ABHCD,

?V—V

k=—12.

故答案為：-12.

6.（2023.河南新鄉(xiāng).二模）請(qǐng)任寫(xiě)一個(gè)與y=x+l平行的一次函數(shù)解析式.

【答案】y=x+3（答案不唯一）

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象的位置與系數(shù)的關(guān)系，明白函數(shù)圖象中平行左相等是關(guān)鍵.根據(jù)平行上相

等這個(gè)結(jié)論即可得出結(jié)論.

【詳解】解：,??兩解析式平行％值相等，

=1,

，解析式可以是y=尤+3（答案不唯一）.

故答案為：y=x+3（答案不唯一）.

7.（2024.河南許昌?二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形Q4BC和正方形ADEF的頂點(diǎn)A,C,。均在

坐標(biāo)軸上，點(diǎn)廠是邊A3的中點(diǎn)，點(diǎn)2,E在反比例函數(shù)>=々*>0）的圖象上.若Q4=l,則左的值

【答案】2

【分析】設(shè)AF=a,結(jié)合點(diǎn)尸是邊AB的中點(diǎn)，得AB=OC=2a,得到3（2a,l）,E（a,a+1）,結(jié)合點(diǎn)B,

k

E在反比例函數(shù)y=^（x>0）的圖象上，建立等式計(jì)算即可.

X

本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形性質(zhì)，反比例函數(shù)性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】設(shè)=

:點(diǎn)F是邊A8的中點(diǎn)，

AB=2a,

???矩形Q4BC和正方形ADEF,。4=1,

/.AB=OC=2a,A5〃x軸，OA=BC=1,AF=DE=AD=a,。石||%軸，

???點(diǎn)B,E在反比例函數(shù)y="（%>0）的圖象上，

x

解得a=l,a=0（舍去），

k=a（a+l）=2a=2,

故答案為：2.

8.（23-24九年級(jí)下.河南新鄉(xiāng)?期中）如圖，A、B是反比例函數(shù)y=5（%<0）圖象上的兩點(diǎn)，A、8兩點(diǎn)的

橫坐標(biāo)分別是T、-1,直線與，軸交于點(diǎn)C,若AAOB的面積為5,貝鼠=.

X

【答案】-|Q

【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)％的幾何意義，根據(jù)圖中面積關(guān)系列出方程式是解題的關(guān)鍵.作短，尤

軸，垂足為E,作8尸_Lx軸，垂足為尸，BZ）_Ly軸，垂足為。，代入求出點(diǎn)A和點(diǎn)8的坐標(biāo)，根據(jù)

S長(zhǎng)方形BDOF+S梯形AEFB=^AAOB+^AEO+t.ODB,列方程求解即可.

【詳解】解：作AELx軸，垂足為E,作軸，垂足為月，2。，，軸，垂足為D,如圖:

,:A、B是反比例函數(shù)>=：（左<0）圖象上的兩點(diǎn)，A、8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是T、-1,

故將x=T代入y=f（E<0）得：y=-^,即A坐標(biāo)為［一

故將x=—1代入>=：（%<o）得：y=-k,即B坐標(biāo)為

?S長(zhǎng)方形BD8+S梯形AEFB-S^AOB+SAAEO+^ODB，

gp+kjx3=」女」Z+5

422

解得：k=-Qg

Q

故答案為：

9.（2024.河南三門(mén)峽.一模）在一次函數(shù)y=（4+l）x+3中，,隨x的增大而減小，則上的值可以是（任

意寫(xiě)一個(gè)符合條件的數(shù)即可）.

【答案】-3（答案不唯一）

【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)，隨x的增大而減小，得出k+1<0,即可作答.

【詳解】解：：在一次函數(shù)'=（左+1b+3中，y隨x的增大而減小,

??左+1v0,

解得k<-\,

則％的值可以是-3（答案不唯一）

故答案為：-3.

三、解答題

10.（2024?河南周口?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以反比例函數(shù)>=左<0）圖象上的點(diǎn)A為頂

點(diǎn)，作邊長(zhǎng)為4的正方形ABOC,點(diǎn)3、C分別在y軸和x軸上，反比例函數(shù)圖象上另一點(diǎn)。向右作正方形

DECF,以點(diǎn)C為圓心，C4長(zhǎng)為半徑作AO，連接AROD.

⑴求發(fā)的值.

⑵求正方形DECF的邊長(zhǎng).

【答案】⑴-16

⑵2石-2

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求扇形的面積：

（1）求出A（T,4）,再代入y=￡,即可求解；

（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為仙則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-m-4,加），從而得到（-根-4）m=-16,即可求解;

（3）根據(jù)陰影部分的面積=S&WF+S正方形DECF+S扇形ACOFDE。,即可求解.

【詳解】（1）解：：四邊形430C是正方形，邊長(zhǎng)為4,

.?.點(diǎn)A（T,4）.

將點(diǎn)A（T,4）代入到y(tǒng)中，得：

4=與，解得:k=-16.

-4

（2）解：設(shè)正方形DEC尸的邊長(zhǎng)為相，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-加-4,相）.

又??,點(diǎn)。在反比例函數(shù)的圖象上,

/.（―m-4）m=-16,

解得小—2^/^-2,1nl=—25/5—2（舍去），

???正方形DECF的邊長(zhǎng)為275-2；

11.（2024.河南?三模）如圖，已知反比例函數(shù)>=工（彳>0）與正方形神。0交于點(diǎn)〃，N（l,而,連接GW,

X

以點(diǎn)。為圓心，ON長(zhǎng)為半徑作四分之一圓，分別交無(wú)軸，y軸正半軸于點(diǎn)。，E.

⑴求反比例函數(shù)的解析式;

⑵求證：BM=BN；

【答案］⑴y=

（2）證明見(jiàn)解析；

【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解;

（2）求出期/、的長(zhǎng)度即可求證;

本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)比例系數(shù)上的幾何意義，坐標(biāo)與圖形，勾股定理,

掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：???反比例函數(shù)y=：（x>0）與正方形A3co交于點(diǎn)M,N0網(wǎng)

???將N（l,正）代入klk

y=-（x>o）中，得

X

解得k=6,

反比例函數(shù)的解析式為：y=3;

X

（2）證明：；OC=6，四邊形ABC。是正方形,

/.OA=BC=AB=OC=y/3,

二點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為G，

把x=JL代入＞=且中得，y=i,

X

???AM=1,

二BM=AB-AM=百-1,

VN(l,后,

：.CN=1,

：.BN=BC-CN=4i-\,

：.BM=BN；

12.(2024?河南周口?二模)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，AABC的頂點(diǎn)為A(0,4),8(0,2),C(3,0),將“IBC繞

點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△AW,其中，點(diǎn)B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)M,N.

(2)若點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為CN，求陰影部分的周長(zhǎng);

(3)求直線CN的解析式.

Q

【答案】(1)反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=

X

571

(2)陰影部分的周長(zhǎng)為10+三

13

⑶CN的表達(dá)式為：y^--x+-

【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析，一次函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定以及性

質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等等知識(shí)，掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)將AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AAAW根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點(diǎn)M(-2,4),再用待定系數(shù)法即可求

出反比例函數(shù)解析式.

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AC=AN,求出AC,AN,再求出CN，即可求出陰影部分的周長(zhǎng).

(3)作軸于點(diǎn)證明△CQ4絲△ATiN(AAS),由全等的性質(zhì)可得出OC=A",OA=HN,進(jìn)一

步再求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可求出直線CN的解析式.

【詳解】(1)解：由題意得，CO=3,。4=4,AB=2,

將AASC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AAMN,

則點(diǎn)M(-2,4),

將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：k=-2x4=-8,

Q

則反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=—；

X

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AC=AN,

由點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)得，

AC=VCO2+OA2=V32+42=5=AN>

駟*=

1802

5兀

???陰影部分的周長(zhǎng)為10+三

(3)作軸于點(diǎn)H,

?.?ZCOA=ZNHA=ZCAN=90°,

,\ZCAO+ZNAH=90°,ZCAO-bZACO=90°,

:.ZACO=ZAHNf

AC=AN,

:./\COA^AAfflV(AAS),

:.OC=AH,OA=HN,

?.?CO=3,OA=4,

貝i」AH=OC=3,NH=OA=4,OH=1,

則點(diǎn)N(-4,1),

又???C(3,0),

設(shè)CN的解析為：y=ax+b,

貝u134++6b==01,

I1

a=——

7

解得：

b=-

17

13

CN的表達(dá)式為：＞=.

13.(2024.河南安陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))如圖，反比例函數(shù)y=f的圖象與過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線AB相交于A、8兩點(diǎn).已

知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,3).

(1)求直線AB的解析式及反比例函數(shù)的解析式；

⑵若點(diǎn)尸在X軸上，且5寸鉆=9,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

333

【答案］(1),二一齊+^,y=—

(2)(—3,0)或(5,0)

【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式:

(1)利用待定系數(shù)法即可求解；

(］冗=2

(2)聯(lián)立方程組求得J二或\=_』，則可得4(-1,3),8124，設(shè)直線與無(wú)軸相交于點(diǎn)C(l,o),

、2

根據(jù)S4ABp=S^ACP+sNCP可求得CP=4,進(jìn)而可求解；

熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】⑴解：把點(diǎn)A(-l,3)代入y=：得：3哈,

解得：k=-3,

3

???反比例函數(shù)的解析式為y=-三

x

設(shè)直線AB的解析式為y=丘+b,代入(1,0),A(-1,3)得:

a+b=O

—a+Z?=3'

3

a=——

2

解得：＜

3

b7=—

2

33

???直線AB的解析式為丁=一9+萬(wàn)?

3

y=一一

X

(2)聯(lián)立方程組得：

33

y=——x+—

22

x=2

x=-l

解得:y=3或,3，

y=-2

二.A(—萬(wàn)

設(shè)直線與1軸相交于點(diǎn)C(1,O),如圖:

*'-S&ACP+S&BCP=5PC-^3+—^=9,

:.CP=4,

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,0)或(5,0).

14.(2024.河南關(guān)B州.三模)如圖，反比例函數(shù)y=g的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(2,4),連接并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)

C,以AC為對(duì)角線作正方形A3CD,點(diǎn)B在第四象限過(guò)點(diǎn)A,O,2作弧.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

(2)08所對(duì)圓心角的度數(shù)為°,。8所在圓的半徑為

(3)求圖中陰影部分的面積之和.

Q

【答案】(1)y=—；

X

(2)90,加；

(3)|?乃+5.

KQ

【分析】(1)由反比例函數(shù)y=2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(2,4),得到Z=2x4=8,求得反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=:；

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)。是四邊形ABC。的中心，連接08,得到03=04,OB1AC,求得02所

對(duì)圓心角的度數(shù)為90。，根據(jù)勾股定理得到所在圓的半徑為亞；

(3)設(shè)。B所在圓的圓心為E,CD與x軸交于尸，43與x軸交于G,連接0E,求得

OE=；AB=瓜ZAEO=90。,根據(jù)全等三角形的判定得到AAOG^ACOF(ASA),根據(jù)三角形的面積公式和

扇形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：?反比例函數(shù)y=￡的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,4),

X

k=2x4=8,

Q

反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=—；

X

(2)?..四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線，AO^OC,

點(diǎn)。是四邊形ABCD的中心，

連接02,

OB=OA,OBVAC,

，Z.OAB=ZABO=45°,AB為所在圓的直徑，

05所對(duì)圓心角的度數(shù)為90°,

,?,TM=A/22+42=2A/5-

AB=y/2OA=25,

08所在圓的半徑為，而；

故答案為：90,而;

（3）設(shè)。8所在圓的圓心為E,CD與無(wú)軸交于尸，與x軸交于G,連接OE,

OE=-AB=y/10,ZA￡O=90°,

2

VZOCF=ZOAE=45°,ZCOF=ZAOG,OA=OC,

：.AAOG^ACOF（ASA）,

?.?弓形AO的面積=扇形AE。的面積-三角形AOE的面積=如含”-1叫當(dāng)小，

3o（J22

；?圖中陰影部分的面積之和=半圓A03的面積-弓形A。的面積=呆1。萬(wàn)-存5=存5.

【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，勾股定理，圓

周角定理，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確地識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

15.（23-24九年級(jí)下?河南鶴壁?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2,0）,B（2,0）,將線段5。繞點(diǎn)3

k

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為c,ACrBC,反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.

⑴求上的值.

(2)以點(diǎn)B為圓心，8。為半徑畫(huà)°C，求圖中陰影部分的周長(zhǎng).

【答案］⑴)=若

(2)273+2+—

3

【分析】(1)連接CO,證明AFOC是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值計(jì)算即可.

(2)利用弧長(zhǎng)公式，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)解答即可.

本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，弧長(zhǎng)公式，

勾股定理，熟練掌握公式和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)連接CO,如圖所示.

?.?點(diǎn)A(-2,0),以2,0),

OA=OB=2,

即點(diǎn)。是A3的中點(diǎn).

vAC1BC,

:.ZACB=90°,

：.OC=OA=OB=2.

由旋轉(zhuǎn)可得5。=3c

/.OC=OB=BC,

:.^BOC是等邊三角形.

過(guò)點(diǎn)。作CDLx軸于點(diǎn)

/.OD=-BO=1,CD=BCsin60o=73,

2

，C(1，⑹.

k

把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y=—,

yk

得k=6.

（2）由（1）知，/OC為等邊三角形,

BC=2,

.\ZCBA=6Q°,

.?.42=26,。。的長(zhǎng)為煞注=尋?

loU3

,陰影部分的周長(zhǎng)為AC+OA+與=2』+2+等.

16.（2024.河南商丘.二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)＞=勺》＞0）的圖象過(guò)點(diǎn)4（3,4）.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

（2）將Q4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與x軸重合，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C.

①連接AC,求線段AC的長(zhǎng)；

②。是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若以0,A,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐

標(biāo).

【答案】（1旅=上x(chóng)＞0

X

（2）①2/,②（-2,4）或（8,4）或（2,Y）

【分析】題目主要考查反比例函數(shù)的綜合問(wèn)題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，理解題意，綜合運(yùn)用這

些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

（1）直接將點(diǎn)代入求解即可；

(2)①過(guò)點(diǎn)A作ABIx軸于點(diǎn)B,根據(jù)題意得04=7?三=5，然后再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定OC=Q4=5,

即可求解；

②由①得OC=Q4=5,C(5,0),設(shè)點(diǎn)D(x,y),分三種情況分析：當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)A0為對(duì)角線時(shí)，

當(dāng)AO為對(duì)角線時(shí)，分別利用平行四邊形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：：反比例函數(shù)y=§x>0)的圖象過(guò)點(diǎn)4(3,4),

.M=3x4=12.

反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=?(x>0).

(2)①過(guò)點(diǎn)A作AB_Z.x軸于點(diǎn)3,如圖所示.

7點(diǎn)4(3,4),

.*.03=3,AB=4.

OA=sJi2+42=5.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知OC=Q4=5.

BC=OC-OB=2.

在RtAABC中，AC=>]AB2+BC2=742+22=245.

②由①得OC=Q4=5,

.-.C(5,0),A(3,4),0(0,0),

設(shè)點(diǎn)

當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，3+5=0+%,0+4=0+y,

解得：x=8,y=4,

：.0(8,4)；

當(dāng)A0為對(duì)角線時(shí)，3+0=5+x,0+4=0+y,

解得：x=-2,y=4,

???0(-2,4)；

當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，3+x=0+5,y+4=0+0,

解得：x=2,y=-4,

0(2,-4)；

綜上可得：O的坐標(biāo)為（-2,4）或（8,4）或（2,-4）.

17.（2024?河南周口?二模）如圖，一次函數(shù)丫=尤+4的圖象與反比例函數(shù)y="的圖象交于A,2兩點(diǎn)，與尤

X

軸交于點(diǎn)C,延長(zhǎng)30交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)D.

⑴填空：0B_0D（填寫(xiě)或“="）；

（2）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出-D3C的平分線（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；

（3）在3c的平分線上取點(diǎn)E,使ZBED=90°,連接CE,當(dāng)左=-3時(shí)，求ABCE的面積.

【答案】（1）=

（2）見(jiàn)解析

⑶6

【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；

（3）連接0E.聯(lián)立函數(shù)解析式求出點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1,3）,再求出OC=4可得Lco=；=6,然后證

叫BC//OE,可得S、BCE=SABCO=6.

【詳解】（1）???5。經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且點(diǎn)B和點(diǎn)。在反比例函數(shù)圖象上，

...由反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知，OB=OD.

故答案為：=;

（2）如圖1所示.

3

y---

X

由圖可知點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，

；?點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1,3）.

當(dāng)丁=。時(shí)，x+4=0,

x=-4,

???OC=4,

二?S^co=5℃力=5*4X3=6.

?：BE平分NCBO,

???ZCBE=ZOBE.

??,點(diǎn)。是8。的中點(diǎn)，/BED=90。，

：.OE=OBf

???NOEB=/OBE,

：./CBE=/OEB,

：.BC//OE,

,?Q^BCE_"BCO_u.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，反比例函數(shù)的對(duì)稱性，尺規(guī)作角平分線，平行線的判定

與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等，熟練掌握基本幾何圖形性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

18.（2024?河南濮陽(yáng)?三模）如圖，口。4BC的頂點(diǎn)。與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，邊。4在x軸正半軸上，

ZAOC=60°,OC=4,反比例函數(shù)y=§（尤>0）的圖象經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C,與邊AB交于點(diǎn)、D.

⑴求

k

⑵若點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，設(shè)直線的解析式是+若左/+6>6時(shí)，求x的取值范圍.

【答案】（1）勺=46；

（2）x的取值范圍是x>4.

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)，掌握相關(guān)

知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

（1）利用勾股定理求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求解；

（2）由（1）可得反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=述，利用平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理求出點(diǎn)O坐標(biāo)，再根據(jù)

X

kx+b>，■可確定x的取值范圍.

2x

【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)。作Q4的垂線，交。4于點(diǎn)E,如圖:

CE^OA,

：.NOEC=90。,

,/ZAOC=60°9

：.ZOCE=30°,

,:OC=4,

/.OE=-OC=2,

2

CE=4OC2-OE2=V42-22=2y/3，

C（2,2@,

把點(diǎn)C（2,2g）代入＞中得：

（2）解：由（1）可得，反比例函數(shù)的解析式＞=越

X

過(guò)點(diǎn)。作。方，X軸于點(diǎn)尸，如圖：

???四邊形Q4BC是平行四邊形，OC=4,

：.AB=OC=4,AB//OC,

???點(diǎn)。是AB的中點(diǎn),

AD=^AB=2,

'：AB//OC,ZAOC=60°,

：.ZDAF=ZAOC=60°,

XVDF±x,

ZADF=90°-ZDAF=90°-60°=30°,

/.AF=—AD=1,

2

???DF=JAD2-AF2于=5

???點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為君，

代入>=迪得：》=4,

,**k?x+Z?>―-,

x

?,?由圖可知，X的取值范圍是：x>4.

19.(2024?河南開(kāi)封?二模)如圖，直線y=x+6與反比例函數(shù)>=：交于點(diǎn)A(-5,1)和點(diǎn)B,點(diǎn)。，E為等

腰兩腰的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C,D,E做圓，連接DE,取DE的中點(diǎn)尸，連接CP.

⑴求七和6的值；

k

(2)當(dāng)xvO時(shí)，直接寫(xiě)出一2%+b的解集;

x

⑶求陰影部分的面積.

【答案】⑴左=-5,b=6

(2)-1<x<0x<-5

⑶6—萬(wàn)

【分析】(1)分另I將A(-5,1)代入y=士與y=x+〃中，即可求出％和6的值；

X

kk

(2)聯(lián)立直線y=x+b與反比例函數(shù)y=勺，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)+b即為反比例函數(shù)圖象在一次

xx

函數(shù)圖象的上方時(shí)自變量的取值，結(jié)合圖象即可解答；

(3)由點(diǎn)4點(diǎn)2的坐標(biāo)得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)。，E為等腰RtAABC兩腰的中點(diǎn)，由勾股定理求

出BC,DE的長(zhǎng)，根據(jù)S陰影=^^-5對(duì)批一；5序即可求解.

kk

【詳解】(1)解：將A(-5,l)代入y=*中，貝收=令，解得:左=一5；

將A(—5,1)代入y=九+Z?中，貝Ul=—5+b,解得：b=6；

(2)解：由(1)知直線y=x+6與反比例函數(shù)>=-9,

X

y=x+6

聯(lián)立5，貝r*=x+6,即丁+6尤+5=0,

y=——x

解得：1=-1或X=一5,

當(dāng)％=-1,y=5,

根據(jù)題意：5(-1,5),

???+b即為反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方，

X

/.-l<x<0^x<-5；

(3)解：???點(diǎn)A(—5,1),點(diǎn)5(—1,5),

AB=J[-5-(-l)]2+(l-5)2=472,

V“LBC是等腰直角三角形，

AC=BC,

^AC2+BC2=AB2,

/.AC=BC=4,

又點(diǎn)O,E為3cAe的中點(diǎn)，

DC=2,EC=2,

：.DC=EC,即△DEC是等腰直角三角形,

???DE=VDC2+EC2=2V2,

NDCE=90。,

???DE是。尸的直徑，

???o/的半徑長(zhǎng)為近，

S陰影二^AABC_S^CDE-萬(wàn)SQF

=-xACxBC--xCExCD--7rr2

222

=gx4x4-gx2x2-g?x(a)

=6—71.

【點(diǎn)睛】本題主要考查求一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，等腰三角形的性

質(zhì)以及求不規(guī)則圖形的面積，勾股定理，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

k

20.(2024?河南南陽(yáng)?一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)>=7放+〃與反比例函數(shù)'=一的圖象在

x

第一象限內(nèi)交于A(a,4)和3(4,2)兩點(diǎn)，直線A5與x軸相交于點(diǎn)C,連接04.

⑴求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；

k

(2)當(dāng)%>0時(shí)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出關(guān)于元的不等式如+〃2一的解集;

x

QQ

【答案】(i)y=3,y=-

XX

(2)2<x<4

(3)9

【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題以及尺規(guī)作圖，利用圖象求不等式的解集，正確掌

握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)利用待定系數(shù)法，先把3(4,2)代入反比例函數(shù)，求出左的值，再求出A的坐標(biāo)，從而求出一次函數(shù)的

解析式，即可作答.；

(2)利用數(shù)形結(jié)合思想可求解；

(3)先作圖，再求出C的坐標(biāo)，得出8是AC的中點(diǎn)，得出8C是OC的一半，根據(jù)梯形面積公式代入數(shù)值，

即可作答.

【詳解】(1)解：?反比例函數(shù)圖象y=A過(guò)B(4,2),

k=4x2=8,

Q

，反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=-,

X

OQ

把A(a,4)代入y=2得：。=2=2,

尤4

.?.42,4),

,一次函數(shù)、=如+〃的圖象過(guò)點(diǎn)A,點(diǎn)3,

[4m+n-2

2m+n=4

m=-l

解得:

n=6

」?一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+6；

(2)解：觀察函數(shù)圖象可得，當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)2WxW4時(shí)，、=爾+〃的圖象在y=(的圖象上方,

X

Q

...-X+62—的解集為：2<x<4；

x

(3)解：如圖:

?.?直線與X軸相交于點(diǎn)C,一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+6

y=0時(shí)，尤=6

C(6,0)

???A(2,4),3(4,2)

AB=BC,

?：BD//OC

：.是AAOC的中位線

BD=-OC=3

2

則梯形OCBD的面積=；*《%(℃+21))=(><3'4'(3+6)=9.

21.(2024?河南關(guān)B州.二模)如圖，一次函數(shù)產(chǎn)質(zhì)+》與反比例函數(shù)了=三的圖象交于A(—2,6),8(4,九)兩點(diǎn),

與X軸交于點(diǎn)C,連接。4,0B.

⑴求反比例函數(shù)和■次函數(shù)的表達(dá)式;

⑵求“108的面積；

(3)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出不等式組位+6<0的解集.

X

【答案】⑴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-上12，一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-3?x+3

x2

⑵9

(3)2<x<4

【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，

(1)先將點(diǎn)A(-2,6)代入y=，求出加的值，繼而可確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A、3代入好乙+萬(wàn)得到方程

組，求解即可；

(2)先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)三角形面積公式代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；

(3)根據(jù)圖像直接寫(xiě)出不等式組的解集即可；

理解交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：：點(diǎn)4-2,6)在反比例函數(shù)y=?的圖像上，

加=—2x6=—12,

12

工反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=--,

X

1o

???點(diǎn)氏4,〃)在反比例函數(shù)>=-上的圖像上，

AB(4,-3),

???A（—2,6）、3（4,—3）在一次函數(shù)嚴(yán)質(zhì)+b的圖像上,

.J—2左+b=6

??14左+0=-3，

\=.1

解得：,2,

b=3

3

???一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-萬(wàn)％+3；

（2）設(shè)力，力分別為點(diǎn)A,3的縱坐標(biāo)，

3

???一次函數(shù)y=-5%+3與X軸交于點(diǎn)C,

3

當(dāng)y=。時(shí)，得：一一x+3=0,

2

解得：x=2,

???C（2,0）,

???OC=2,

??S/^AOB=SAXOC+Swoc

1c「1cc

=—x2x6+—x2x3

22

=9,

**?AAOJ?的面積是9；

（3）：一次函數(shù)尸乙+》與反比例函數(shù)y=’的圖像交于A（-2,6）,B（4,—3）兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C（2,0）,

IY!YY）

不等式‘《依+6表示反比例函數(shù)、=—的圖像位于一次函數(shù)〉="+8的下方，

xx

則其解集為：xW-2或。<xW4,

而不等式依+》<0表示一次函數(shù)丫=履+。的圖像位于x軸的下方，

則其解集為：x>2,

???不等式組'V履+6<0的解集為2<xV4.

X

22.（2024.河南安陽(yáng)?一模）如圖所示，矩形OASD的邊。4在無(wú)軸上，0。在y軸上，點(diǎn)2的坐標(biāo)是（2,道）反

k

比例函數(shù)y=’（尤>。）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,以點(diǎn)A為圓心，A。為半徑作0C交邊8。于點(diǎn)C,連接0C.

⑴求反比例函數(shù)的解析式.

⑵求NQ4c的度數(shù).

(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中陰影部分的面積.

【答案】(l)y=亞；

X

(2)ZOAC=60°；

(3)-|73-1^.

【分析】(1)用待定系數(shù)法求解即可；

(2)由勾股定理求出3C,0C的長(zhǎng)，然后證明AGHC是等邊三角形，進(jìn)而可求出/