玉溪市2024?2025學(xué)年秋季學(xué)期期末高二年級教學(xué)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試卷

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.第I卷第1頁至第2頁，第n卷第

3頁至第4頁.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時120分鐘.

第I卷（選擇題，共58分）

注意事項：

L答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校、班級、姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在

答題卡上填寫清楚.

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干

凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.已知集合A=32x>l},§43<4},則（）

A.f-2,—jB.（-2,2）仁D.（2,+co）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)集合的交集，可得答案.

【詳解】由題意可得，A=L|X>1LB={X\-2<X<2},所以An3={x[g<x<2

故選：C.

2.右z—i=+i,則忖=()

A.2+V2B.8+4忘C.瓜D.6

【答案】C

【解析】

【分析】整理復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式，根據(jù)模長公式，可得答案.

【詳解】由2—i=&+i，得z=V^+2i，*,.Iz1=V2+4=V6.

故選：C.

3.已知等比數(shù)列｛。"｝滿足q+%=9,a2+a3=18,則/+%=（）

A.9B.36C.54D.72

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)出等比數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的定義化簡等式，可得答案.

【詳解】因為數(shù)列｛?！埃秊榈缺葦?shù)列，設(shè)等比數(shù)列的公比為q,

則4+g=%q+dq=（4+?。?，可得94=18，

解得q=2,g+g=dq+qq=（w+&）4=36

故選：B.

2222

4.已知橢圓土+2L=i與雙曲線二―匕=i具有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為()

259a28

A.y=±xB.丫=±且％

3

「歷一2后

Cy=±-------xD.y=±-------x

-1721

【答案】A

【解析】

【分析】先求出橢圓的焦點坐標(biāo)，由此可得雙曲線的右焦點，得到16=4+8,解得。=2后再根據(jù)漸近

線方程公式計算.

22

【詳解】由橢圓乙+匕=1,易知其右焦點坐標(biāo)為（4,0）,

259

22

...雙曲線二—乙=1的右焦點為（4,0）,貝76=4+8,得到。=2夜.

a8

???該雙曲線的漸近線方程為y=土豆2x=土》.

a

故選：A

5.在三棱錐尸—ABC中，M在B4上，N在5C上，且尸M=3肱1,BN=2NC,貝U()

___1______k1__O____>___k3__?1__k2__?

A.MN=——PA+-PB+-PCB.MN=——PA+-PB+-PC

433433

___,i__,i__2_____?___.Q__?i__.9__>

C.MN=——PA——PB+-PCD.MN=——PA——PB+-PC

433433

【答案】B

【解析】

【分析】利用空間向量的線性運算求解即可.

【詳解】〃在叢上，N在8C上，且尸M=3舷4,BN=2NC,

___?__?__?__?1__?__,9?1kk9__?__?

MN=MA+AB+BN=-PA+AB+-BC=-PA+(PB-PA)+-(PC-PB>)

4__________3_____4________________3

=_3西+1而+2無.

433

故選：B.

6.某學(xué)校組織學(xué)生開展環(huán)保知識測試活動，現(xiàn)把100名學(xué)生的成績繪制成了如圖所示的頻率分布直方圖,

根據(jù)圖中數(shù)據(jù)得()

頻率

0.030..................1~?

嗎二二二』h

0.016..............---------

0405060708090100成績/分

A.a=0.2,此樣本數(shù)據(jù)的66%分位數(shù)為82.5

B.a=0.02,此樣本數(shù)據(jù)的66%分位數(shù)為82.5

C.a=0.2,此樣本數(shù)據(jù)的66%分位數(shù)為85

D.a=0.02,此樣本數(shù)據(jù)的66%分位數(shù)為85

【答案】B

【解析】

【分析】利用概率和為1可求。，利用百分位數(shù)的定義可求66%分位數(shù)，從而可得結(jié)論.

【詳解】由頻率分布直方圖得：(0.004+0.006+a+0.030+0.024+0.016)xl0=l,解得。=0.020,

數(shù)據(jù)在［40,80)的頻率為(0.004+0.006+0.020+0.030)x10=0.6,數(shù)據(jù)在［40,90)的頻率為0.84,

因此此樣本數(shù)據(jù)的66%分位數(shù)me(80,90),由0.6+(〃?—80)x0.024=0.66,解得m=82.5,

所以估計此樣本數(shù)據(jù)的66%分位數(shù)為82.5.

故選：B.

7.已知cos(o+P)=2m,taniztan=3,則cos((z-，)=()

,m機

A.—4-mB.---C.一D.4m

44

【答案】A

【解析】

cosacosB=-m

【分析】利用兩角和的余弦與切化弦可求得<..：。，進而利用兩角差的余弦公式可求值.

sinasmp--3m

【詳解】因為cos(a+/?)=2根，tanciftan/?=3,

cosacos/?一sinasin0-2m

所以《sinasinj3_

----------二3

cosacos(3

解得［csoisnascions尸B==—-3m/

因止匕cos(6z-P)=cosacos/?+sinasin°=-Am.

故選：A.

8.如果向量z，否的夾角為凡我們就稱NxB為向量Z與B的“向量積”，GxB還是一個向量，它的長度為

|萬xB1=1萬|||sin。.在棱長為2的正方體ABC。-A4G2中，則|AD]XZ>@=()

A.-4A/3B.-4C.4D.473

【答案】D

【解析】

【分析】利用平面向量數(shù)量定義求出夾角的余弦值，進而可得其正弦值，再根據(jù)向量積的定義可求得結(jié)果.

【詳解】在正方體中，因為5?！ㄅc2,且44。4=60。，

所以珂，歷=120°,

兩x網(wǎng)=1呵國sin麗，礪=2。2后孝二4后

所以

故選：D.

二、多項選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項是

符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

9.已知圓的一般方程為f+y2+3x—2y—3=0,則()

A.該圓圓心坐標(biāo)為[5,—1)B.該圓圓心坐標(biāo)為1―5，1)

C.該圓半徑為5D.該圓半徑為3

2

【答案】BD

【解析】

【分析】利用配方法整理圓的方程，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得答案.

【詳解】圓爐+/+3%—2y—3=0轉(zhuǎn)化為(x+T]+(y-l)2-^,其圓心坐標(biāo)為[一|[]，半徑為g.

故選：BD.

10.已知函數(shù)/(%)的定義域為R,"2)=4,/(x—1)是偶函數(shù)，V%1,x2e[-l,+co),且不w%，有

小)一小)<0,則()

xi-x2

A./(-4)=4B./(-3)=4C./(O)>4D.〃3)<4

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)/(力的單調(diào)性與對稱性，由此檢驗各個選項，可得答案.

【詳解】因為％,WG[T,+8)，且玉W々，有八:："<0,所以/(%)在[-1,+8)上單調(diào)遞減，

又/(x—1)是偶函數(shù)，則/(x—1)的圖象關(guān)于直線x=o對稱，

故/(%)的圖象關(guān)于直線x=—1對稱，則/(-4)=/(2)=4,故A正確；

3)=7?⑴>/(2)=4,故B不正確；/(0)>/(2)=4,故C正確；

/⑶<”2)=4,故D正確.

故選：ACD.

11.設(shè)函數(shù)/(尤)=8$(0尤+。)(0>。,。<。<兀)的圖象大致如圖，貝!)()

yt

A.

3兀

B.

C./(X)向右平移:個單位后得到一個偶函數(shù)

3兀

D./(九)向右平移丁個單位后得到一個偶函數(shù)

【答案】BC

【解析】

【分析】由/(0)=-#可求得。判斷AB；利用f

0,可得。=4左-1,進而結(jié)合已知可求得a=3,

可求得“X)向右平移1個單位后得到久無)=cos3尤判斷C；向右平移+個單位后得到〃。)=-sin3》判

斷D.

【詳解】由圖知/(0)=—￥，，cos0=—李，

3兀

又：°e(0,兀)，夕=丁，故A不正確，B正確;

C713兀717/7r-r\A1Y

0,?*.—co-\---=—I-kn(kGZ),CD=4k—19

442

icT無兀兀八,

又?。>0,—>一,*,?一〉一，；?0vgv4,

2434

/兀\33兀兀

。=3,/(%)向右平移今個單位后得到〃(%)=cos3x——+—=cos3x,故C正確;

I4J44

/(%)向右平移,個單位后得到/z(x)=cos3卜3兀3兀(33T兀II._,,+一j

+—=cos3x----=-sin3x,故D不正確.

4I2J

故選：BC

第n卷(非選擇題，共92分)

注意事項：

第II卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.拋物線＞=6必的焦點坐標(biāo)為.

【答案】（0,工7）

【解析】

【分析】

將拋物線的方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式，由拋物線的幾何性質(zhì)可求得答案.

【詳解】將拋物線y=6x2的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)形式，得/=：y，

則該拋物線的焦點在y軸正半軸，坐標(biāo)為（0,上）.

24

故答案為：（0,二了）.

24

13已知向量商=（0,1）,石=（2,x）,若3日|=J？,則％=.

【答案】2或4

【解析】

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算以及模長公式，可得答案.

【詳解】由題意，得在一3G=（2,%-3）,則|羊一3初=j4+（x—=也,解得x=2或4.

故答案為：2或4.

14.已知等邊三角形ABC內(nèi)一點。到邊AB,BC,AC的距離分別為2,3,4,則AB=.

【答案】6石

【解析】

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用圖形的組合可得面積的等式，建立方程，可得答案.

【詳解】連接。4,OB,OC,設(shè)=m，則S.ABC=S,ABO+5,0+S.O，昱府=（2+3+4）人,解

42

得m=6y/3-

故答案為：6^/3.

四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.已知函數(shù)/（乃=必+奴-26+1,不等式/（力＜0的解集為（-2,3）.

(1)求實數(shù)a,6的值；

(2)若對Vxe[l,2],/(%)—2+3左20恒成立，求實數(shù)上的取值范圍.

a=-1

【答案】(1)L7

Ib=~2

O

(2)kN—.

3

【解析】

【分析】(1)由不等式與方程的關(guān)系，根據(jù)一元二次方程的解與系數(shù)關(guān)系，可得答案;

(2)根據(jù)不等式恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求得最值，可得答案.

【小問1詳解】

因為爐+〃入一2/?+1<0的解集為(一2,3),

所以％2+QX—26+1=0的兩根為一2和3,

Q=-1

—a—(—2)+3=1,

所以《2b+l=(—2>3=—6,解得‘b，

2

【小問2詳解】

由(1)得/(九)=九2一天一6,

Vxe[l,2],f(x)-2+3k>Q,BP/(x)min-2+3k>Q,

因為當(dāng)XG[1,2]時，/(x)單調(diào)遞增，

Q

所以/(X)min=/(l)=-6,即3左》8,解得左

16.已知等差數(shù)列｛4｝的前見項和為5“，且%=5,a2n=2an+1.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵設(shè)￡=2"+an,求數(shù)列也｝的前〃項和Tn.

【答案】(1)4=31

⑵小+3-2

【解析】

【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差后，可得通項公式；（2）用分組求和法.

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列%的公差為d,由。2,=2。”+1,得%=2q+1,

解得q=2,d=a2—%=3,

所以aa=ax+(n-I)d=3n-l

【小問2詳解】

2=2"+a“=2"+(3〃-1)

于是有丁一(J2")+2”+3“(1),

“1-22

小2**力

17.如圖，在四棱錐尸―ABCD中，底面ABC。，AD//BC,PA=AC=4,AD=1,

AB=BC=2s/2-

P

（1）證明：AD_L平面B48；

（2）求PB與平面ACP所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵運

6

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理得證.

（2）以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AC尸的法向量，再利用線面角的向量法求解.

【小問1詳解】

在四棱錐尸—ABCD中，由24,平面ABC。，ADu平面ABCD,得

由AB=3C=2后，AC=4,AB2+BC2^AC2<得BCLAB，

而AD//BC,則AD1A3，又B4nAB=A,ABu平面PAB，QAu平面A43,

所以AD,平面B43.

【小問2詳解】

由(1)知，直線AB,ARAP兩兩垂直，以A為原點，直線分別為羽yz軸，建立空間直角

坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),5(2忘,0,0),C(2忘,20,0),尸(0,0,4),AC=(272,272,0),AP=(0,0,4),

AC-in-lyflx+2A/2y=0一

設(shè)平面AC尸的法向量加=(%,y,2),貝卜__.,取x=l,^m—(1,—1,0),

AP-m=4z=0

又麗=(—20,0,4),設(shè)PB與平面ACF成角6,

|m?PB|27246

sin3=|cos(m,PB)|=

\m\\PB\V2-V24-6

所以BB與平面ACP所成角的正弦值為逅.

6

18.已知雙曲線C：二—工=1(?！?/〉0)的左、右焦點分別為《，F(xiàn)2,過點片的直線與C的左支相交

ab

于P,Q兩點，滿足PQLPg,且12|尸Q|=5歸閭，忸閭―歸制=10.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過點(5,0)與直線PQ平行的直線/與雙曲線C交于A,2兩點，求△A3E的面積.

22

【答案】(1)二—匕=1

2512

(2)15屈-75

37

【解析】

【分析】(1)解法一：設(shè)|PQI=5根，與1=12加，根據(jù)雙曲線定義可得根=￡,再根據(jù)勾股定理求a1,c；

解法二：設(shè)歸月|=12/,歸耳卜加根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義求”/,c；

(2)可知直線/的斜率為±6,聯(lián)立方程求交點坐標(biāo)，即可得面積.

【小問1詳解】

解法一：由12|PQ|=5歸閭，設(shè)|PQ|=5根，|P閭=12加，

由得|。囚=13m，

則歸國=12n?-2a,\QF^=13m-2a,

而「國+|。制=|尸。I，解得=

因此閥?T，|叫=囁

令歸?=2C,在△尸耳工中,由忸耳『+忸閶2=閨勾2,

得越+回=4/,則6，=亙，

2525a5

由歸閭T尸用=2。=10,可得a=5,c=b=】c?一a?=12>

22

所以雙曲線方程為C匕—匕=1；

2512

解法二：由題意，設(shè)|尸乙|=12/,IPg1=5?,

所以|Q月=13"

設(shè)歸周=7篦，則12/-m=10①，\QF^=5t-m,

所以%—加+10=13/②，

由①②解得，=1,m=2,

又因為歸且「+歸制2=4c?,所以c=J方，

因為2a=歸耳卜歸耳|=10,所以a=5,6=25，

所以Z?=12,

22

所以雙曲線方程為C：土-匕=1

2512

小問2詳解】

PFI

由(1)得：tanNPF[F,=——j=6,

一

結(jié)合對稱性，圖中尸，Q位置可互換，則直線PQ的斜率為±6,故直線/的斜率為±6,

設(shè)點A(X1,yJ,B(x2,y2),

y=6(x-5)

當(dāng)直線/的方程為y=6(九—5)時，聯(lián)立122,

[2512

3719030

可得—乙犬+15*-38=0,解得玉=5,x=—,%=二，

2523737

國吐c_130?|_15737-75

S

因此，AABF2=5X與X%_XF?|=-----------------

結(jié)合對稱性，當(dāng)直線/的方程為y=-6(%-5)時，結(jié)果不變，

綜上：△心—的面積為二恒二75.

37

7

19.設(shè)〃次多項式夕(1)=。/+?！癬/"-1+-?+。,*+卬；+。0(4/0),若其滿足匕(cosx)=COSHX,則

稱這些多項式R(X)為切比雪夫多項式.例如：由cos。=cos?？傻们斜妊┓蚨囗検?(X)=Mxe[-1,1]).

(1)求E(x)；

(2)若切比雪夫多項式4(%)=以3+法2+5+〃，求a+2)+3c+4d的值；

(3)已知函數(shù)/(x)=8d—6x—1在(—1,1)上有3個不同的零點，分別記為A，%,%3,求

X；+石+X的值.

【答案】(1)^(x)=2x2-l(xe[-l,l])

(2)Q+2Z?+3C+4d=—5

(3)1

8

【解析】

【分析】(1)仿造切比雪夫多項式結(jié)合余弦二倍角公式直接求出即可；

(2)仿造切比雪夫多項式再結(jié)合余弦展開式和余弦二倍角公式，待定系數(shù)法求出即可；

(3)先將問題轉(zhuǎn)化為方程4d-3x=—在(-1』)上有3個不同的實根，再令x=cos。，聯(lián)系切比雪夫多項